第5章 5.1.2 第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数、众数（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦数据的数字特征，系统讲解最值、平均数、中位数、百分位数、众数的意义与计算，通过酒店招聘工资的生活案例导入，以合唱比赛得分等问题链搭建学习支架，从具体情境抽象定义，结合性质推导与实例应用，形成完整知识脉络。 其亮点在于以生活化情境培养数学眼光，通过工资争议案例引导学生观察现实中的数量关系；以问题驱动发展数学思维，通过例题解析和跟踪训练提升运算能力与推理意识；以数据案例强化数学语言，通过节能灯寿命比较等应用培养数据观念。教学方法讲练结合，小结梳理清晰，助力学生提升数据分析能力，为教师提供结构化教学资源。

第1课时 最值、平均数、中位数、百分位数、众数 第五章　5.1.2　数据的数字特征 <<< 1.理解数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数的意义和作用. 2.会计算数据的这些数字特征，并能解决有关实际问题. 学习目标 某酒店打出的招聘宣传语是“本酒店待遇丰厚，平均工资是每周800元”，小强入职后工作了一段时间，发现上当了，前去质问经理：“您宣传工资一周是800元是欺诈行为，我问过其他员工了，没有一个人每周的工资超过800元.”而经理说：“我当时说的是平均周工资800元，我的周工资是 3 000元，3名副经理的周工资都是1 000元，5名领班的周工资是700元， 10名服务员的周工资是600元，1名清洁工的周工资是500元.”小强一听， 哭笑不得.你能从数学的角度解释这种现象吗？ 导 语 一、最值与平均数 二、中位数与众数 课时对点练 三、百分位数 随堂演练 内容索引 最值与平均数 一 提示　==91.5；最高分是96；最低分是87. 若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，则平均数是多少？最高分是多少？最低分是多少？ 问题1 1.一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数 的情况.一般地，最大值用 表示，最小值用 表示. 2.平均数 (1)如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为= _______________，简记为=xi. 最极端 max min (x1+x2+…+xn) 知识梳理 (2)求和符号∑具有以下性质： ①t= . (3)性质：一般地，如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为 . nt a+b 知识梳理 (1)求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计. (2)数据同时增加或减少相同的数，平均数也随之增加或减少相同的数. 注 意 点 <<< 9 　 (1)求一组数据：68，69，71，63，70，68，69，71，69，72的最值、平均数. 例 1 把所给数据从小到大排列为63，68，68，69，69，69，70，71，71，72， 则最大值为72，最小值为63.平均数为 =69. 解 10 (2)某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数为 A.85 B.86 C.87 D.88 平均数为 =87. 解析 √ 11 求平均数的方法 (1)用定义式； (2)用平均数的性质； (3)在容量为n的一组数据中，若数据x1有n1个，x2有n2个，…，xk有nk个，且n=n1+n2+…+nk，则这组数据的平均数为(n1x1+n2x2+…+nkxk)=x1+x2+…+xk. 反 思 感 悟 12 　(1)设一组数据x1，x2，…，xn的平均数为1，则数据3x1+1，3x2+1，…，3xn+1的平均数为 A.1 B.3 C.4 D.9 跟踪训练 1 √ 13 记数据x1，x2，…，xn的平均数为， 数据ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均数为'， 则'= = ==a+b， 故数据3x1+1，3x2+1，…，3xn+1的平均数为3+1=3×1+1=4. 解析 14 (2)已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a；x4，x5，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为 A. B. C. D. √ 15 ∵x1，x2，x3的平均数为a，∴x1，x2，x3的和为3a. ∵x4，x5，…，x10的平均数为b，∴x4，x5，…，x10的和为7b. ∴样本数据的和为3a+7b， ∴样本数据的平均数为. 解析 16 二 中位数与众数 提示　87，89，90，91，92，92，96； 91；92. 若某校高二年级7个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，92，96，你能把数据从小到大排列吗？正中间的数据是多少？出现次数最多的数据是多少？ 问题2 1.中位数 如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n+1，则称 为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大 排列后为x1，x2，…，x2n，则称_________为这组数的中位数. 2.众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数_____ 的数据称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是 ，也可以是 . xn+1 最多 一个 多个 知识梳理 (1)求中位数时一定要先对数据按从小到大排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数.中位数不一定是数据中的数. (2)若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数都一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数都一样多，则没有众数. 注 意 点 <<< 20 “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交水稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是 A.24，25 B.23，23 C.23，24 D.24，24 例 2 √ 21 苗高由小到大排列为23，23，23，24，25，25，26，所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 解析 22 (1)众数、中位数的计算方法 计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算. (2)众数、中位数、平均数的意义 ①样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了样本数据中更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大. 反 思 感 悟 23 ②当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势. 反 思 感 悟 24 　某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群　13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群　54，3，4，4，5，5，6，6，6，57. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ 跟踪训练2 25 甲群市民年龄的平均数为 =15(岁)， 中位数为15岁，众数为15岁.平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征. 解 26 (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 乙群市民年龄的平均数为 =15(岁)， 中位数为5.5岁，众数为6岁. 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差. 解 27 百分位数 三 提示　87，89，90，91，92，93，94，96；8×25%=2. 某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，你能把数据从小到大排列吗？这组数据个数的25%是多少？ 问题3 1.百分位数 一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于 位置的数. 2.如何确定p%分位数 设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i=np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的 ，取为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数. p% 最小整数 知识梳理 3.规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是 (即最大值). 4.一般地，一组数的p%(p∈(0，100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有 的数据不大于该值，且至少有 的数据不小于该值. xn p% (100-p)% 知识梳理 (1)中位数相当于是50%分位数.除了中位数外，常用的分位数还有25%分位数，75%分位数.25%分位数也称为第一四分位数，75%分位数也称为第三四分位数. (2)百分位数可能不唯一，也可能不是数据中的数. 注 意 点 <<< 32 (课本例1)根据表中数据，计算甲、乙两组数的75%分位数. 例 3 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲组 1 2 2 2 2 3 3 3 5 5 乙组 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 甲组 6 6 8 8 9 10 10 12 13 13 乙组 6 6 7 7 10 14 14 14 14 15 33 因为数据个数为20，而且20×75%=15， 所以甲组数的75%分位数为=9.5； 乙组数的75%分位数为=12. 解 34 确定数据：1，2，2，2，2，3，3，3，5，5，6，6，8，8，9，10，10，12，13，13的中位数，78%分位数. 例 3 因为所给数据已从小到大排列，共20个， 而且i1=20×50%=10为整数， i2=20×78%=15.6不为整数， 所以这组数据的中位数为==5.5，78%分位数为x16=10. 解 35 (1)百分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息. (2)中位数、百分位数都不一定是数据中的数. 反 思 感 悟 36 从某公司生产的产品中，任意抽取12件，得到它们的质量(单位：kg)如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0， 分别求出这组数据的25%，75%，95%分位数. 跟踪训练3 37 将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据， 所以12×25%=3，12×75%=9，12×95%=11.4， 则25%分位数是=8.15， 75%分位数是=8.75， 95%分位数是第12个数据为9.9. 解 38 1.知识清单： (1)数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数. (2)数据的数字特征的计算方法. (3)数据的数字特征的应用. 2.方法归纳：数据分析. 3.常见误区：利用平均数、中位数、百分位数、众数对数据的分析不准确. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.2024年某高一学生下学期政治考试成绩为 79　79　84　84　86　84　87　90　90　97 则该生政治考试成绩的平均数和众数依次为 A.85　84 B.84　85 C.86　84 D.84　86 由题意可知，平均数 ==86， 众数为84. 解析 √ 1 2 3 4 2.某地铁运行过程中，10个车站上车的人数统计如下：70，60，60，50，60，40，40，30，30，10，则这组数据的众数与中位数之和为 A.120 B.105 C.110 D.100 这组数据的众数是60.将数据从大到小排成一列为70，60，60，60，50，40，40，30，30，10，则中位数为=45，所以众数与中位数之和为60+45=105. 解析 √ 1 2 3 4 3.计算(2i+1)等于 A.6 B.9 C.10 D.15 (2i+1)=(2×1+1)+(2×2+1)+(2×3+1)=3+5+7=15. 解析 √ 1 2 3 4 4.某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：7.9，8.1，8.4，8.5，8.5，8.7，9.9，则其50%分位数为　　.  ∵7×50%=3.5， ∴其50%分位数是第4个数据为8.5. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B C C D 3 a+b 题号 11 12 13 14 15 　 答案 A ABC 96　115.5 A 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 平均数=×(2×6+3×16+4×15+5×13)==3.7. 众数是3，中位数是4. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由题意得甲厂数据的平均数为==8，众数为6，中位数为=8； 乙厂数据的平均数为==8.5，众数为7，中位数为=8； 丙厂数据的平均数为==8.5，众数为8，中位数为=8.5. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数. (3)选丙厂的节能灯.因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平. 基础巩固 1.从某中学抽取10名同学，得到他们的数学成绩(单位：分)如下：82，85，88，90，92，92，92，96，96，98，则可得这10名同学数学成绩的中位数为 A.88 B.90 C.92 D.96 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 本题中所给数据已按照从小到大的顺序排列，中间两个数据的平均数是(92+92)÷2=92.故中位数是92. 解析 √ 2.已知一组数据从小到大排列为-1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为 A.5 B.6 C.4 D.5.5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得(4+x)=5，得x=6.故众数为6. 解析 √ 3. 若数据x1，x2，…，xn的平均数为a，数据y1=2+x1，y2=2+x2，…，yn=2+xn，则数据y1，y2，…，yn的平均数为 A.a B.2+a C.2 D.2a 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得数据yi=2+xi，i=1，2…，n， 数据x1，x2，…，xn的平均数为a，由平均数的性质可知数据y1，y2，…，yn的平均数为2+a. 解析 √ 4.有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的 A.平均数 B.众数 C.中位数 D.百分位数 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数. 解析 √ 5.从某学校高二年级随机抽取10名学生进行数学能力测试，测试成绩为68，81，79，81，90，86，74，84，69，78，设学生测试成绩的平均数、中位数、众数分别为a，b，c，则 A.a=b<c B.a<b=c C.a<b<c D.b<a<c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将数据从小到大排序为68，69，74，78，79，81，81，84，86，90， 平均数a==79， 根据数据从小到大排列，第5个数为79，第6个数为81，所以中位数b==80， 根据数据可知，众数c=81，所以a<b<c. 解析 6.将10个数据按照从小到大的顺序进行排列，第四个数据被墨水污染，2，4，5，□，10，14，15，39，41，50，已知40%分位数是8.5，则第四个数据是 A.5 B.7.5 C.8 D.7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设第四个数据为x，因为一共有10个数据，10×40%=4，为整数，根据百分位数的定义可得=8.5，解得x=7. 解析 7.已知一组数据1，2，3，3，5，1，6，8，这组数据的60%分位数是　.  将这组数据由小到大排序为1，1，2，3，3，5，6，8，共8个数， 因为8×60%=4.8，因此，这组数据的60%分位数是3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 8.是x1，x2，…，x100的平均数，a是x1，x2，…，x40的平均数，b是x41，x42，…，x100的平均数，则=　　　　(用含a，b的式子表示).  因为a是x1，x2，…，x40的平均数， 所以x1+x2+…+x40=40a， 同理x41+x42+…+x100=60b， 则有==a+b. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a+b 9.为了了解市民的环保意识，某校高一(1)班50名学生在6月5日(世界环境日)这一天调查了各自家庭丢弃旧塑料袋的情况，有关数据如表所示： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 每天丢弃旧塑料袋个数 2 3 4 5 户数 6 16 15 13 求这50户居民每天丢弃旧塑料袋数量的平均数、众数和中位数. 平均数=×(2×6+3×16+4×15+5×13)==3.7. 众数是3，中位数是4. 解 10.甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某品牌节能灯在正确使用的情况下，使用寿命都不低于8年.后来质量检测部门对他们的产品进行抽样调查，抽样调查的甲、乙、丙各8个产品使用寿命的统计结果如下(单位：年)： 甲厂：6，6，6，8，8，9，9，12； 乙厂：6，7，7，7，9，10，10，12； 丙厂：6，8，8，8，9，9，10，10. (1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得甲厂数据的平均数为==8，众数为6，中位数为=8； 乙厂数据的平均数为==8.5，众数为7，中位数为 =8； 丙厂数据的平均数为==8.5，众数为8，中位数为 =8.5. 解 (2)估计这三个厂家的推销广告分别利用了哪一种统计量； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 甲厂利用了平均数或中位数；乙厂利用了平均数或中位数；丙厂利用了平均数或众数或中位数. 解 (3)如果你是顾客，应该选哪个厂家的节能灯？为什么？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 选丙厂的节能灯.因为无论从哪种统计量来看，与其他两个厂家相比，丙厂水平都比较高或持平. 解 11.已知2a，a2，|a|，2a+2的中位数为-，则a等于 A.-3 B.-2 C.-1 D.1 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵2a，a2，|a|，2a+2共四个数， 中位数为-<0，a2≥0，|a|≥0， ∴∴a<-1， ∴2a<2a+2<|a|<a2， ∴==-，解得a=-3. 解析 12.(多选)某学校准备组织部分同学去研学旅行，为了便于识别，他们准备定做一批容量一致的双肩包，为此，活动负责人征求了参加的同学的意向，得到了如下数据： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 容量/L 22 25 28 31 34 37 频数 4 1 5 21 2 2 对于表中数据，下列说法正确的是 A.众数为31 B.第一四分位数为28 C.平均数大于28 D.中位数为30 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，31的频数最大，因此众数为31，A正确； 对于B，由(4+1+5+21+2+2)×25%=8.75，得第一四分位数为从小到大排列的第9个数，为28，B正确； 对于C，平均数==>28，C正确； 对于D，共35个数据，中位数为从小到大排列的第18个数，为31，D错误. 解析 13.某校年级组长为了解本校高三学生某次考试的数学成绩(单位：分)，随机抽取30名学生的数学成绩，如下所示： 110　144　125　63　89　121　145　123　74　96 97 142 115 68 83 116 139 124 85 98 132 147 128 133 99 117 107 113 96 141 估计该校高三学生此次考试数学成绩的25%分位数为　　　　，50%分位数为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 96 115.5 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 把这30名学生此次考试的数学成绩按从小到大的顺序排列为63，68，74，83，85，89，96，96，97，98，99，107，110，113，115，116，117，121，123，124，125，128，132，133，139，141，142，144，145，147.因为25%×30=7.5，50%×30=15，所以这30名学生数学成绩的25%分位数为96，50%分位数为=115.5.据此可以估计本校高三学生此次考试数学成绩的25%分位数为96，50%分位数为115.5. 解析 14.一组数据共有50个数，按从小到大排列，其中7个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这50个数中，且平均数大于中位数，那么这组数据中小于平均数的数据占这50个数据的百分比是　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 小于平均数的数有25+7=32(个)，占这50个数据的×100%=64%. 解析 15.已知x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，x2，-y这四个数据的平均数为1，那么y-的最小值是 A. B. C. D.不存在 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵x是1，2，3，x，5，6，7这七个数据的中位数，则3≤x≤5. 又∵1，3，x2，-y这四个数据的平均数为1， ∴1+3+x2-y=4，∴x2=y， ∴y-=x2-， 令f(x)=x2-，x∈[3，5]， ∴f(x)在[3，5]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(3)=9-=. 解析 第五章　5.1.2　数据的数字特征 <<< $