三 长方体和正方体 第5天 智闯易错迷宫&勇攀思维巅峰-【通成学典】2026年五升六数学暑期升级训练（人教版·新教材）

整合提优10天深度融通（春季学期） 三 图形与几何一长方体和正方体 第5天 智闯易错迷宫 聚焦攻坚 类型一 相对面问题 易错分析 求不规则物体的表面积 例1如图，正方体的六个面上分别写着1~6这 借助观察物体的知识，先通过画一画、数 6个数字。想一想，1和( )相对，2和( 数，求出部分面的面积，再根据物体的特点求出总 相对，4和( )相对。（不考虑数字朝向） 面积。 孔-冠 类型三通过表面积的变化求体积 点拨：观察三幅图，发现第1幅和第3幅图上 例3一个长方体的高减少6cm,就变成一个 都有数字1，数字1的相邻面上的数字是2、6、 正方体（如图），若正方体的表面积比原来长方 4、5。根据相邻的面不相对，推断出数字1相 体的表面积减少了168cm,则原来长方体的 对的面上只能是3。运用排除法一步步解答。 体积是多少立方厘米？ 解答：（在例题中填一填） 易错分析 排除法解决相对面问题 先找出出现次数较多的数字，然后找出与这 个数字相邻的数字是什么，一一排除，再判断这个 点拨：由题意可知，原来长方体的上、下面是 面相对的面上的数字。 正方形，即原来长方体的长和宽相等，前、后、 左、右4个面的面积也相等，所以表面积减少 类型二 不规则物体的表面积问题 的168cm2相当于高是6cm的长方体的前、 后、左、右4个相同面的面积之和，由此可以求 例2下图为用棱长为1厘米的正方体摆成的 出原来长方体的长和宽，进而得出原来长方体 物体。这个物体的表面积是多少平方厘米？ 的高，最后根据长方体的体积计算公式V= abh求出原来长方体的体积。 解答： 点拨：先算出一个正方形的面积，然后根据这 个物体的前后、左右和上下的面的面积分别相 同，利用（前面的面积十上面的面积十右面的 易错分析 物体截去一部分后表面积减少的问题 面积)X2来计算它的表面积。 长方体或正方体沿截面被截去一段 解答： (如图)，减少的那部分表面积等于截去 部分前、后、左、右4个面的面积之和。 采蜜角 搬来数一数。（打一数学名词） 11 宫期升极训练数学（人教版）五年级 类型四等积变换问题 类型五 长方体挖去一部分后的表面积 例4小枫放学回家，看见桌上放着两个玻璃 计算 鱼缸，爸爸在留言条上写着：“小枫，你回家后， 例5从一个棱长10厘米的正方体木块上平 把A鱼缸里的水倒一些到B鱼缸中，使两个 行于某条棱挖去一个长10厘米、宽2厘米、高 鱼缸中的水深一样。”小枫按留言条倒水后，这 2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少 两个鱼缸现在的水深是多少厘米？（玻璃的厚 平方厘米？ 度忽略不计) 点拨：本题有多种情况，如下。 (1 沿着一条棱挖，表面积比 原来正方体少了2个边长 是2厘米的正方形的面积。 50cm 20 cm 40cm 点拨：不管怎么倒水，水的体积不变。可以将 在某个面上平行于一条棱挖， 两个鱼缸并排放在一起，将有水的部分看成 表面积比原来正方体少了2 个边长是2厘米的正方形的 个长(20+40)cm、宽50cm的长方体（如图）。 面积，多了2个长是10厘米、 宽是2厘米的长方形的面积。 50cm 挖通某两个对面，表面积比 20cm 40cm 原来正方体少了2个边长是 由“长方体的体积=底面积X高”可知，“长方 2厘米的正方形的面积，多了 体的高=体积÷底面积”，从而计算出现在的 4个长是10厘米、宽是2厘米 的长方形的面积。 水深。 解答： 解答： 易错分析 易错分析 挖去小立体图形后表面积的分析 抓不变量解决问题 从一个大立体图形中挖去一个小立体图形， 解决此类问题的关键是抓住不变量，如本题 要先考虑是怎么挖的，有几种挖法。要求剩下部 中，鱼缸里的水无论怎么倒，水的体积是不变的。 分的表面积，可通过观察图形，得出剩下部分的表 根据水的体积不变，结合长方体的体积计算公式 面积与原来大立体图形的表面积相比，多了哪些 即可求出水深 面，少了哪些面 学如逆水行舟，不进则退。 [P11答案：运算] 网采蜜角 整合提优10天深度融通（春季学期）》 第5天 勇攀思维巅峰 聚焦攻坚 类型一 最省包装纸问题 类型二 物体部分浸入水中的问题 例1一种蜡笔盒，长和宽都是8厘米，高是3 例2一个长方体容器，从里面量，底面是一个 厘米。乐乐想把6个这样的蜡笔盒包装成一 边长为60厘米的正方形。该容器里直立着一 个长方体，怎样包最节省包装纸？请你算一 个高1米的长方体铁块，长方体铁块的底面是 算，最少需要多少平方厘米的包装纸？（包装 边长为15厘米的正方形，此时容器里的水深 纸的重叠部分忽略不计) 50厘米（如图①）。现在把铁块轻轻地向上提 点拨：要想最省包装纸，则尽量将较大的面重 起24厘米（如图②），露出水面的铁块上被水 叠在一起。6=1×1×6=1×2×3，三种较为 浸湿的部分长多少厘米？ 节省包装纸的包装方法如下图。 ① ② 8厘米 8厘米 8厘米 点拨：铁块部分浸入水中，当轻轻提起铁块 分别计算三种包装方法的表面积后比较即可。 时，水的体积不变，提起的那部分铁块的体 解答： 积一容器中下降的那部分水的体积，容器中下 降的那部分水的底面积=容器的底面积一铁 块的底面积。用“提起的那部分铁块的体积： (容器的底面积一铁块的底面积)”求出水面下 降的高度，再加上提起的24厘米就是露出水 面的铁块上被水浸湿的部分的长度。 解答： 方法点金 最省包装纸的打包技巧 方法点金 要想最省包装纸，优先将较大的面重叠在 求物体提出水面部分的长度 起。拆分个数得组合方式，计算各组合的表面积， 轻轻提起物体时，提起的那部分物体的体 比较后取最小值 积=容器里下降的那部分水的体积。 评价苑 第5天 用时： 分钟 自我评价：☆☆☆☆☆ 133果1瓶水：写+号+号1（瓶）1= 答：明明喝的果汁和水同样多。 2+2-1=0 1 4.510 答：获一等奖的人数占获奖总人数的 三 图形与几何一长方体和正方体 第5天智闯易错迷宫 例1356 例21×1×(7+7+6)×2=40（平方厘米） 答：这个物体的表面积是40平方厘米。 例3168÷4÷6=7(cm)7+6=13(cm) 7×7×13=637(cm3) 答：原来长方体的体积是637cm3。 例420×50×24÷「(20+40)×50]=8(cm) 答：这两个鱼缸现在的水深是8cm。 例5情况一：10×10×6-2×2×2=592（平 方厘米)情况二：10×10×6-2×2×2+ 10×2×2=632(平方厘米)情况三：10× 10×6-2×2×2+10×2×4=672(平方厘米) 答：剩下部分的表面积是592平方厘米或632 平方厘米或672平方厘米。 第5天勇攀思维巅峰 例1包法一：3×6=18（厘米）8×8×2+ 8×18×4=704(平方厘米)包法二：8×2= 16(厘米)3×3=9（厘米）(8×16+8×9+ 16×9)×2=688(平方厘米)包法三：8×3= 24(厘米)3×2=6（厘米）(8×24+8×6+ 24×6)×2=768(平方厘米)688<704<768 答：包装成长16厘米、宽8厘米、高9厘米的长 方体最节省包装纸，最少需要688平方厘米的 包装纸。 附：答案与解析 例215×15×24=5400（立方厘米）5400÷ (60×60-15×15)=1.6(厘米)1.6+24= 25.6(厘米)答：露出水面的铁块上被水浸湿 的部分长25.6厘米。 第6天冲刺满分赛场 -、1.mLm3Lcm3m2L2.812 3.484.3785.蓝绿红6.62 二、1.B2.B3.B4.C 三、1.(8×3+6×3)×2+8×6-11.4= 120.6(m2)120.6×4=482.4(元) 答：粉刷这间教室需要花费482.4元涂料费。 2.50厘米=0.5米(100一40)×30×0.5÷ (100×30)=0.3(米)0.5-0.3=0.2（米） 0.2米=20厘米 答：要从甲处推下20厘米厚的土填在乙处。 3.5×5×5-1×1×5×2+1×1×1=116(立 方厘米)5×5×6-1×1×4+1×(5-1)× 4×2=178(平方厘米)答：打孔后橡皮泥的 体积是116立方厘米，打孔后橡皮泥的表面积 是178平方厘米。解析：打孔后橡皮泥的体 积等于棱长为5厘米的正方体的体积减去2个 底面边长为1厘米的正方形、高为5厘米的长 方体的体积，再加上正方体中间被多减一次的 棱长为1厘米的小正方体的体积。打孔后橡 皮泥的表面积等于原来正方体的表面积减去4 个边长为1厘米的正方形的面积和，再加上2 个高为(5一1)厘米、长和宽都为1厘米的长方 体的侧面积。 4.长：5×2=10（厘米）宽：9厘米高：2× 5=10(厘米)10×10×2+9×10×4= 560(平方厘米) 答：至少需要560平方厘米的包装纸。