第1天 三角形的证明及其应用-【通成学典】2026-2027学年预备九年级数学暑期升级训练（8升9北师大版）

复习·整合提优 第1天三角形的证明及其应用 27°(2)在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,BC= -、1.D2.B3.A4.B5.A6.C7.D 3cm,由勾股定理，得AC=√AB2-BC=√52-3= 8.D解析：：AD为∠CAF的平分线，DE⊥AC,DF⊥ 4am.rSaE=2AC·C=号AB·CD.CD AB,∴.∠DEC=∠DEA=∠DFA=90°，DE=DF, ∠FAD=∠EAD.又'BD=CD,.Rt△CDE≌ 3X4_-12(cm） 55 Rt△BDF,故①正确.：△CDE≌△BDF,∴.CE= 16.(1)∠AFD=155°，.∠DFC=25.:DF⊥BC BF..∠DFA=∠DEA,∠FAD=∠EAD,AD=AD, DE⊥AB,∴.∠FDC=∠AED=90°.∴.∠C=90°- ∴.△ADF≌△ADE.∴.AF=AE.:BF=AB+AF, 25°=65°.AB=BC,∴.∠C=∠A=65°.∴.∠EDF= ∴.CE=AB+AE,故②正确.△CDE≌△BDF, 360°-65°-155-90°=50°(2)连接BF..AB=BC, ∴.∠DCE=∠DBF.∠AOB=∠COD,∴.∠BDC= F是AC的中点，∴.BF⊥AC,∠ABF=∠CBF= ∠BAC,故③正确.AF=AE,CE=AB十AE,.AC AB=CE+AE-AB=AB+AE+AE-AB=2AE= 2∠AB.:∠CFD+∠BFD=90,∠CBF+∠BFD 2AF,故④正确.综上所述，正确的是①②③④. 90,.∠CFD=∠CBF..∠CFD=2∠ABC 二、9.如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是 直角三角形真10.36°11.4 17.(1):DC平分∠ADB,∴.∠ADC=∠BDC= 12.60°或1209 30°.：DCLAB,.∠DCB=∠DCA=90.°.∠ABD= 易错分析 ∠BAD=90°-30°=60°..∠ADB=∠BAD= ∠ABD=60°.∴.△ADB是等边三角形(2)：CE∥ 因未正确分类讨论而导致漏解 AD,∴.∠BEC=∠ADB=6O°..∠CEB=∠CBE= 解答这类问题时，要根据条件正确地进行分类.等 腰三角形的高可能在三角形内部，也可能在三角形外 ∠ECB=60°.∴.△CEB是等边三角形.∴.CE=BE= BC.△ADB是等边三角形，DC⊥AB,∴.BC= 部.当高在三角形内部时，顶角为锐角；当高在三角形 外部时，顶角为钝角.易忽略高在三角形外部的情况， 合AB.:BE=号BD,即E是BD的中点：AE是边 只考虑高在三角形内部，从而漏解 BD上的中线.：△ADB是等边三角形，∴.AE⊥BD 18.(1)如图，过点D分别作AE,AF,BC的垂线，垂足分 13.3或号 别为M,N,P.:BD平分∠EBC,DM⊥AE,DP⊥BC, 14.①②④解析：：AB=AC,.∠B=∠C=40° .DM-DP.:CD平分∠FCB,DN⊥AF,DP⊥BC, :'∠BAD=180°-40°-∠ADB,∠CDE=180°-40° ∴.DN=DP..DM=DN.又：DM⊥AE,DN⊥AF, ∠ADB,∴.∠BAD=∠CDE,故①正确.当D为BC的中 ∴.AD平分∠EAF(2)由(1)可知，AD平分∠EAF, 点时，AB=AC,.AD⊥BC.∴∠ADC=90° ∴.∠CDE=∠ADC-∠ADE=50°.∠C=40°， ·∠EAD=名∠EAF=4,·△MAD为等腰直角三 角形..MA=MD.由勾股定理，得MA2+MD=AD, ∴.∠DEC=90°.∴.DE⊥AC,故②正确.：∠C=40°， ∴.∠AED>40°..∠ADE≠∠AED.∴.当△ADE为等 .MA=MD=6√2..DP=DM=62..点D到BC 腰三角形时，AE=DE或AD=DE.当AE=DE时， 的距离为6√2 ∠DAE=∠ADE=40°.∠BAC=180°-40°-40°= E 100°，.∠BAD=60°.当AD=DE时，∠DAE= ∠AED=70°.∠BAC=100°，∴.∠BAD=30°，故③错 误.当∠BAD=30°时，∠CDE=30°.∴.∠ADC=70°. ∴.∠CAD=180°-70°-40°=70°.∴.∠DAC= CN F ∠ADC.∴.CD=AC.AB=AC,AB=CD (第18题) ∠B=∠C,∠BAD=∠CDE,∴.△ABD≌△DCE. 19.(1)DE⊥DP理由：，PD=PA,∴.∠A= ∴BD=CE,故④正确.综上所述，正确的是①②④. ∠PDA.:EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED. 三、15.(1).∠ACB=90°，∴.∠A+∠B=90. ∴.∠B=∠EDB.:∠C=90°，∴.∠A+∠B=90°. .CD LAB,∴.∠BCD+∠B=90°.∴.∠A=∠BCD= .∴.∠PDA+∠EDB=90°...∠PDE=180°-90°= 90°.∴.DE⊥DP.(2)连接PE.设DE=,则EB= a十2代人①，得x-2(a+2)=-5,解得x=2a-1. ED=x,CE=8-x.:∠C=∠PDE=90°，∴.PE2= .x>y,∴.2a-1>a+2,解得a>3 PC2+CE2=PD2+DE2 PC=AC-AP=4.PD= x+y=6-m①， PA=2,.4+(8-x)2=22+x2,解得x=4.75. 17.(1)设 由①+②，得2x=4+ x一y=-2+3②. ∴.DE=4.75 2m,解得x=2十m.由①-②，得2y=8一4m,解得y= 第2天不等式与不等式组 4一2m.:x为正数，y为非负数，∴. 2+m>0, 解得 -、1.B2.D3.A4.B5.A6.B7.C 4-2m≥0， -2m≤2(2)由(2m-1)x-2n<-1,得(2m- 8B解析：由22+1>x+a,得x<-3a+2:由 1)x<2m-1.解集为x>1,∴.2m-1<0..m< 1-2x1-5a、2 2 6 >名，得x<一2.由题意，得-3如+2≤ 由（1)，知-2m<2-2<m<整数m的 -2,解得a≥3 值为一1,0 方法归纳 18.(1)y=-20x+2200,∴.当x=80时，y=-20× 80+2200=600...600×(80-60)=12000(元).∴.合作 根据“解的从属关系”求字母取值范围的方法 社每天销售芒果的利润为12000元(2)由题意，得 解决“一个不等式的所有解都使另一个不等式成 立，求字母的取值范围”问题，方法是先分别求解两个 /x≥86， 解得86≤x≤95.∴.芒果的售价 不等式，再根据“前面不等式的解集都在后面不等式的 一20x+2200≥300， 解集范围内（可借助数轴判断）”列不等式，进而求出字 x(元/箱)的范围是86≤x≤95 母的取值范围。 19.(1):甲商店购买20个排球的总价为2000元， ∴.标价为2000÷20=100（元/个）.，乙商店购买15个 二、9.-210.x>011.-5 排球的总价为1500元，：.标价为1500÷15=100（元/ 12.-6 个).∴两家商店排球的标价是一样的，每个排球的标价 方法归纳 是100元 不等式（组）与方程（组）综合问题的求解方法 (2)y=80x+400y=85x十225解析：若在甲商店购 不等式（组）与方程（组）的综合问题通常以“解”为 买排球，则当x>20时，y=100×20+100×0.8(x 桥梁联系起来，解题的关键是分清相关字母与未知数， 20)=80x十400.∴.当x>20时，在甲商店购买排球的总 能通过解方程（组）或不等式（组）用相关字母表示未知 价y(元)与数量x(个)之间的函数表达式为y=80x十 数，并能对照解的情况，列方程（组）或不等式（组），从 400.若在乙商店购买排球，则当x>15时，y=100×15+ 而求出相关字母的取值或取值范围， (100×0.95-10)×(x-15)=85.x+225.∴.当x>15 时，在乙商店购买排球的总价y(元)与数量x(个)之间的 13.9解析：由3x-1,得x≤5：由3x十6>a十4， 函数表达式为y=85x十225. 得，公“。：关于x的不等式组有且只有5个整疏解， (3)由题意，得80x+400=85x+225,解得x=35. ∴.80x+400=3200..点C的坐标为(35,3200).观察 这5个整数解是1,2,3,4,5..0≤022<1，解得2≤ 题图，可知当0≤x≤15或x=35时，在甲、乙两家商店购 3 a<5.∴.符合条件的整数a的值为2,3,4.∴.符合条件的 买排球一样合算；当15<x<35时，选择乙商店购买排球 所有整数a的和为2十3十4=9. 更合算；当x>35时，选择甲商店购买排球更合算 14.17(或52或87) 方法归纳 三、15.(1)解不等式2x-1>3,得x>2;解不等式x+ 综合运用一次函数、方程、不等式设计合理性方案的方法 2<4x一1，得x>1..原不等式组的解集为x>2 综合运用一次函数、方程、不等式的相关知识设计 2(x+1)>x-1①， 合理性方案，通常有两种方法.方法一是利用两函数间 四设>a@ 解不等式①，得x>一3；解不 的大于、等于、小于三种情况，分别列不等式或方程，从 而确定三种情况下对应的合适方案；方法二是直接借 等式②，得x<1.∴.原不等式组的解集为一3<x<1 助图象的直观性，以两函数图象的交点为界，分三种情 版0 由①十②，得y=a+2.把y= 况确定合适的方案。 2。复习·整合提优 第1天三角形 一、选择题 1.[南充中考]如图，把含有60°角的三角尺斜 边放在直线1上，则∠α的度数是( 60入 (第1题) A.120° B.130° C.140 D.150° 2.用反证法证明命题“在△ABC中，若AB≠ AC,则∠B≠∠C”时，首先应该假设() A.在△ABC中，AB=AC B.在△ABC中，∠B=∠C C.在△ABC中，AB=AC且∠B=∠C D.在△ABC中，AB=AC且∠B≠∠C 3.[遂宁中考]如果一个凸多边形的内角和是 外角和的4倍，那么这个多边形的边数为 ( A.10B.11C.12 D.13 4.如图，在以BC为底边的等腰三角形ABC 中，∠A=30°，AC=8,则△ABC的面积是 A.12B.16C.20D.24 AD (第4题) (第5题) 5.如图，P为△ABC三边垂直平分线的交点， 若∠PAC=25°，∠PCB=35°，则∠PAB的 度数为 A.30°B.35°C.40°D.45° 的证明及其应用 6.如图，在△ABC中，∠ABC=6 BC=6,点E在BA的延长线上，点D在边 BC上，且ED=EC.若AE=5,则BD的 长为 () A.3 3 B.2 C.2 D.2 B. B B- -N D A A2 As A (第6题) (第7题) 7.新考向探究题如图，∠MON=30°，点A1, A2,A3…在射线ON上，点B1,B2, B3…在射线OM上，△A1B1A2,△A2B2A3, △A3B3A4…均为等边三角形.若OA1= 2,则△A,B,A8的边长为 () A.16 B.32 C.64 D.128 8.如图，AD为∠CAF的平分线，BD=CD,过 点D作DE⊥AC于点E,DF⊥AB,交BA 的延长线于点F,AC,BD交于点O.有下列 结论：①△CDE≌△BDF;②CE=AB+ AE;③∠BDC=∠BAC;④AC-AB= 2AF.其中，正确的是 () (第8题) A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 窖期升级训练数学（北师版）八年级 二、填空题 9.命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命 题是 它是 命题（填“真”或“假”）. 10.[吉林中考]如图，正五边形ABCDE的边 AB,DC的延长线交于点F,则∠F的度数 为 (第10题) 11.如图，在△ABC中，CE⊥AB于点E,D是 △ABC外一点，且AC平分∠DAB.若 AB=6,AD=4,S△ABC=6,则△ACD的面 积为 (第11题) (第13题) 12.★若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹 角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为 13.如图，等边三角形ABC的边长是6cm,动 点M,N分别从A,C两点同时出发，沿 AC,CB边匀速运动，点M,N的速度分别 是1cm/s,2cm/s,当点N到达点B时， M,N两点均停止运动.当△MCN是直角 三角形时，点M的运动时间为 S. 14.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，D 为线段BC上一动点（不与点B,C重合）， 连接AD,作∠ADE=40°，DE交线段AC 于点E.有下列结论：①∠CDE=∠BAD; ②当D为BC的中点时，DE⊥AC;③当 △ADE为等腰三角形时，∠BAD=20°； ④当∠BAD=30时，BD=CE.其中，正确 注：标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错分析”，详见“答 2 的是 (填序号). B40人40 (第14题) 三、解答题 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D (1)若∠BCD=27°，求∠A的度数； (2)若AB=5cm,BC=3cm,求CD的 长度 D (第15题) 16.如图，在△ABC中，AB=BC,DE⊥AB于 点E,DF⊥BC于点D,交AC于点F. (1)若∠AFD=155°，求∠EDF的度数； (2)若F是AC的中点，求证：∠CFD= ABC. (第16题) 与解析”. 17.如图，在△ADB中，∠ADB=60°，DC平分 ∠ADB,交AB于点C,且DC⊥AB,过点 C作CE∥AD,交DB于点E,连接AE. 求证： (1)△ADB是等边三角形； (2)AE⊥BD. (第17题) 18.如图，∠EAF=90°，∠EB ∠FCB的平分线交于点D 接AD (1)求证：AD平分∠EAF: (2)若AD=12,求点D到BC的距离. (第18题) 复习·整合提优 19.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC 上运动，点D在AB上，PD始终保持与 PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E, 交BD于点F,连接DE. (I)判断DE与DP的位置关系，并说明 理由； (2)若AC=6,BC=8,PA=2,求线段DE 的长。 D (第19题)