拓展01 特殊平行四边形常考综合问题（重难点讲义）数学新教材北师大版九年级上册

该初中数学讲义以特殊平行四边形为核心，通过模型化知识框架系统梳理中点四边形、十字架模型等六大几何模型，用对比表格呈现原四边形对角线与中点四边形形状的关系，结合推导依据构建知识内在联系，突出性质判定转化及与三角形、勾股定理的综合应用。 讲义亮点在于“模型-典例-变式”的分层练习设计，如十字架模型中正方形与矩形的线段关系探究，培养几何直观与推理能力。针对动点、折叠等综合题型，强调不变量分析与规范书写，基础学生可掌握推理步骤，优秀学生能突破最值问题，助力教师实施精准分层教学。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拓展01 特殊平行四边形常考综合问题 攻 重难目标 1.能够辨析菱形、矩形、正方形的性质与判定，熟练完成特殊平行四边形之间的转化推理。 2.掌握特殊平行四边形与三角形、勾股定理结合的题型，会求解线段长度、面积等相关计算。 3.能处理动点、折叠类综合题型，找准变化过程中的不变量，建立几何逻辑进行推理论证。 4.规范综合题的书写步骤，区分性质与判定的使用条件，规避概念混淆导致的推理错误。 重难知识 1.中点四边形： 模型定义：依次连接任意四边形四条边的中点，所得的新四边形称为中点四边形。 通用结论：任意四边形的中点四边形一定是平行四边形。 形状由原四边形对角线决定，与原四边形形状无直接关系： 原四边形对角线相等→中点四边形是菱形 原四边形对角线互相垂直→中点四边形是矩形 原四边形对角线垂直且相等→中点四边形是正方形 中点四边形的周长=原四边形两条对角线的长度之和；中点四边形的面积=原四边形面积的一半。 推导依据：三角形中位线定理：连接原四边形的对角线，将四边形拆分为两个三角形，每条中位线平行 且等于对应三角形第三边的一半，由此推导出边的平行与等量关系。 典型应用：判断特殊四边形的中点四边形形状：反推原四边形的对角线特征；计算中点四边形的周长与 面积。 2.十字架模型： 模型定义：在矩形或正方形内部，两条分别连接两组对边上点的线段呈“十字”交叉，称为十字架模型。 核心结论： 正方形中的十字架：若两条交叉线段互相垂直，则两条线段长度一定相等；反之，长度相等的十字架不 一定垂直。 矩形中的十字架：若两条交叉线段互相垂直，则两条线段的长度比=矩形的邻边长度比（长：宽）。 1/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 推导依据： 正方形：平移线段构造全等直角三角形(ASA/AAS),证明线段相等； 矩形：平移线段构造相似直角三角形，推导线段成比例。 典型应用：正方形/矩形内的线段长度计算；证明线段相等、垂直关系；结合动点求线段最值。 3.对角互补模型： 模型定义：四边形的一组对角之和为180°（对角互补），且存在一组邻边相等，这类结构称为对角互 补模型，常出现在正方形、菱形背景中。 核心结论： 条件：四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°（对角互补） 对角线AC平分∠BCD,即∠ACB=∠ACD=45°： 线段和差：BC+CD=√2AC: 面积定值：四边形ABCD的面积=1/2AC^2=AB2,与角的位置无关。 推导方法： 方法1：过顶点向对边作双垂线，构造全等直角三角形(AAS); 方法2：将三角形绕顶点旋转90°，构造等腰直角三角形，转化线段和差。 典型应用：正方形内动点形成的对角互补四边形；证明线段和差关系；求图形面积定值。 4.中位线（三角形中位线）： 基础定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长度的一半。 拓展性质：三条中位线将原三角形分成4个全等的小三角形：小三角形周长是原三角形的1/2，面积是 原三角形的1/4。 平行四边形章节关联应用： 推导中点四边形的形状与性质； 结合平行四边形对角线互相平分的性质，构造中位线解决线段倍分、平行证明问题； 特殊平行四边形中转化线段关系。 5.与正方形有关的三垂线模型（三垂直/尔型全等）： 模型定义：过正方形的一个顶点作一条直线，再过与该顶点相邻的两个顶点分别向这条直线作垂线，形 成三个直角，构成“三垂直”结构，是弦图模型的基础型。 2/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 核心结论： 图中形成的两个直角三角形全等： 线段关系： 直线在正方形外侧：两条垂线段的长度和=直线上被截得的线段长度： 直线穿过正方形内部：两条垂线段的长度差=直线上被截得的线段长度。 推导依据：利用同角的余角相等，证明两个直角三角形的锐角相等，结合正方形边长相等，用AAS证明 三角形全等。 典型应用：正方形背景下的线段长度计算；证明线段相等、垂直关系；坐标系中求解正方形顶点坐标。 6.正方形与45°角的基本图（半角模型）： 模型定义：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，交对边于两点。因45°是正方形内角 90°的一半，故称为“半角模型”，是正方形最核心的几何模型。 核心结论（标准型：正方形ABCD,∠EAF=45°，E在BC上，F在CD上） 线段和差：EF=BE+DF: 周长定值：△CEF的周长=2倍正方形边长，与45°角的位置无关： 角平分线：AE平分∠BEF,AF平分∠DFE; 面积关系：SA ABE+SAADF=S△AEF。 推导方法：旋转法：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，构造全等三角形，转化线段和 差。 典型应用：正方形内线段长度计算；证明线段和差、周长定值；结合动点考察面积与最值。 重难题型 题型01中点四边形 【典例】综合与实践 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形 乐乐提出问题：中点四边形的形状由原图形的什么因素决定？为了解决这个问题，他进行了如下的画图探 究过程： 3/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (1D ② ③ ④ (1)【作图与操作]如图20-①，画四边形ABCD,用刻度尺取四边中点E,F,G,H并顺次连接，得到四边 形EFGH.请你画出图②，③，④中四边形ABCD的中点四边形EFGH.(用刻度尺度量画图即可) (2)【观察与猜想]乐乐猜想中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，请填写下表： 四边形ABCD的对角 中点四边形EFGH的 线AC与BD的关系 形状 图① 既不相等，也不垂直 AC=BD,但AC与 图② BD不垂直 AC≠BD, 图③ AC⊥BD AC=BD, 图④ AC⊥BD (3)【证明与表达]根据表中对图②，图③，图④的画图和猜想，选择其中一个进行证明. 选择图 ,己知：在四边形ABCD中，E,F,G,H分别是四边的中点，对角线 求证： 四边形EFGH是」 ·(请你写出证明过程) 【变式】如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA边的中点，顺次连接 各边中点得到的新的四边形EFGH称为四边形ABCD的中点四边形. 4/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A H A A D, D E G A, B B B 图1 图2 (1)求证：四边形EFGH的形状是平行四边形. (2)如图2，在四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点，得到 四边形A1BC1D1,再顺次连接四边形ABC1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2,…如此进行下去， 得到四边形An Bn Cn Dn.则 ①四边形A2B2C2D2是_.（填特殊平行四边形） ②四边形A2023B2023C2023D2023的周长是·（用a,b代数式表示） ③若四边形An Bn Cn Dn始终是正方形，则在现有条件下，a,b还应该满足_· 题型02十字架模型 【典例】【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第(1)题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF,垂足为M.那么AE与BF相 等吗？ (1)直接判断：AEBF(填“=”或“≠”)： 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： (2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且乙⊥BF,垂足为M.那么 GE与BF相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： (3)如图3，将边长为40cm的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处.若折痕FG的长为 41cm,则CE= cm. 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G D D A G F M M B B B E E 图1 图2 图3 【变式】综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，已知AE⊥BF,求 证：AE=BF B 图1 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得∠ABF=∠DAE.再由AB=DA,∠BAF=∠D=90°，证得 △ABF≌△DAE(依据： ),从而得AE=BF」 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若己知AE=BF,同样可证得AE⊥BF,证明思路 如下： 由AB=DA,BF=AE可证得Rt△ABF≌Rt△DAE|HL,可得∠ABF=∠DAE, 再根据角的等量代换即可证得AE⊥BF 完成任务： (1)填空：上述材料中的依据是 (填“SAS”或“AAS”或“ASA”或“HL”) 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知AE⊥BF可证得AE=BF,已知AE=BF同样可证得AE⊥BF,为了验证 这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究 【迁移探究】 (2)在正方形ABCD中，点E在CD上，点M,N分别在AD,BC上，连接AE,MN交于点P.甲小组同 学根据MN⊥AE画出图形如图2所示，乙小组同学根据MN=AE画出图形如图3所示.甲小组同学发现 6/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 已知MN⊥AE仍能证明MN=AE,乙小组同学发现已知MN=AE无法证明MN⊥AE一定成立. M D D E B 图2 图3 ①在图2中，己知MN⊥AE,求证：MN=AE: ②在图3中，若∠DAE=a,则∠APM的度数为多少？ 【拓展应用】 (3)如图4，在正方形ABCD中，AB=3,点E在边AB上，点M在边AD上，且AE=AM=1,点F,N 分别在直线CD,BC上，若EF=MN,当直线EF与直线MN所夹较小角的度数为30°时，请直接写出 CF的长. A O M D P B N C N B 图4 题型03对角互补模型 【典例】已知：∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC,求证：BC+AB=V2BD. 【变式】探究问题： (1)方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E,F分别为DC,BC边上的点，且满足∠BAF=45°，连接EF,求证DE十BF 7/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =EF,感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,此时AB与AD重合， 由旋转可得：AB=AD,BG=DE,∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴.∠ABG十∠ABF=90°十90°=180°，因 此，点G,B,F在同一条直线上 D 1.3 B .∠EAF=45°.∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°. .∠1=∠2，∠1+∠3=45. 即∠GAF=∠ 又AG=AE,AF=AE .∴.△GAF≌△ =EF,故DE十BF=EF. (2)方法迁移： 如图@，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC,点E,F分别为DC,BC边上的点，且∠EAF=∠DA8.试猜 想DE,BF,EF之间有何数量关系，并证明你的猜想. 题型04与正方形有关的三垂线 【典例】如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F, DE⊥a于点E,若DE=8,BF=5,则EF的长为 8/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E A B 【变式】在菱形ABCD中，∠B=c|90°≤&<180，点E是边BC上一点，连接AE,将线段AE绕点E 顺时针旋转α得到线段EF,连接CF. M B E 图1 图2 图3 (1)如图1，a=90°，求∠DCF的度数： (2)如图2,90°<a<180°，用∠DCF的度数（含a的代数式表示）； (3)如图3，a=120°，AB=2,点M是DC边上一动点，连接MF,若MF=AB,N是CM延长线上一点， 且MN=CF,连接FN,请直接写出FN的最大值， 题型05正方形与45°角的基本图 【典例】如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别在AB,AD上，若CE=2V5,且∠ECF=45°， 则CF的长为() D B 4. 410 5V10 710 B. c.2/10 D. 3 【变式】【问题探究】 9/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图，己知正方形ABCD,点E在边AB上，点H在射线BC上，连接DE ①如图1，当点H在BC边上时，过点H作HG⊥DE交DE于点O,则线段DE GH;(填 “>”“<”或“=”) 图1 ②如图2，平移图1中的线段GH,使点G与点D重合，点H在BC的延长线上，连接EH,取EH的中点P, 连接PC,求证：BE=2PC; 图2 【问题解决】 (2)如图3，有一块边长为7k的正方形农田ABCD,为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库 E、H、G(大小忽略不计)分别在边AB、BC、AD上，DE、GH是两条水渠，水渠DE和GH相交于点 O.已知∠GOD=45°，水渠HG=√65km,求水库E到农田边AD的距离AE. G D E B H 图3 题型06利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【典例】如图，点E,F分别是矩形ABCD的边CD,AB的中点，两条平行线AK,CL分别经过菱形 EGFH的顶点H,G和边FG,EH的中点M,N,已知菱形EGFH的面积为S,则图中阴影部分的面积 和为 (用含S的代数式表示) 10125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E C N G H M B F 【变式】如图，点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，过点O作HM⊥GN,分别交正方形边于 MNG、H,则当OM、ON绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面 积是否改变？请说明理由， G D M H B C N 题型07四边形中的线段最值问题 【典例】如图，在边长为6的正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的动点，且EF=4,点M为EF的 中点，点N为边AD上的一动点，则MN+CN的最小值为： 【变式】如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,E,F分别在边AD,AB上，BF=DE,连接BE, CF,则BE+CF的最小值是一· E 题型08（特殊）平行四边形的动点问题 【典例】在平行四边形ABCD中，AB=6cm,AD=10cm,BD=8cm,动点P从点D出发，以4cm/S 的速度沿折线DC-CB-BD运动，连接AP交BD于点O,设点P的运动时间为t秒. 11/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 备用图 (1)当点P在DC边上运动时，直接写出DP、CP的长为DP=,CP=· (用含t代数式表示) (2)在(1)的条件下，当△OPD是等腰三角形时，求t的值： (3)点Q与点P同时出发，且点Q在AB边上由点A向点B运动，点Q的速度是1cm/s,当直线PQ平分平行 四边形ABCD的面积时，直接写出△AQP的面积。 【变式】已知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、 F,垂足为O 图1 备用图 (1)如图1，连接AF、CE.求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长： (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周.即点P自 A一F一B→A停止，点Q自C→D一E→C停止.在运动过程中， ①已知点P的速度为每秒5cm,点Q的速度为每秒4cm,运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的 四边形是平行四边形时，求t的值. ②若点P、Q的运动路程分别为Q、b(单位：Cm,ab≠O),已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是 平行四边形，求a与b满足的数量关系式. 练 分层训练 【巩固训练】 1.下列命题为假命题的是（) A.四边形内角和等于360° B.平行四边形对角线互相平分 C.有一组邻边相等的矩形是正方形 12125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.四个角相等的四边形是菱形 2.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，AF⊥DE,交DE于G,交BC于点F.若 AE=15,BE=5,则△AEG的面积与四边形BFGE的面积之比是() D G E B F C A者 c 后 3.在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，且AB=BE,延长CE交AD于点F,则∠AFC的度数为 () A.135o B.122.5° c.112.5° D.67.5° 4.将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点A,B,C分别是三个正方形的中心，则图中三 块重叠部分的面积的和为()· A.2 B.3 C.6 D.8 5.如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,使DE=5,若折痕为PQ, 则PQ的长为() D E C ○ B A.13 B.14 C.15 D.16 6.如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与正方形的边长相等， 13125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接BD分别交AE,AF于点M,N,下列说法： ①∠EAF=45°； ②连接MG,NG,则△MGN为直角三角形： ③△AMN一△AFE: 若BE=2,FD=3,则MN的长为号2，其中正确结论的个数是（门 G B E A.4 B.3 C.2 D.1 7.如图，有一正方形的纸片ABCD,边长为6，点E是DC边上一点且DC=3DE,把△ADE沿AE折叠使 △ADE落在△AFE的位置，延长EF交BC边于点G,连接BF有以下四个结论： ①∠GAE=45°； ②BG+DE=GE; ③点G是BC的中点： ④连接FC,则BF⊥FC: 其中正确的结论序号是() A G C A.①②③④ B.①②③ C.①② D.②③ 8.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH,还要添加 条件，才能保证四边形 EFGH是矩形. 14125 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B G 9.如图，直线l1‖l2‖l,正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在l1,l2,山3上，1,2之间的距离是2， 12,1,之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为一· A h B 2 C 10.如图，在正方形ABCD中，点P为对角线AC一点，若AB=4,AP=2,则∠BAC的度数为 ,△ABP的面积为 A D P B C 11.如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE,过点B作BG⊥AE于点H,交CD于点G. 15125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D G M F B E 图1 图2 图3 (1)求证：AE=BG: (2)如图2，连接AG、GE,点M从、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形 MNPQ的形状，并说明理由： (3)如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边恰 好经过点A,过点A作AO⊥FR于点O,若AB=1,正方形的边长为3，求线段OF的长， 12.如图，四边形ABCD中，已知AB=AD,∠BAD=60°，∠BCD=120,若四边形ABCD的面积为43 ,则AC= B 13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=7,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,EF垂直于 CA的延长线于F,连接CE,则CE的长为 B 14.如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1,3)，则点C的坐标为 16125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V B 15,【三角形中位线定理】 A A FD E D E B 图① 图② 图3 (1)如图①，在△ABC中，点D,E分别是边AB,AC的中点，直接写出DE和BC的关系： (2)如图②，在四边形ABCD中，点E,F分别是边AB,AD的中点，若BC=10,CD=8,EF=3, ∠AFE=45°，求∠ADC的度数： (3)如图3，点E、F分别是四边形ABCD的边AB、CD上的中点，AD=2√3，BC=2V2, ∠C+∠D=90°，直接写出EF的长。 16.在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C.且BD=CD, 点E,F分别在边AM和AN上. M M B& D E D F 图1 图2 (1)如图1，若∠BED=∠CFD,请说明DE=DF: (2)如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF,BE,CF具有的数量关系，并说明你的结论 成立的理由。 17.定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边 17125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”. A M G 图1 图2 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形ABCD的对角线AC,BD的关 系 【拓展应用】： 如图2，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M、N分别是AB、CD的中点. (3)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由. (4)若AC=2,求AB+CD的最小值. 18.【问题探究】 B H B D G 图1 图2 (1)如图1，在矩形ABCD中，CD=4,BC=3,点E、F分别在边AD、BC上，且DE=BF=1,点G为边 CD上的动点，连接EG、FG,求EG+GF的最小值； 【问题解决】 (2)如图2，四边形ABCD是一片矩形城区，AD=6km,CD=8km.为方便城区内的居民出行，现计划 分别在边AB、BC、CD、DA上取点H、F、G、E,连接EH、HF、FG、EG,并沿这四条线段修建 道路，围成一个四边形EGFH,已知AE=2km,请求出四边形EGFH周长的最小值.（道路的宽度忽略 不计) 18125 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.阅读与思考 下面是小聪同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务， 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，顺次 连接E,F,G,H,得到的四边形EFGH是平行四边形， 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁(Varingnon, Pierre1654-1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切. 关系1：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和。 关系2：当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形 D 图1 图2 图3 关系证明 如下： 证明：如图2，连结AC,BD ,E,H分别为边AB,AD的中点， .EHBD,EH=BD依据1， 同理可得，FG‖BD,FG=BD, ∴.EH‖FG,EH=FG, .四边形EHGF是平行四边形（依据2）. ∴.EH+FG=BD同理可得，EF+HG=AC .'EH+FG+EF+HG=BD+AC ∴.瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和。 任务： (1)填空：材料中的依据1是指： 依据2是指： (2)如图3，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点，对角线AC=BD, 请证明上面关系2中的瓦里尼翁四边形是菱形. 19125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH,要使瓦里尼翁四边形EFGH为正方形，应添加的 条件是 20.阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务. 课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等 于第三边的一半，并进行了证明验.以下是小丽整理的证明过程： 己知：如图1所示：DE是△ABC的中位线. 求证：DEBC,DE=BC. DE F EF=DE FC B 图1 证明：延长至，使 ，连接， 在△ADE与△CFE中， ,'AE=CE,∠AED=∠CEF,DE=EF, ∴.△ADE≌△CFE, ∴.∠A=∠ECF,AD=CF, .CF‖AB, .‘BD=AD, ∴CF=BD, ∴.四边形DBCF是平行四边形（依据1）， .DF=BC(依据2)，DF‖BC, ∴DE I BC,DE=号BC. 根据材料，完成下列任务： 20125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图2 图3 图4 (1)任务一：填空，依据1、依据2_. (2)任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法： 图2的辅助线作法：延长DE到F,使EF=ED,连接DC,AF得到四边形ADCF 图3的辅助线作法：过点E作GE‖AB,过点A作AF‖BC,GE与AF交于点F 请选择其中一种辅助线的作法证明DEBC,DE=BC 3)任务三：如图4，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，顺次连接E, F,G,H得到四边形EFGH,已知AC+BD=26则四边形EFGH的周长为_， 【强化训练】 1.如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF.连接CF交BD于点G,连接BE交 AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是() A.86-1 2 8.16 2 c.V5-1 D.1-V5 2.如图，在四边形ABCD中，AD=2,∠A=150°，∠D=60°，CD=3AB,点E、F、G、H分别 为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH,当四边形EFGH为菱形时， AB的长是() 21125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 】 A.V+1 B.V3 c.2V3 D.V3+2 3.已知口ABCD和口EFGH按如图方式摆放，其中边AD,BC分别与边EH,FG交于点P,Q,N, M.若EF=3FG=3,AD=2CD=8,∠B=∠FMC=∠FGH=120,则阴影部分的面积为 10 () D M A.23V3 B.21V3 c.2093 D.10V3 4.如图，在边长为2cm的菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E为BC边的中点，点P为对角线BD上一动 点，连接PC,PE,则△PEC周长的最小值为 cm A D 力 B E 5.如图，长方形纸片ABCD中，AD=7,CD=4,将长方形纸片折叠，使点B落在AD上的点E处，折 痕为AF,再沿DF折叠，使点C落在点G处，连接CG,交DF于点I.在折痕DF上有一动点P,连接PC, 过点P作PH⊥DC交DC于H.则PC+PH的最小值为 22125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.如图，在一个长方形公园ABCD中，AD=30m,AB=60m,凉亭P在BC的中点处，社区计划在公 园边缘CD设计一个宽为15m的出入口EF(点E在点F左侧)，并将AE,AP,PF改建为跑道以供居民 锻炼.为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形APFE的周长最小，则此时AE+PF长为 m. E F B 7.【问题探究】 D F B EM 图1 图2 (1)如图1，在矩形ABCD中，AB=4,AD=8,点E、F分别是AB、BC边上的动点，连接AC、EF, EF=6】 ①AC的长为 ②若点O、P分别是AC、EF的中点，连接OP,求OP的最小值； 【问题解决】 (2)如图2，正方形ABCD是某公园内的一片空地，现要在BC、CD边上分别设立出入口E、F,沿AE、 AF、BF铺设三条水泥小路，在AE与BF的交点O处修建观景台，在AF的中点P处修建一座凉亭，BC上 的点M处是游客服务中心，现要沿OP和MF分别铺设石子小路和石板小路，己知铺设石子小路的费用为 200元/m,铺设石板小路的费用为100元/m,为了节省开支，要求铺设石子小路和石板小路的总费用尽 可能小.已知AB=120m,CM=40m,BE=CF,请你求出铺设石子小路和石板小路所需总费用的最小 值.（小路的宽度和出入口、观景台、凉亭及游客服务中心的大小均忽略不计） 8.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=8,点E是边BC上一点，过点E作EF⊥AC于点P,交AD于 点F,连接AE,CF」 23125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1，当四边形AECF为菱形时，求BE长； (2)如图2， ①判断四边形AECF的面积是否为定值，若是，写出说理过程，并求出该定值；若不是，请说明理由： ②试用几何推理说明四边形AECF周长有最小值，并求出最小值. 9.探究图形中角的大小和线段长度的最值，并完成以下问题 D D E B B 图1 图2 【问题探究】 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、N分别是AB、AC、BC的中点，连接DE」 ①∠AED的度数为 ②若AC=4,BC=6,点M是DE上的动点，连接CM、MN,求CM+MN的最小值： 【问题解决】 (2)如图2，口ABCD是某工业园的平面图，AC、EF是原有的两条小路（点E、F分别在AB、AC上）， 现要在小路EF上设立一个自助售货机P,再从P分别向点C和BC上的Q点铺设两条石板小路PC和PQ. 已知点E到点C的距离等于AE:点F是AC的中点，SAAO=8400m2·AD=140m'CD=150m'当 PC与PQ两条石板小路长度之和最小时，求点B到点Q的距离BQ.(小路的宽度与售货机的大小均忽略 不计) 10.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,AD=10cm,延长BC至点E,使CE=1cm,连接DE.动点 P从点E出发，以3Cm/s的速度沿线段EB向点B运动：动点Q从点A出发，以2Cm/s的速度沿线段AD向 点D运动，点P,Q同时出发，当点P,Q中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为 t秒. 24125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求t为何值时，四边形ABPQ是矩形： (2)在整个运动过程中， (选填“存在”或“不存在”)t值，使得四边形PQDE是菱形： (3)若只改变点P的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形ABPQ是正方形时，求动点P的 速度； (4)连接DP,当△DPE为等腰三角形时，直接写出t的值. 25/25 拓展01 特殊平行四边形常考综合问题 1. 能够辨析菱形、矩形、正方形的性质与判定，熟练完成特殊平行四边形之间的转化推理。 2. 掌握特殊平行四边形与三角形、勾股定理结合的题型，会求解线段长度、面积等相关计算。 3. 能处理动点、折叠类综合题型，找准变化过程中的不变量，建立几何逻辑进行推理论证。 4. 规范综合题的书写步骤，区分性质与判定的使用条件，规避概念混淆导致的推理错误。 1. 中点四边形： 模型定义：依次连接任意四边形四条边的中点，所得的新四边形称为中点四边形。 通用结论：任意四边形的中点四边形一定是平行四边形。 形状由原四边形对角线决定，与原四边形形状无直接关系： 原四边形对角线相等 → 中点四边形是菱形 原四边形对角线互相垂直 → 中点四边形是矩形 原四边形对角线垂直且相等 → 中点四边形是正方形 中点四边形的周长 = 原四边形两条对角线的长度之和；中点四边形的面积 = 原四边形面积的一半。 推导依据：三角形中位线定理：连接原四边形的对角线，将四边形拆分为两个三角形，每条中位线平行且等于对应三角形第三边的一半，由此推导出边的平行与等量关系。 典型应用：判断特殊四边形的中点四边形形状；反推原四边形的对角线特征；计算中点四边形的周长与面积。 2. 十字架模型： 模型定义：在矩形或正方形内部，两条分别连接两组对边上点的线段呈“十字”交叉，称为十字架模型。 核心结论： 正方形中的十字架：若两条交叉线段互相垂直，则两条线段长度一定相等；反之，长度相等的十字架不一定垂直。 矩形中的十字架：若两条交叉线段互相垂直，则两条线段的长度比 = 矩形的邻边长度比（长:宽）。 推导依据： 正方形：平移线段构造全等直角三角形（ASA/AAS），证明线段相等； 矩形：平移线段构造相似直角三角形，推导线段成比例。 典型应用：正方形/矩形内的线段长度计算；证明线段相等、垂直关系；结合动点求线段最值。 3. 对角互补模型： 模型定义：四边形的一组对角之和为180°（对角互补），且存在一组邻边相等，这类结构称为对角互补模型，常出现在正方形、菱形背景中。 核心结论： 条件：四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°（对角互补） 对角线AC平分∠BCD，即∠ACB=∠ACD=45°； 线段和差：BC+CD=√2⋅AC； 面积定值：四边形ABCD的面积 =1/2 AC^2=AB^2，与角的位置无关。 推导方法： 方法1：过顶点向对边作双垂线，构造全等直角三角形（AAS）； 方法2：将三角形绕顶点旋转90°，构造等腰直角三角形，转化线段和差。 典型应用：正方形内动点形成的对角互补四边形；证明线段和差关系；求图形面积定值。 4.中位线（三角形中位线）： 基础定义：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 核心定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长度的一半。 拓展性质：三条中位线将原三角形分成4个全等的小三角形；小三角形周长是原三角形的1/2，面积是原三角形的1/4。 平行四边形章节关联应用： 推导中点四边形的形状与性质； 结合平行四边形对角线互相平分的性质，构造中位线解决线段倍分、平行证明问题； 特殊平行四边形中转化线段关系。 5. 与正方形有关的三垂线模型（三垂直/K型全等）： 模型定义：过正方形的一个顶点作一条直线，再过与该顶点相邻的两个顶点分别向这条直线作垂线，形成三个直角，构成“三垂直”结构，是弦图模型的基础型。 核心结论： 图中形成的两个直角三角形全等； 线段关系： 直线在正方形外侧：两条垂线段的长度和 = 直线上被截得的线段长度； 直线穿过正方形内部：两条垂线段的长度差 = 直线上被截得的线段长度。 推导依据：利用同角的余角相等，证明两个直角三角形的锐角相等，结合正方形边长相等，用AAS证明三角形全等。 典型应用：正方形背景下的线段长度计算；证明线段相等、垂直关系；坐标系中求解正方形顶点坐标。 6. 正方形与45°角的基本图（半角模型）： 模型定义：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，交对边于两点。因45°是正方形内角90°的一半，故称为“半角模型”，是正方形最核心的几何模型。 核心结论（标准型：正方形ABCD，∠EAF=45°，E在BC上，F在CD上） 线段和差：； 周长定值：△CEF的周长 = 2倍正方形边长，与45°角的位置无关； 角平分线：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE； 面积关系：。 推导方法：旋转法：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合，构造全等三角形，转化线段和差。 典型应用：正方形内线段长度计算；证明线段和差、周长定值；结合动点考察面积与最值。 题型01中点四边形 【典例】综合与实践 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形叫做中点四边形． 乐乐提出问题：中点四边形的形状由原图形的什么因素决定?为了解决这个问题，他进行了如下的画图探究过程： (1)【作图与操作]如图20-①，画四边形，用刻度尺取四边中点E，F，G，H并顺次连接，得到四边形．请你画出图②，③，④中四边形的中点四边形．（用刻度尺度量画图即可） (2)【观察与猜想]乐乐猜想中点四边形的形状由原四边形对角线的数量关系和位置关系决定，请填写下表： 四边形的对角线与的关系 中点四边形的形状 图① 既不相等，也不垂直 图② ，但与不垂直 图③ ， 图④ ， (3)【证明与表达]根据表中对图②，图③，图④的画图和猜想，选择其中一个进行证明． 选择图________，已知：在四边形中，E，F，G，H分别是四边的中点，对角线________，求证：四边形是________．（请你写出证明过程） 【答案】(1) (2)平行四边形；菱形；矩形；正方形 (3)②；，但与不垂直；菱形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， 同理，由分别是的中点， 可得，， ，但与不垂直， ， 四边形是菱形． ③；，；矩形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 同理，由分别是的中点， 可得，， ，即， 四边形是矩形． ④；，；正方形 证明：分别是的中点， 是的中位线， ， 分别是的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 同理，由分别是的中点， 可得，，， ，即， ， ， 四边形是正方形． 【分析】（1）由刻度尺量出中点，依次连接即可； （2）由平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质求解即可； （3）选②，由中位线得且，四边形为平行四边形，又，且，故，一组邻边相等的平行四边形是菱形． 选③，同理得四边形为平行四边形，由且得，又，故，即，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 选④，同理得四边形为平行四边形，由得，故为矩形；又，得，邻边相等，邻边相等的矩形是正方形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式】如图，在四边形ABCD中，点，，，分别为，，，边的中点，顺次连接各边中点得到的新的四边形称为四边形的中点四边形． (1)求证：四边形的形状是平行四边形． (2)如图，在四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，…如此进行下去，得到四边形．则 ①四边形是 ．（填特殊平行四边形） ②四边形的周长是 ．（用，代数式表示） ③若四边形始终是正方形，则在现有条件下，，还应该满足 ． 【答案】(1) 证明：如图， ∵点，，，分别为，，，边的中点， ∴和是和的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形； (2)①菱形； ②；③ 【分析】（1）利用三角形的中位线定理即可论证； （2）①利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形； ②找到下角标为奇数的中点四边形周长的变化规律即可得出结论； ③利用正方形的判定方法即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：①如图，连接，， ∵，，，为四边形各边中点， ∴由（1）得四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为矩形， ∴， ∵，，，为四边形各边中点， ∴四边形为平行四边形，，， ∴， ∴为菱形， 故答案为：菱形； ②∵，， ∴四边形的周长， ∵，， ∴四边形的周长 ， 按规律，四边形为矩形，经计算其周长， 四边形为矩形，经计算其周长， ...． ∴四边形为矩形，其周长为：． 故答案为：； ③已证四边形为矩形， 则当时，矩形为正方形， ∵，， ∴当，即时，满足题意， 故答案为：． 题型02十字架模型 【典例】【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 【变式】综合与实践 数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：．   甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得． 完成任务： （1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”） 【发现问题】 同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究． 【迁移探究】 （2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立． ①在图2中，已知，求证：； ②在图3中，若，则的度数为多少? 【拓展应用】 （3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①证明：作于点H，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②； （3）的长为或或或． 【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明； （2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立； ②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解； （3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质和勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）①略 ②作于点L，    同理可证四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形，    同理可证， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． ②当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴． ③当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴； ④当N、F在的延长线上时，如图， 同理可得：，， ∴； 综上，的长为或或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 题型03对角互补模型 【典例】已知：，求证：． 【答案】见解析 【分析】过点D作的垂线交的延长线于点E，过点D作的垂线交于点F，根据证明得，再证明四边形是正方形，由勾股定理进一步得出结论． 【详解】证明：过点D作的垂线交的延长线于点E，过点D作的垂线交于点F，如图． 易知． ∵， ∴． 又， ∴． ∵， ∴． 又， ∴， ∴ 又，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，由勾股定理得出是解答本题的关键． 【变式】探究问题： (1)方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴  ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上． ∵  ∠EAF＝45°∴  ∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°． ∵  ∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°． 即∠GAF＝∠________． 又AG＝AE，AF＝AE ∴  △GAF≌△________． ∴  _________＝EF，故DE＋BF＝EF． (2)方法迁移： 如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF. 【分析】（1）利用角之间的等量代换得出∠GAF=∠FAE，再利用SAS得出△GAF≌△EAF，得出答案； （2）将△ADE顺时针旋转90°得到△ABG，再证明△AGF≌△AEF，即可得出答案； 【详解】解：（1）如图①所示； 根据等量代换得出∠GAF=∠FAE， 利用SAS得出△GAF≌△EAF， ∴GF=EF， 故答案为FAE；△EAF；GF； (2)DE＋BF＝EF，理由如下： 假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：     AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，     ∴  ∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，     因此，点G，B，F在同一条直线上．     ∵  ，     ∴  ． ∵  ∠1＝∠2， ∴ ∠1＋∠3＝．    即∠GAF＝∠EAF． ∵在△AGF和△AEF中， ， ∴  △GAF≌△EAF（SAS）．    ∴  GF＝EF． 又∵ GF＝BG＋BF＝DE＋BF， ∴  DE＋BF＝EF． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得△GAF≌△EAF是解题的关键． 题型04与正方形有关的三垂线 【典例】如图所示，直线a经过正方形的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作于点F，于点E，若，，则的长为___________．    【答案】13 【分析】首先证明，再利用证明，进而得到，然后再根据线段的和差关系可得答案． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵于点F，于点E， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式】在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的形状，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 题型05正方形与45°角的基本图 【典例】如图，正方形的边长为，点分别在上，若，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将绕点顺时针旋转得到，则，，利用可证≌．由勾股定理计算得，设，则，，，，在中由勾股定理列方程可求得的值，再利用勾股定理计算． 【详解】解：如图 ∵正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， ∴将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 即三点共线， ∵， ∴， 又， ∴≌， 设， ∴，， ， 由可得 ， 解得，即， 在中 ． 【点睛】本题考查三角形全等的性质和判定、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、方程思想，能考虑如何作辅助线构造全等三角形，利用方程解决问题是关键． 【变式】【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【答案】（1）①＝；②见解析；（2）水库到农田边的距离为． 【分析】（1）过点C作，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得，从而可证； （2）由平移得，，证出，根据证明，得，在上截取，连接，即是等腰直角三角形，，得，得出是的中位线，由三角形中位线性质可得结论； （2）过点作交于点，得出四边形是平行四边形，，由勾股定理求出，，连接，在上方作，交的延长线于点，证明得，，再证明，得，设，则，由勾股定理列方程可求解． 【详解】解：（1）①过点C作，交于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； ②证明：由平移得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 如图，在上截取，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， ，， ， ∴点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ， ，即． （2）解：如图，过点作交于点， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴， ，    连接，在上方作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 水库到农田边的距离为． 【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 题型06利用（特殊）平行四边形的对称性求阴影面积 【典例】如图，点，分别是矩形的边，的中点，两条平行线，分别经过菱形的顶点，和边，的中点，，已知菱形的面积为，则图中阴影部分的面积和为___________．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】连接、交于点，设交于点，交于点，连接，由、分别是、的中点，得，，得出四边形是平行四边形，再利用四边形是菱形，可得，，，利用证明，再利用证明，从而得出，根据菱形的面积为，进而得出，运用平行四边形面积可得，，最后根据即可求得答案． 【详解】解：如图，连接、交于点，设交于点，交于点，连接， 四边形是矩形， ，，， 、分别是、的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， 点是的中点， ， 在和中，， ， ， ， ，，， 点是矩形的中心，即、、三点在同一条直线上， ， ， ， 在和中，， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 同理，四边形是平行四边形， ， ， 同理可得，， ， 菱形的面积为， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，菱形性质，全等三角形判定和性质，平行四边形面积等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质及全等三角形判定和性质等相关知识是解题关键． 【变式】如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由． 【答案】图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析 【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变． 【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变． 理由：如图，连接， ∵点O是边长为2的正方形的对称中心， ∴过点O， ∴， 在和中， ∴，， 同理可证， ∴， ∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接， ∵点O是正方形的对称中心， ∴，，． ∵垂直， ∴， ∴，即， ∴， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积的面积正方形的面积． 同理四边形的面积正方形的面积． ∴两部分的面积不改变． 【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键． 题型07四边形中的线段最值问题 【典例】如图，在边长为的正方形中，、分别为边、的动点，且，点为的中点，点为边上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，证得，当，，三点共线时，的值最小，证得点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上，圆外一点到圆上一点距离的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ， 当，，三点共线时，的值最小， ∵，点为的中点，， ， ∴点的轨迹在以为圆心，为半径的圆弧上， ∴圆外一点到圆上一点距离的最小值为， ， ， ， 的最小值是． 【变式】如图，在矩形中，，，E，F分别在边，上，，连接，，则的最小值是_____． 【答案】 【分析】延长，在上截取，连接，先证明得到，从而推出当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，延长，在上截取，连接， ∵四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ∴当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，， ∴的最小值是． 题型08（特殊）平行四边形的动点问题 【典例】在平行四边形中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，直接写出的长为_____，_____．（用含t代数式表示） (2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值； (3)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分平行四边形的面积时，直接写出的面积． 【答案】(1)， (2)秒 (3)或10或24． 【分析】（1）先证明，再利用路程等于速度乘以时间可得，再利用线段的和差可得； （2）证明是直角三角形，且，，可得当是等腰三角形时，，再证明，可得，据此建立方程求解即可； （3）如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心．当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积，证明，平行四边形可得，即，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时，而，解方程即可求得t，然后再求的面积即可；Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积，此时；然后再求的面积即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，， ∴， ∵点在边上运动， ∴，． （2）解：∵，，， ， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， 当是等腰三角形时，， ， 又∵， ， ， ， ， 又∵， ，解得：． ∴在（1）的条件下，当是等腰三角形时，t的值是秒． （3）解：如图，连接交于G，则点G为平行四边形的对称中心． 当点P在上，且过点G时，直线平分平行四边形的面积， ∵， ，，而， ， ，即，解得：； ∴； 如图：过P作交延长线于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的面积为； 当点P运动到点G时，如图直线平分平行四边形的面积，此时， ， ，则， ∴； ∴的面积为； 如图：Q与B重合，P与D重合时，此时直线平分平行四边形的面积， 此时，的面积等于的面积，即：． 综上，的面积为或10或24． 【变式】已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为． (1)如图1，连接、．求证四边形为菱形，并求的长； (2)如图2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中， ①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值． ②若点、的运动路程分别为、（单位：，），已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式． 【答案】(1)证明见解析； (2)①秒；②与满足的数量关系式是 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得的长； （2）①分情况讨论可知，当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出方程求解即可． ②由题意得，以A、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上，分三种情况，根据平行四边形对边相等建立等式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴，＝， ∵垂直平分，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形． 设菱形的边长，则， 在中，， 由勾股定理得， 解得， ∴． （2）①显然当P点在上时，Q点在上， 此时A、 C、P、Q四点不可能构成平行四边形； 同理P点在上时，Q点在或上或P在上， Q在时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形． 因此只有当P点在上、Q点在上时，才能构成平行四边形， ∴以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵点P的速度为每秒5 cm，点Q的速度为每秒4 cm，运动时间为t秒， ∴，＝，即＝， ， 解得， 以A、 C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒． ②由题意得，四边形是平行四边形时，点、在互相平行的对应边上． 分三种情况： i）如图1，当点在上、点在上时，，即，得； ii）如图2，当点在上、点在上时，，即，得； iii）如图3，当点在上、点在上时，，即，得． 综上所述，与满足的数量关系式是． 【巩固训练】 1．下列命题为假命题的是（     ） A．四边形内角和等于 B．平行四边形对角线互相平分 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．四个角相等的四边形是菱形 【答案】D 【详解】选项A，任意四边形的内角和均为，该命题为真命题，不符合题意； 选项B，平行四边形的对角线互相平分是平行四边形的基本性质，该命题为真命题，不符合题意； 选项C，矩形的四个角均为直角，若矩形有一组邻边相等，则满足正方形的判定条件，该命题为真命题，不符合题意； 选项D，四边形内角和为，若四个角相等，则每个角的度数为，四个角均为直角的四边形是矩形，不一定是菱形，该命题为假命题，符合题意。 2．如图，在正方形中，点E在边上,，交于G，交于点F．若，则的面积与四边形的面积之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可以证明，然后即可得到，再根据勾股定理可以得到的长，然后根据相似三角形的判定和性质可以得到和的面积之比，然后即可得到的面积与四边形的面积之比． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积与四边形的面积之比是：， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．在正方形中，点E在对角线上，且，延长交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，易得为等腰三角形，等边对等角，求出的度数，对顶角得到的度数，再利用三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 4．将4个边长都是2的正方形按如图所示的样子摆放，点，，分别是三个正方形的中心，则图中三块重叠部分的面积的和为（    ）. A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】如图：连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点，易证≌，可得的面积是正方形的面积的，即每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，即可解答. 【详解】解：如图， 连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点， 则，， ， ， ≌， 四边形AENF的面积等于的面积， 而的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， 四边形AENF的面积为，三块阴影面积的和为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了正方形的特性及面积公式，由图形的特点可知，每个阴影部分的面积都等于正方形面积的，据此解题解答本题的关键是发现每个阴影部分的面积都等于正方形面积的． 5．如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】过点P作PM⊥BC于点M，由折叠得到PQ⊥AE，从而得到∠AED=∠APQ，可得△PQM≌△ADE，从而得到PQ=AE，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：过点P作PM⊥BC于点M， 由折叠得到PQ⊥AE， ∴∠DAE+∠APQ=90°， 在正方形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，CD⊥BC， ∴∠DAE+∠AED=90°， ∴∠AED=∠APQ， ∴∠APQ=∠PQM， ∴∠PQM=∠APQ=∠AED， ∵PM⊥BC， ∴PM=AD， ∵∠D=∠PMQ=90°， ∴△PQM≌△ADE， ∴PQ=AE， 在 中，，AD=12， 由勾股定理得： ， ∴PQ=13． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到△PQM≌△ADE是解题的关键． 6．如图，在正方形中，的顶点，分别在，边上，高与正方形的边长相等，连接分别交，于点，，下列说法： ①； ②连接，，则为直角三角形； ③； ④若，，则的长为．其中正确结论的个数是(    ) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据正方形的性质及定理求得，，从而求得，，然后求得，从而得到，由此判断①； 将绕点顺时针旋转至位置，连接，，，由旋转的性质根据结合定理求得，得到，结合正方形和旋转的性质求得，从而可得，然后根据定理求得，，从而得到，，从而求得，由此判断②； 由垂直可得 ，然后结合①中已证，可得，由此得到 ，然后根据定理求得三角形形式，由此判断③； 旋转到，由旋转性质和定理可得得，，设，在中，根据勾股定理列方程求，从而求得正方形的边长，设，结合②中的结论列方程求的值，从而判断④． 【详解】解：如图中， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证， ， ， ， ，故①正确； 如图②，将绕点顺时针旋转至位置，连接，， 由旋转知：，， 四边形是正方形， ， ， ， ， ，又， ， ， 四边形是正方形， ． 由旋转知：，， ， ， ． 又，， ， ， 同理可证： ， 即为直角三角形，故②正确； ， ， 又， 由①可知：， ， ， 又 ， ，故③正确； 如图中， 旋转到，， ，， 同理②中可证：， ，设， ，， 四边形是正方形， ， ， 在中，根据勾股定理得， 或舍， ， ， 正方形的边长为； 由正方形的边长为， ， 由①可知， ，， 由②得， 设， ， ， ， ， 解得 ， ，故④正确 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 7．如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把ADE沿AE折叠使ADE落在AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论： ①∠GAE＝45°； ②BG+DE＝GE； ③点G是BC的中点； ④连接FC，则BF⊥FC； 其中正确的结论序号是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】先计算出DE＝2，EC＝4，再根据折叠的性质AF＝AD＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB＝GF，∠BAG＝∠FAG，所以∠GAE＝∠BAD＝45°；GE＝GF+EF＝BG+DE；设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3，则BG＝CG＝3，则点G为BC的中点；同时得到GF＝GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC＝∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB＝∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF＝∠GFC+∠GCF，易得∠AGB＝∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG，再证出AG⊥BF，即可得出BF∥FC． 【详解】解：连接AG，AG和BF交于H，如图所示： ∵正方形ABCD的边长为6，DC＝3DE， ∴DE＝2，EC＝4， ∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置， ∴AF＝AD＝AB＝6，EF＝ED＝2，∠AFE＝∠D＝90°，∠FAE＝∠DAE， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴GB＝GF，∠BAG＝∠FAG， ∴∠GAE＝∠FAE+∠FAG＝∠BAD＝45°，①正确； ∴GE＝GF+EF＝BG+DE，②正确； 设BG＝x，则GF＝x，CG＝BC﹣BG＝6﹣x， 在Rt△CGE中，GE＝x+2，EC＝4，CG＝6﹣x， ∵CG2+CE2＝GE2， ∴（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3， ∴BG＝3，CG＝6﹣3＝3， ∴BG＝CG，即点G为BC的中点，③正确； ∴GF＝GC， ∴∠GFC＝∠GCF， 又∵Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴∠AGB＝∠AGF， 而∠BGF＝∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB+∠AGF＝∠GFC+∠GCF， ∴∠AGB＝∠GCF， ∴FC∥AG， ∵AB＝AF，BG＝FG， ∴AG⊥BF， ∴BF⊥FC，④正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、正方形的性质、平行线的判定等知识；熟练掌握折叠的性质和全等三角形的判定是解题的关键． 8．如图，连接四边形各边中点，得到四边形，还要添加________条件，才能保证四边形是矩形． 【答案】 【分析】根据三角形的中位线平行于第三边可得，，，，进而可证四边形是平行四边形，然后由矩形的四个角都是直角可知，结合平行线的性质求出，可知此时． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是、、、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 若四边形是矩形， 则有， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴还要添加的条件，才能保证四边形是矩形， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理，平行四边形的判定和矩形的性质，熟练掌握矩形的四个角都是直角是解题的关键． 9．如图，直线，正方形ABCD的三个顶点A、B、C分别在上，之间的距离是2，之间的距离是4，则正方形ABCD的面积为_____． 【答案】20 【分析】过点A作于点E，过点C作于点F，先证得△ABE≌△BCF，可得AE=BF=2，CF=4，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点C作于点F， ∴∠CBF+∠BCF=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠ABE+∠CBF=90°，AB=BC， ∴∠ABE=BCF， ∵∠AEB=∠CFB=90°， ∴△ABE≌△BCF， ∴AE=BF，BE=CF， ∵之间的距离是2，之间的距离是4， ∴AE=BF=2，CF=4， ∴． 故答案为：20 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及正方形面积的求解方法，证明△ABE≌△BCF是解题的关键． 10．如图，在正方形中，点为对角线一点，若，则的度数为_____________，的面积为_____________． 【答案】 /45度 【分析】利用正方形的性质求得，作PE⊥AB于E，在中利用勾股定理可求得PE的长，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】过点P作PE⊥AB于E，如图： ∵四边形ABCD为正方形， ∴， 在中，， ∴AE=PE， ∴，即， ∴PE=1， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理的应用等知识；熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 11．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G． (1)求证：； (2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图3，点F、R分别在正方形的边上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，若，正方形的边长为3，求线段的长． 【答案】(1) 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． (2) 四边形为正方形， 理由如下：，N为的中点， 为的中位线， ，， 同理可得，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为菱形， ，， ， ， ， 四边形为正方形． (3) 【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论； （2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论； （3）延长交于S，由勾股定理求出的长，设，则，由勾股定理可得出，解得，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长交于点S， 由对称性可知，，，， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题． 12．如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝_____． 【答案】4． 【分析】将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．证明△AEC是等边三角形，四边形ABCD面积等于△AEC面积，根据等边△AEC面积特征可求解AC长． 【详解】解：将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE． ∵四边形内角和360°， ∴∠D+∠ABC＝180°． ∴∠ABE+∠ABC＝180°， ∴E、B、C三点共线． 根据旋转性质可知∠EAC＝60度，AE＝AC， ∴△AEC是等边三角形． 四边形ABCD面积等于△AEC面积， 等边△AEC面积 ， 解得AC＝4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质，解题的关键是根据AB=AD及∠BAD=60°，对△ACD进行旋转，把四边形转化为等边三角形求解． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，EF垂直于CA的延长线于F，连接CE，则CE的长为 _____． 【答案】17 【分析】利用正方形的性质得∠BAE＝90°，AE＝AB，利用同角的余角相等得∠AEF＝∠BAC，再∠F＝∠ACB=90°，利用AAS得到△AEF≌△BAC，利用全等三角形的对应边相等得到EF＝AC＝8，AF＝BC＝7，得FA+AC=FC=15，在Rt△CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长． 【详解】解： ∵四边形ABDE为正方形， ∴∠BAE＝90°，AE＝AB， ∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°， ∴∠AEF＝∠BAC， 在△AEF和△BAC中， ， ∴△AEF≌△BAC（AAS）， ∴EF＝AC＝8，AF＝BC＝7， 在Rt△ECF中，EF＝8，FC＝FA+AC＝8+7＝15， 根据勾股定理得：CE＝＝17． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理求边长以及余角的性质，熟练掌握以上知识是解决问题的关键. 14．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为(1，)，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E，先证明△COE≌△OAF，推出CE＝OF，OE＝AF，由此即可解决问题． 【详解】解：如图作AF⊥x轴于F，CE⊥x轴于E． ∵四边形ABCO是正方形， ∴OA＝OC，∠AOC＝90°， ∵∠COE+∠AOF＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°， ∴∠COE＝∠OAF， 在△COE和△OAF中， ， ∴△COE≌△OAF， ∴CE＝OF，OE＝AF， ∵A（1，）， ∴CE＝OF＝1，OE＝AF＝， ∴点C坐标， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 15．【三角形中位线定理】 (1)如图①，在中，点，分别是边，的中点，直接写出和的关系； (2)如图②，在四边形中，点，分别是边，的中点，若，，，，求的度数； (3)如图3，点、分别是四边形的边、上的中点，，，，直接写出的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形中位线定理得到，再根据勾股定理的逆定理得到，最后计算即可． （3）连接，取的中点，连接，根据三角形中位线定理得到，和，，再利用平行线的性质得到，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）点，分别是边，的中点， 是的中位线， ，． （2）如图，连接， 点，分别是边，的中点，，，，， 是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）如图，连接，取的中点，连接， 点、分别是、上的中点，， 是的中位线， ，， ， 点、分别是、上的中点，， 是的中位线， ，， ， ， ， 在中，． 16．在内有一点D，过点D分别作，垂足分别为B，C．且，点E，F分别在边和上． (1)如图1，若，请说明； (2)如图2，若，猜想具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用、、证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据题目中的条件和可证，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）如图：过点D作交于点G，从而可以得到，然后即可得到，再证明，即可得到，即可确定具有的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴． （2）解：，理由如下： 如图：过点D作交于点G， 在和中，, ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴， ∴． 17．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”． 【概念理解】： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________． A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 【性质探究】： (2)如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，直接写出四边形的对角线，的关系； 【拓展应用】： 如图2，已知四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点． (3)试探索与的数量关系，并说明理由． (4)若，求的最小值． 【答案】(1)D (2)， (3)，理由如下： 如图，记、的中点分别为、， 四边形是“中方四边形”，、分别是、的中点， 四边形是正方形， ，， ， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， ； (4)的最小值为 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （2）根据正方形的性质和三角形中位线定理求解即可； （3）根据“中方四边形”的定义，得到，再结合三角形中位线定理求解即可； （4）连接交于，连接、，当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长，由性质探究（2）知：，再结合直角三角形的斜边中线，得出，则的最小值，再结合（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：中点四边形是个正方形， 中点四边形四条边相等，且四个角是直角， 四边形各边中点连线得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”， 由三角形中位线定理可得，原四边形的对角线互相垂直且相等， 只有正方形满足条件； （2）解：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ， 点、、、分别是、、、的中点， 、、、分别是、、、的中位线， ，，，， ，； （3）略 （4）解：如图，连接交于，连接、， 当点在上（即、、共线）时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由性质探究（2）知：， 又、分别是、的中点， ，， ， 的最小值， 由拓展应用（3）知：； 又， ， 的最小值为． 18．【问题探究】 (1)如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，且，点为边上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图，四边形是一片矩形城区，，．为方便城区内的居民出行，现计划分别在边、、、上取点、、、，连接、、、，并沿这四条线段修建道路，围成一个四边形，已知，请求出四边形周长的最小值．（道路的宽度忽略不计） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接，由对称性质可得，，，，，则当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．过点作于点，则，在中，由勾股定理求解即可； （2）分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，由（1）可知，，；作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点，由对称性质可得当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长．在中，由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，作点关于直线的对称点，连接、、，交于点，连接， 由对称性质可得，，，，， ， 当点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形为矩形， ， 点在的延长线上， 过点作于点，则， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 的最小值为； （2）解：四边形的周长， 当取得最小值，同时取得最小值时，四边形的周长取得最小值． 如图，分别作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点，连接、、、、、，则，，，，，， 由（1）可知，，； 作点关于直线的对称点，连接，交的延长线于点，连接、，设交于点，交于点，连接，交于点， 由对称可得，，， ， ， 当点与重合、点与点重合、点与点重合时，取得最小值，最小值为的长． 四边形是矩形， ， 点、都在直线上，且． ， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理，得， 四边形周长的最小值为． 19．阅读与思考 下面是小聪同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，得到的四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁(，)是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切． 关系：瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 关系：当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．   关系证明如下： 证明：如图，连结， ，分别为边，的中点， ，(依据)， 同理可得，，， ，， ∴四边形是平行四边形(依据)． 同理可得， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长等于原四边形对角线的和． 任务： (1)填空：材料中的依据是指：_______________．依据是指：_______________． (2)如图，在四边形中，点，，，分别是边，，，的中点，对角线，请证明上面关系中的瓦里尼翁四边形是菱形． (3)顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是_________． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 (2)证明：∵E，H分别为AB，AD的中点， ∴，， 同理可得，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形是菱形． (3)且． 【分析】（1）根据上下文判断依据即可； （2）利用中位线的性质定义判定四边形是平行四边形，继而通过证明邻边相等证明瓦里尼翁四边形是菱形； （3）结合（2）可知只需在的条件下，增加一个条件，使得瓦里尼翁四边形是矩形即可，根据中位线定理可知增加的条件可以是． 【详解】（1）材料中的依据是指：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．依据是指：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． （2）略 （3）且，理由如下： 由（2）可知：当时，瓦里尼翁四边形是菱形， 同理可得：，， 又∵， ∴， ∴瓦里尼翁四边形为正方形， 即要使瓦里尼翁四边形为正方形，应添加的条件是且． 20．阅读下面的“数学活动报告”，并完成相应的学习任务． 课堂上学习完三角形的中位线后，小丽总结可以通过旋转、剪拼发现三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，并进行了证明验．以下是小丽整理的证明过程： 已知：如图1所示：是的中位线． 求证：，．   证明：延长至，使，连接， 在与中， ，，， ， ，， ， ， ， ∴四边形是平行四边形（依据1）， （依据2），， ，． 根据材料，完成下列任务：    (1)任务一：填空，依据1 、依据2 ． (2)任务二：除上述证法外，小丽在整理的过程中发现了另外两种证法： 图2的辅助线作法：延长到，使，连接，得到四边形 图3的辅助线作法：过点作，过点作，与交于点 请选择其中一种辅助线的作法证明， (3)任务三：如图4，在四边形中，，，，分别为，，，的中点，顺次连接，，，得到四边形，已知则四边形的周长为 ． 【答案】(1)一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边相等 (2)选择图2：延长到，使，连接，， 根据题意得：点E为的中点，点D为的中点， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，； 选择图3：过点作，过点作，与交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 根据题意得：点E为的中点，点D为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴，； (3)26 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质解答即可； （2）选择图2：延长到，使，连接，可得得到四边形，再证明四边形为平行四边形，可得，即可解答；选择图3：过点作，过点作，与交于点，可得四边形为平行四边形，再证明，可得，，证明四边形为平行四边形，可得，即可； （3）根据题意可得，从而得到四边形的周长为，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∴四边形的周长为， ∵， ∴四边形的周长为26． 【强化训练】 1．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 2．如图，在四边形中，，，，，点、、、分别为、、、边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形，当四边形为菱形时，的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合点、、分别为、、边的中点，得再根据菱形的性质得，故，又因为，得出，，，再根据，同理得，故，最后解得的长，即可作答． 【详解】解：连接，过点作过点作的延长线，如图所示： ∵点、、分别为、、边的中点， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵过点作的延长线， 在中，， 则， 在中，， ∵， ∴， ∴， 则 解得或（舍去）． 3．已知和按如图方式摆放，其中边，分别与边，交于点，，，．若，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以线段，，，所在直线构建一个新的四边形，作于点O，作于点R，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，，根据，求出结果即可． 【详解】解：如图，以线段，，，所在直线构建一个新的四边形，作于点O，作于点R， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵和中，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 根据题意可得：，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理：，，，， ∴ ． 4．如图，在边长为的菱形中，，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接，，则周长的最小值为________． 【答案】/ 【分析】的周长，其中长度固定，求周长最小值转化为求的最小值．根据菱形性质，点关于的对称点是，连接，则的长即为的最小值． 【详解】解：∵四边形是菱形，点与点关于直线对称， ∴，， 当、、三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 连接，交于点P， ∵菱形边长为， ， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∴周长的最小值． 5．如图，长方形纸片中，，，将长方形纸片折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，再沿折叠，使点C落在点G处，连接，交于点I．在折痕上有一动点P，连接，过点P作交于H．则的最小值为__________． 【答案】 【详解】将长方形纸片折叠，使点落在上的点处， ，， ， ， ， 沿折叠，使点落在点处， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， 如图，连接，， ， ， 垂直平分， ， ， 当点，点，点三点共线，且时，有最小值为， 此时． 6．如图，在一个长方形公园中，，，凉亭在的中点处，社区计划在公园边缘设计一个宽为的出入口（点在点左侧），并将，，改建为跑道以供居民锻炼．为避免跑道影响公园的整体设计，要使四边形的周长最小，则此时长为________m． 【答案】 【分析】由题意易得，，，，则得，要使四边形的周长最小，则需满足的值最小，在边上取一点，使得，作点关于的对称点，连接，然后根据轴对称的性质可进行求解． 【详解】解：在长方形中，，，， ∵凉亭在的中点处， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 要使四边形的周长最小，则需满足的值最小， 在边上取一点，使得，作点关于的对称点，连接，如图所示： 由轴对称的性质可知：， 在长方形中，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当且仅当点、、三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 过点作于点，如上图， ∴，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴当四边形的周长最小，． 7．【问题探究】 (1)如图1，在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，连接、，． ①的长为__________； ②若点、分别是、的中点，连接，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图2，正方形是某公园内的一片空地，现要在、边上分别设立出入口、，沿、、铺设三条水泥小路，在与的交点处修建观景台，在的中点处修建一座凉亭，上的点处是游客服务中心，现要沿和分别铺设石子小路和石板小路，已知铺设石子小路的费用为200元，铺设石板小路的费用为100元，为了节省开支，要求铺设石子小路和石板小路的总费用尽可能小．已知，，，请你求出铺设石子小路和石板小路所需总费用的最小值．（小路的宽度和出入口、观景台、凉亭及游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】(1)①   ② (2)20000 【分析】(1)①由矩形的性质得，，，再由勾股定理，可得的长； ②连接，由题意证得，，再由三角形的三边关系，得，即，进而可得当且仅当点共线时，取得最小值，即为； (2)首先，证得， 得， 再证得是直角三角形， 由P是的中点，得，进而设，则， 然后，运用勾股定理分别用含有x的式子表示的长度，接着， 设总费用为w，得到，进而得到，再如答图2，构造直角三角形，当共线时线段最短， 最小值，  最后，可求得w的最小值． 【详解】（1）①解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴； ②解：如答图1，连接， 由①知，，又知点、分别是、的中点，， ∴，， 在中，由三角形的三边关系，得，即， 当且仅当点共线时，取得最小值，即为； （2）解：由题意可知，四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，即 ， ∴是直角三角形， ∵P是的中点， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， 设总费用为w，则： ， 整理，得， 如答图2，构造直角三角形，将上述式子转化为两点间距离之和：表示在中，，直角边和的直角三角形斜边长；表示在中，，直角边为和的直角三角形斜边长，将这两个直角三角形拼接，使直角边和在同一直线上，延长，过点G作交的延长线于K，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 根据两点之间线段最短，当共线时，值最小，即为的长． ∴总长度相当于直角边分别为和的直角三角形的斜边长， 此时，最小值， ∴w的最小值为 (元)， 答：铺设石子小路和石板小路所需总费用的最小值为20000元． 8．如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，．    (1)如图，当四边形为菱形时，求长； (2)如图， ①判断四边形的面积是否为定值，若是，写出说理过程，并求出该定值；若不是，请说明理由； ②试用几何推理说明四边形周长有最小值，并求出最小值． 【答案】(1) (2)解：①是 ， ∵四边形为矩形， ∴． 作的中垂线交于，垂足为O，连接，如图， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴． 根据（1）得，， ∴， ， ∴四边形的面积． ②由①得， ∴为定值． 如图，在上截取，过作且， 易得． ∴． ∴． 又∵， ∴是定点． 作矩形， ，， 当在同一条直线上时，的值最小， 即的值最小，即四边形的周长最小． 又∵， ∴四边形周长的最小值为20． 【分析】（1）设，则，根据勾股定理求解即可； （2）①作的中垂线交于，连接，证明即可； ②根据两点间线段最短，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形． ∴． ∵， ∴设． ∵四边形为矩形， ∴． 得， 解得，即． （2）解：①略； ②略 9．探究图形中角的大小和线段长度的最值，并完成以下问题 【问题探究】 (1)如图1，在中，，点、、分别是、、的中点，连接． ①的度数为________； ②若，，点是上的动点，连接、，求的最小值； 【问题解决】 (2)如图2，是某工业园的平面图，、是原有的两条小路（点、分别在、上），现要在小路上设立一个自助售货机，再从分别向点和上的点铺设两条石板小路和．已知点到点的距离等于，点是的中点，， ，，当与两条石板小路长度之和最小时，求点到点的距离．（小路的宽度与售货机的大小均忽略不计） 【答案】(1)①90②5 (2)与两条小路长度之和最小时，点到点的距离为 【分析】（1）①根据中位线定理即可求；②可证垂直平分，则，当、、三点共线时，最小，即最小，最小值为的长，求解即可； （2）连接、，过点作于点，交于点，利用面积法可求，由已知可证垂直平分，则，当、、三点共线，且时，最小，此时点与点重合，点与点重合，最小值为的长，即与两条小路长度之和最小时，，据此求解即可．      【详解】（1）解：①∵点、分别是、的中点， ∴， ∴； ②解：连接、，如图1． 由①易得． 点是的中点， 垂直平分， ， ，             当、、三点共线时，最小，即最小，最小值为的长． ，点是的中点， ．                 ， ， 的最小值为5． （2）解：连接、，过点作于点，交于点，如图2． 四边形是平行四边形，，， ，．     ， ， ，则．         点到点的距离等于， 点在的垂直平分线上． 点是的中点， 点在的垂直平分线上， 垂直平分，                 ， ， 当、、三点共线，且时，最小，此时点与点重合，点与点重合，最小值为的长，即与两条小路长度之和最小时，．     ，，， 与两条小路长度之和最小时，点到点的距离为． 10．如图，在矩形中，，，延长至点，使，连接．动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿线段向点运动，点，同时出发，当点，中有一个点到达终点时，另一个点随即停止运动，设运动时间为秒． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)在整个运动过程中，________（选填“存在”或“不存在”）值，使得四边形是菱形； (3)若只改变点的速度，其余条件都不变，在整个运动过程中，当四边形是正方形时，求动点的速度； (4)连接，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)2.2秒 (2)不存在 (3) (4)当t的值为或或时，为等腰三角形 【分析】（1）当时，四边形是矩形，根据列出方程即可求解； （2）由勾股定理求出，当时，四边形是平行四边形，可求得t的值，只要判断的长度是否相等，即可判定四边形是否是菱形； （3）设点的速度为，则当时，四边形是正方形，据此列出方程可求解； （4）分三种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，即，，，， 当时，则四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 由题意知，， ∴， ∴， 解得； 答：为2.2秒时，四边形是矩形； （2）解：由勾股定理得，， ∵，即， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 此时， 即不存在t的值，使四边形是菱形； （3）解：设点的速度为， 由（1）知，当时，四边形是矩形， 则当时，四边形是正方形， ∵， ∴， ∴， 解得， 答：在整个运动过程中，当四边形是正方形时，动点的速度为； （4）解：为等腰三角形，有三种情况； ①当时， ∵， ∴， 即， ∴； ②当时，， ∵， ∴在中，， 解得； ③当时，则， ∴， 解得； 综上，当t的值为或或时，为等腰三角形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $