31.2.2三角形相似的判定（第1课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦三角形相似的判定（两角分别相等、两边成比例且夹角相等），通过复习全等三角形判定的研究路径，类比迁移至相似三角形，建立知识脉络，为学生搭建从已知到未知的学习支架。 此资料以“猜想—验证—证明”完整探究过程培养推理能力，构造辅助三角形（如△A'DE）体现转化思想，融入黄金三角形、直角三角形斜边上的高等典例及中考真题，结合思维导图梳理知识体系，助力学生发展几何直观与应用意识，提升教师教学效率与学生综合解题能力。

31.2.2三角形相似的判定（第1课时）教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 三角形相似的判定：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 2. 内容分析 三角形相似的判定是在学生学习了相似三角形的定义、平行线判定三角形相似（预备定理）之后展开的新内容。全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，本节课类比全等三角形的判定的探究思路，通过减少判定条件，探究两角、两边及夹角条件下三角形相似的判定定理。两个判定定理的证明均借助构造全等三角形+平行线得到相似，把要证的相似转化为已经学习的预备定理，体现转化思想。这两个判定定理是后续进行三角形相似证明、边长计算、解决几何综合题的重要工具，同时为后续学习解直角三角形、圆中几何问题打下基础。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明三角形相似的判定定理（两角、两边一夹角）。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （2）掌握利用两角、两边一夹角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算。 2. 目标解析 （1）学生能够说出两个判定定理的文字表述，看懂定理的证明过程，理解证明中构造△A'DE的桥梁作用；能够区分“两边成比例且夹角相等”和“两边成比例且其中一边对角相等”，知道后者不能判定相似，清楚和全等SSA的类比关系。 （2）遇到几何图形，能从图中找出两组相等角，或者找到两组对应边成比例且夹角相等的条件，正确选用两个判定定理证明三角形相似；能结合相似得到对应边成比例，建立方程求解线段长度，可以解决黄金三角形、直角三角形斜边上的高这类典型问题。 三、教学问题诊断分析 学情分析：学生已经掌握全等三角形的各类判定方法，学习过相似三角形定义以及平行线分线段成比例、三角形相似预备定理，具备类比探究的基础。 但是学生存在几处难点：①对于定理证明里面“构造辅助三角形”的思路不容易想到，不理解为什么要截取线段作平行线；②使用两边成比例且夹角相等判定时，容易忽略夹角条件，错误使用“两边成比例+一边对角相等”判定相似；③识图能力不足，在复杂图形中，不容易识别出可以用来判定相似的两角或者成比例的两边；④能够证明相似，但不会利用相似建立等式做线段计算。 应对策略：复习全等判定的研究路径，明确类比思想，引导学生猜想相似的判定条件，降低探究门槛； 定理证明分步拆解，重点点明构造△A'DE作为中间桥梁，把未知的相似转化为已经学过的平行线证相似；设置思考辨析，专门对比SSA，强调两边成比例必须是夹角相等，通过反问加深印象；例题、练习由简单图形过渡到复杂综合图形，引导学生标记图中相等角、比例线段；结合例题示范：先证相似，再利用对应边成比例列方程计算，规范书写步骤。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用两角、两边一夹角来判定两个三角形相似。 四、教学过程设计 （一）复习引入 问题1 我们是如何研究三角形全等的判定的？ 在学习三角形全等的判定时，我们通过减少条件，重点研究了它们的三个元素(两边一角、两角一边、三边和三角)分别相等的情况，得到了SAS，ASA，AAS，SSS等判定方法. 问题2 全等是相似的特殊情况，对于三角形相似，我们又该如何研究呢? 类比判定三角形全等的研究思路，我们分情况讨论：两个三角形满足 1.一角相等；2.两边成比例；3.两角(三角)相等；4.两边成比例一角相等；5.三边成比例. 设计意图：从学生已经熟悉的全等三角形判定出发，类比迁移到相似三角形，建立知识之间的联系；引导学生体会“减少元素条件”这一几何命题探究的常用思路，启发学生对三角形相似的判定条件进行猜想，为本节课探究两个判定定理做好铺垫。 （二）合作探究 探究1 先任意画出一个△ABC.再画一个△DEF，使△ABC与△DEF满足一角相等或两边成比例，你画出的△DEF与△ABC一定相似吗? 答：它们不一定相似. 探究2 先任意画出一个△ABC.再画一个△DEF，使△ABC与△DEF满足两角分别相等，你画出的△DEF与△ABC一定相似吗? 答：直观上，两个三角形是相似的. 下面进行信息技术验证： 思考 结合“探究”可以发现，两个角分别相等的两个三角形相似.你能证明这一结论吗？ 如图，在△ABC和△ A′B'C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C′. 证明： 在A'B'上截取A'D=AB，在A'C'上截取A'E=AC，连接DE. 又∵∠A=∠A′， ∴△A′DE≌△ABC. ∴∠A′DE=∠B， ∵∠B=∠B'， ∴∠A′DE=∠B'， ∴DE∥B'C'， ∴△A'DE∽△ A'B'C'. ∴△ABC∽△ A'B'C'. 注意：△A'DE是联系△ABC和△A′B′C′的桥梁. 三角形相似的判定定理 （1）： 两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言 ∵∠A=∠A′，∠B=∠B'， ∴△ABC∽△A'B'C′. 探究3 类比判定三角形全等的“边角边”方法，两边和它们的夹角满足什么条件的两个三角形相似?能证明你的结论吗? 答：与“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”相对应， 我们猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图，在△ABC和△ A′B'C′中， = ，∠A=∠A′. 求证：△ABC∽△A'B'C′. 证明： 如图，在△A'B'C′的边A′B′ ( 或其延长线)上截取A′D=AB，过点D 作DE//B'C′，交A'C′于点E. 根据上一节的定理，可得△A′DE∽△A′B'C′. ∴ = ，又 = ，A′D=AB， ∴ = ， ∴A'E=AC. 又 ∠A=∠A′， ∴△A'DE≌△ABC. ∴△ABC∽△A'B'C'. 注意：△A'DE是联系△ABC和△A′B′C′的桥梁. 三角形相似的判定定理 （2）： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 符号语言 ∵ = ，∠A=∠A′， ∴△ABC∽△A'B'C′. 思考 两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形相似吗? 答：与“两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等”相对应， 我们猜想：两边成比例且其中一边的对角相等的两个三角形不一定相似. 设计意图：通过画图、信息技术直观感知和严谨证明，从合情推理过渡到演绎推理。让学生经历“猜想—验证—证明”的完整几何研究过程，体会构造辅助图形，借助预备定理证明新命题的转化思想；两个定理均配套符号语言，规范学生几何书写格式。 （三）典例分析 例1 如图，△ABC是等腰三角形， AB=AC，∠A=36°，BC=1，BD平分∠ABC，且交AC于点D. (1) 求证：△BCD∽△ABC. (2) 求AC的长. 解：(1)∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C= = =72°. 又 BD平分∠ABC， ∴ ∠ABD=∠CBD=36° . ∵ ∠CBD=∠A，∠BCD=∠ABC， ∴ △BCD∽△ABC. (2)在△BCD中，∵∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°-36°-72°=72°， ∴ BD=BC=1. 又∠ABD=∠A，∴AD=BD=1. ∵△BCD∽△ABC， ∴CD:BC=BC:AB，即BC2=CD·AB. 设CD=x，可得1²=x(1+x)，即x²+x-1=0， 解得x1=，x2=(舍去)， ∴AC=. 黄金分割及其相关概念 顶角为36°的等腰三角形常称为黄金三角形，它的底边与腰的比为，称为黄金分割数.点D把AC分为AD，CD两段，CD与AD的比值为，点D称为黄金分割点. 例2 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 设计意图：例1是黄金三角形，综合两角相等证相似，再借助相似列一元二次方程求线段长，融合几何与方程思想，拓展黄金分割数学文化；例2把乘积式转化为比例式，训练学生对条件变形，识别公共夹角，运用两边成比例且夹角相等证相似；两道例题分别对应本节课两个判定定理，示范完整答题格式，提升学生识图、推理、计算能力。 （四）巩固练习 1.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证： (1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC. 证明：(1)∵CD是斜边AB上的高， ∴∠ADC=∠ACB=90°， 又∵∠CAD=∠BAC， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵CD是斜边AB上的高， ∴∠BDC=∠ACB=90°， 又∵∠CBD=∠ABC， ∴△CBD∽△ABC. 变式 如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高.求证：CD2=AD·BD. 证明：∵△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC， ∴△ACD∽△CBD， ∴AD:CD=CD:BD， ∴CD2=AD·BD. 2.图中的两个三角形是否相似?为什么? 解：若B、C、D三点共线，A、C、E三点共线，则两个三角形相似. 理由如下： ∵BC:DC=45:30=3:2，AC:EC=54:36=3:2， ∴BC:DC=AC:EC， 又∵∠ACB=∠ECD， ∴△ACB∽△ECD. 3.如图，在由相同的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上，画出一个顶点都在格点上的△DEF，使△DEF∽△ABC，且△DEF与△ABC的相似比为2.画图的依据是什么? 解：如图，△DEF即为所求. 画图的依据是：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 设计意图：练习1是直角三角形斜边上的高——经典几何模型，巩固两角相等证相似，衍生出射影定理的基础结论；练习2训练识别对顶角作为夹角，使用两边成比例且夹角相等判定三角形相似；练习3在网格背景下动手画图，实现动手操作与定理应用结合；分层训练，兼顾基础巩固与灵活运用，及时发现学生学习漏洞。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年河北）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（  D  ） A． B． C． D． 2．（2023年黑龙江大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是________． 3．（2024年广东广州）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 4．（2026年山东烟台）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 解：（1）如图所示； （2）∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设计意图：选用各地中考真题，创设不同的问题情境，综合训练学生在复杂图形中识别相似条件；对接中考，让学生体会本节课知识在中考中的考查方式，提升综合解题能力。 （七）小结梳理 设计意图：借助思维导图梳理本章知识逻辑链条：从相似图形到相似多边形，再到相似三角形，由预备定理过渡到本节课的两个判定定理，帮助学生建立完整知识体系，理清知识的生成脉络。 （八）布置作业 1.必做题：习题31.2 第4(1)(2)，5，9题. 2.探究性作业：习题31.2 第13题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $