13.3.1 三角形的内角 第一课时 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三角形内角和定理”，通过复习小学测量、折叠、拼凑等验证方法，衔接初中用平行线性质与平角定义的逻辑证明，构建从直观感知到理性推理的学习支架。 其亮点在于以多种作辅助线证法培养推理意识，结合方程思想（例3设未知数求角度）和实际问题（例4方位角计算）发展模型意识，小结用表格梳理定理、证法及应用。助力学生提升逻辑思维与应用能力，为教师提供系统教学流程和分层练习设计。

第十三章 三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 13.3.1 三角形的内角（第一课时） 13.3 三角形的内角与外角 1 学习目标 1. 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°； 2. 会用三角形内角和进行角度的计算； 3. 通过具体题目练习，让学生感受三角形内角和定理的应用，培养学生学习数学的兴趣和运用知识解决实际问题的能力. 2 情境导入 与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素.本节我们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其他与三角形有关的角. 3 复习导入 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关. 你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 方法一 方法二 方法三 测量法 折叠法 拼凑法 4 复习导入 测量法 ∠1=78° ∠2=42° ∠3=60° 1 3 2 ∠1+∠2+∠3= 78°+42°+60°=180° 三角形的内角和是180度. 5 新知探究 折叠法 1 2 2 3 3 1 ∠1+∠2+∠3 平角 =180° 三角形的内角和是180度. = 6 复习导入 2 3 1 拼凑法 ∠1+∠2+∠3 平角 =180° 三角形的内角和是180度. = 7 新知探究 上面的方法获得的结论可靠吗？ 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服； 又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°. 因此，需要通过推理的方法去证明： 任意一个三角形的内角和等于 180°. 8 新知探究 下图给出了两种通过剪拼的方法得出三角形的内角和，从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？ 探究 B C A B C A B C A B C A 图1 图2 9 新知探究 B C A B C A B C A B C A 图1 图2 l l 10 新知探究 在图1中.想一想，直线l与△ABC的边BC有什么关系？你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180°”的方法吗? B C A B C A l 图1 l A B C 1 2 11 新知探究 l A B C 1 2 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：过点A作直线l，使l∥BC， ∴∠B=∠1，(两直线平行，内错角相等) 同理，∠C=∠2. ∵∠1，∠BAC，∠2组成平角， ∴∠1+∠BAC +∠2=180°(平角定义). ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换). 12 新知探究 根据图2. 你能给出这个定理的其他证法吗？ B C A B C A 图2 l E A B C 2 1 D 13 新知探究 E A B C 2 1 D 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴∠A=∠1，(两直线平行，内错角相等) 同理，∠B=∠2. ∵∠1+∠2+∠ACB=180°. ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. 14 新知探究 A B C E D F 证明：过BC上一点D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(两直线平行，同位角相等) ∵∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°. (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 你还有其他方法吗？ 15 新知探究 思考：多种方法证明三角形的内角和等于180°的核心是什么？ l A B C 1 2 E A B C 2 1 D A B C E D F 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 16 新知探究 三角形内角和定理: 三角形的内角和等于180°，即 ∠A+∠B+∠C=180° 几何语言： ∵∠A，∠B，∠C是△ABC三个内角， ∴ ∠A+∠B+∠C=180°. A B C 17 归纳小结 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 18 典例解析 例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°， ∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20°. 在△ABD中， ∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85°. A C B D 19 针对练习 如图，在△ABC中，CD为∠ACB的角平分线，DE∥BC，∠A=65°，∠B=35°，求∠EDC、 ∠BDC的度数． B A C E D 解： ∵△ABC中，∠A=65. ∠B=35°， ∴ ∠ACB=180°-65°-35°=80°. ∵ CD是∠ACB的平分线， ∴ ∠BCD=∠ACB=40°. ∵ DE ∥ BC. ∴ ∠EDC= ∠BCD=40°. ∠BDC=180°-∠B-∠BCD=105°. 20 典例解析 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB， ∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. A B C D F E 21 归纳总结 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. A B C D E 1 2 3 4 A B C D E 1 2 3 4 A B C D E 1 2 3 4 A B E D C 22 典例解析 例3 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°，从而有 3x＋x＋(x＋15)＝180. 解得 x＝33. 所以 3x＝99 ，x＋15＝48. 答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°. 三角形中求角的度数问题，一般用方程思想求解.当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180 °列方程(组)求解. 23 针对练习 如图，在△ABC中，∠A=∠B= ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数. 分析：根据已知条件用∠A表示出∠B和∠ACB， 利用三角形的内角和求出∠A， 再求出∠ACB， ∠ACD，最后根据 角平分线的定义求出∠ACE即可求得∠DCE的度数. A E D B C 24 针对练习 如图，在△ABC中，∠A=∠B= ∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分线，求∠DCE的度数. A E D B C 解：∵ ∠A=∠B= ∠ACB， 设 ∠A=x. ∴ ∠B=2x，∠ACB=3x. ∵ ∠A+∠B+∠ACB=180° ∴x+2x+3x=180°，解得x=30° 25 针对练习 A E D B C ∴ ∠A=30°，∠ACB=90°. ∵ CD是△ABC的高， ∴∠ADC=90°， ∴ ∠ACD=180°-90°-30°=60°. ∵ CE是∠ACB的平分线， ∴ ∠ACE= 90°=45°， ∴ ∠DCE=∠ACD-∠ACE=60°-45°=15°. 26 典例解析 例4 如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30° 由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180° 所以 ∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60° 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°60°-30°=90°. A B E D 北 北 50° 80° 40° C 27 针对练习 如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观测A、B两处的视角∠ACB是多少度？ 解：∵ ∠ABC+∠CBD=180° ∴ ∠ABC=180°-∠CBD=180°-45°=135° 在△ABC中， ∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-135°=15° A D B C 30° 45° 28 课程小结 三角形的内角和 内角和定理 证明方法 三角形内角和等于 180°. 做辅助线：平行线 转化思想：将三角形转化成一个平角或同旁内角互补. 应用 求角度：一般根据三角形内角和为180 °列方程(组)求解. 29 随堂演练 1.在△ABC中，∠A=80°， ∠B=52°， 则∠C=_____. 2.在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:3:5,则最大的角为_____. 3.在△ABC中， ∠A=∠B=∠C，则∠A=____. 4.在△ABC中，若∠A+∠B=∠C，则此三角形为三角形，若∠A+∠B<∠C，则此三角形是______三角形； 5.一个三角形中最多有____个锐角，最少有____个锐角，最多有____个直角，最多有 个钝角； 48° 100° 60° 钝角 3 2 1 1 30 随堂演练 6.已知等腰三角形的底角为40°，则它的顶角为_____. 7.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:2，则这个等腰三角形的顶角为___________. 8.在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=____. 90°或36° 84° 100° 31 随堂演练 9.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E.若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为( ) A.44° B.40° C.39° D.38° 解析： ∵ ∠A=54°，∠B=48°， ∴ ∠ACB=180°-54°-48°=78°. ∵ CD平分∠ACB交AB于点D， ∴ ∠DCB= × 78°=39°. ∵ DE∥BC， ∴ ∠CDE=∠DCB=39°. A B C D E C 32 随堂演练 10. 如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度？ A B C D E 东 北 33 随堂演练 解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， ∴∠ABD=60°. 又∵∠DBE=90°， ∴∠ABE=90°-∠ABD=90°-60°=30°. ∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， ∴∠ACE=90°-40°=50°. ∴∠BAC=∠ACE-∠ABE=50°-30°=20°. 即在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°. A B C D E 东 北 34 随堂演练 11. 如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数. 解： ∵ △ABC中，∠A=60°. ∴ ∠ABC+ ∠ACB=120°. ∵ BP平分∠ABC，CP平分∠ACB. ∴ ∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=60°. ∵ ∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴ ∠BPC=180°-60°=120°. A B C P 35 随堂演练 【思考】你能直接写出∠BPC与∠A之间的数量关系吗？ 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∴∠PBC+∠PCB= (∠ABC+∠ACB). ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°- (∠ABC+∠ACB) =180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A. A B C P 36 第十三章 三角形 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 13.3.1 三角形的内角（第一课时） 13.3 三角形的内角与外角 37 $