26.4 实际问题与二次函数同步讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦“实际问题与二次函数”核心知识点，衔接二次函数概念与性质，通过列函数关系式、解决利润及几何最值问题、综合题应用，构建从基础到实践的学习支架，系统覆盖实际问题转化、模型建立与综合运用。 资料以生活实例（如矩形折叠、销售利润、抛物线运动）培养数学眼光，通过典例变式训练发展数学思维，用函数关系式表达实际问题强化数学语言。课中辅助教师高效授课，课后过关验收助力学生查漏补缺，提升应用能力。

第26章 26.4 实际问题与二次函数 内 容 导 航 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 题型2 二次函数的应用 题型3 二次函数综合题 考 点 演 练 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 解｜题｜知｜识 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【典例1】长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝（10﹣x）（20﹣x）（0＜x＜5） B．y＝200﹣4x2（0＜x＜5） C．y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5） D．y＝200+4x2（0＜x＜5） 【变式1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（　　） A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x） 【变式2】如图，用长为20cm的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽AB为xcm，围成的花圃面积为ycm2，则y关于x的函数表达式为 ． 【变式3】如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为xm． （1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围． 题型2 二次函数的应用 解｜题｜知｜识 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【典例1】如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形ABCD的最大面积为8平方米； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x； ③当x＝4时，矩形ABCD的面积最大； ④a的值为12． 其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为yx2x，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 【变式2】数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点C为抛物线顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．已知抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm，则A，B两点之间的距离是（　　） A．dm B．2dm C．4dm D．2dm 【变式3】【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 题型3 二次函数综合题 解｜题｜知｜识 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【典例1】约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【变式1】如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，且BE＝2．动点F从点B出发，沿着线段BA→AD运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动．过点E作EG⊥EF，交矩形ABCD的边于点G，连接FG．设动点F的运动路程为x，线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形的面积为S，S关于x的部分函数图象如图2所示，已知图象与y轴的交点为（0，4）．则AD的长为　10　 ；点F由点A向终点运动的过程中，S关于x的函数表达式为 　 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣6，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥BC交AC于点D，点E是抛物线对称轴上一动点，EF⊥y轴，垂足为点F，连接DF、PE．当PD取得最大值时，求点P的坐标及DF﹣EF+PE的最小值； （3）在（2）中PD取得最大值的条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC方向平移得到新抛物线y′，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线y′上一动点，点H′是原抛物线顶点H的对应点，连接HH′，将线段HH′绕着点H′逆时针旋转90°得到线段H'H″，若∠HH″K＝∠CAB+∠OCB，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若OC＝2OA，抛物线对称轴为直线，连接BC、AC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若P是BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，点E，F为直线BC上两动点（F在E右侧），且，当S△BCD取得最大值时，求|PE﹣OF|的最大值； （3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到新抛物线y'，点C在新抛物线上的对应点为G，新抛物线与y轴交于点H，连接GH，BH，点M是新抛物线y′上一动点，若∠HGC+45°＝∠ACM+∠CBO，请写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 过 关 验 收 1. 某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝200（x+1）2 B．y＝200+200x2 C．y＝200+x+x2 D．y＝200（x﹣1）2 2. 为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了50%．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为x，若小南周四跳绳量为500个，则小南周日跳绳量y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝500（1+50%）（1+x） B．y＝500（1﹣50%）（1+x） C．y＝500（1﹣50%）（1+x）2 D．y＝500（1+50%）（1+x）2 3. 黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2 4. 如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x） C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x） 5. 有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，设这个苗圃园的宽AB为x，面积为S，则S与x之间的函数表达式为（　　） A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15） B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6） C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6） D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5） 6. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（15﹣4x） B．y＝x（16﹣2x） C．y＝x（17﹣2x） D．y＝x（18﹣4x） 7. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为h＝30t﹣5t2，其中0≤t≤6．有下列结论： ①当t＝2时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为40m时，运动时间为2s或4s； ③小球运动中的最大高度为46m； ④小球从抛出到落地需要6s． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8. 小明以二次函数y＝2x2﹣4x+8的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝4，则杯子的高CE为（　　） A．12 B．11 C．6 D．3 9. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.下列说法正确的是（　　） A．小球飞行1s时飞行高度为10m B．小球飞行高度为15m时，小球飞行的时间是3s C．小球飞行的最大高度达到25m D．小球从飞出到落地要用4s 10. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 11. 如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示1m），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中OB垂直于水平地面OC，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（　　） A．假山上的点B到水平地面的距离为4.8m B．水平方向上OC的长度为16m C． D．抛物线与的对称轴相同 12. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 　 　 m，才能停下来． 13. 【问题背景】 已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a，b为常数，a＞0）的顶点为P，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点． 【构建联系】 （1）如图1，当a＝1，与y交于点（0，﹣1）时，求该抛物线顶点P的坐标； （2）如图2，当时，求a的值； 【深入探究】 （3）如图3，若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当DE+MF取得最小值为时，求a的值． 14. 抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）顶点为D，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（m，0），其中m＞1，与y轴交于点C（0，n）． （Ⅰ）若m＝2，n＝﹣4，求抛物线解析式和顶点D的坐标； （Ⅱ）若点M，N分别为线段BC，线段OC上的点，连接MD，MN． ①若n＝﹣m，MD∥OC，且，求抛物线解析式和顶点D的坐标； ②若在点M，N运动的过程中，始终保持BM＝NM，且，求抛物线解析式和顶点D坐标． 15. 定义：如图①，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，点P在抛物线上（点P与A、B两点不重合）．若△ABP的三边长满足PA2+PB2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的勾股点． （1）直接写出抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标； （2）如图②，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A、B两点，点是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q（异于点P）的坐标． 16. 已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若P是该抛物线上一点， ①当时，求点P的坐标； ②当点P在BC下方，且S△PBC取得最大值时，求点P的坐标． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）该抛物线的对称轴为 　直线x＝2　 ； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 18. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是 　　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26章 26.4 实际问题与二次函数 内 容 导 航 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 题型2 二次函数的应用 题型3 二次函数综合题 考 点 演 练 题型1 根据实际问题列二次函数关系式 解｜题｜知｜识 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 【典例1】长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为（　　） A．y＝（10﹣x）（20﹣x）（0＜x＜5） B．y＝200﹣4x2（0＜x＜5） C．y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5） D．y＝200+4x2（0＜x＜5） 【答案】C 【解答】解：∵矩形的长为20cm，宽为10cm，且四个角上分别剪去小正方形的边长为xcm， ∴做成的无盖的长方体盒子的底面是长为（20﹣2x）cm，宽为（10﹣2x）cm的矩形． 根据题意得：y＝（10﹣2x）（20﹣2x）， 又∵10﹣2x＞0，x＞0， ∴0＜x＜5， ∴y与x之间的函数关系式为y＝（10﹣2x）（20﹣2x）（0＜x＜5）． 故选：C． 【变式1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（　　） A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x） 【答案】B 【解答】解：依题意，每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为W＝（60﹣x）（300+20x）， 故选：B． 【变式2】如图，用长为20cm的篱笆，一边利用墙（墙足够长）围成一个长方形花园，设花园的宽AB为xcm，围成的花圃面积为ycm2，则y关于x的函数表达式为 y＝﹣2x2+20x ． 【答案】y＝﹣2x2+20x 【解答】解：由题意可得：y＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x． 故答案为：y＝﹣2x2+20x． 【变式3】如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙，另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为30m，门宽是2m，若设这块场地的宽为xm． （1）求场地的面积y（m2）与x（m）之间的函数关系式； （2）写出自变量x的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意得y＝x（32﹣2x）＝﹣2x2+32x； （2）∵， ∴0＜x＜16， 又∵门宽是2m， ∴x≥2， ∴2≤x＜16． 题型2 二次函数的应用 解｜题｜知｜识 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【典例1】如图1所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF、GH的总长为a米，且隔断EF、GH分别与矩形的两条邻边平行，设BC的长为x米，矩形ABCD的面积为y平方米，y关于x的函数图象如图2，给出的下列结论： ①矩形ABCD的最大面积为8平方米； ②y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+4x； ③当x＝4时，矩形ABCD的面积最大； ④a的值为12． 其中正确的结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：由图2可知，函数图象最高点为P（2，4），经过原点， 设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+4， 代入（0，0）， 解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣2）2+4＝﹣x2+4x， 由此判断：矩形ABCD最大面积是4平方米，故①错误； 二次函数解析式为y＝﹣x2+4x，故②正确； 矩形ABCD面积最大时，x＝2，故③错误； D．当x＝2时，矩形ABCD面积取最大值y＝4， ∴AB＝4÷2＝2， ∴a＝（AB+BC）×3＝（2+2）×3＝12，故④正确． 故选：B． 【变式1】在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为yx2x，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（　　） A．米 B．8米 C．10米 D．2米 【答案】B 【解答】解：当y＝0时，即yx2x0， 解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8， 所以小宇此次实心球训练的成绩为8米， 故选：B． 【变式2】数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨OA，OB的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，点C为抛物线顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．已知抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+1，若点A到x轴的距离是0.6dm，则A，B两点之间的距离是（　　） A．dm B．2dm C．4dm D．2dm 【答案】D 【解答】解：∵点A到x轴的距离是0.6dm， ∴令y＝0.6，则﹣0.2x2+1＝0.6， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点A到y轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称， ∴， 故选：D． 【变式3】【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下： 刹车后行驶的时间 0 1 2 3 刹车后行驶的距离y 0 27 48 63 发现：①开始刹车后行驶的距离y（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： （1）求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）若汽车刹车4s后，行驶了多长距离； （3）若汽车司机发现正前方70m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】（1）y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t； （2）汽车刹车4s后，行驶了72米； （3）该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由见解析． 【解答】解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c，将（0，0），（1，27），（2，48）代入得， ， 解得：， ∴y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t； （2）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， 当t＝4时，y＝﹣3×42+30×4＝72， ∴汽车刹车4s后，行驶了72米； （3）由（1）得y关于t的函数解析式为y＝﹣3t2+30t， ∴y＝﹣3t2+30t＝﹣3（t﹣5）2+75， ∴当t＝5时，汽车停下，行驶了75米， ∵75＞70， ∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车． 题型3 二次函数综合题 解｜题｜知｜识 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【典例1】约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③ab+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”， ∴A，B关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣1， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4）， 代入y＝ax2+bx+c（a≠0） 得， ∴， ∴①②正确， ∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧， ∴2， ∴2， ∴﹣1＜a＜0，④正确， ∵a+c＝0， ∴0＜c＜1，c＝﹣a， 当x时，y＝ax2+bx+cab+ca+2﹣a＝2a， ∵﹣1＜a＜0， ∴a＞0， ∴ab+c＝2a＞0，③错误． 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【变式1】如图1，在矩形ABCD中，点E在BC上，且BE＝2．动点F从点B出发，沿着线段BA→AD运动，连接EF，当EF⊥BC时停止运动．过点E作EG⊥EF，交矩形ABCD的边于点G，连接FG．设动点F的运动路程为x，线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形的面积为S，S关于x的部分函数图象如图2所示，已知图象与y轴的交点为（0，4）．则AD的长为　10　 ；点F由点A向终点运动的过程中，S关于x的函数表达式为S＝﹣x2+18x﹣56．　 ． 【答案】10，S＝﹣x2+18x﹣56． 【解答】解：∵抛物线与y轴的交点N的坐标为（0，4）， 即当t＝0时，S＝16， 当t＝0时，点F与点B重合，此时线段FG与矩形ABCD的边围成的三角形为△ABG，如图1， ∴AG＝BE＝2，S＝AB•AG＝4， ∴AB＝4； 如图2所示， 过点G作GH⊥BC于点H，由此推得：△FBE∽△EHG， ∴， 当FB＝4时，即， ∴EH＝8， ∴AG＝BH＝2+8＝10， 此时S＝0，故点G与点D恰好重合，如图3所示， ∴AD＝10． 如图4，过点F作FH⊥BC于点H， ∴FH＝4，EC＝8，HE＝2﹣（x﹣4）＝6﹣x， 由此推得△FHE∽△ECG，得，即， ∴CG＝12﹣2x， ∴DG＝4﹣（12﹣2x）＝2x﹣8， ∴SDG•DF（2x﹣8）×[10﹣（x﹣4）]＝﹣x2+18x﹣56； 即S＝﹣x2+18x﹣56． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣6，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）连接BC，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PD∥BC交AC于点D，点E是抛物线对称轴上一动点，EF⊥y轴，垂足为点F，连接DF、PE．当PD取得最大值时，求点P的坐标及DF﹣EF+PE的最小值； （3）在（2）中PD取得最大值的条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC方向平移得到新抛物线y′，平移后点P恰好落在y轴上，点K是新抛物线y′上一动点，点H′是原抛物线顶点H的对应点，连接HH′，将线段HH′绕着点H′逆时针旋转90°得到线段H'H″，若∠HH″K＝∠CAB+∠OCB，请直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线解析式为． （2）P（﹣3，6），DF﹣EF+PE的最小值为P'D'﹣E'F'； （3），． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣6，0），B（1，0）两点， 将A（﹣6，0），B（1，0）代入抛物线，得：， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）如图，过点P作PF⊥x轴交AC于点F，过点D作DG⊥PF于点G， ∴DG∥AB，PF∥OC，∠PGD＝∠COB＝∠COA＝∠DGF＝90°， ∵PD∥BC， ∵∠DPG＝∠BCO，∠GDF＝∠CAO， ∴△PGD∽△COB，△DGF∽△AOC， ∴，， 设GF＝a，则DG＝2a，PG＝6a，PF＝PG+GF＝7a， ∴PD2aPF， 当PF最大时，PD最大，令x＝0，y＝3，则C（0，3）， 设直线AC的解析式为y＝kx+t， ∴， 解得， ∴直线AC的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当m＝﹣3时，PF取最大值， 此时． ∴P（﹣3，6）， 由抛物线解析式可知，抛物线对称轴为， ∵点E是抛物线对称轴上一动点，EF⊥y轴，垂足为点F， ∴， 设直线BC的解析式为y＝cx+d， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3， ∵PD∥BC， ∴kBC＝kPD＝﹣3， 设直线PD的解析式为y＝﹣3x+b， 将点P代入得：6＝﹣3×（﹣3）+b，解得：b＝﹣3， ∴直线PD的解析式为y＝﹣3x﹣3， 联立直线AC的解析式，得：， 解得：，则， ∴； 如图，将DF沿x轴方向向左平移个单位得D'E，过点P作关于的对称点P'，连接D'P'，D'P'与交点E'，作E'F′⊥y轴，垂足为点F′， ∴DF＝D'E，即D'（，）， ∴DF﹣EF+PE＝DF+PED'E+PE， 当点P'，E'，D'三点共线时，D'E+PE有最小值， ∵点P与点P'关于的对称， ∴P'（﹣2，6）， ∴， ∵EF和E'F'均为定值， ∴， ∴DF﹣EF+PE的最小值为P'D'﹣E'F'； （3）； ∵将抛物线沿射线AC方向平移得到新抛物线y'，平移后点P恰好落在y轴上， 且A（﹣6，0）C（0，3），P（﹣3，6），， ∴平移方式为将抛物线y＝ax2+bx+3先向右平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线y'， ∴y'（x﹣3）2（x﹣3）+3x2x， ∴H'（，）； 如图，过点H'作GI∥x轴，GH⊥GI于点G，H″I⊥G于点I，连接H′H″，取，连接CM，过点M作MN⊥BC于点N， ∴∠HEH'＝∠H'FH''＝90°， 由旋转性质得∠HH'H''＝90°，HH'＝H'H''， ∴∠EHH'＝∠FH'H″＝90°﹣∠EH'H，∠HH''H'＝45°， ∴△HEH'≌△H'FH''（AAS）， ∴，FH''＝EH'＝3， ∴H″（2，）， ∵tan∠CAB，， ∴∠CAB＝∠MCO， ∵， 在Rt△BCO中，， ∴， ∴， 在Rt△MNB中，， ∴， ∴△CMN是等腰直角三角形，即∠MCN＝45°， ∵∠HH″K＝∠CAB+∠OCB， ∴∠CAB+∠OCB＝∠MCO+∠OCB＝∠MCN＝45°， ∴∠HH″K＝∠CAB+∠OCB＝45°； 情况1：当点K在直线HH″上方时，K与H'重合，则； 情况2：当点K在直线HH″下方时，∠H'H''K＝∠HH''H'+∠HH''K＝90°＝∠HH'H''， 则H″K∥H′H∥AC， 设直线H″K的函数解析式为， 则， 解得：， ∴直线H″K的函数解析式为， 联立方程组，得， 解得：（另一组解不符合题意，舍去）， ∴； 综上所述，满足条件的K的坐标为，． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0），与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若OC＝2OA，抛物线对称轴为直线，连接BC、AC． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，若P是BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥AC交AC于点D，点E，F为直线BC上两动点（F在E右侧），且，当S△BCD取得最大值时，求|PE﹣OF|的最大值； （3）将抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到新抛物线y'，点C在新抛物线上的对应点为G，新抛物线与y轴交于点H，连接GH，BH，点M是新抛物线y′上一动点，若∠HGC+45°＝∠ACM+∠CBO，请写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）|PE﹣OF|的最大值为； （3）点M的横坐标为． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2与y轴交于点C， ∴C（0，2），即OC＝2， ∵OC＝2OA， ∴OA＝1， ∵点A在x轴负半轴， ∴A（﹣1，0）， ∵抛物线对称轴为直线，A（﹣1，0）， ∴B（4，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）， 将C（0，2）代入得：2＝a（0+1）（0﹣4）， 解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，作PH⊥x轴交BC于点H，连接PC，PB， 设直线AC的解析式为：y＝k1x+b1， 代入A（﹣1，0），C（0，2），可得：y＝2x+2， 设直线BC的解析式为：y＝k2x+b2， 代入B（4，0），C（0，2），可得：， ∴，OC＝2，OB＝4， ∵，，AB＝5， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴PD∥BC， ∴S△BCD＝S△BCP， ∴当PH最大时，S△BCP最大，即S△BCD最大， 设， ∴， ∴， ∴当t＝2时，PH取最大值，即此时P（2，3）， 如图，作点O关于直线BC的对称点O'，作O'N∥y轴交BC于点N，连接OO'，ON，将点P沿CB方向平移得到点M，连接MF， ∵点O关于直线BC的对称点O′， ∴O'F＝OF， ∵点P沿CB方向平移得到点M， ∴PM∥EF，PM＝EF， ∴四边形EFMP为平行四边形， ∴PE＝MF， ∴|PE﹣OF|＝|MF﹣O'F|＜O'M，即|PE﹣OF|的最大值为O'M， 设O'（p，q），则， ∴O'N＝qp﹣2，， ∵点O关于直线BC的对称点O'， ∴BC垂直平分OO'， ∵O'N∥y轴， ∴ON＝O'N＝OC＝2， ∴qp﹣2＝2，则q＝4， ∴， 解得：， ∴，则O'（）， ∴O'P， ∴O'M＝O'P+MP， 故：|PE﹣OF|的最大值为； （3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位长度得到新抛物线y'， ∴抛物线y'是抛物线y向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度得到的， ∴， ∴G（﹣2，3），H（0，4）， ∴，， ∴△HGC是等腰三角形， 如图，作GQ⊥y轴于点Q，连接MA， ∵GQ⊥y轴， ∴∠HGQ＝∠CGQ，GQ∥OB， ∴∠HGQ＝∠CGQ＝∠CBO， ∴∠HGC+45°＝∠ACM+∠CBO， ∴∠ACM＝∠CBO+45°， ∵∠AOC＝∠ACB＝90°，∠CAO＝∠BAC， ∴∠ACO＝∠CBO， ∴∠ACM＝∠ACO+45°， ①如图，在AC右侧作∠OCM＝45°，交x轴于点P，使得∠ACM＝∠ACO+45°， ∵∠BOC＝90°，∠OCM＝45°， ∴△COP为等腰直角三角形， ∴OC＝OP＝2，则P（2，0）， 设直线CP的解析式为：y＝ax+c， 代入P（2，0），C（0，2），可得：y＝﹣x+2， 联立， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点M横坐标为； ②如图，作点O关于直线AC的对称点O'，连接O'C，将O'C逆时针旋转90°得到OP，连接CP，此时CP与抛物线的交点即为点M， ∵将O'C逆时针旋转90°得到OP， ∴△OCP为等腰直角三角形， ∴∠O'CM＝45°， 则此时∠ACM＝∠ACO+45°， ∵点O关于直线AC的对称点O′， ∴O'（，）， 同理可得直线CP解析式为yx+2， 联立二次函数可得； 综上，点M的横坐标为或． 过 关 验 收 1. 某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为x，则该工厂3月份的产值y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝200（x+1）2 B．y＝200+200x2 C．y＝200+x+x2 D．y＝200（x﹣1）2 【答案】A 【解答】解：根据题意可得y＝200（1+x）2， 故选：A． 2. 为了迎接体考，小南坚持每天进行跳绳练习．本周五她参与了学校的志愿服务活动，跳绳量比周四减少了50%．为补上周五缺失的练习，小南决定周六、周日连续两天提高跳绳量，设日均增长率为x，若小南周四跳绳量为500个，则小南周日跳绳量y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝500（1+50%）（1+x） B．y＝500（1﹣50%）（1+x） C．y＝500（1﹣50%）（1+x）2 D．y＝500（1+50%）（1+x）2 【答案】C 【解答】解：∵小南周四跳绳量为500个， ∴周五跳绳量为500（1﹣50%）个， 又周六、周日两天日均增长率为x， ∴周日的跳绳量为500（1﹣50%）（1+x）2个， ∴y＝500（1﹣50%）（1+x）2． 故选：C． 3. 黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2 【答案】D 【解答】解：∵该地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作x， ∴第二天销售额为a（1+x）万元，第三天销售额为a（1+x）2万元． 根据题意得：y＝a+a（1+x）+a（1+x）2． 故选：D． 4. 如图，在长为30米、宽为20米的矩形花坛中横向修建1条、纵向修建2条宽都为x米的小路（阴影部分），空白处为绿地，面积为y平方米，则绿地面积y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（30﹣2x）（20﹣x） B．y＝（30+x）（20﹣x） C．y＝（2x﹣30）（x﹣20） D．y＝（30﹣2x）（20+2x） 【答案】A 【解答】解：将图中的阴影部分按如图所示进行移动， 则空白部分为矩形，长为（30﹣2x）米，宽为（20﹣x）米， ∴绿地面积y与x之间的函数表达式为y＝（30﹣2x）（20﹣x）． 故选：A． 5. 有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外边用长为20m的篱笆围成．已知墙长为15m，若平行于墙的一边长不小于8m，设这个苗圃园的宽AB为x，面积为S，则S与x之间的函数表达式为（　　） A．S＝x（20﹣x），（8≤x≤15） B．S＝x（20﹣2x），（2.5≤x≤6） C．S＝x（20﹣x），（2.5≤x≤6） D．S＝x（﹣2x+20），（x≥2.5） 【答案】B 【解答】解：∵篱笆的总长为20m，AB＝xm， ∴BC＝（20﹣2x）m． 根据题意得：S＝x（20﹣2x）． ∵墙长为15m，且平行于墙的一边长不小于8m， ∴， ∴2.5≤x≤6， ∴S与x之间的函数表达式为S＝x（20﹣2x）（2.5≤x≤6）． 故选：B． 6. 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB＝x米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝x（15﹣4x） B．y＝x（16﹣2x） C．y＝x（17﹣2x） D．y＝x（18﹣4x） 【答案】D 【解答】解：∵铁栅栏的全长为15米，AB＝x米， ∴平行于墙的一边长为15+3﹣4x＝（18﹣4x）米． 根据题意得：y＝x（18﹣4x）． 故选：D． 7. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为h＝30t﹣5t2，其中0≤t≤6．有下列结论： ①当t＝2时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为40m时，运动时间为2s或4s； ③小球运动中的最大高度为46m； ④小球从抛出到落地需要6s． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0， ∴当t＝3时，小球运动到最大高度，最大高度为45m， 故①③错误； 当h＝40时，30t﹣5t2＝40， 解得t1＝2，t2＝4， ∴当运动时间为2s或4s时，小球的运动高度为40m， 故②正确； 令h＝0，则30t﹣5t2＝0， 解得t1＝0，t2＝6， ∴小球从抛出到落地需要6s， 故④正确， ∴正确的结论有2个， 故选：B． 8. 小明以二次函数y＝2x2﹣4x+8的图象为灵感为某葡萄酒大赛设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若AB＝4，DE＝4，则杯子的高CE为（　　） A．12 B．11 C．6 D．3 【答案】A 【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+8＝2（x﹣1）2+6， ∴抛物线顶点D的坐标为（1，6）， ∵AB＝4， ∴B点的横坐标为x＝3， 把x＝3代入y＝2x2﹣4x+8，得到y＝14， ∴CD＝14﹣6＝8， ∴CE＝CD+DE＝8+4＝12． 故选：A． 9. 如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.下列说法正确的是（　　） A．小球飞行1s时飞行高度为10m B．小球飞行高度为15m时，小球飞行的时间是3s C．小球飞行的最大高度达到25m D．小球从飞出到落地要用4s 【答案】D 【解答】解：当t＝1时，h＝20t﹣5t2＝15， ∴小球飞行1s时飞行高度为15m． 故选项A不符合题意； 20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，即h＝15时所用的时间， ∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s， 故选项B不符合题意； h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2， ∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20， 故选项C不符合题意； ∵当h＝0时，t1＝0，t2＝4， ∴t2﹣t1＝4， ∴小球从飞出到落地要用4s， 故选项D符合题意． 故选：D． 10. 如图，预防新冠肺炎疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5m的墙，隔离区分成两个区域，中间用塑料膜隔开．已知整个隔离区塑料膜总长为12m，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为12m2；小亮认为：隔离区的面积可能为9m2．则：（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【解答】解：设平行于墙的长度为xm（0＜x≤5），隔离区的面积为Sm2，由题意得： Sx x2+4x， ∴对称轴为x6， ∵0＜x≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S随x的增大而增大， ∴当x＝5时，S有最大值： Smax52+4×5 20 ． ∵912， ∴小明错误； 令S＝9得：9x2+4x， 解得：x1＝9（舍），x2＝3， ∴ x＝3时，S＝9． ∴隔离区的面积可能为9m2． 故选：B． 11. 如图，某数学小组发现滨江生态公园有一座假山的局部（阴影部分）的主视图呈现抛物线形状，以点O为原点建立平面直角坐标系（坐标系上1个单位长度表示1m），假山轮廓所在的抛物线的解析式为，其中OB垂直于水平地面OC，在点B处安装一喷水口，若向上喷出的水柱恰好为抛物线，落水点恰好为点C．下列说法不一定正确的是（　　） A．假山上的点B到水平地面的距离为4.8m B．水平方向上OC的长度为16m C． D．抛物线与的对称轴相同 【答案】D 【解答】解：当x＝0时，y1＝4.8，故假山上的点B到水平地面的距离为4.8m；当y1＝0时，x＝16或x＝﹣4（舍去），故水平方向上OC的长度为16m，可知选项A、B正确； 由题意得，解得：，可知选项C正确； 由题图可知，喷出的水柱呈现的抛物线与的对称轴相同，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 12. 高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离s（m）与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，则汽车最多要滑行 　45　 m，才能停下来． 【答案】45 【解答】解：依题意，该函数关系式化简为s＝﹣5（t﹣3）2+45， 当t＝3时，汽车停下来，滑行了45m． 故滑行的时间为3秒，最大的滑行距离45m． 故答案为45． 13. 【问题背景】 已知抛物线y＝a（x﹣1）2+k（a，b为常数，a＞0）的顶点为P，对称轴与x轴相交于点D，点M（m，1）在抛物线上，m＞1，O为坐标原点． 【构建联系】 （1）如图1，当a＝1，与y交于点（0，﹣1）时，求该抛物线顶点P的坐标； （2）如图2，当时，求a的值； 【深入探究】 （3）如图3，若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN＝90°，DM＝DN，点E在线段MN上，点F在线段DN上，，当DE+MF取得最小值为时，求a的值． 【答案】（1）该抛物线顶点P的坐标为（1，﹣2）； （2）a＝10； （3）a＝1． 【解答】解：（1）∵a＝1，与y交于点（0，﹣1）， ∴﹣1＝（0﹣1）2+k， 解得k＝﹣2， ∴该抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣2， ∴该抛物线顶点P的坐标为（1，﹣2）； （2）过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1， 则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m， 在Rt△MOH中，由由勾股定理得：， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴点M的坐标为， ∵y＝a（x﹣1）2+k， ∴抛物线的对称轴为x＝1， ∵对称轴与x轴相交于点D，则OD＝1，∠ODP＝90°， 在Rt△OPD中，由勾股定理得：， ∴， 解得PD或（不合题意，舍去）， 由a＞0，得该抛物线顶点P的坐标为， ∴该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上，有， ∴a＝10； （3）过点M（m，1）作MH⊥x轴，垂足为H，m＞1， 则∠MHO＝90°，HM＝1，OH＝m， ∴DH＝OH﹣OD＝m﹣1， ∴在Rt△DMH中，DM2＝DH2+HM2＝（m﹣1）2+1， 过点N作NK⊥x轴，垂足为K，则∠DKN＝90°， 在△NDK和△DMH中， ， ∴△NDK≌△DMH（AAS）， ∴DK＝MH＝1，NK＝DH＝m﹣1， ∴点N的坐标为（2，1﹣m）， 在Rt△DMN中，∠DMN＝∠DNM＝45°， MN2＝DM2+DN2＝2DM2，即． 根据题意，，得ME＝NF， 在△DMN的外部，作∠DNG＝∠DME＝45°，且NG＝DM，连接GM， 得∠MNG＝∠DNM+∠DNG＝90°， 在△GNF和△DME中， ， ∴△GNF≌△DME（SAS）， ∴GF＝DE， ∴DE+MF＝GF+MF≥GM， 当满足条件的点F落在线段GM上时，DE+MF取得最小值，即， 在Rt△GMN中，GM2＝NG2+MN2＝3DM2， ∴，得DM2＝5． ∴（m﹣1）2+1＝5， 解得m1＝3，m2＝﹣1（舍去）， ∴点M的坐标为（3，1），点N的坐标为（2，﹣2）， ∵点M（3，1），N（2，﹣2）都在抛物线y＝a（x﹣1）2+k上， 得1＝a（3﹣1）2+k，﹣2＝a（2﹣1）2+k， 解得a＝1，k＝﹣3． 14. 抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）顶点为D，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（m，0），其中m＞1，与y轴交于点C（0，n）． （Ⅰ）若m＝2，n＝﹣4，求抛物线解析式和顶点D的坐标； （Ⅱ）若点M，N分别为线段BC，线段OC上的点，连接MD，MN． ①若n＝﹣m，MD∥OC，且，求抛物线解析式和顶点D的坐标； ②若在点M，N运动的过程中，始终保持BM＝NM，且，求抛物线解析式和顶点D坐标． 【答案】（Ⅰ）抛物线的表达式为：y＝2x2﹣2x﹣4，点D的坐标为：（，）； （Ⅱ）①抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，点D（1，﹣4）； ②抛物线的表达式为：yx2x﹣8或yx2x+8，点D的坐标为：（，）或（，）． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得，y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）， 由点C的坐标（0，﹣4）知，c＝﹣4＝﹣2a， 解得：a＝2， 则抛物线的表达式为：y＝2x2﹣2x﹣4， 则抛物线的对称轴为x， 则点D的坐标为：（，）； （Ⅱ）①如图1，延长DM与x轴交于点H， 由DM∥CO知，点D、M、H在抛物线的对称轴上， 则点C（0，﹣m）， 设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣m）， 将点C的坐标代入上式得：﹣m＝a（0+1）（0﹣m）， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣m）， 则点D的坐标为：（，）， ∵OC＝OB＝m， 则∠OBC＝45°， 在Rt△BHM中，BMHM，MH＝BH， 则DM＝MH＝BH， ∵MD∥OC， 则xH＝xD（m﹣1）， 则BH（m+1）， ∵|yD|＝2BH， 则2， 解得：m＝﹣1（舍去）或3， 则抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3， 则点D（1，﹣4）； ②由题意得，点N为以点M为圆心BM长度为半径的圆和线段OC的交点， 当a＞0时，如图2所示为BM取得最大值的情况， 此时点N与点O（或点C）重合，NM为Rt△BCN斜边上的中线， 则BC＝2BM， 由BM＝5，则BC＝10； 如图3所示为MB为最小值的情况，此时M′N′⊥OC于点N′， 则BM′＝M′N′， 则CM′＝10， 则sin∠OCB， 在Rt△OBC中，OB＝6，即m＝6，则OC＝8， 即点C（0，﹣8）， 而点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（6，0）， 则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣6）＝a（x2﹣5x﹣6）， 则﹣6a＝﹣8，则a， 则抛物线的表达式为：yx2x﹣8； 点D的坐标为：（，）； 当a＜0时，同理可得，m＝6，n＝8， 则抛物线的表达式为：yx2x+8， 点D的坐标为：（，）； 综上，抛物线的表达式为：yx2x﹣8或yx2x+8，点D的坐标为：（，）或（，）． 15. 定义：如图①，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，点P在抛物线上（点P与A、B两点不重合）．若△ABP的三边长满足PA2+PB2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的勾股点． （1）直接写出抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标； （2）如图②，已知抛物线C：y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于A、B两点，点是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式； （3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q（异于点P）的坐标． 【答案】（1）抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）； （2）； （3）满足条件的点Q的坐标为或或． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）；理由如下： 抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A、B两点， 当y＝0时，得：﹣x2+1＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝1， ∴A（﹣1，0），B（1，0）， 设抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标为P（x，﹣x2+1）， ∴则PA2＝（x+1）2+（x2﹣1）2，PB2＝（x﹣1）2+（x2﹣1）2，AB2＝4， 依题意得：AP2+BP2＝AB2， 代入并整理得：x4﹣x2＝0， 解得：x＝0，x＝±1（不合题意，舍去）， 当x＝0时，得：y＝1， ∴抛物线y＝﹣x2+1的勾股点的坐标为（0，1）； （2）抛物线y＝ax2+bx（a≠0）过原点（0，0）， 即点A的坐标为（0，0）， 如图，过点P作PG⊥x轴于点G， ∵点P的坐标为， ∴AG＝1，， ∴，， ∴∠PAB＝60°， ∵点P是抛物线C的勾股点， ∴PA2+PB2＝AB2， ∴∠APB＝90°， 在Rt△PAB中，， ∴B（4，0）， 设抛物线C的函数表达式为y＝ax（x﹣4）（a≠0），将点P的坐标代入，得： ， 解得：， ∴； （3）由S△ABQ＝S△ABP，可知， 解得：， ①当时，， 解得：x1＝3，x2＝1（不合题意，舍去）， ∴点Q的坐标为； ②当时，， 解得：，， ∴点Q的坐标为或． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 16. 已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若P是该抛物线上一点， ①当时，求点P的坐标； ②当点P在BC下方，且S△PBC取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3； （2）①点P的坐标为或或或； ②点P的坐标为． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，将点A，点B的坐标代入得： ， 解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）①抛物线y＝x2﹣2x﹣3与y轴相交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， ∵A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4， ∴， 设点P的纵坐标为m，则， ∵， ∴， 解得：m＝±1， ∴点P的纵坐标为1或﹣1， 把y＝1代入y＝x2﹣2x﹣3得：x2﹣2x﹣3＝1， 解得：，， ∴点P的坐标为或； 把y＝﹣1代入y＝x2﹣2x﹣3得：x2﹣2x﹣3＝﹣1， 解得：，， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或； ②如图，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E， 设点P（p，p2﹣2p﹣3），直线BC的函数解析式为y＝kx+n，将点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线BC的函数解析式为y＝x﹣3， 把x＝p代入y＝x﹣3得：y＝p﹣3， ∴点E（p，p﹣3）， ∴EP＝p﹣3﹣（p2﹣2p﹣3）＝﹣p2+3p， ∴S△PBC＝S△CEP+S△BEP ， ∵， ∴当时，S△PBC取最大值， ∴点P的坐标为． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上． （1）该抛物线的对称轴为 　直线x＝2　 ； （2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3，求a，m的值； （3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线x＝2． （2）a＝1，m＝1． （3）n＝1． 【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+3得y＝3， ∴抛物线经过（0，3）， ∵点（4，3）在抛物线上， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， 故答案为：直线x＝2． （2）由（1）得抛物线对称轴为直线x2， ∴b＝﹣4a， ∴y＝ax2﹣4ax+3， ∵m＞0，2﹣m≤x≤2+2m， ∴x＝2时，y＝﹣1为函数最小值，即抛物线顶点坐标为（2，﹣1）， ∴﹣1＝4a﹣8a+3， 解得a＝1， ∴y＝x2﹣4x+3， ∵2+2m﹣2＞2﹣（2﹣m）， ∴x＝2+2m时，y＝3为最大值， ∵m＞0， ∴2+2m＝4， 解得m＝1， ∴a＝1，m＝1． （3）∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝2， ∴当n≤2时，x＝n﹣2时y＝3n+5，x＝n时，y＝3n﹣3， ∴， 解得n＝1， 当n﹣2≥2时，x＝n﹣2时y＝3n﹣3，x＝n时y＝3n+5， ∴， 方程无解， 综上所述，n＝1． 18. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，运动员从点A（0，10）起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为k（m），从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离h（m）与时间t（s）之间满足h＝﹣5t2+k． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0），若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：由运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系， 设二次函数的关系为y＝ax2+bx+c， 代入（0，10），（1，10），（1.5，6.25）， 得， 解得， ∴y关于x的关系式为y＝﹣5x2+5x+10； （2）把y＝0代入y＝﹣5x2+5x+10， 得﹣5x2+5x+10＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）， ∴运动员甲从起点A到入水点的水平距离OD的长为2米； （3）①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下： 由运动员的竖直高度y（m）与水平距离x（m）满足二次函数的关系为y＝﹣5x2+5x+10， 整理得， 得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为m，即， 把h＝0代入， 得， 解得t1＝1.5，t2＝﹣1.5（不合题意，舍去）， ∵1.5＜1.6， ∴运动员甲不能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度y（m）与水平距离x（m）的关系为y＝ax2﹣ax+10（a＜0）， 得顶点为， 得， 得， 把h＝0代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要1.6s的时间才能完成极具难度的270C动作，得t≥1.6， 则t2≥1.62，即， 解得． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $