专题15 指数函数与对数函数的应用（讲义）-2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题15 指数函数与对数函数的应用 【复习目标】 了解指数函数与对数函数的实际应用。 【考点1 指数函数模型】 1. 指数函数模型通用公式：___________（且，），常用于解决指数增长、衰减、复利计息、人口增长等实际问题. 2. 增长型指数模型：当_________时，函数单调递增，对应数量持续增长，如产量增长、细胞分裂. 3. 衰减型指数模型：当_________时，函数单调递减，对应数量持续减少，如折旧、放射性物质衰变. 4. 复利增长公式：___________，其中为本金，为利率，为计息期数，为本息和. 5. 指数模型解题核心步骤：审题确定变量→建立指数函数模型→代入已知数据→求解未知量→结合实际意义作答. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 某工厂年产值逐年增长，年增长率为8%，若初始年产值为100万元，设年后年产值为万元，则对应的函数模型为（ ） A. B. C. D. 2. 一种放射性物质不断衰减，每年剩余质量是上一年的90%，若初始质量为200g，年后剩余质量为g，则函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 存入银行本金5000元，年利率2%，按复利计息，年后本息和元的函数模型是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 4. 关于指数函数模型的实际应用，下列说法正确的是（ ） A. 时，可描述人口增长、产量递增问题 B. 时，可描述物品折旧、浓度稀释问题 C. 所有增长问题都可以用指数函数模型描述 D. 指数模型求解结果需要符合实际场景的取值范围 三、填空题 5. 某细菌每小时数量翻倍，初始数量为100个，则小时后细菌数量__________，10小时后细菌数量为__________个. 6. 某工厂机器设备的初始价值为8000万元，由于磨损，每一年的价值比上一年降低10%，使用年后设备价值__________，使用2年后设备的价值为__________. 【考点2 对数函数模型】 1. 对数函数模型通用公式：___________（且，为常数），常用于解决增长率放缓的增长问题、酸碱度计算、声音分贝、考古年代测算等问题. 2. 对数函数单调性：________时，函数在定义域内单调递增；_________时，函数在定义域内单调递减. 3. 对数模型核心特点：自变量呈指数增长时，函数值呈线性增长，适合描述增速放缓的实际问题. 4. 常用对数换底公式：_________，是对数模型求解计算的核心公式. 5. 对数模型解题步骤：梳理实际变量关系→建立对数函数模型→利用对数运算性质化简→求解变量→验证实际意义. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 若某地区工资等级满足对数模型（为年份，为收入等级），参加工作的第1年工资等级是13级，该第10年的工资等级为（ ） A. 7级 B. 10级 C. 13级 D. 16级 2. 声音分贝计算公式为（为声强，为基准声强），若某声源声强满足，则该声源的声音分贝为（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 3. 考古测算文物年代常用对数模型，若已知模型，当时，文物年代为（ ） A. 5730 B. 2865 C. 11460 D. 0 二、多项选择题 4. 溶液酸碱度用值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且越大，酸度越弱，碱性越大．下列命题中，真命题是（ ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 三、填空题 5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为，星的亮度为． (1) 若，则________； (2) 若太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为____． 6. 在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了秒，则________． 1.（2025年湖北省技能高考第26题）某实验室开展从河流水质监测评估为主题的跨学科综合性活动，监测得到生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好. 若某河流治理前后生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度由变为，则（ ） A. 当 时， B. 当 时， C. 当 时， D. 当 时， 2.（2024年湖北省技能高考第26题）溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为pH=，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位为摩尔/升，若pH<7，则溶液为酸性；若pH=7，则溶液为中性；若pH>7，则溶液为碱性. 下列说法正确的有 A. 若，则溶液的pH为9 B. 若，则溶液为中性 C. 若，则溶液为酸性 D. 若，则溶液为碱性 3.（2023年湖北省技能高考第25题）地震的里氏震级的计算公式为，其中A表示地震的最大振幅，表示“标准地震”的振幅.假设在一次地震中，测震仪测得A=10，0.001，则该地震的震级为里氏（ ） A. 4级 B. 5级 C. 6级 D. 7级 4.（2022年湖北省技能高考第25题）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）.平时常人交谈时的声强 W/m2，其声强级约为（ ） A.10dB B.60dB C.120dB D.180Db 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖北省（技能高考）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖北省技能高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题15 指数函数与对数函数的应用 【复习目标】 了解指数函数与对数函数的实际应用。 【考点1 指数函数模型】 1. 指数函数模型通用公式：（且，），常用于解决指数增长、衰减、复利计息、人口增长等实际问题. 2. 增长型指数模型：当 时，函数单调递增，对应数量持续增长，如产量增长、细胞分裂. 3. 衰减型指数模型：当 时，函数单调递减，对应数量持续减少，如折旧、放射性物质衰变. 4. 复利增长公式：，其中为本金，为利率，为计息期数，为本息和. 5. 指数模型解题核心步骤：审题确定变量→建立指数函数模型→代入已知数据→求解未知量→结合实际意义作答. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 某工厂年产值逐年增长，年增长率为8%，若初始年产值为100万元，设年后年产值为万元，则对应的函数模型为（ ） A. B. C. D. 【考点】指数函数模型的应用（产值增长问题） 【答案】B 【解析】年增长率为8%，则每年产值是上一年的倍，符合指数增长模型，代入初始值，得，故选B. 2. 一种放射性物质不断衰减，每年剩余质量是上一年的90%，若初始质量为200g，年后剩余质量为g，则函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【考点】指数函数模型的应用（物质衰变问题） 【答案】A 【解析】每年剩余质量为上一年的90%，即衰减比例对应底数，属于指数衰减模型，初始质量，故解析式为，故选A. 3. 存入银行本金5000元，年利率2%，按复利计息，年后本息和元的函数模型是（ ） A. B. C. D. 【考点】指数函数模型的应用（复利） 【答案】B 【解析】复利公式为，本金，年利率，代入得 ，故选B. 二、多项选择题 4. 关于指数函数模型的实际应用，下列说法正确的是（ ） A. 时，可描述人口增长、产量递增问题 B. 时，可描述物品折旧、浓度稀释问题 C. 所有增长问题都可以用指数函数模型描述 D. 指数模型求解结果需要符合实际场景的取值范围 【考点】指数函数模型的应用场景与取值原则 【答案】ABD 【解析】A、B选项符合指数增长、衰减模型的应用场景；C选项错误，线性增长、二次增长等问题不能用指数模型描述；D选项正确，实际问题中变量多为正数、整数，结果需符合实际意义，故选ABD. 三、填空题 5. 某细菌每小时数量翻倍，初始数量为100个，则小时后细菌数量__________，10小时后细菌数量为__________个. 【考点】指数函数模型的应用（细胞分裂） 【答案】； 【解析】每小时数量翻倍，底数，初始值，代入指数模型得；10小时后细菌数量为个. 6. 某工厂机器设备的初始价值为8000万元，由于磨损，每一年的价值比上一年降低10%，使用年后设备价值__________，使用2年后设备的价值为__________. 【考点】指数函数模型是应用（设备折旧衰减） 【答案】；万元 【解析】折旧率10%，每年剩余价值为原价的90%，即底数为0.9，初始价值8000元，故解析式为，使用2年后设备的价值为万元. 【考点2 对数函数模型】 1. 对数函数模型通用公式：（且，为常数），常用于解决增长率放缓的增长问题、酸碱度计算、声音分贝、考古年代测算等问题. 2. 对数函数单调性：时，函数在定义域内单调递增；时，函数在定义域内单调递减. 3. 对数模型核心特点：自变量呈指数增长时，函数值呈线性增长，适合描述增速放缓的实际问题. 4. 常用对数换底公式：，是对数模型求解计算的核心公式. 5. 对数模型解题步骤：梳理实际变量关系→建立对数函数模型→利用对数运算性质化简→求解变量→验证实际意义. 【即时训练】 一、单项选择题 1. 若某地区工资等级满足对数模型（为年份，为收入等级），参加工作的第1年工资等级是13级，该第10年的工资等级为（ ） A. 7级 B. 10级 C. 13级 D. 16级 【考点】对数函数模型的应用（工资等级问题） 【答案】B 【解析】常用对数底数，时，，解得， 当时，，故选B. 2. 声音分贝计算公式为（为声强，为基准声强），若某声源声强满足，则该声源的声音分贝为（ ） A. 10 B. 20 C. 100 D. 200 【考点】对数函数模型的应用（分贝计算） 【答案】B 【解析】将代入公式得：，由常用对数性质，可得，故选B. 3. 考古测算文物年代常用对数模型，若已知模型，当时，文物年代为（ ） A. 5730 B. 2865 C. 11460 D. 0 【考点】对数函数模型的应用（考古年代测算） 【答案】C 【解析】代入，得，由对数性质，得 ，故选C. 二、多项选择题 4. 溶液酸碱度用值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且越大，酸度越弱，碱性越大．下列命题中，真命题是（ ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 【考点】对数函数模型的应用（函数应用） 【答案】AC 【解析】公式：，在上单调递减，即：越大，越小；越小，越大. 选项 A：，代入公式：，解得，A 正确. 选项 B：，代入公式：， ，则，与矛盾，B错误. 选项 C：单调递减：增大减小，越小酸性越强； ，变大变小酸性变强，C正确. 选项 D：碱性越大越大，由递减：越大越小； 即碱性越大，氢离子浓度越小，D描述相反，错误. 综上选AC. 三、填空题 5. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．若两颗星的星等与亮度满足 ，其中星等为，星的亮度为． (1) 若，则________； (2) 若太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为____． 【考点】对数函数模型的应用（天体的明暗程度） 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)已知，化简可得，将其代入题干公式中：，因此变形可得：. (2)设太阳的星等、亮度为；天狼星的星等、亮度为. 代入公式：，化简计算得， ，得：，即太阳与天狼星的亮度比值为. 6. 在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了秒，则________． 【考点】对数函数模型的应用（量子计算） 【答案】 【解析】本题依托对数函数模型的应用，利用对数运算性质求解参数与未知量，步骤如下： 由题意可知，量子比特数量从增加到时，处理时间增加秒. 根据时间公式，时间增量， 代入已知数据： ，化简：，解得常数. 已知量子比特数量从增加到时，处理时间增加秒，，代入增量公式： ，等式两边同时除以，得：，即 整理计算：. 1.（2025年湖北省技能高考第26题）某实验室开展从河流水质监测评估为主题的跨学科综合性活动，监测得到生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数和生物个体总数，生物丰富度指数越大，水质越好. 若某河流治理前后生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度由变为，则（ ） A. 当 时， B. 当 时， C. 当 时， D. 当 时， 【考点】对数函数模型的应用（生物丰富度指数） 【答案】 【解析】由 ，得 . A 选项：，A 正确. B 选项：，B 正确. C 选项：，满足比例的有无穷多组，不一定是，C 错误. D 选项：，满足比例的有无穷多组，不一定是，D 错误. 2.（2024年湖北省技能高考第26题）溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为pH=，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位为摩尔/升，若pH<7，则溶液为酸性；若pH=7，则溶液为中性；若pH>7，则溶液为碱性. 下列说法正确的有 A. 若，则溶液的pH为9 B. 若，则溶液为中性 C. 若，则溶液为酸性 D. 若，则溶液为碱性 【考点】对数函数模型的应用（值计算） 【答案】 【解析】 A：，正确；B：，中性，正确； C：，酸性，正确；D：，酸性，D 错误. 3.（2023年湖北省技能高考第25题）地震的里氏震级的计算公式为，其中A表示地震的最大振幅，表示“标准地震”的振幅.假设在一次地震中，测震仪测得A=10，0.001，则该地震的震级为里氏（ ） A. 4级 B. 5级 C. 6级 D. 7级 【考点】对数函数模型的应用（里氏震级） 【答案】A 【解析】把A=10，0.001直接代入公式，得 ， 答案 A. 4.（2022年湖北省技能高考第25题）声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：W/m2）.平时常人交谈时的声强 W/m2，其声强级约为（ ） A.10dB B.60dB C.120dB D.180Db 【考点】对数运算、常用对数化简 【答案】 【解析】把声强 直接代入公式，得 ， 答案 B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $