第6章 §6.3 第2课时 对数函数图象与性质的综合应用（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学对数函数图象与性质的综合应用，系统梳理图象变换（平移、翻折等）、反函数概念（指数与对数函数关系）及实际应用（如奖励方案问题），构建从基础变换到概念理解再到实际建模的学习支架。 通过例题与延伸探究结合（如例1及平移、翻折变换）培养几何直观（数学眼光），反函数对比分析发展推理能力（数学思维），实际应用问题（例3销售利润模型）强化模型意识（数学语言）。课中助力教师高效授课，课后对点练帮助学生查漏补缺，巩固知识。

第2课时　对数函数图象与性质的综合应用 学习目标　1.掌握与对数函数有关的图象变换.2.了解反函数的概念.3.掌握对数函数的实际应用. 一、与对数函数有关的图象变换 例1　(课本例3)说明函数y=log3(x+2)与函数y=log3x的图象的关系. 解　比较函数y=log3(x+2)与y=log3x的取值关系，列表如表所示. x y=log3x y=log3(x+2) ︙ ︙ ︙ -1 / 0 -0.5 / log31.5 0 / log32 1 0 1 1.5 log31.5 log33.5 2 log32 log34 3 1 log35 ︙ ︙ ︙ 一般地，函数y=log3(x+2)中x=a-2对应的y值与函数y=log3x中x=a对应的y值相等，则将对数函数y=log3x的图象向左平移2个单位长度，就得到函数y=log3(x+2)的图象.这两个函数的图象如图所示. 例1　已知f(x)=loga|x|(a>0，a≠1)满足f(-5)=1，试画出函数f(x)的图象. 解　因为f(-5)=1， 所以loga5=1，即a=5， 故f(x)=log5|x|= 所以函数f(x)=log5|x|的图象如图所示. 延伸探究1　在本例中，若条件不变，试画出m(x)=loga|x|+1的图象. 解　因为f(x)=log5|x|， 所以m(x)=log5|x|+1， 如图，m(x)的图象是由f(x)的图象向上平移1个单位长度得到的. 延伸探究2　在本例中，若条件不变，试画出函数g(x)=loga|x-1|的图象. 解　因为f(x)=log5|x|， 所以g(x)=log5|x-1|， 如图，g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的. 延伸探究3　在本例中，若条件不变，试画出函数h(x)=|logax|的图象. 解　因为a=5，所以h(x)=|log5x|.h(x)的图象如图所示. 反思感悟　对数函数图象的变换方法 (1)作y=f(|x|)的图象时，保留y=f(x)(x≥0)图象不变，当x<0时，y=f(|x|)的图象与y=f(x)(x>0)的图象关于y轴对称. (2)作y=|f(x)|的图象时，保留y=f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可. (3)有关对数函数图象的平移也符合“左加右减，上加下减”的规律. (4)y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称，y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称，y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称. 二、反函数 问题　在同一坐标系下，画出函数y=2x与y=log2x的图象，观察两函数图象的关系. 提示　 知识梳理 反函数：指数函数y=ax(a>0，a≠1)与对数函数y=logax(a>0，a≠1)互为反函数.它们的定义域与值域正好互换. 例2　若函数y=f(x)是函数y=2x的反函数，则f(f(2))的值为(　　) A.16 B.0 C.1 D.2 答案　B 解析　函数y=2x的反函数是y=log2x， 即f(x)=log2x. 则f(f(2))=f(log22)=f(1)=log21=0. 反思感悟　互为反函数的函数的性质 (1)同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换. (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称. 跟踪训练1　函数y=log3x的反函数的定义域为(　　) A.(0，+∞) B. C.(1，4) D.[-1，4] 答案　D 解析　由y=log3x 可知y∈[-1，4]. 所以该函数的反函数的定义域为[-1，4]. 三、对数函数模型的实际应用 例3　某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A+1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元). (1)写出奖金y关于销售利润x的解析式； (2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 解　(1)由题意知 y= (2)由题意知1.5+2log5(x-9)=5.5， 即log5(x-9)=2， ∴x-9=52，解得x=34. ∴老江的销售利润是34万元. 反思感悟　对数函数应用题的解题思路 (1)依题意，找出或建立数学模型. (2)依实际情况确定解析式中的参数. (3)依题设数据解决数学问题. (4)得出结论. 跟踪训练2　某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y=alog2(x+1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为(　　) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 答案　A 解析　由题意，知100=alog2(1+1)，得a=100， 则当x=7时，y=100log2(7+1)=100×3=300. 1.知识清单： (1)与对数函数有关的图象变换. (2)反函数的概念. (3)对数函数模型的简单应用. 2.方法归纳：换元法. 3.常见误区：混淆图象变换中的翻折和对称变换. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.设f(x)=3x+9，则其反函数的定义域是(　　) A.(0，+∞) B.(9，+∞) C.(10，+∞) D.(-∞，+∞) 答案　B 解析　∵3x>0，∴f(x)=3x+9>9， 因此其反函数的定义域为(9，+∞). 2.若函数y=ax(a>0，a≠1)的反函数的图象过点(a)，则a的值为(　　) A.2 B. C.2或 D.3 答案　B 解析　方法一　函数y=ax(a>0，a≠1)的反函数为y=logax(a>0，a≠1)， 故y=logax的图象过点(a)， 则a=loga=. 方法二　∵函数y=ax(a>0，a≠1)的反函数的图象过点(a)， ∴函数y=ax(a>0，a≠1)的图象过点(a)， ∴aa==即a=. 3.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(单位：只)与引入时间x(单位：年)的关系为y=alog3(x+2)，若该动物在引入一年后的数量为150只，则25年后它们发展到(　　) A.300只 B.450只 C.600只 D.700只 答案　B 解析　将x=1，y=150代入y=alog3(x+2)得， 150=alog3(1+2)，解得a=150， 所以当x=25时，y=150log3(25+2)=450. 4.如图为函数y=m+lognx的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是(　　) A.m<0，n>1 B.m>0，n>1 C.m>0，0<n<1 D.m<0，0<n<1 答案　D 解析　根据图象可知，函数y=m+lognx(m，n是常数)是减函数，所以0<n<1；又当x=1时，y<0，即y=m+logn1=m<0. 5.已知a>1，b<-1，则函数y=loga(x-b)的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　根据对数函数的单调性及图象平移的知识，知函数y=loga(x-b)的大致图象如图所示，函数图象不经过第四象限. 6.函数f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是(　　) 答案　B 解析　由f(x)的定义域为(-∞，-1)∪(1，+∞)，且f(-x)=lg(|-x|-1)=lg(|x|-1)=f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C，D错误. 又当x>1时，f(x)=lg(x-1)在(1，+∞)上单调递增，所以B正确. 7.(5分)函数y=log2(x-4)的反函数为f(x)，则f(3)=　　　　　.  答案　12 解析　令y=log2(x-4)=3，即x-4=23，解得x=12，则f(3)=12. 8.(5分)已知f(x)=|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为　　　　　　　　.  答案　∪(2，+∞) 解析　作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)=f故结合图象可知0<a<或a>2. 9.(10分)已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示. (1)求实数a与b的值；(4分) (2)函数y=loga(x+b)与y=logax的图象有何关系？(6分) 解　(1)由图象可知，函数的图象过点(-3，0)与点(0，2)，所以得 解得a=2，b=4. (2)由(1)知，y=log2(x+4). 函数y=log2(x+4)的图象可以由y=log2x的图象向左平移4个单位长度得到. 10.(10分)某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如表： 销售人员个人每月 销售总额/万元 销售总额的 提成比例 不超过100万元的部分 5% 超过100万元的部分 记销售人员每月的提成金额为f(x)(单位：万元)，每月的销售总额为x(单位：万元). 注：表格中的b(b>0)表示销售额超过100万元的部分. 另附参考公式：销售总额×销售总额的提成比例=提成金额. (1)写出提成金额f(x)关于销售总额x的关系式；(5分) (2)若某销售人员某月的提成金额不低于7万元，则该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？(5分) 解　(1)根据题意可知，当0≤x≤100时，f(x)=5%x=0.05x； 当x>100时，f(x)=5%×100+·(x-100)=5+log6(x-99). 故提成金额f(x)关于销售总额x的函数关系式为f(x)= (2)当0≤x≤100时，f(x)=0.05x≤0.05×100=5， 则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元， 令5+log6(x-99)≥7， 得log6(x-99)≥2，解得x≥135， 即该销售人员当月的销售总额至少为135万元. 11.已知函数y=ax与y=logax，其中a>0且a≠1，下列说法不正确的是(　　) A.两者的图象关于直线y=x对称 B.前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域 C.两函数在各自的定义域内增减性相同 D.y=ax的图象经过平行移动可得到y=logax的图象 答案　D 解析　函数y=ax与y=logax互为反函数，所以根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称，可知A正确；根据互为反函数的函数性质知，前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域，故B正确；根据互为反函数的函数性质知C正确；由图象的平移知，y=ax的图象平移后得不到y=logax的图象，故D不正确. 12.(多选)在同一直角坐标系中，函数f(x)=loga(x-b)与g(x)=bx-a的图象可能是(　　) 答案　AC 解析　对于A，根据f(x)的图象知对数函数在定义域上单调递增，所以a>1，图象过点(2，0)，所以b=1；根据g(x)的图象为y=1的一条直线可判断b=1，且无论a为何值图象均为y=1，此类情况符合题意，A正确； 对于B，由g(x)的图象可知a>1，0<b<1，若0<b<1，对数函数f(x)的图象应向右平移，选项中f(x)的图象向左平移，B错误； 对于C，由对数函数f(x)的图象知0<a<1且0<b<1，函数g(x)的图象与直线y=1交点的横坐标大于0小于1且函数g(x)是减函数，所以0<a<1且0<b<1，C正确； 对于D，由f(x)的图象知函数f(x)是减函数，则0<a<1，但g(x)的图象未向右平移，D错误. 13.(多选)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)=log2(x+1)，f2(x)=log2(x+2)，f3(x)=log2x2，f4(x)=log2(2x)，其中“同形”函数是(　　) A.f2(x)与f4(x) B.f1(x)与f3(x) C.f1(x)与f4(x) D.f3(x)与f4(x) 答案　AC 解析　由题知，f1(x)=log2(x+1)， f2(x)=log2(x+2)， f3(x)=log2x2=2log2|x|， f4(x)=log2(2x)=log2x+1， 对于A，可将函数f2(x)的图象向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度得到f4(x)的图象，故满足定义，A正确；对于C，可将函数f1(x)的图象向右平移1个单位长度，然后向上平移1个单位长度得到f4(x)的图象，故满足定义，C正确；对于B，D，因函数f3(x)为分段函数，由两部分图形组成，不能单独平移得到其他函数图象，故不满足定义，故BD错误. 14.(5分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v=log3单位是m/s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是　　　　m/s；一条鱼静止时耗氧量的单位数为　　　　.  答案　　100 解析　当O=2 700时， v=log3=log3 =log327=(m/s). 一条鱼静止时，v=0，则log3=0， ∴=1，∴O=100. 15.(多选)已知f(x)=若方程f(x)=a有四个不同的解x1<x2<x3<x4，则(　　) A.x1+x2=-2 B.x1x2=1 C.x3x4=1 D.+∈ 答案　ACD 解析　作出函数f(x)的图象如图所示. 由图象可知x1+x2=-2≤x3<1<x4≤2， 故A选项正确，B选项错误； ∵|log2x3|=|log2x4|，即log2x3+log2x4=0， ∴x3x4=1，故C选项正确； ∴+=+x3，x3∈ 又函数y=x+在区间(0，1)上为减函数， 所以+x3∈ 即+∈D选项正确. 16.(12分)已知函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)，从下面两个条件中选择一个进行解答. ①f(x)的反函数经过点； ②[f(x)]2-f(x)=0的解集为. (1)求实数a的值；(5分) (2)若g(x)=f ·fx∈[2，8]，求g(x)的最值及对应的x的值.(7分) 解　(1)若选①：由题知，函数f(x)=logax的反函数为y=ax， 则a1=即a=. 若选②：由题知，f(x)[f(x)-1]=0的解集为 因为f(1)=loga1=0，所以f =loga=1， 即a=. (2)由(1)知，f(x)=lox， 则g(x)=(lox+1)(lox+2)，x∈[2，8]， 令t=lox，则t∈[-3，-1]， 则g(x)=h(t)=(t+1)(t+2)=- 当t=-即x=2时，g(x)min=-； 当t=-3，即x=8时，g(x)max=2， 综上，当x=8时，g(x)max=2； 当x=2时，g(x)min=-. 学科网（北京）股份有限公司 $