专题5.3 求数列的通项公式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

专题5-3 求数列的通项公式 1．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据即可求出； （2）根据错位相减法即可解出． 【详解】（1）因为， 当时，，即； 当时，，即， 当时，，所以， 化简得：，当时，，即， 当时都满足上式，所以． （2）因为，所以， ， 两式相减得， ， ，即，． 3．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 4．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)① 由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； ② 【难度】0.4 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意结合等比数列通项公式求，再结合等比数列求和公式分析求解； （2）①根据题意分析可知，，利用作差法分析证明；②根据题意结合等差数列求和公式可得，再结合裂项相消法分析求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）略 （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 【点睛】关键点点睛：1.分析可知当时，，可知为等差数列； 2.根据等差数列求和分析可得. 重难点题型1 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项．使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有或者 部分．②考虑各项的变化规律与序号的关系．③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方、与有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列． 1．（2025·广东广州·一模）数列1，，，，，…的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】观察法求数列通项 【分析】对数列的前几项变形，找出规律，从而写出数列的一个通项公式. 【详解】数列1，，，，，…， 可写为，，，，…， 所以数列的一个通项公式. 故选：D 2．（2024·贵州黔南·二模），数列1，，7，，31，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】观察法求数列通项 【分析】利用排除法，取特值检验即可. 【详解】对于选项A：因为，故A错误； 对于选项B：因为，故B错误； 对于选项C：因为，故C错误； 对于选项D：检验可知对均成立，故D正确； 故选：D. 3．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、观察法求数列通项 【分析】通过前几层小球的个数，可以发现规律得出结果. 【详解】由题意，第一层个球，第二层个，第三层个，第四层个， 据此规律，第三十六层有小球个. 故选：D 4．（2024·贵州遵义·一模）第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印象．六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）……依次得到n级角雪花曲线．若正三角形边长为1，我们称∧为一个开三角（夹角为），则n级角雪花曲线的开三角个数为__________，n级角雪花曲线的内角和为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和、观察法求数列通项 【分析】利用观察归纳法求出边数构成的数列通项，再利用n级角雪花曲线的开三角个数及曲线的内角和变化规律列式求和即得. 【详解】依题意，n级角雪花曲线的每一条边按生成，得级角雪花曲线的4条边， 因此n级角雪花曲线的边数构成以12为首项，4为公比的等比数列， 则n级角雪花曲线的边数为， 当时，曲线有6个开角，n级角雪花曲线的开角数为，， 由于n级角雪花曲线的每一条边，向外形成一个开角，因此， 当时，n级角雪花曲线的开角数 ，满足上式， 所以n级角雪花曲线的开角数； 令n级角雪花曲线的内角和为，显然， 而n级角雪花曲线到级角雪花曲线每增加一个开角，其内角和增加， 于是，当时，n级角雪花曲线的内角和： ，满足上式， 所以n级角雪花曲线的内角和为. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：涉及实际意义给出的数列问题，正确理解实际意义，列出关系式，再借助数列思想探求相邻两项间关系即可解决. 5．（2025·安徽合肥·模拟预测）“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程.若第一个正三角形（图①）的边长为1，则第5个图形的周长为___________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】判断或写出数列中的项、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、观察法求数列通项 【分析】观察“雪花”图形可得其周长之间的关系为，根据等比数列的定义可知{}是公比为、首项为的等比数列，求得，即可求出. 【详解】由题意知下一个图形的边长是上一个图形边长的，边数是上一个图形的4倍， 则周长之间的关系为， 所以{}是公比为的等比数列，而首项，所以， 当时，“雪花”状多边形的周长为. 故答案为： 重难点题型2 公式法 1．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知正项等比数列满足，且20，，成等差数列，正项数列的前项和为，. (1)求的通项公式. (2)证明：. (3)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) 由，得， 两式相减，得，所以， 则. (3) 因为 ， 所以， 所以 . 【难度】0.64 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由等差中项的性质结合等比数列的通项公式即可求解； （2）利用结合条件与数列放缩化简可得； （3）使用裂项相消结合（1）（2）中求得的结论，放缩化简即可求证. 【详解】（1）设数列的公比为（）. 因为20，，成等差数列，所以， 即，解得或（舍去）. 所以. （2）略 （3）略 2．（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： (2)若，记由的所有可能取值组成集合. （i）求集合中的最大元素； （ii）已知为给定的大于1的自然数，求证：当时，，并求集合中所有大于0的元素之和. 【答案】(1)； (2)（i）； （ii）证明：首先证明，当，即时，， 当时，， 由（i）可知， 所以，， 反之，若，则必有，否则若，则 ， 故当且仅当时，， 再证明集合中有个大于0的元素， 首先，当，即时，对于任意， 都有和两种可能，故有种不同形式， 下面证明这种不同形式的结果互不相同， 任取其中的两种不同形式，记为， ， 因为为两种不同形式，则必存在，使得， 将其中最大的记为，不妨设， 若，则显然， 若，则 ， 故，因此集合中有个大于0的元素， 将这个元素记为，其中给定， 满足的元素个数为个，满足的元素个数也为， 因此 ， 所以集合中所有大于0的元素之和为.. 【难度】0.4 【知识点】定义法求数列通项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）设等差数列公差、等比数列公比，列方程组，求解公比和公差，得出两数列通项公式. （2）(i) 要使取最大值 ，需每一项 (因 ，正项和最大)，构造该和式，采用错位相减法消去等比项，化简计算后，得出集合 中的最大元素. (ii)先证明 时和为正，通过放缩与前 项和对比得出；再证 ) 时和必为负，进而得和为正的充要条件，接着证明正元素个数为 且互不相同,最后利用前 项正负抵消的性质，计算所有大于 0 的元素之和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由， 得：，即， 所以，解得：或（舍），， 从而，； （2）（i）当时，取最大值， 此时，①， ②， ①-②得： ， 故，即集合中的最大元素为； （ii）略 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，且． (1)求m的值及的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）通过与的关系求解即可； （2）先借助（1）代入知，借用“等差数列×等比数列”型数列，再用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为， 当时，； 当时，， 又因为是等比数列，所以，解得； 所以的通项公式为． 故；． （2）由（1）知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 4．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列的前n项和为，为等差数列，，． (1)直接写出的值； (2)求的通项； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3) ， ，所以. 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等差数列的前三项的关系可求答案； （2）根据递推关系的特点，利用累乘法或构造法可求通项公式； （3）先求出，根据的表达式可证结论. 【详解】（1）由题意，即， 整理得. （2）由条件得：， 故：，即：，所以：① 法一：累乘法：，，； 以上各式相乘可得，所以 ， 又，也满足上式，所以. 法二：构造新数列：由①得：， 令，则，即是常数列， ，即，经检验：符合题意， 故. （3）略 重难点题型3 累加法 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 1．（2026·河南郑州·模拟预测）在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.72 【知识点】累加法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的定义，求出，再利用累加法求通项即可； （2）对进行放缩，再利用裂项相消法求和，即可完成证明． 【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，， 则， 所以 ， 又满足上式，所以． （2）由（1）得，， 当时，， 当时，． 综上，． 2．已知在数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.62 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）对已知递推式进行变形，得出，进而进行分式相加求出的通项公式； （2）先求出的通项公式，进而求出，结合的单调性证明结论． 【详解】（1），即， ， 当时，， ， 则这个等式相加得， ， ， 当时，满足该式， ． （2）证明：， ， 为递增数列， ， 综上可得，． 3．（2026·四川·二模）已知数列的首项，且满足． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明：由（1）知，，则， 所以， 因为，所以，则，因此， 故. 【难度】0.72 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据累加法及等差数列的前项和公式求解即可. （2）结合裂项相消法证明即可. 【详解】（1）当时，， 则，，，， 所以，即. 所以. 当时，满足上式， 故的通项公式为. （2）略 4．（2026·宁夏银川·一模）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明：因为. 又， 所以是以2为首项，以2为公比的等比数列. (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等比数列的定义，结合数列的递推公式即可证明. （2）利用（1）的结论，结合累加法可求数列的通项公式. （3）利用“裂项相消法”求和. 【详解】（1）略 （2）由（1）得：， 所以，，，…，. 以上各式相加得：. 所以. （3）， 所以， 所以. 5．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1的正项数列满足． (1)求的通项公式； (2)令（），求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】（1）由累加法求数列通项公式即可； （2）由裂项相消法求和即可． 【详解】（1）令，，又由有， 则有 ， 所以． 又因为数列的各项均为正数，所以． （2）由 ， 知 ． 6．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知数列的首项为，前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)已知，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据可得，再结合累加法可得通项公式； （2）利用裂项相消法可求和，再结合不等性质可得证. 【详解】（1）由已知得， 即，则，，，， 等式左右分别相加可得 ， 则； （2）依题意得， ， 则， 又，所以，所以， 即． 重难点题型4 累乘法 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 1．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.72 【知识点】求等差数列前n项和、分组（并项）法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）因为中，且， 当时，所以， 所以，化简得，即得， 所以， 所以，当时，所以， 综上，； （2）由（1）可得， 即得， ， ， ， 所以. 2．（24-25高三下·江苏南通·阶段检测）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2) 由， 则， ， 两式相减可得 ， 所以. 【难度】0.65 【知识点】错位相减法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系式，可得数列的递推公式，利用累乘法，可得答案； （2）整理数列通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】（1）当时，，显然成立； 当时，，，相减可得， 化简可得，由累乘法可得， 显然满足上式，故数列的通项公式. （2）略 3．（2024·陕西西安·模拟预测）设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，再利用累积法，即可求出结果； （2）根据（1）中结果得到，利用裂项相消法得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为①，所以当时，②， 由①②得到，整理得到， 又，所以，得到， 所以当时，， 当，满足，所以. （2）由（1）知， 所以， 因为，且，所以是关于的递增数列，由恒成立，得到， 所以实数的最小值为. 4．已知数列中，，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）利用累乘法即可得解； （2）利用裂项相消法即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以， 当时， 满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 所以. 重难点题型5 已知前n项和，求通项公式 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式 构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.69 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 2．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知数列的前项和为，． (1)证明：数列是等比数列，并求出通项公式； (2)设函数的导函数为，数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)，，， 相减得，即，又， 所以数列是以4为公比的等比数列， 所以． (2) 【难度】0.63 【知识点】导数的运算法则、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用和的关系结合等比数列的定义即可证明； （2）先求出的导数，再利用错位相减求解即可. 【详解】（1）略 （2），， ， ， ， 相减得 ， 整理得． 3．（2026·湖南长沙·三模）设为数列的前项和，且， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的最大值． 【答案】(1) (2)1 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用an与sn关系求通项或项 【详解】（1）由，得， 所以，即， 当时，，故， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，所以． （2），， 当时，，故， 当时，，故， 当时，， 故时，， 故，，所以数列的最大值为. 4．（2026·山东日照·模拟预测）已知正项数列的前项和为，满足，，数列满足，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求证：数列的前项和小于． 【答案】(1)， (2)证明：由（1）得，则， 设数列的前项和为， 则，得证. 【难度】0.7 【知识点】写出等比数列的通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用化简即可求出；易知为等比数列，根据等比数列通项公式求解即可； （2）由裂项相消法求出数列的前项和，结合不等式放缩即可得出证明. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，即， 因为为正项数列，所以，则， 因为，所以，因此，是以1为首项，2为公差的等差数列， 则. 因为，所以， 由，则，所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则，所以． （2）略 5．（2026·山东济南·三模）已知数列的前n项和为，，是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用等差数列通项公式得，再利用即可求解； （2）先利用分组求和，再利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由是公差为的等差数列，且， 所以，所以， 当时，，解得， 当时，由得，所以， 即，所以， 所以数列为常数列，所以，即， 当时，， 所以； （2）由（1）得， 所以 ， 令①， 所以②， 由①②有：， 所以， 所以. 6．设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【难度】0.62 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据，得出是等比数列，即可得结果； （2）利用错位相减法求和即可； （3）利用裂项相消法求出，结合数列单调性即可得结果. 【详解】（1）由，当时，，解得， 当，，则，即， 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. （2）因为所以，. 从而， ， 两式相减得:， ，解得 （3）由（1）可知：，， ， ， 所以{}为递增数列，， 所以. 重难点题型6 已知前n项积，求通项公式 类比前项和求通项过程： （1），得 （2）时， 1．（25-26高三上·北京·开学考试）设为数列的前项和，为数列的前项积，已知 (1)求的值； (2)求证数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)；； (2)证明见解析，； (3) 【难度】0.65 【知识点】根据规律填写数列中的某项、等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）代入，，计算得出； （2）由已知得，由题意得，进而证明数列是等差数列，由等差数列通项公式可得的表达式； （3）由（2）得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）由已知得,且，, 取,由得， 取,， 所以. （2）由已知条件知 ， ① 于是． ② 由①②得． ③ 又， ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以. （3）由（2）可得，， 当时，, 当时,，显然对于不成立， ∴. 2．已知数列的前项的积记为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）将条件中的变为，然后整理即可证明； （2）求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法求和. 【详解】（1）当时，， ，即， 又当时，，得， 数列是以3为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）得， 则， . 3．设是数列的前项之积，并满足：. （1）求； （2）证明数列等差数列； （3）令,证明前项和. 【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析，（3）证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和 【分析】（1）由题意结合递推关系可得，； （2）根据题意利用等差数列的定义证明即可 （3）将通项公式放缩 ，然后裂项求和即可证得题中的结论. 【详解】（1）由，且，得， 当时，，即，，得， 当时，，即，，得 （2）证明：因为， 所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以 因为 所以数列是以2为首项，公差为1的等差数列 （3）证明：由（2）得， 所以，所以， 所以， 所以， 所以 因为， 所以 所以 4．已知非零数列的前项和为，为数列的前项积，且． (1)证明：数列是等差数列，并求其前项和； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析， (2). 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定的条件及递推公式，用表示，再利用等差数列定义推理得证，进而求出前项和. （2）由（1）求出，进而求出，再利用求出通项公式. 【详解】（1）数列中，由，得，， 由为非零数列，得，，又当时，， 则，， 在中，当时，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，. （2）由（1）得，， 则，时，， 当时，，又不满足上式， 所以数列的通项公式. 5．已知数列满足，． (1)证明为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)数列中，由，得， 而，所以， 因此为等比数列，其首项为1，公比为2. (2) 【难度】0.72 【知识点】由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法，结合等比数列定义推理得证. （2）因为，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）略 （2）根据（1）可得，即， 则， 所以. 重难点题型7 构造数列-待定系数法 形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项． 1．已知数列满足：，；数列的前项和． (1)求数列和的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】由Sn求通项公式、写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式，由可求得数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， ， 当时， 当时，符合， 所以. （2）由（1）可得：， ① ② ①②可得： ， 所以. 2．已知是数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】（1）根据给定条件，利用前项和与第项的关系及构造法求出通项公式. （2）利用错位相减法求和即得. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即， 则，由，得， 因此数列是首项为，公比为2的等比数列， 故，所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ， 所以数列的前项和 ．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)证明：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) 证明：因为， 所以当时，，解得， 当时，， 所以，即. 所以， 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列. (2) 【难度】0.62 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和、构造法求数列通项 【分析】（1）当时，可得的值，当时，根据，代入求解，整理变形，根据等比数列的定义，即可得证. （2）由（1）可得表达式，根据错位相减求和法，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，. 所以， 则，① ，② ①减去②，得： 所以. 重难点题型8 构造数列-取倒数法 对于，取倒数得． 当时，数列是等差数列； 当时，令，则，可用待定系数法求解． 1．已知数列满足，， (1)设，证明：是等差数列； (2)设数列的前项和为，求，并判断是否为中的项，若是，是第几项？若不是，说明理由． 【答案】(1)证明：由题意，，则， 又，则， 所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列. (2)，是中的项，是第119项.理由如下： 由（1）知：，即，则， 故， 所以， 令，解得，所以是中的项，是第119项. 【难度】0.65 【知识点】判断或写出数列中的项、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）根据等差数列的定义，结合题干的递推公式即可证明； （2）根据等差数列的通项公式求得，再利用裂项相消法求，进而判断即可. 【详解】（1）略 （2）略 2．（2026·重庆·模拟预测）已知数列满足，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，若，求满足条件的最大正整数. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.72 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）通过对递推式取倒数并构造形如的等比数列模型，证明数列为等比数列。 （2）先利用第 (1) 问的结论求出的通项，再对其求和得到，最后通过放缩法解不等式，求出最大正整数. 【详解】（1）由题得：，则，整理得 ， 又，得， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）得，所以 ， 又 ，   所以 ，则， 又时， ， 时， 则满足条件的最大正整数. 3．（2026·甘肃·模拟预测）已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）通过对已知递推公式两边取倒数构造出目标等比数列求得其通项，进而解出原数列的通项公式； （2）将通项化简后拆分为两部分，对“等差数列乘以等比数列”结构的部分运用错位相减法，最后将两部分结果相加即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以，则. 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. 所以，所以. （2）由（1）得，所以，所以. 所以 . 设， 则， ， ， ， 所以. 4．（2026·安徽·模拟预测）已知数列中，，，． (1)求证：数列为等比数列； (2)记，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.57 【知识点】由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和 【分析】（1）整理可得，结合等比数列的定义分析证明； （2）由（1）可得，可得，结合等比数列求和公式分析证明. 【详解】（1）因为，则，可得， 且，则， 所以数列是以2为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可得：，则， 可得． 当时，； 当时， ； 综上所述：． 重难点题型9 构造数列-取对数法 形如的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解． 1．已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和，求证：. 【解析】（1）因为，所以， 则， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以； （2）由，得， 则， 所以， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以. 2．设正项数列满足，，求数列的通项公式． 【解析】对任意的，， 因为，则， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，解得. 3．设数列满足，，证明：存在常数，使得对于任意的，都有． 【解析】恒成立，，则， 则，， 当时，，故，即， 取，满足； 当且时，是首项为，公比为的等比数列， 故，即， 故， 故，取，得到恒成立. 综上所述：存在常数，使得对于任意的，都有． 重难点题型10 正负相间讨论，奇偶讨论型 （1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律 （2）分段数列 （3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列 1．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 2．（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 3．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【知识点】写出等比数列的通项公式、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）数列满足，，令． (1)求证：数列，是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)答案见详解; (2). 【难度】0.56 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）要证明数列，是等比数列，需根据已知条件推导出与，与的关系，再结合等比数列的定义进行判断； （2）求数列的前项和，可将其拆分为奇数项和偶数项分别求和，再将结果相加. 【详解】（1）对任意正整数，为奇数，为偶数， 当时：为奇数，为偶数，命题成立， 假设当时命题成立，即为奇数，为偶数， 当时： 因为为偶数，所以为奇数， 又因为为奇数，所以为偶数， 由数学归纳法，对任意 ，为奇数，为偶数， 因为，则， 因为为偶数，根据递推公式，可得， 又因为为奇数，所以，那么， 所以， 因为，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因为已知，则， 因为为奇数，所以，又， 则，即， ， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 因此，数列，是等比数列，得证. （2）由(1)得：，， 令,错位相减： ， ： ， 故， 又,因此：. 重难点题型11 双数列问题 1．（2026·山西晋中·模拟预测）已知数列是等差数列，是正项等比数列，且，，，对任意的，都有. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，求满足的最大正整数. 【答案】(1)， (2)8 【难度】0.62 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和 【分析】（1）先求出，再得出，再利用条件得出数列的首项和公差即可； （2）利用错位相减法求出，再结合解不等式求出答案. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，两项相除得， 当时，，所以，满足式， 综上所述，， 所以，， 设数列的公差为， 则，解得或， 因为，所以， 所以； （2）由（1）知，所以单调递增， 因为①， ②， ①－②得， 所以， 因为，，所以， 故满足的最大正整数为8. 2．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知是等差数列，是等比数列，且，，． (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【难度】0.63 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式计算即可； （2）分和两种情况求和计算结果． 【详解】（1）设公差为，公比为，， 故，， ，故，联立，解得或（舍去）， 故，； （2）令，设数列的前项和为， 则， 由，解得， 当时，， 则， 当时，，则 ， 综上：. 3．（2026·辽宁朝阳·三模）已知数列的前n项和为，满足，公差大于零的等差数列满足为与的等比中项． (1)求数列和的通项公式； (2)设为数列的前n项和，求． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.69 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）先利用，由求首项，再作差推出为等比数列得通项，再设等差数列公差为正数，由和等比中项列方程求出，进而得到通项. （2）把拆为与两部分，分别用等比数列求和、相邻两项分组求和算出前20项和，相加即得. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，由及，得，解得 所以. 设等差数列的公差为， 则 所以． （2）当时，， ． 4．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式； （2）分组后由等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2） . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题5-3求数列的通项公式 可络构通 重难点题型1.观察法 重难点题型2.公式法 重难点题型3.累加法 重难点题型4.累乘法 重难点题型5.已知前n项和，求通项公式 求数列的通项公式 重难点题型6.已知前n项积，求通项公式 重难点题型7构造数列-待定系数法 重难点题型8构造数列-取倒数法 重难点题型9.构造数列-取对数法 重难点题型10.正负相间讨论，奇偶讨论型 重难点题型11.双数列问题 高考真题 1.(2026天津高考真题)己知Sn是数列{a}的前n项的和，且Sn-S,=n,4=6,则a,+a=（) A.68 B.56 C.-3 D.-4 2.(2024全国甲卷高考真题)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3a+1-3. (1)求an}的通项公式 (2)求数列{Sn}的前n项和 3.(2023·全国甲卷高考真题)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a=l,2Sn=na. (1)求{an}的通项公式： 3.(2024全国甲卷高考真题)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an+4, (1)求{an}的通项公式： (2)设bn=（-l)nan,求数列{bn}的前n项和Tn. 4.(2024天津高考真题)已知{a}为公比大于0的等比数列，其前n项和为S,且4=l,S,=4-1. (1)求{a}的通项公式及Sn: k,n=ak 2设数列6，}满足6，=b1+2k,a<n<aH其中k∈N* （i)当n=a(keN,且k>l时，求i证：b≥ab: 重难点题型奥破 重难点题型1观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观 察法时要注意：*Expression is faulty*观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有（←）或者 1(-10”-1 部分.*Expression is faulty*考虑各项的变化规律与序号的关系.*Expression is faulty*应特 别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{π、2}与旷有关的数列、等差数列、等比 数列以及由它们组成的数列. /2 1.(2025广东广州一模)数列1， 2 2 4 …的一个通项公式a 2.(2024贵州黔南二模)n∈N,数列1，-3,7,15,31，…的一个通项公式为() A.an=(2”-1)cosm B.(-2)sin C.an=2"-1 D.a=(-1)(1-2） 3.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其 最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层10个…，则第三十六层球的个数为() A.561 B.595 C.630 D.666 4.(2024贵州遵义·一模)第24届北京冬奥会开幕式由一朵朵六角雪花贯穿全场，为不少人留下深刻印 象.六角雪花曲线是由正三角形的三边生成的三条1级Koch曲线组成，再将六角雪花曲线每一边生成一 条1级Koch曲线得到2级十八角雪花曲线（如图3）…依次得到n级K(n∈N)角雪花曲线.若正三角 4 形边长为1，我们称八为一个开三角（夹角为60°），则级Kn角雪花曲线的开三角个数为 级K,角雪花曲线的内角和为 n=0级 人心级 #h金指冷品 图1 图2 图3 5.(2025·安徽合肥模拟预测)“一朵雪花”是2022年北京冬奥会开幕式贯穿始终的一个设计理念，每 片“雪花”均以中国结为基础造型构造而成，每一朵雪花都闪耀着奥运精神，理论上，一片雪花的周长可 以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1901年研究的一 种分形曲线，如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以 各边的中间一段为底边分划向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程若第一个正三角形（图①） 的边长为1，则第5个图形的周长为 ① ② ③ ④ 重难点题型2公式法 1.(2026陕西商洛模拟预测)已知正项等比数列a}满足4=1，且20，a,3a2成等差数列，正项数 列{bn}的前n项和为Tn,Tn=ab,. (1)求{a}的通项公式 bt 11 2)i证明：b,>44 2n+3 6)记数列12(2n-1)(2n+1Na }铺奥和小g:正明8，分a4 2.(2026天津一模)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列.a=b=1,42+a43=b4,2b=3a3-a4. (1)求{an}和{bn}的通项公式： (2)若c=b,(i=1,2,3…,n） 记由了aS的所有可能取值组成集合M。 (i)求集合Mn中的最大元素： (山已知n为给定的大于1的自然数，求证：当6，>0时，46，>0，并求集合M,中所有大于0的元素 之和 3.(2025黑龙江齐齐哈尔模拟预测)己知等比数列{a,}的前n项和为S,且S,=m一2. (1)求m的值及{an}的通项公式： (2)若bn=(2n-1)a,求数列{b.}的前n项和Tn. 4。(2025江西新余模拟预测)已知数列a,}的前n项和为S·a+1)S}为等差数列，4=1,4 (1)直接写出a的值： (2)求{an}的通项： (3)求证：Sn<2 个 重难点题型3累加法 累加法： 'an-an-1=f(n-1) an-1-am-2=f(n-2) 形如a=a,+fm)型的递推数列（其中f(m）是关于n的函数）可构造： a2-4=f0 将上述m个式子两边分别相加，可得：a.=fn-1)+fn-2)+f2)+f0)+a,(0n≥2) *Expression is faulty*若fm)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； *Expression is faulty*若f(m是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和： *Expression is faulty*若fm)是关于n的二次函数，累加后可分组求和： *Expression is faulty*若f(m)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 1. (2026河南郑州模拟预测)在数列{a}中，a=1,a2=3,且数列{a1-a}是公差为2的等差数列. ()求数列{a}的通项公式： 1+1+1++1<2 (2)求证：a,a2a a 0出=0，+2 2.已知在数列{a,}中，a=1,n+=n+2· (1)求{an}的通项公式： 2)若久-2n+1 3 ac,数列h,)的前”项和为，证明：4≤7.<1. 3.(2026-四川二模)已知数列{an}的首项a=1,且满足a.-a=n(n≥2，n∈N) (1)求{an}的通项公式： 1+1++1<2 (2)证明：aaa. 4.(2026宁夏银川一模)己知数列{a}满足a=1,a2=3,a1=3an-2an(n≥2) (1)证明：数列{a-a}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式： 1 3)冷h,=1g,(a.+）求数列1b,h广的前”项和s 5.(2025·甘肃白银模拟预测)己知首项为1的正项数列{an}满足a1-a=8n. (1)求{an}的通项公式： 回6-会+eN水装别am,和义 n 10 6.(2025四川绵阳模拟预测)已知数列{an}的首项为2，前n项和为Sn,且Sm+2=an+3n+Sm. (1)求数列a,}的通项公式： Q已知A6a+0n-20记数列6，}的前n顶和为7，求证：号，<号 11 重难点题型4累乘法 高 分 累乘法： an=f(n) 形如a+1=an·f(n)(an 型的递推数列（其中f(m)是关于n的函数）可构造： an=f(n-1) an- aL=f(n-2) an-2 … =f0) a 将上述m个式子两边分别相乘，可得：a=fn-)f(n-2)…·f(2)f①)a,n≥2) 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解 1. (2026山东济宁二模)记双.为数列a,}0的前n项和，已知4=2,8=a习。 (1)求数列{an}的通项公式： (2)记T为数列-a,}的前n项和，求I 12 2.(24-25高三下江苏南通·阶段检测)已知数列{a}的前n项和为Sn,a=4,2Sn=(n+)a,neN (I)求数列a}的通项公式： (②)设6，=号，数列6}的前n项和为工，证明：工<3 3。（2024陕面司安候拟预测)设数列a,}的前，爽和为5,4=1且8-口t少. 2 (1)求数列{an}的通项公式： (2②)若6，=8。+0u1 aGa，数列{.}的前n项和为T,neN,I<m恒成立，求实数m的最小值. 13 tl=2 4.已知数列{a}中，a=1,a ’neN (1)求数列{an}的通项公式： 1 (②)设b,=1og,G+3n, 求数列 b 的前n项和s 重难点题型5已知前n项和， 求通项公式 高分越 法 若已知数列的前n项和S与，的关系，求数列a,}的通项a,可用公式 S ,(n=1) an= Sn-S,n之2)构造两式作差求解。 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式：另一种是“合二为一”，即 4和a合为一个表达，（要先分n=1和n≥2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）. 一一。一。一。一一。一一“一。一。。一。一。一。一”一“一一。一。一。一一一一“一一。。一。一。一。一”一 1.(2026陕西西安模拟预测)己知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=n, (1)求an}的通项公式： ②若，=&，sn受，记数列6}的前n项和T,求re 14 2.(2026四川绵阳模拟预测)已知数列a}的前n项和为Sn,3Sn=4a,-2. (I)证明：数列a,}是等比数列，并求出通项公式： 心没西数)-=rar的特数为数列a}满是，=o,小求数列6}的前n项和Z 3.(2026湖南长沙三模)设S为数列a}的前n项和，且S.=多a-aeN,)。 (1)求数列{a}的通项公式； n' ②若数列，}满足么-。，求数列，}的最大值. 15 4.(2026山东日照模拟预测)已知正项数列{a}的前n项和为S,满足a=1,4S。=(a。+),数列 {b.}满足6=1，b=2bn+1. (1)求{an}和{bn}的通项公式： 1 ②若数列{c.}满足C,aa,,求证：数列{c,}的前n项和小于号 5.(2026-山东济南三模)已知数列{a,}的前”项和为s,'4=1?a是公差为；的等差数列. 2 (1)求{a}的通项公式： an·2”+l,n为奇数 (2)令bn= a,2”,n为偶数，求数列{，}的前2m项和I 16 6.设数列{am}的前n项和为Sn,且满足2Sn=3an-3,n∈N. (1)求数列{an}的通项公式： (2)若数列，}满足b.=log,41,求数列{abn}的前n项和Tn: 3)冷C,=2”.1og,4’记数列 C+2 的前u项和为Q'求证：子≤0.<2。 17 重难点题型6已知前n项积，求通项公式 高 分越选 类比前n项和求通项过程： (1)n=1,得a T an (2)n22时， 1.(25-26高三上·北京开学考试)设Sn为数列{a}的前n项和，b.为数列{Sn}的前n项积，己知 21=2 S.b (1)求b,b2的值： (②)求证数列b}是等差数列，并求出数列{b,}的通项公式： (3)求数列{an}的通项公式。 1_an-1 2.已知数列{a}的前n项的积记为T,且满足T,=2a, (1)证明：数列{T}为等差数列： 2设6=少a+ ,求数列6}的前项和5. 18 3.设T,是数列{a}的前n项之积，并满足：T,=l-a(neN*) (1)求4a,4: 1 (2)证明数列 等差数列： （3)令6=平。证明}前n项和义<子 4.已知非零数列a}的前n项和为S。,b.为数列{S}的前n项积，且S。=4h(S。-l). (I)证明：数列b,}是等差数列，并求其前n项和Tm: (2)求数列{an}的通项公式. 19 5.已知数列{an}满足a=2,a1=2an-1. (1)证明{a。-}为等比数列： ©设=品。求数列物的前，项和Z 20 重难点题型7构造数列待定系数法 形如a=pa。+g(P,9为常数，Pq≠0且P≠1)的递推式，可构造a1+元=p(a,+),转化为等 比数列求解. 也可以与类比式a=p01+g作差，由a1-a,=pa,-a-),构造{a1-a}为等比数 列，然后利用叠加法求通项， 1.已知数列{an}满足：a=1,a=2an+1;数列bn}的前n项和Sn=n2. (1)求数列{a}和{b}的通项公式： ②设，a+1,求数列{c.}的前m项和T, 2.已知Sn是数列{an}的前n项和，S,=2a。-n(neN). (1)求数列{a}的通项公式； (2)若bn=(3n-1(a.+l),求数列{b.}的前n项和Tn 3.(2026山西晋中模拟预测)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn-3an=4n-3. (1)证明：{an-2是等比数列： (2)设b.=n(a,-2),求数列{b.}的前n项和Tn. 21 重难点题型8构造数列取倒数法 。■。■■■■ 分鼓 aan-(ac≠0) 1_b+ca2=b,1+9 对于 b+ca 取倒数得an1aa。aana 1 当a=b时，数列(anJ 是等差数列： 1 b 当a≠b时，令 n+1= an,则 a,可用待定系数法求解。 1.己知数列a,}满足a= an+1, ①)设，=。，证明：，}是等差数列： 119 (2)设数列号}的前n项和为3，求8，并判断120是否为8中的项，若是，是第几项？若不是，说明理 由. 4a 2.(2026重庆模拟预测)己知数列{a,}满足4=1，且aa.+2(neN) 11 (①)求证：数列a2是等比数列： 44+…+a,若S,<2026,求满足条件的最大正整数n 23 3（2026甘肃模拟预测》已知数列a,的首项4子且清定424 2 a+1 )证明：数列。-为等比数列，求数列{a的通项公式 2)设.=a,求数列{c,}的前m项和1 4。(2026安微模拟预测)已知数列a}中，4=片， 2an an +1'neN' 因么-。-1，数列a的前项和为工求：乙< 2 24 重难点题型9构造数列取对数法 一一一一 需分质击 形如41=ca(c>0,a,>0)的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解. 。一一。一。。。一一一。一一一。一。。一一一 1.己知数列{a}满足a=3,a=a-2a+2 (1)证明数列血(a。-}是等比数列，并求数列{a,}的通项公式： ®活8女。数a的前，和5米，5之 2.设正项数列{a}满足a=1,a,=2a(n≥2)，求数列{a}的通项公式。 3.设数列{a,}满足a=a(a>0),a=2Va,证明：存在常数M,使得对于任意的n∈N*,都有 an≤M 25 重难点题型10正负相间讨论，奇偶讨论型 分鼓 (1)利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律 (2)分段数列 (3)奇偶各自是等差，等比或者其他数列 1 (2026河北模拟预测)己知等比数列{an}满足a=27,a。=729,数列亿}满足b.=loga. ()求数列b}的通项公式： bn,(n=2k-1) ②设e=,,a=2kkeZ)求数列 的前40项和 2.（2025江苏有京三模)已知数列a,}中，共前，项和记为8且S-0,+号 n (1)数列cn}满足Cm+cH=2cn对于n≥2恒成立，则称数列Cn}是等差数列证明：数列am}是等差数列： 了an,n是奇数 ②若4-3”记6，=2a,-1是偶数，求，}的前20项的和 26 3(2026云南昆明模拟预测已知正项等比数列a满足“2=4℃nEN》 ()求数列{a}的通项公式： log2an,n为奇数 ②)设6，}满足6，= a,n为偶数，求{b,}的前”项和为s an+l,an为奇数时， 4.(2026安微合肥模拟预测)数列a}满是g=a一2a-1a为偶数时，令=a+1lc.=a. (1)求证：数列b},{c}是等比数列： (2)求数列{nan}的前2n项和S2m. 27 重难点题型11双数列问题 。一。。··。 1.(2026山西晋中模拟预测)已知数列{a}是等差数列，{亿，}是正项等比数列，且4>0，b,=a,a4, 6=a6’对任意的n∈N,都有log,6+log2么++log,b,=mn-少 2 (1)求数列{an}和bn}的通项公式： (2)记数列ab,}的前n项和为Sn,求满足Sn<2026的最大正整数n. 2.(2026四川遂宁·模拟预测)已知a}是等差数列，{bn}是等比数列，且4=b=3,42+a4=2b2, aa3=b3」 (1)求{an}和bn}的通项公式： (2)求数列1a,-18}的前n项和. 28 3.(2026辽宁朝阳三模)已知数列{a}的前n项和为Sn,满足2a。=2+S,公差大于零的等差数列b.} 满足6=4-1,4为b2与b的等比中项， (1)求数列{a}和{b,}的通项公式： (2)设C。=(-l)(an+b.),Tn为数列{c}的前n项和，求To. 4.(2026广西南宁模拟预测)己知数列{a}的前n项和为S,a=1,Sn=n2,数列{b}满足 b=1,bn1=2bn+1 (1)求数列{a},{b,}的通项公式： an,n为奇数 ②若数列{c}满足6.-6，n为偶数，求数列{c}的前20项和7，'（注：结果可保留指数形式） 29