第1章 章末复习课 集合与逻辑（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（湘教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了集合的基本概念、关系、运算及充分条件、全称量词等核心内容，通过知识网络将各知识点逻辑串联，构建从概念到应用的完整知识体系，体现内在联系与递进关系。 其亮点在于采用“知识点解析-典型例题-反思感悟-跟踪训练”模式，如集合运算结合数轴分析培养数学运算素养，充要条件判断强化逻辑推理，分层训练满足不同学生需求，助力知识巩固与教师精准教学。

章末复习课 第1章　集合与逻辑 <<< 知识网络 一、集合的基本概念 二、集合间的基本关系 三、集合的基本运算 内容索引 四、充分条件与必要条件 五、全称量词与存在量词 集合的基本概念 一 1.理解集合的概念、集合的特点、常用数集的表示、元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能根据具体问题选择不同的表示方法，能在不同的表示方法之间进行转换. 2.掌握集合的基本概念，提升逻辑推理和数学抽象素养. 　　　已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是 A.1 B.3 C.5 D.9 例 1 √ ①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2； ②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1； ③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0. 综上可知，x－y的可能取值为－2，－1，0，1，2，共5个. 解析 6 解决集合的概念问题应关注两点 (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 反 思 感 悟 7 　　　　　已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为 A.2 B.3 C.0 D.－2　　 跟踪训练 1 由2∈A可知，m＝2或m2－3m＋2＝2.若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相矛盾，当m＝3时，此时集合A＝{0，3，2}，符合题意，故m的值为3. 解析 √ 8 二 集合间的基本关系 1.集合间的基本关系包括包含、真包含、相等.能从实例中抽象并识别出子集、真子集、空集的概念，能根据集合间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想求参数的值或范围. 2.掌握集合间的基本关系，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养. 　　　 已知集合A＝{x|x<－1或x≥1}，B＝{x|2a<x≤a＋1，a<1}，若B⊆A， 则实数a的取值范围为　　　　 .  例 2 11 因为a<1，所以2a<a＋1， 所以B≠∅. 画数轴如图所示. 由B⊆A知，a＋1<－1或2a≥1. 即a<－2或a≥. 由已知a<1，所以a<－2或≤a<1， 即实数a的取值范围为. 解析 12 反 思 感 悟 处理集合间关系问题的关键点 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，要分类讨论，讨论时要不重不漏. 13 　已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>4}，若A⊆B，则实数a的取值范围是　　　　　　　.  跟踪训练 2 a<－4或a>2 当A＝∅时，2a>a＋3，即a>3，满足A⊆B； 当A≠∅时，若A⊆B， 则 解得a<－4或2<a≤3. 综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2. 解析 14 三 集合的基本运算 1.集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 2.掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养. 　 (多选)已知集合A＝(－∞，2)，B＝{x|3－2x>0}，则 A.A∩B＝ B.A∩(∁RB)＝ C.A∪B＝ D.(∁RA)∪B＝R 例 3 √ √ 17 因为A＝(－∞，2)，B＝{x|3－2x>0}＝ ∁RA＝[2，＋∞)，∁RB＝ 所以A∩B＝ A∩(∁RB)＝A∪B＝(－∞，2)， (∁RA)∪B＝∪[2，＋∞). 解析 18 (1)定义法或Venn图法：集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解. (2)数轴法：集合是用不等式(组)给出的，运算时可先将不等式在数轴中表示出来，然后借助数轴求解. 反 思 感 悟 19 　　　　　　已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 跟踪训练 3 √ 联立解得或 因此M∩N中的元素个数为2. 解析 20 充分条件与必要条件 四 1.若p⇒q，且q　 p，则p是q的充分而不必要条件，同时q是p的必要而不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养. 　 设集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|2－a<x<2＋a}. (1)若a＝2，求A∪B和A∩B； 例 4 A＝{x|－1<x<3}. 因为a＝2，所以B＝{x|0<x<4}， 所以A∪B＝{x|－1<x<4}，A∩B＝{x|0<x<3}. 解 23 (2)设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要而不充分条件，求实数a的取值范围. 因为p是q成立的必要而不充分条件， 所以B　A， 当B＝∅时，2－a≥2＋a，得a≤0，满足B　A； 当B≠∅时等号不能同时取到. 得0<a≤1，所以实数a的取值范围是{a|a≤1}. 解 24 反 思 感 悟 充分、必要、充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假. (2)利用集合间的包含关系判断：设p对应的集合为A，q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A　B，则p是q的充分而不必要条件或q是p的必要而不充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件. 25 　已知集合A＝{x|m－1<x<m2＋1}，B＝{x|－2<x<2}. (1)当m＝2时，求A∪B，A∩B； 跟踪训练 4 B＝{x|－2<x<2}， 当m＝2时，A＝{x|1<x<5}， 所以A∩B＝{x|1<x<2}，A∪B＝{x|－2<x<5}. 解 26 (2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分而不必要条件，求实数m的取值范围. 由题意，可得集合A是集合B的真子集， 因为m－1<m2＋1恒成立，所以集合A非空. 所以等号不能同时取到， 解得－1≤m≤1，经检验m＝－1不符合题意， 所以－1<m≤1. 解 27 全称量词与存在量词 五 1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题.对含有一个量词的全称量词命题和存在量词命题进行否定时，首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后对结论进行否定. 2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养. 　命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数. (1)写出命题p的否定； 例 5 命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0. 解 30 (2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？ 要使命题p的否定为真，需要使不等式组的解集不为空集， 通过画数轴(图略)可看出a，b应满足的条件是b<a. 解 31 反 思 感 悟 全称量词命题与存在量词命题问题的关注点 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论. (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. 32 　若对∀x∈{x|－2<x<4}，恒有1－a<x<3a＋1成立，求实数a的取值范围. 跟踪训练 5 设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|1－a<x<3a＋1}， 由题意知，A⊆B，则解得a≥3. 故实数a的取值范围为{a|a≥3}. 解 33 第1章　集合与逻辑 <<< $