湖北省襄阳市中职(技工)学校2025-2026学年度第二学期期末考试高二数学试题（A卷）

**基本信息** 立足中职数学核心内容，以建筑脚手架受力测算、无障碍坡道施工等真实情境题，融合向量与数列知识，考查数学应用与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量相等条件、单位向量、等差下标性质（如第1、2、3题）|结合充要条件考查概念辨析| |多项选择|2/10|向量运算、等差等比综合（第9、10题）|分层赋分，考查综合判断| |填空|4/20|向量平行充要条件、坡道施工数列应用（第11、13题）|双空设计，衔接实操场景| |解答|2/30|向量模长与夹角、等差等比通项及求和（第15、16题）|多问递进，考查数学表达与推理|

襄阳市中职 (技工) 学校 2025-2026 学年度第二学期期末考试 高二数学试题（A 卷）参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. “两向量相等” 是 “两向量模长相等且方向相同” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】向量相等定义、充分必要条件判定 【答案】C 【解析】根据向量相等定义：两个向量相等的充要条件是模长相等且方向完全相同。 若两向量相等 ⇒ 模长相等、方向相同（充分性成立）； 若两向量模长相等且方向相同 ⇒ 两向量相等（必要性成立）； 因此为充要条件。 2. 已知平面向量 ，则与向量 平行的单位向量为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【考点】向量模长、平行单位向量求解 【答案】B 【解析】求的模：； 同向单位向量：；反向平行单位向量：； 综上平行单位向量有两个，选 B。 3. 已知等差数列，满足下标和性质，若，则的值为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【考点】等差数列下标和性质： 【答案】B 【解析】由等差数列性质：，故 代入，得 。 4. 支点受水平拉力向量、竖向支撑拉力向量共同作用，求支点合力模长（ ） A. B. C. D. 【考点】向量加法、向量模长计算 【答案】C 【解析】合力向量：；模长：。 5. “数列是等比数列” 是 “” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【考点】等比中项、充分必要条件 【答案】A 【解析】充分性：若为等比数列，则，交叉相乘得，成立； 必要性：若，满足，但含0 的数列不可能是等比数列，必要性不成立； 故为充分不必要条件。 6. 各项均为正数的等比数列，，求的值（ ） A. B. C. D. 【考点】等比数列下标积性质： 【答案】C 【解析】，数列各项为正，故； 分组配对：； 原式。 7. 已知，，且，求实数（ ） A. 12 B. -12 C. 13 D. -13 【考点】向量坐标运算、向量垂直充要条件（点积为 0） 【答案】D 【解析】； ； 计算点积：。 8. 正项等比数列，，，求前 4 项和（ ） A. 120 或 15 B. 15 或 - 5 C. 120 或 40 D. -5 或 40 【考点】等比中项、等比数列前 n 项和 【答案】A 【解析】，联立；解得 或 ； ①：，正项数列，，； ②：，，，； 综上或。 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。） 每小题有多个选项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选不得分。 9. 已知，，说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【考点】向量点积、垂直判定、线性坐标运算、平行判定 【答案】ABC 【解析】A：，正确； B：点积为 0 则两向量垂直，正确； C：，，正确； D：平行满足，，不平行，错误。 10. 递增等差数列，，是和的等比中项，结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. 前 6 项和 D. 成等比数列 【考点】等差数列通项、等比中项、前 n 项和、等比数列判定 【答案】ACD 【解析】设首项，公差（递增） 展开第二式：，，得； 代入：（A 正确）； 通项； B：，错误； C：，正确； D：，，满足等比中项，成等比，正确。 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 把答案填写在答题卡横线上，小题有两空的，全部填对得5分，只有一空填对得3分。 11. 均为非零向量，则的充要条件是________. 【考点】平面向量平行坐标判定公式 【答案】 【解析】两非零向量平行的坐标等价条件：交叉乘积差为 0。 12. 已知，，则______；________. 【考点】向量点积、向量线性运算、模长计算 【答案】； 【解析】点积：； ； 模长：。 13. 建筑施工中，室外无障碍坡道需分层找平施工，施工时从地面基准层开始，第1找平层的厚度为15cm，为适配坡道倾斜坡度，后续每向上一找平层的厚度均匀减少0.5cm，共需找平10层，则第10找平层的厚度为______cm；完成该建筑施工共需铺设找平层的总厚度为________cm. 【考点】等差数列通项、等差数列前 n 项和实际应用 【答案】； 【解析】数列为等差数列：，公差， 第 10 层：； 总厚度：。 14. 已知等比数列中，，前3项和，则公比=________. 【考点】等比数列前 3 项和分类讨论（与） 【答案】 或 【解析】，代入： 因式分解：，解得或。 四、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知平面向量满足，，与的夹角为. (1) 求；（4分） (2) 若，求实数的值；（4分） (3) 求与的夹角的余弦值.（7分） 【考点】向量点积定义、向量垂直性质、向量夹角余弦公式、模长平方展开 【答案】(1) ；(2) ；(3) . 【解析】(1) 先计算： 由点积定义： (2) 垂直则点积为 0： 展开：代入： (3) 设夹角为，夹角公式： ① 分子： ② 分母： ③ 代入：. 16. 已知等差数列，等比数列满足，. (1) 分别求数列，的通项公式；（6分） (2) 记，分别是数列，的前项和，，判断是否是数列中的项.（9分） 【考点】等差 / 等比通项、前 n 项和、方程整数解判定 【答案】(1) ；；(2) 2027 不是数列的项. 【解析】(1) 由得；设等差公差，等比公比。 条件：代入： 等差数列通项：; ，故；； 等比通项：; (2) ① 等差数列前项和： ② 等比数列前项和（）： ③ 表达式： 令： 代入正整数试值： ： ： 为正整数时无取值满足等式，故 2027 不是的项。 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳市中职（技工）学校2025-2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 （A卷） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. “两向量相等”是“两向量模长相等且方向相同”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知平面向量，则与向量平行的单位向量为（ ） A. B. 或 C. D. 或 3. 已知等差数列中，满足下标和性质，若，则的值为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 在建筑脚手架受力测算实操中，某支点受到水平拉力向量、竖向支撑拉力向量共同作用，为精准测算支点承重负荷，求该支点受到的合力模长为（ ） A. B. C. 5 D. 2 5. “数列是等比数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 16 7. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. 12 B. -12 C. 13 D. -13 8. 已知正项等比数列满足，，则数列前4项和的值为（ ） A. 120或15 B. 15或-5 C. 120或40 D. -5或40 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分。） 每小题有多个选项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，错选、多选不得分。 9. 已知向量，，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. ∥ 10. 已知递增的等差数列中，，是和的等比中项，则下列结论正确的有（ ） A. 公差 B. C. 前6项和 D. 成等比数列 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 把答案填写在答题卡横线上，小题有两空的，全部填对得5分，只有一空填对得3分。 11. 已知向量（为非零向量），则“∥”的充要条件是__________. 12. 已知向量，则=_______；=_______. 13. 建筑施工中，室外无障碍坡道需分层找平施工，施工时从地面基准层开始，第1找平层的厚度为15cm，为适配坡道倾斜坡度，后续每向上一找平层的厚度均匀减少0.5cm，共需找平10层，则第10找平层的厚度为______cm；完成该建筑施工共需铺设找平层的总厚度为________cm. 14. 已知等比数列中，，前3项和，则公比=________. 四、解答题（本大题共2小题，每小题15分，共30分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知平面向量满足，，与的夹角为. (1) 求；（4分） (2) 若，求实数的值；（4分） (3) 求与的夹角的余弦值.（7分） 16. 已知等差数列，等比数列满足，. (1) 分别求数列，的通项公式；（6分） (2) 记，分别是数列，的前项和，，判断是否是数列中的项.（9分） 学科网（北京）股份有限公司 $