第2章 章末复习课 一元二次函数、方程和不等式（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学单元复习讲义以知识网络框架图系统构建不等式板块的知识体系，涵盖不等式性质、基本不等式求最值、一元二次不等式解法、恒成立问题及实际应用，通过例题解析与反思感悟串联知识点内在逻辑，突出作差法、参数讨论等重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与素养导向的方法指导，如例5通过商品营业额问题引导学生构造数学模型，培养数学建模与数学运算素养，跟踪训练覆盖基础判断与含参不等式求解，帮助不同层次学生提升逻辑推理能力，为教师实施精准复习教学提供清晰路径。

一、不等式及其性质 1.不等式的性质常用来比较大小、判断与不等式有关的命题的真假和证明不等式,防止由于考虑不全面出现错误,有时也可结合特殊值法求解. 2.掌握不等式的性质,重点提升数学抽象和逻辑推理素养. 例1　(1)若a,b,c∈R,则下列说法正确的是(　　) A.若a>b,则a2>b2 B.若c<a,则cb<ab C.若ab≠0且a<b,则> D.若a>b,则a＋c>b＋c 答案　D 解析　对于A,取a＝1,b＝－2, 则有a2<b2,故A错误； 对于B,取b＝0,则有cb＝ab,故B错误； 对于C,取a＝－1,b＝2, 则有<故C错误； 对于D,若a>b,则a＋c>b＋c,故D正确. (2)若A＝a2＋3ab,B＝4ab－b2,则A,B的大小关系是(　　) A.A≤B B.A≥B C.A<B或A>B D.A>B 答案　B 解析　∵A－B＝a2＋3ab－(4ab－b2) ＝b2≥0, ∴A≥B. 反思感悟　不等式及其性质的两个关注点 (1)作差法是比较两个实数大小的基本方法. (2)应用不等式的基本性质可以证明不等式,但一定要注意应用条件；当判断不等式是否成立时,也常常选择特殊值法. 跟踪训练1　(1)下列四个命题中,为真命题的是(　　) A.若a>b,则a>b B.若a>b,c<d,则a－c<b－d C.若a>b,则a3>b3 D.若a>b,则> 答案　C 解析　当c＝0时,A选项不成立,为假命题； ∵c<d,∴－c>－d,又a>b, ∴a－c>b－d,故B选项为假命题； 当a＝2,b＝1时,D选项不成立,为假命题； 由不等式的基本性质a>b可得a3>b3,C选项为真命题. (2)若1≤a≤5,－1≤b≤2,则a－b的取值范围为　　　　　　　　.  答案　{a－b|－1≤a－b≤6} 解析　∵－1≤b≤2,∴－2≤－b≤1, 又1≤a≤5, ∴－1≤a－b≤6. 二、利用基本不等式求最值 1.基本不等式是每年高考的热点,主要考查命题判断、不等式证明以及求最值问题,特别是求最值问题往往与实际问题相结合,同时在基本不等式的使用条件上设置一些问题,实际上是考查学生恒等变形的技巧,另外,基本不等式的和与积的转化在高考中也经常出现. 2.熟练掌握基本不等式及其应用,重点提升数学抽象和数学运算素养. 例2　(1)(－6<a<3)的最大值为(　　) A.9 B. C.3 D. 答案　B 解析　∵－6<a<3,则3－a>0,a＋6>0. ∴由基本不等式得≤当且仅当3－a＝a＋6, 即a＝－时,等号成立. (2)已知a,b,c均为正实数,若＝1,则a＋b＋c的最小值为　　　　.  答案　6 解析　a＋b＋c＝[a＋(b＋2)＋(c＋1)]·－3 ＝－3≥3＋2＋2＋2－3＝6, 当且仅当a＝b＋2＝c＋1＝3,即a＝3,b＝1,c＝2时等号成立, 故a＋b＋c的最小值为6. 反思感悟　基本不等式的关注点 (1)前提：“一正”“二定”“三相等”. (2)配凑：要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式. (3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形,利用常数“1”代换的方法；三是配凑法. 跟踪训练2　设实数a>0,x＋(x>－2)的最小值为6,则a＝　　　　.  答案　16 解析　因为x>－2,a>0, 所以x＋＝x＋2＋－2≥2－2,当且仅当x＋2＝即x＝－2时等号成立, 则2－2＝6,a＝16. 三、一元二次不等式的解法 1.对于实数的一元二次不等式(分式不等式)首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏. 3.掌握不等式的解法,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例3　若不等式ax2＋5x－2>0的解集是. (1)求a的值； (2)求不等式>a＋5的解集. 解　(1)依题意,可得方程ax2＋5x－2＝0的两个实数根为和2,且a<0. 由根与系数的关系,得解得a＝－2. (2)将a＝－2代入不等式,得>3, 即－3>0, 整理得>0,即(x＋1)(x＋2)<0, 解得－2<x<－1, 则不等式的解集为{x|－2<x<－1}. 反思感悟　(1)对于实数的一元二次不等式(分式不等式),首先转化为标准形式(二次项系数为正),然后能分解因式的变成因式相乘的形式,从而得到不等式的解集. (2)一元二次不等式解集的端点值就是对应一元二次函数的零点,也是一元二次方程的根. 跟踪训练3　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. 解　①当a＝0时,原不等式即为－x＋1<0, 解得x>1. ②当a<0时,原不等式化为(x－1)>0, 解得x<或x>1. ③当a>0时,原不等式化为(x－1)<0. 若a＝1,即＝1,不等式无解； 若a>1,即<1,解得<x<1； 若0<a<1,即>1,解得1<x<. 综上可知,当a<0时,不等式的解集为； 当a＝0时,不等式的解集为{x|x>1}； 当0<a<1时,不等式的解集为； 当a＝1时,不等式的解集为∅； 当a>1时,不等式的解集为. 四、不等式恒成立问题 1.熟练掌握二次不等式恒成立的等价条件,理解不等式恒成立与最值的关系,对于含参的不等式要注意对参数进行讨论,做到不重不漏. 2.掌握不等式恒成立的条件,重点提升逻辑推理和数学运算素养. 例4　已知函数y＝x2＋ax＋3. (1)当x∈R时,y≥a恒成立,求a的取值范围； (2)当4≤a≤6时,y≥0恒成立,求x的取值范围. 解　(1)由题意知,当x∈R时,x2＋ax＋3－a≥0恒成立, 则Δ＝a2－4(3－a)≤0,即a2＋4a－12≤0, 解得－6≤a≤2, 故a的取值范围为{a|－6≤a≤2}. (2)将y＝xa＋x2＋3看作关于a的一次函数, 当4≤a≤6时,y≥0恒成立,只需在a＝4和a＝6时y≥0即可, 即 解得x≤－3－或x≥－3＋ 故x的取值范围是{x|x≤－3－或x≥－3＋}. 反思感悟　解决不等式恒成立问题的方法 (1)将一元二次不等式、判别式与图象相结合. (2)分离参数法. (3)转化为最大(小)值问题. 跟踪训练4　已知x>0,y>0,且＝2,若x＋2y>m2－3m－1恒成立,则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≤－1或m≥4} B.{m|m≤－4或m≥1} C.{m|－1<m<4} D.{m|－4<m<1} 答案　C 解析　由＝2得2y＋x＋1＝2(x＋1)y,所以x＋1＝2xy,所以2y＝1＋ 所以x＋2y＝x＋＋1≥2＋1＝3,当且仅当x＝1,y＝1时,等号成立, 所以(x＋2y)min＝3, 所以x＋2y>m2－3m－1恒成立, 可化为3>m2－3m－1,即m2－3m－4<0, 解得－1<m<4. 所以实数m的取值范围是{m|－1<m<4}. 五、通过构造数学模型解决生活中的问题 1.不等式的应用题常以函数为背景,多是解决现实生活、生产中的优化问题,在解题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值,根据题设条件构建数学模型是解题关键. 2.利用不等式解决实际应用问题,重点提升数学建模素养和数学运算素养. 例5　某商品的成本价为80元/件,售价为100元/件,每天售出100件,若售价降低x成(1成＝10%),售出商品的数量就增加x成,要求售价不能低于成本价. (1)设该商品一天的营业额为y元,试求出y与x(x≥0)之间的函数关系式； (2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围. 解　(1)依题意得y＝100·100. 又售价不能低于成本价, 所以100－80≥0,解得x≤2, 所以y＝40(10－x)(25＋4x)(0≤x≤2). (2)依题意得,40(10－x)(25＋4x)≥10 260, 化简得8x2－30x＋13≤0,解得≤x≤. 又0≤x≤2, 所以x的取值范围为. 反思感悟　解决实际问题的关注点 (1)审题要准,初步建模. (2)设出变量,列出函数关系式. (3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题. 跟踪训练5　某自来水厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的二级净水处理池(如图).池的深度一定,池的外围周壁建造单价为每米400 元,中间的一条隔壁建造单价为每米100 元,池底建造单价为每平方米60 元,池壁厚度忽略不计.问净水池的长为多少时,可使总造价最低？ 解　设水池的长为x m,则宽为 m. 总造价y＝400＋100·＋200×60 ＝800＋12 000 ≥800×2＋12 000＝36 000, 当且仅当x＝即x＝15时,等号成立,此时y取得最小值36 000. 所以当净水池的长为15 m时,可使总造价最低. 学科网（北京）股份有限公司 $