第二十讲 空间点、平面、直线之间的位置关系 导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了空间点线面位置关系专题，将四个基本事实、线线/线面/面面位置关系及等角定理按逻辑关联构建知识网络，通过问题导向任务设计引导学生自主推导位置关系判定规律，形成立体几何认知框架。 亮点在于诊断性真题演练和易错点专项规避，如设置正方体模型举反例训练培养数学思维，证明题步骤规范训练提升数学语言表达。每个题型配有解题模板和反思总结表，帮助学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导实现因材施教。

高三一轮复习第二十讲 空间点、平面、直线之间的位置关系判断高考题分类解析 【学习目标】1.明确空间点、直线、平面的位置关系；掌握可以作为推理依据的基本事实和定理； 2.能运用基本事实、定理证明一些空间图形位置关系的简单命题. 【学习重点】点、线、面的位置关系的正确表示及判断；运用基本事实和定理解决共点、共线、共面问题． 【学习难点】运用基本事实和定理解决共点、共线、共面问题． 必掌握知识点： 一．四个基本事实 基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 二．直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在任何一个平面内 三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况． 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 六、高频易错点专项规避策略 1. 定理条件陷阱：所有平行、垂直定理绝不省略前提，尤其注意“平面外直线”“两条相交直线”两大核心条件，90%命题错题源于条件遗漏； 2. 空间角范围陷阱：异面直线角、线面角均为锐角或直角，计算出钝角必须取补角，杜绝范围错误； 3. 位置关系混淆陷阱：区分异面直线与相交直线、线在面内与线面平行，避免概念混淆误判； 4. 大题步骤陷阱：证明题必须定理条件齐全、逻辑闭环，杜绝跳步、口头推理，避免步骤扣分； 5. 模型误区陷阱：不默认几何体垂直、平行关系，所有位置关系必须依据定理证明，不凭直观想象判断。 七、考场应试高分技巧 1. 选择题秒杀技巧：位置关系命题辨析，优先正方体举反例，3秒排除错误选项，无需逐一推导；角度计算题型，优先特殊值、特殊角度验证，提升解题速度； 2. 大题解题技巧：几何法无思路时，立刻切换空间向量建系法，计算量稍大但正确率极高，适配所有规则几何体； 3. 时间分配技巧：本讲基础题型每题控制在2分钟内，大题证明第一问控制在3-4分钟，不占用后续难题解题时间； 4. 检查技巧：做完题优先检查定理条件是否完整、空间角范围是否正确、向量坐标计算是否失误。 必考题型全归纳： 题型一 直线、平面平行的判定与性质 考向解读 1. 客观题：正方体 、 长方体中判断线线、线面、面面平行；多个命题组合选对错；面面平行充要条件判断。 2. 主观大题：证明线面平行、面面平行；利用平行性质找线线平行。 核心思路： 线线平行线面平行面面平行 面面平行线面平行线线平行 易错坑：一条直线平行平面内一条直线，如果直线在平面内，则不能得到线面平行；一个平面内无数条直线平行另一平面，不能推出面面平行，必须是两条相交直线。 1．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】解法一：A项，通过证明四边形是平行四边形，即可证明结论；B项，通过，，即可证明平面；C项，通过证明平面，平面，即可证明结论；D项，假设垂直，得出平面，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论. 解法二：建立空间直角坐标系，求平面、平面和平面的法向量，利用空间向量判断线、面关系. 解法一：由题意，在正方体中， A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B项，由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面， ∵平面，∴，连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面    ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 因为，可知平面与平面不垂直，故D错误. 2．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】解法一：A项，通过证明四边形是平行四边形，即可证明结论；B项，通过，，即可证明平面；C项，通过证明平面，平面，即可证明结论；D项，假设垂直，得出平面，结合几何知识得出矛盾，即可得出结论. 解法二：建立空间直角坐标系，求平面、平面和平面的法向量，利用空间向量判断线、面关系. 【详解】解法一：由题意，在正方体中， A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B项，由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面， ∵平面，∴， 连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面    ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 因为，可知平面与平面不垂直，故D错误. 3．（高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 4．（高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 5．（高考真题）设，为两个平面，则的充要条件是 A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 【答案】B 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【详解】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B． 【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误． 题型二 直线、平面垂直的判定与性质 考向解读 1. 选择填空：正方体模型中判断异面直线垂直、线面垂直、面面垂直；给出命题判断真假； 2. 解答大题：证明线面垂直、面面垂直；利用垂直找线线垂直； 逻辑链条： 线线垂直线面垂直面面垂直 面面垂直线面垂直线线垂直 高频陷阱： ①一条直线垂直平面内两条平行直线，得不到线面垂直，必须相交直线； ②面面垂直，只有在一个平面内垂直交线的直线，才垂直另一个平面，不是平面内所有直线都垂直另一平面。 6．（高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误. 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误.故选：BC. 7．（高考真题）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】B 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示，连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点，又因为是线段的中点， 所以在中，，所以四点共面，即直线是相交直线； 作于，连接，过作于． 连，平面平面． 平面，平面，平面， 与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知， ．，故选B． 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角形． 题型三 由平行关系推导空间角度 考向解读 高考较少直接单独出题，但经常是大题隐含逻辑；常考：证明三点共线，证明三线共点，证明多点 、多线共面。 解题模板： 1. 三点共线：证明这三个点同时属于两个相交平面，则三点落在两平面交线上（基本事实 3）。 2. 三线共点：先找两条直线交点，证明交点在第三条直线上；第三条直线是两平面交线，交点同时属于两个平面。 3. 多点共面： ①取三点确定平面，证明其余点落在这个平面； ②两条相交 、平行直线确定平面，证明其余直线上点都在平面内。 示例思路： 例：四面体，上各取点，对应直线相交，证明交点共线。 步骤：找到两个平面，交点都同时属于这两个平面，故全部在交线上。 8．（高考真题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 【答案】D 【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出． 【详解】如图所示： 不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得． 对于A，，，，A错误； 对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确． 故选：D． 9．（高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，      显然平面，于是平面，又平面， 因此平面平面，显然平面平面， 直线平面，则直线在平面内的射影为直线， 从而为直线与平面所成的角，令，则，在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以直线与平面所成的角的正切为.故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习第二十讲 空间点、平面、直线之间的位置关系判断高考题分类解析 【学习目标】1.明确空间点、直线、平面的位置关系；掌握可以作为推理依据的基本事实和定理； 2.能运用基本事实、定理证明一些空间图形位置关系的简单命题. 【学习重点】点、线、面的位置关系的正确表示及判断；运用基本事实和定理解决共点、共线、共面问题． 【学习难点】运用基本事实和定理解决共点、共线、共面问题． 必掌握知识点： 一．四个基本事实 基本事实1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法 基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据 推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面； 注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据 （2）此推论是判定若干平面重合的依据 （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面； 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据 （2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点） （3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据 基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 二．直线与直线的位置关系 位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面 图形 符号 a∥b 公共点个数 1 0 0 特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在任何一个平面内 三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况． 位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线） 图形 符号 ∥ 公共点个数 无数个 1 0 四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况． 位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直 图形 符号 ∥ ， 公共点个数 0 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 无数个公共点且都在唯一的一条直线上 五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 六、高频易错点专项规避策略 1. 定理条件陷阱：所有平行、垂直定理绝不省略前提，尤其注意“平面外直线”“两条相交直线”两大核心条件，90%命题错题源于条件遗漏； 2. 空间角范围陷阱：异面直线角、线面角均为锐角或直角，计算出钝角必须取补角，杜绝范围错误； 3. 位置关系混淆陷阱：区分异面直线与相交直线、线在面内与线面平行，避免概念混淆误判； 4. 大题步骤陷阱：证明题必须定理条件齐全、逻辑闭环，杜绝跳步、口头推理，避免步骤扣分； 5. 模型误区陷阱：不默认几何体垂直、平行关系，所有位置关系必须依据定理证明，不凭直观想象判断。 七、考场应试高分技巧 1. 选择题秒杀技巧：位置关系命题辨析，优先正方体举反例，3秒排除错误选项，无需逐一推导；角度计算题型，优先特殊值、特殊角度验证，提升解题速度； 2. 大题解题技巧：几何法无思路时，立刻切换空间向量建系法，计算量稍大但正确率极高，适配所有规则几何体； 3. 时间分配技巧：本讲基础题型每题控制在2分钟内，大题证明第一问控制在3-4分钟，不占用后续难题解题时间； 4. 检查技巧：做完题优先检查定理条件是否完整、空间角范围是否正确、向量坐标计算是否失误。 必考题型全归纳： 题型一 直线、平面平行的判定与性质 考向解读 1. 客观题：正方体 、 长方体中判断线线、线面、面面平行；多个命题组合选对错；面面平行充要条件判断。 2. 主观大题：证明线面平行、面面平行；利用平行性质找线线平行。 核心思路： 线线平行线面平行面面平行 面面平行线面平行线线平行 易错坑：一条直线平行平面内一条直线，如果直线在平面内，则不能得到线面平行；一个平面内无数条直线平行另一平面，不能推出面面平行，必须是两条相交直线。 1．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 2．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 3．（高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 5．（高考真题）设，为两个平面，则的充要条件是 A．内有无数条直线与平行 B．内有两条相交直线与平行 C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 题型二 直线、平面垂直的判定与性质 考向解读 1. 选择填空：正方体模型中判断异面直线垂直、线面垂直、面面垂直；给出命题判断真假； 2. 解答大题：证明线面垂直、面面垂直；利用垂直找线线垂直； 逻辑链条： 线线垂直线面垂直面面垂直 面面垂直线面垂直线线垂直 高频陷阱： ①一条直线垂直平面内两条平行直线，得不到线面垂直，必须相交直线； ②面面垂直，只有在一个平面内垂直交线的直线，才垂直另一个平面，不是平面内所有直线都垂直另一平面。 6．（高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（    ） A． B． C． D． 7．（高考真题）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 题型三 由平行关系推导空间角度 考向解读 高考较少直接单独出题，但经常是大题隐含逻辑；常考：证明三点共线，证明三线共点，证明多点 、多线共面。 解题模板： 1. 三点共线：证明这三个点同时属于两个相交平面，则三点落在两平面交线上（基本事实 3）。 2. 三线共点：先找两条直线交点，证明交点在第三条直线上；第三条直线是两平面交线，交点同时属于两个平面。 3. 多点共面： ①取三点确定平面，证明其余点落在这个平面； ②两条相交 、平行直线确定平面，证明其余直线上点都在平面内。 示例思路： 例：四面体，上各取点，对应直线相交，证明交点共线。 步骤：找到两个平面，交点都同时属于这两个平面，故全部在交线上。 8．（高考真题）在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（    ） A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 9．（高考真题）已知为等腰直角三角形，AB为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $