31.2.1平行线分线段成比例（第2课时）（教学课件）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学课件聚焦“三角形相似判定定理的预备定理”，通过复习平行线分线段成比例基本事实及推论，结合相似图形到相似三角形的知识脉络，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生自然过渡到定理探究。 其亮点在于以合作探究为主线，通过作平行线构造相似三角形的问题驱动，采用平移、截取等多种证法培养推理能力（数学思维），典例分析结合网格、平行四边形等情境发展几何直观（数学眼光），小结用文字、符号、图形语言系统梳理知识（数学语言）。如例3在平行四边形中应用定理求线段比，帮助学生提升推理与应用能力，教师可借助清晰流程高效教学。

31.2.1平行线分线段成比例 （第2课时） 第三十一章 相似 人教版九年级下册 学习目标 探索并证明三角形相似的判定定理的预备定理. 一 会利用平行线判定两个三角形相似并进行相关的证明和计算，发展推理能力. 二 1 复习引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 复习引入 平行线分线段成比例 基本事实 两条直线被 所 截，所得的对应线段 . 基本事实的推论 平行于三角形一边的直线截 ，所得的对应线段成比例. 一组平行线 成比例 其他两边(或两边的延长线) 复习引入 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 合作探究 思考 由前面所学的结论，在一个三角形中，你能作出一个与这个三角形相 似的三角形吗? 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 对应边成比例 对应角相等 相似三角形 合作探究 分析： 在△ABC中，由 ， 可知△ADE 与△ABC的角分别相等. 由前面基本事实的推论， 可知 ，若能再证明 ， 就能证明这两个三角形的边成比例， 从而证明△ADE∽△ABC. DE//BC = = 合作探究 分析： 从要证的 = 可以看出， 除DE外 ，AE，AC，BC 都在△ABC 的边上， 因此只需先将DE平移到BC边上， 如图，使BF=DE， 再证明 就可以了. = 证明： 过点E作EF//AB，交 BC 于点F. ∴ = . ∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， = . 根据平行四边形的定义得：四边形BFED是平行四边形， ∴ BF=DE， ∴ = =， ∴△ADE与△ABC的边成比例， 又∵△ADE与△ABC的角分别相等， ∴△ADE∽△ ABC. 合作探究 平行于三角形一边的直线，与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 合作探究 思考 当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形与原三角形相似吗？ 如图，DE∥BC，点D，E分别在BA，CA的延长线上. 求证：△ADE∽△ABC. 如何转化DE呢？ 证法1： 过点D作DF//AC，交BC的延长线于点F. ∴ = . ∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，∠E=∠ACB， = . 根据平行四边形的定义得：四边形CFDE是平行四边形， ∴ CF=DE， ∴ = = ， ∴△ADE与△ABC的边成比例， 又∵△ADE与△ABC的角分别相等， ∴△ADE∽△ ABC. 合作探究 证法2： 在AB上截取AD'=AD，过点D'作D'E'//BC，交AC于点E'. ∵DE//BC，∴D'E'//DE， ∴∠D=∠AD'E'，∠E=∠AE'D'， ∴△ADE≌△AD'E'， ∵D'E'//BC， ∴△AD'E'∽△ABC. ∴△ADE∽△ABC. 合作探究 平行于三角形一边的直线，与其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似. 符号语言 ∵DE//BC， ∴△ADE∽△ ABC. 合作探究 三角形相似的判定定理 的预备定理 平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 典例分析 例1 如图，在5×3的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，B，C，D都在格点上，线段AB与CD相交于点E，AE:BE=(　　) A．2：1 B．3： C．3：2 D．4：1 A 典例分析 例2 如图，在▱ABCD中，点E在边BC的延长线上，连接AE交CD于点F．图中的相似三角形有（    ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 C 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. ∴△ABF∽△CEF. ∴ = ， 又E是CD的中点， ∴ AB=CD=2CE. ∴=2. 典例分析 例3 如图，在▱ABCD中 ，E是CD的中点，AC，BE相交于点F.求的值. 典例分析 例4 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，中线AD，BE相交于点F、EG∥BC，交AD于点G．GF=2．求BC的长． 解：如图，连接DE，∵中线AD，BE相交于点F， ∴DE∥AB，DE=AB，∴△ABF∽△DEF， ∴BF:EF=AF:DF=AB:DE=2:1，∴AD:DF=3:1， ∵EG∥BC，∴△BDF∽△EGF， ∴DF:GF=BF:EF=2:1, ∴DF=2GF=4，∴AD=3DF=12， ∵∠BAC=90°，AD是中线，∴BC=2AD=24． 巩固练习 1.如图，在直角三角形ABC中，∠BCA=90°，矩形直尺的一边与BC重合，另一边与AB，AC分别交于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为8 cm，14 cm，11 cm，14 cm．若矩形直尺的宽为2 cm，则边AC的长为______cm． 4 巩固练习 2.如图，BD，CE分别是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点M，N分别在BO，CO上，四边形EMND是平行四边形．若BD=6，则BM的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 B 巩固练习 3.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE//BC，AD=3，BD=2. 写出图中的相似三角形，并指出其相似比. 答：△ADE∽△ABC，相似比为； △ABC∽△ADE，相似比为. 巩固练习 4.如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，DE//AB. 延长DE到点F， 使DF=AB，连接BF. 求证：△BFE∽△CDE. 解：∵DF//AB，DF=AB， ∴四边形ADFB是平行四边形， ∴AC∥BF， ∴ △BFE∽△CDE. 巩固练习 5.如图，BD为矩形ABCD的对角线，N是CD边上的中点，请用尺规作图法在对角线BD上求作一点M，使△DMN∽△DBC．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，点M即为所求．（答案不唯一） 归纳总结 三角形相似的判定定理的预备定理 文字语言 平行于三角形一边的直线，与 相交，所构成的三角形与原三角形相似. 符号语言 图形语言 其他两边(或两边的延长线) ∵DE//BC， ∴△ADE∽△ ABC. 感受中考 1.（2026年贵州）如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3 m，测得AE=6 m，BE=18 m，则旗杆BC的高度是（     ） A．9 m B．12 m C．18 m D．24 m B 感受中考 2.（2026年四川南充）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8．分别以点A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于M，N两点，直线MN分别交AC，AB于点D，E，则DE的长为_______． 3 感受中考 3.（2023年四川雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF=1，EC=3，则GF的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 C 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB， ∵点G是OA的中点， ∴OA=2OG， 由平移得AD∥EF， ∴△OGH∽△OAD， ∴GH:AD=OG:OA=OG:(2OG)=， 又∵AD=AB， ∴GH:AB=． 感受中考 感受中考 4.（2026年山西）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，H．当点G是OA的中点时，GH:AB的值为（     ） A． B． C． D． A 小结梳理 相似 相似多边形 从一般到特殊 相似三角形 相似图形 三角形相似的判定 平行线分线段成比例 预备定理 布置作业 必做题：习题31.2 第3，6题. 1 探究性作业：习题31.2 第15题. 2 人教版九年级下册 谢谢观看！ $