第7章 7.1.1 任意角（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件围绕任意角的概念、终边相同的角及象限角展开，通过初中角的范围局限和体操旋转等现实问题导入，衔接旧知，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动结合生活实例培养数学眼光，通过分类讨论和数形结合发展数学思维，例题与跟踪训练强化数学语言表达。课堂小结系统梳理知识方法，助力学生掌握，教师可借课时对点练提升教学效率。

7.1.1 任意角 第7章　§7.1　角与弧度 <<< 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角. 2.了解象限角的概念. 3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合. 学习目标 我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角，利用这些角，能够表示圆周上某些点P.但要表示圆周上周而复始地运动着的点，仅有这些角是不够的.例如：点P绕圆心旋转一周半，所在位置怎样用角来表示？又如在体操、花样游泳、跳水等项目中，常常听到“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”等这样的解说，我们应怎样理解呢？为了解决这些问题，今天我们来学习任意角. 导 语 一、任意角的概念 二、终边相同的角 课时对点练 三、象限角、区域角 内容索引 任意角的概念 一 提示　角可以看成从同一顶点出发的两条射线所成的图形，角的范围是0°~360°. 在初中是如何定义角的？角的范围是多少？ 问题1 任意角 (1)角的概念： 一个角可以看作平面内一条_____绕着它的端点从一个位置_____到另一个位置所形成的_____. (2)角的表示： 如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：____，终边：____，顶点：____. 射线 旋转 图形 OA OB O 知识梳理 名称 定义 图示 正角 一条射线绕其端点按_______方向旋转所形成的角   负角 一条射线绕其端点按_______方向旋转所形成的角   零角 一条射线_____作任何旋转形成的角   (3)角的分类： 逆时针 顺时针 没有 (4)角的加法与减法 设α，β是任意两个角，___为角α的相反角. ①α+β：把角α的_____旋转角β. ②α-β：α-β=______. -α 终边 α+(-β) 　　 (1)若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为 A.120° B.-120° C.-60° D.60° 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为-×360° =-120°. 解析 例 1 √ 10 (2)运动员顺时针旋转两圈半所形成的角的度数是　　　，逆时针旋转两圈半所形成的角的度数是　　　.  -900° 900° 顺时针旋转两圈半所形成的角的度数是-(2×360°+180°)=-900°，则逆时针旋转两圈半所形成的角的度数是900°. 解析 11 理解与角的概念有关问题的关键 正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 反 思 感 悟 12 　　　　　如图(1)，∠AOC=　　　；如图(2)，∠AOC=　　　.  跟踪训练 1 110° -70° 13 二 终边相同的角 提示　给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°的终边和390°的终边相同，它们正好相差了360°. 给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 问题2 终边相同的角 一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β=k·360°+α，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 知识梳理 (1)已知α=-1 845°，在与α终边相同的角中，求满足下列条件的角. ①最小的正角； 例 2 因为-1 845°=-45°+(-5)×360°， 即-1 845°角与-45°角的终边相同， 所以与角α终边相同的角的集合是 {β|β=-45°+k·360°，k∈Z}， 最小的正角为315°. 解 17 ②最大的负角； 最大的负角为-45°. 解 ③-360°~720°之间的角. -360°~720°之间的角分别是-45°，315°，675°. 解 18 (2)写出终边在直线y=-x上的角的集合. 终边在y=-x(x<0)上的角的集合是S1={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}； 终边在y=-x(x≥0)上的角的集合是S2={α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}. 因此，终边在直线y=-x上的角的集合是S=S1∪S2={α|α=120°+k1·360°，k1∈Z}∪{α|α=300°+k2·360°，k2∈Z}， 即S={α|α=120°+2k1·180°，k1∈Z}∪{α|α=120°+(2k2+1)·180°，k2∈Z}={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 故终边在直线y=-x上的角的集合是S={α|α=120°+n·180°，n∈Z}. 解 19 终边相同的角的表示 (1)与角α终边相同的角都可以表示成α+k·360°(k∈Z)的形式. (2)终边相同的角相差360°的整数倍. (3)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. (4)终边相同的角的表示形式不唯一，如{x|x=k·360°-90°，k∈Z}与{x|x=k·360°+270°，k∈Z}均表示终边在y轴的非正半轴上的角的集合. 反 思 感 悟 20 　　　　　下列角的终边与37°角的终边在同一直线上的是 A.-37° B.143° C.379° D.-143° 跟踪训练 2 与37°角的终边在同一直线上的角可表示为k·180°+37°，k∈Z，当k=-1时，37°-180°=-143°. 解析 √ 21 象限角、区域角 三 象限角 以角的顶点为_________，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的_____(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几_______；如果角的终边在_________，称这个角为轴线角. 坐标原点 终边 象限角 坐标轴上 (1)锐角是第一象限角，第一象限角未必是锐角；钝角是第二象限角，第二象限角未必是钝角；直角的终边在坐标轴上，它不属于任何象限. (2)每一个象限都有正角和负角. (3)无法比较两个象限角的大小. 注 意 点 <<< 　　　(1)(课本例1)在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角： ①650°； 例 3 因为650°=360°+290°，所以650°的角与290°的角终边相同，是第四象限角. 解 25 ②-150°； 因为-150°=-360°+210°，所以-150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角. 解 26 ③-990°15'. 因为-990°15'=-3×360°+89°45'，所以-990°15'的角与89°45'的角终边相同，是第一象限角. 解 27 (2)(课本例2)已知α与240°角的终边相同，判断是第几象限角. 由α=k·360°+240°(k∈Z)，可得=k·180°+120°(k∈Z). 若k为偶数，设k=2n，n∈Z，则=n·360°+120°(n∈Z)， 从而与120°角的终边相同，是第二象限角； 若k为奇数，设k=2n+1，n∈Z，则=n·360°+300°(n∈Z)， 从而与300°角的终边相同，是第四象限角. 因此是第二或第四象限角. 解 28 　　　(1)(多选)下列四个角为第二象限角的是 A.-200° B.100° C.220° D.420° 例 3 -200°=-360°+160°，在0°~360°范围内，与-200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角. 解析 √ √ 29 (2)如果α与120°角的终边相同，那么2α是第几象限角？是第几象限角？ 30 由题意得α=120°+k·360°(k∈Z)， 所以2α=240°+2k·360°(k∈Z)， 所以2α与240°角的终边相同，是第三象限角. 又=60°+k·180°(k∈Z). ①若k=2n(n∈Z)，则=n·360°+60°(n∈Z)， 故与60°角的终边相同，是第一象限角； ②若k=2n+1(n∈Z)，则=n·360°+240°(n∈Z)，故与240°角的终边 相同，是第三象限角. 综上是第一或第三象限角. 解 31 (3)如图所示. ①写出终边落在射线OA，OB上的角的集合； 终边落在射线OA上的角的集合是{α|α=k·360°+210°，k∈Z}. 终边落在射线OB上的角的集合是{α|α=k·360°+300°，k∈Z}. 解 32 ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 {α|k·360°+210°≤α≤k·360°+300°，k∈Z}. 解 33 (1)象限角的判定方法 ①根据图象判定.利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的思想，因为0°~360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系. ②将角转化到0°~360°范围内.在直角坐标平面内，在0°~360°之间没有两个角终边是相同的. 反 思 感 悟 34 (2)表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界(实线含边界，虚线不含边界). 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的0°~360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α<x<β}，其中β-α<360°. 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合. 反 思 感 悟 35 1.知识清单： (1)任意角的概念. (2)终边相同的角. (3)象限角、区域角的表示. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z. 课堂小结 课时对点练 四 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D C ABC C D {α|α=k·360°+180°，k∈Z} 题号 8 11 12 13 14 15 答案 C D D 72° (1)-135°或225°　(2)18°或54°　(3)(2k+1)·180°，k∈N 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)α=-1 910°=-6×360°+250°，它是第三象限角. (2)令θ=n·360°+250°(n∈Z)， 取n=-1，-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°，250°-720°=-470°. 故θ=-110°或θ=-470°. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得 (1){α|k·360°+30°≤α≤k·360°+150°，k∈Z}. (2){α|k·360°-210°≤α≤k·360°+30°，k∈Z}. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知α+β=-280°+k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角，∴0°<α+β<180°. 取k=1，得α+β=80°， ① α-β=670°+k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角，∴-90°<α-β<90°. 取k=-2，得α-β=-50°， ② 由①②得α=15°，β=65°. 基础巩固 1.与-30°终边相同的角是 A.-330° B.150° C.30° D.330° √ 因为所有与-30°终边相同的角都可以表示为α=k·360°+(-30°)，k∈Z，取k=1，得α=330°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如果角α的终边上有一点P(0，-3)，那么α A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点P(0，-3)在y轴负半轴上，故α的终边为y轴的非正半轴，不是象限角. 解析 3.在平面直角坐标系中，下列结论正确的是 A.小于90°的角一定是锐角 B.终边与始边重合的角是零角 C.始边相同且相等的角的终边一定重合 D.始边相同且终边重合的角一定相等 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 小于90°的角不一定是锐角，如负角和零角均小于90°，但不是锐角，故A错误； 终边与始边重合的角还有360°角，720°角等，故B错误； 始边相同且相等的角的终边一定重合，故C正确； 始边相同且终边重合的角不一定相等，可以相差360°的整数倍，故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)下列四个角中，属于第二象限角的是 A.160° B.480° C.-960° D.1 530° √ 160°是第二象限角； 480°=120°+360°是第二象限角； -960°=-3×360°+120°是第二象限角； 1 530°=4×360°+90°不是第二象限角. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 5.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是 A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|k·360°-45°≤α≤k·360°+120°，k∈Z} D.{α|k·360°+120°≤α≤k·360°+315°，k∈Z} √ 如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°-45°≤α ≤k·360°+120°，k∈Z}. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.将角α的终边绕坐标原点O逆时针旋转60°后与130°角的终边重合，则与角α终边相同的角的集合为 A.{β|β=k×180°+90°，k∈Z} B.{β|β=k×360°+90°，k∈Z} C.{β|β=k×180°+150°，k∈Z} D.{β|β=k×360°+70°，k∈Z} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知α+60°=k×360°+130°，k∈Z， 解得α=k×360°+70°，k∈Z， 所以与角α终边相同的角的集合为{β|β=k×360°+70°，k∈Z}. 解析 7.终边落在x轴非正半轴上的角α的集合为　　　　　　 　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据终边相同角的表示方法，可得终边落在x轴非正半轴上的角α的集合为{α|α=k·360°+180°，k∈Z}. 解析 {α|α=k·360°+180°，k∈Z} 8.在0°~360°范围内，与角-60°的终边在同一条直线上的角为 _____________. 与角-60°的终边在同一条直线上的角可表示为β=k·180°-60°，k∈Z. ∵所求角在0°~360°范围内，∴0°≤k·180°-60°<360°，解得≤ k<k∈Z，∴k=1或2， 当k=1时，β=120°，当k=2时，β=300°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 120°，300° 9.已知α=-1 910°. (1)把α写成k·360°+β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； α=-1 910°=-6×360°+250°，它是第三象限角. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ<0°. 令θ=n·360°+250°(n∈Z)， 取n=-1，-2就得到符合-720°≤θ<0°的角. 250°-360°=-110°，250°-720°=-470°. 故θ=-110°或θ=-470°. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得 (1){α|k·360°+30°≤α≤k·360°+150°，k∈Z}. (2){α|k·360°-210°≤α≤k·360°+30°，k∈Z}. 解 10.写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是 A.90°-α B.90°+α C.360°-α D.180°+α √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　特例法，取α=30°，可知C正确. 方法二　因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z)，所以270°-k·360°<360°-α<360°-k·360°(k∈Z)，故360°-α是第四象限角. 解析 12.终边与坐标轴重合的角α的集合是 A.{α|α=k·360°，k∈Z} B.{α|α=k·180°+90°，k∈Z} C.{α|α=k·180°，k∈Z} D.{α|α=k·90°，k∈Z} √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 终边在坐标轴上的角大小为90°的整数倍， 所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α=k·90°，k∈Z}. 解析 13.已知α为第三象限角，则是 A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第四象限角 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　如图所示，将每个象限二等分，标号Ⅲ所在的区域即为所在的区域，故为第二或第四象限角. 方法二　∵180°+k·360°<α<270°+k·360°，k∈Z， ∴90°+k· 180°<<135°+k·180°，k∈Z. 当k=2n(n∈Z)时，90°+n·360°<<135°+n·360°， ∴为第二象限角； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k=2n+1(n∈Z)时，270°+n·360°<<315°+n·360°， ∴为第四象限角. 综上为第二或第四象限角. 解析 14.如图1是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A，B，C，D(视为点)，并四等分圆弧(如图2).小明从A点出发，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周运动，假设他每分钟转过的圆心角为θ(0°<θ<180°)，3分钟第一次到达劣弧CD之间(不包括C，D点)，15分钟时回到出发点A，则θ的值为　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72° 依题意知，小明3分钟转过3θ的圆心角，且180°<3θ<270°， 所以60°<θ<90°，又15分钟时回到出发点A， 所以15θ=k·360°，k∈N，所以θ=72°. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(1)若角α与135°角的终边关于x轴对称，且-360°<α<360°，则α= 　　　 　　　；  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -135°或225° 由题意得α=-135°+k·360°(k∈Z). 由-360°<-135°+k·360°<360°， 得-<k<又k∈Z， 所以k=0或1，所以α=-135°或225°. 解析 (2)若锐角α与角9α的终边关于y轴对称，则α=　　　　　；  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18°或54° 由题意得9α+k·360°=180°-α，k∈Z，则α=18°-k·36°，k∈Z，又0°<α<90°， 所以当k=0时，α=18°； 当k=-1时，α=54°，所以α=18°或54°. 解析 (3)若角α为正角，角β为负角，且α与β的终边关于原点对称，则α-β= 　　　　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2k+1)·180°，k∈N 由题意得α与β的终边在同一条直线上， 又角α为正角，角β为负角， 所以α-β=180°+k·360°=(2k+1)·180°(k∈N). 解析 16.已知α，β都是锐角，且α+β的终边与-280°角的终边相同，α-β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知α+β=-280°+k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角，∴0°<α+β<180°. 取k=1，得α+β=80°， ① α-β=670°+k·360°，k∈Z. ∵α，β为锐角，∴-90°<α-β<90°. 取k=-2，得α-β=-50°， ② 由①②得α=15°，β=65°. 解 第7章　§7.1　角与弧度 <<< $