第7章 7.3.3 第2课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(二)（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，涵盖已知图象求解析式及性质综合应用。通过问题“确定三角函数解析式需要哪些参数？”导入，衔接正弦函数基础，以“逐一定参法”“图象变换法”为支架，构建从参数确定到性质应用的知识脉络。 其亮点是结合例题解析与跟踪训练，运用“五点法”“整体代换”等方法，培养数学思维（推理能力、运算能力）。用表格系统总结性质，体现数学语言的简洁性，帮助学生发展抽象能力和应用意识，教师可借助资料系统教学，提升学生解决综合问题的能力。

第2课时 第7章　§7.3　7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ) <<< 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质(二) 掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，并能解决有关问题. 学习目标 一、已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 二、函数y=Asin(ωx+φ)性质的综合应用 课时对点练 内容索引 一 已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 提示　A，ω，φ的值. 确定三角函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，需要确定三角函数的哪些参数？ 问题1 　　　如图是函数y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，求此函数的解析式. 例 1 6 方法一　(逐一定参法) 由图象知A=3，T=-=π， ∴ω==2，∴y=3sin(2x+φ). ∵点在函数图象上， ∴-×2+φ=0+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<∴φ=∴y=3sin. 解析 7 方法二　(图象变换法) 由图象知A=3，T=π，点在图象上，可知函数图象由y=3sin 2x向左平移个单位长度而得， ∴y=3sin 2即y=3sin. 解析 8 给出y=Asin(ωx+φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一点”的数据代入“ωx+φ=0”(要注意正确判断哪一点是“第一点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx+φ=+2kπ，k∈Z. (2)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y=Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数. 反 思 感 悟 9 　　　　　(1)已知函数y=sin的部分图象如图所示，则 A.ω=1，φ= B.ω=1，φ=- C.ω=2，φ= D.ω=2，φ=- 跟踪训练 1 √ 10 依题意得T==4×=π， 所以ω=2. 又sin=sin=1， 所以+φ=+2kπ，k∈Z， 所以φ=-+2kπ，k∈Z， 由|φ|<得φ=-. 解析 11 (2)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为且图象上一个最低点为M求f(x)的解析式. 12 由最低点M得A=2. 在x轴上两相邻交点之间的距离为 故=即T=π，ω===2. 由点M在图象上得2sin=-2，即sin=-1， 故+φ=+2kπ，k∈Z， ∴φ=+2kπ，k∈Z，又φ∈ ∴φ=.故f(x)=2sin. 解 13 二 函数y=Asin(ωx+φ)性质的综合应用 提示　可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx+φ整体代换正弦函数中的x即可. 你能用正弦函数y=sin x的性质类比三角函数y=Asin(ωx+φ)的性质吗？ 问题2 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0 定义域 R 值域 ________ 周期性 ______ 对称性 对称中心(k∈Z)； 对称轴x=+(k∈Z) 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0的有关性质 [-A，A] T= 知识梳理 16 函数y=Asin(ωx+φ)，A>0，ω>0 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ=kπ+(k∈Z)时是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 17 　　　在下列三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答. ①f(x)的最小正周期为π，且f(x)是偶函数； ②f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，且f=0； ③x=0与x=是f(x)图象上相邻的两条对称轴，且f(0)=2. 问题：已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，若　　　　.  (1)求ω，φ的值； 例 2 18 方案一：选条件①. ∵f(x)的最小正周期为π， ∴T==π，∴ω=2.又f(x)是偶函数， ∴f(0)=2sin φ=±2，∴φ=kπ+k∈Z， 又0<φ<π，∴φ=. 解 19 方案二：选条件②. ∵函数f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为π，∴T==π，∴ω=2，又f=0， ∴sin=0，即cos φ=0， ∴φ=kπ+k∈Z.又0<φ<π，∴φ=. 解 20 方案三：选条件③， ∵x=0与x=是f(x)图象上相邻的两条对称轴，∴=即T==π. ∴ω=2，又f(0)=2sin φ=2，∴sin φ=1， ∴φ=2kπ+k∈Z.又0<φ<π，∴φ=. 解 21 (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的函数图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)在[0，π]上的减区间. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22 方案一：选条件①. 由(1)知，f(x)=2sin=2cos 2x， 将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到y=2cos的图象. 再将横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变， 得到g(x)=2cos的图象. 由2kπ≤-≤2kπ+π，k∈Z. 解 23 当k=0时≤x≤ ∵0≤x≤π，∴≤x≤π， ∴g(x)在[0，π]上的减区间是. 方案二：选条件②. 同方案一. 方案三：选条件③， 同方案一. 解 24 (1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)和余弦型函数y=Acos(ωx+φ)不一定具备奇偶性.对于函数y=Asin(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数；对于函数y=Acos(ωx+φ)，当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数. 反 思 感 悟 25 (2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 ①结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间. ②采用“换元”法整体代换，将ωx+φ看作一个整体，可令“z=ωx+φ”，即通过求y=Asin z的单调区间而求出函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间.若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间. 反 思 感 悟 26 　　　　　(1)(多选)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的可能取值为 A. B. C.0 D.- 跟踪训练 2 √ √ √ 27 将函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度后，得到y=sin的图象，因为它是偶函数，所以φ+=+kπ，k∈Z，即φ=+kπ，k∈Z，当k=0时，φ=.当k=-1时，φ=-.当k=1时，φ=故选ABD. 解析 28 (2)若f(x)=sin 2ωx+1(ω>0)在区间上单调递增，则ω的最大值 为　　.  因为f(x)=sin 2ωx+1(ω>0)在区间上单调递增，可得-·2ω ≥-且·2ω≤解得ω≤故ω的最大值为. 解析 29 1.知识清单： (1)由图象求三角函数的解析式. (2)三角函数的性质的综合应用. 2.方法归纳：特殊点法、数形结合法. 3.常见误区：求φ值时增区间上与x轴的交点和减区间上与x轴的交点的区别. 课堂小结 课时对点练 三 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 AD C A D C ABC 3+　 题号 11 12 13 14 　15 答案 B D AC 8 ABC 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)易知A= T=4×[2-(-2)]=16， 所以ω== 所以f(x)=sin 将点(-2，0)代入得sin=0， 所以-+φ=0+2kπ，k∈Z， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以φ=+2kπ，k∈Z， 因为-<φ< 所以φ= 所以f(x)=sin. (2)由-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 解得16k-6≤x≤16k+2，k∈Z， 所以f(x)的增区间为[16k-6，16k+2]，k∈Z. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意知A=3，T===5π， 所以ω=. 由f(x)=3sin的图象过点 得sin=0， 又|φ|<所以φ=- 所以f(x)=3sin. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由f(x+m)=3sin=3sin为偶函数(m>0)， 知-=kπ+(k∈Z)， 即m=kπ+(k∈Z). 因为m>0，所以mmin=. 故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题图知A=2，由函数图象过点(0，1)， 得f(0)=1，即sin φ= 又|φ|<所以φ=. 易知点是五点法作图中的第五点， 所以ω+=2π，所以ω=2. 因此所求函数的解析式为f(x)=2sin. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示. 因为f(x)的最大值为2，令lg x=2，得x=100， 令+kπ<100(k∈Z)， 得k≤30(k∈Z). 而+31π>100， 且+30π+<100， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以在区间(0，100]内有31个形如 (k∈Z，0≤k≤30)的区间. 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点. 另外，两函数的图象在上还有一个交点， 所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解. 基础巩固 1.(多选)若函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x有f=f则f等于 A.-3 B.-1 C.0 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于函数f(x)=3sin(ωx+φ)对任意x都有f=f 则函数f(x)的图象关于直线x=对称， 则f是函数f(x)的最大值或最小值， 则f=-3或3. 解析 √ 2.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图，则其解析式为 A.f(x)=2sin B.f(x)=sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图象知，A=2，T=-=π， 所以ω=2，又函数图象过点 所以2sin=0， 所以-+φ=2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z，φ可取 所以f(x)=2sin. 解析 3.已知函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两条对称轴之间的距离为要得到y=f(x)的图象，只需把y=cos ωx的图象 A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得=2×故ω=2. y=cos 2x的图象向右平移个单位长度可得 y=cos 2=cos的图象. 解析 4.将函数f(x)=sin 4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将函数f(x)=sin 4x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得y=sin 2x，再向左平移φ(φ>0)个单位长度后得y=sin 2(x+φ)=sin(2x+2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ=kπ+(k∈Z)，即φ=+(k∈Z)，取k=0，得φ的最小值为. 解析 5.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)在一个周期内，当x=时有最大值2，当x=时有最小值-2，则ω和φ的值分别为 A.4 B.2 C.2 D.1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，T=2×=π， 所以ω==2.又因为当x=时有最大值2， f=2sin=2sin=2， 所以+φ=+2kπ，k∈Z，且|φ|≤ 所以φ=. 解析 6.(多选)函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法不正确的是 A.关于点对称 B.关于直线x=-对称 C.关于点对称 D.关于直线x=对称 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将函数f(x)=cos(2x+φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y=cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得-+φ=kπ+ k∈Z，又|φ|< 所以φ=-所以f(x)=cos. 令x=-求得f(x)=cos=- 故A不正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=-求得f(x)=cos=0， 故B不正确. 令x=求得f(x)=cos 0=1，为函数的最大值，故C不正确，D正确. 解析 7.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则A+ω+φ=______. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图可知A=2=-=所以T=2π，所以ω=1. 再根据f=2得sin=1，所以+φ=+2kπ(k∈Z)， 即φ=+2kπ(k∈Z).又因为-<φ< 所以φ=因此A+ω+φ=3+. 解析 3+ 8.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，0≤φ<2π，若∀x∈R，f(x)≤f恒成立，则 φ=　 　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为∀x∈R，f(x)≤f恒成立， 所以函数f(x)=sin(2x+φ)在x=时取最大值， 即f=sin=1， 所以2×+φ=+2kπ，k∈Z， 即φ=-+2kπ=-+2kπ，k∈Z， 又因为0≤φ<2π，所以φ=. 解析 9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知A=T=4×[2-(-2)]=16， 所以ω== 所以f(x)=sin 将点(-2，0)代入得sin=0， 所以-+φ=0+2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为-<φ< 所以φ= 所以f(x)=sin. 解 (2)写出f(x)的增区间. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z， 解得16k-6≤x≤16k+2，k∈Z， 所以f(x)的增区间为[16k-6，16k+2]，k∈Z. 解 10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的一段图象如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知A=3，T===5π， 所以ω=. 由f(x)=3sin的图象过点 得sin=0， 又|φ|<所以φ=- 所以f(x)=3sin. 解 (2)至少把f(x)的图象向左平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由f(x+m)=3sin =3sin为偶函数(m>0)， 知-=kπ+(k∈Z)， 即m=kπ+(k∈Z). 因为m>0，所以mmin=. 故至少把f(x)的图象向左平移个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数. 解 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，|φ|<则 A.B=4 B.φ= C.ω=1 D.A=4 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由函数图象可知f(x)min=0，f(x)max=4. 所以A==2，B==2. 由周期T==4×=π知ω=2. 由f=4得2sin+2=4， sin=1， 所以+φ=+2kπ，k∈Z， 所以φ=+2kπ，k∈Z， 又|φ|<故φ=. 解析 12.设函数f(x)=sin(ωx+φ)，ω>0.若f(x)在区间上单调，且f= f=-f则f(x)的最小正周期为 A. B.2π C.4π D.π 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)=sin(ωx+φ)在区间上单调，ω>0， 所以-≤== 解得0<ω≤3. 又因为f=f=-f 所以直线x==为f(x)=sin(ωx+φ)的图象的一条对称轴，又= 所以点为f(x)=sin(ωx+φ)的图象的一个对称中心. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为0<ω≤3，所以直线x=与点为同一周期里相邻的对称轴和对称中心， 所以T=4=π. 解析 13.(多选)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，下列说法正确的是 A.f(x)的最小正周期是2π B.f(x)的图象关于直线x=-对称 C.f(x)在上单调递减 D.该函数的图象可由y=2cos x的图象向左平移个单位长度得到 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 观察图象可得函数f(x)=Asin的最小 值为-2，故A=2. 设函数f(x)的最小正周期为T，由图象知T=则T=2π，故ω=1，故A 正确； 由f=-2可得-2=2sin又|φ|< 所以φ=所以f(x)=2sin 因为-+≠kπ+故B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由2kπ+≤x+≤2kπ+k∈Z，可得2kπ+≤x≤2kπ+k∈Z， 所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)， 取k=-1知，函数f(x)在上单调递减， ⊆故C正确； 将y=2cos x的图象向左平移个单位长度后得到y=2cos=2sin =2sin的图象，故D错误. 解析 14.方程2sin πx=在x∈[-2，1)∪(1，4]内的所有实数解之和为　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 作函数y=2sin πx与y=的图象如图所示， 由图可知，在[-2，1)∪(1，4]共有8个公共点， 所以方程有8个实数解. 易知两函数图象都关于点(1，0)中心对称，设8个交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，…，x8，则x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2，从而x1+x2 +…+x8=8， 所以原方程在x∈[-2，1)∪(1，4]内的所有实数解之和为8. 解析 15.(多选)已知函数f(x)=Acos(2x+φ)-1(A>0，0<φ<π)，若函数y=|f(x)|的部分图象如图所示，则关于函数g(x)=Asin(Ax-φ)，下列结论正确的是 A.函数g(x)的图象关于直线x=对称 B.函数g(x)的图象关于点对称 C.函数g(x)在上的减区间为 D.函数g(x)的图象可由函数y=f(x)+1的图象向左平移个单位长度得到 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得 所以A=2，所以f(x)=2cos(2x+φ)-1. 由|f(0)|=|2cos φ-1|=2， 得cos φ=(舍去)或cos φ=-. 因为0<φ<π，所以φ= 所以f(x)=2cos-1，g(x)=2sin. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令2x-=+kπ，k∈Z，得x=+k∈Z， 所以当k=-1时，函数g(x)的图象关于直线x=对称，故A正确； 令2x-=k1π，k1∈Z，得x=+k1∈Z， 所以当k1=0时，函数g(x)的图象关于点对称，故B正确； 令-+2k2π≤2x-≤-+2k2π，k2∈Z， 所以-π+k2π≤x≤+k2π，k2∈Z， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以当k2=0时，g(x)在上单调递减， 所以g(x)在上单调递减，故C正确； f+1=2cos=-2cos 2x≠g(x)，故D错误. 解析 16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)求函数f(x)的解析式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图知A=2，由函数图象过点(0，1)， 得f(0)=1，即sin φ= 又|φ|<所以φ=. 易知点是五点法作图中的第五点， 所以ω+=2π，所以ω=2. 因此所求函数的解析式为f(x)=2sin. 解 (2)求方程f(x)-lg x=0的解的个数. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在同一平面直角坐标系中作函数y=f(x)和函数y=lg x的图象如图所示. 因为f(x)的最大值为2，令lg x=2，得x=100， 令+kπ<100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z). 而+31π>100，且+30π+<100， 所以在区间(0，100]内有31个形如 (k∈Z，0≤k≤30)的区间. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有两个交点，故这两个函数的图象在上有2×31=62(个)交点. 另外，两函数的图象在上 还有一个交点， 所以方程f(x)-lg x=0共有63个实数解. 解 第7章　§7.3　7.3.3　函数y=Asin(ωx+φ) <<< $