31.2.1平行线分线段成比例（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦三角形相似判定定理的预备定理，通过复习平行线分线段成比例知识导入，搭建“线段成比例到三角形相似”的逻辑桥梁，为新知学习提供支架。 此设计以合作探究为核心，拆解证明思路并动态演示平移线段，培养学生几何直观与推理能力。例题分层且融入中考真题，规范书写提升应用意识，助力学生构建知识体系，也为教师提供清晰教学路径。

31.2.1平行线分线段成比例（第2课时）教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 三角形相似的判定定理的预备定理（平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似），结合平行线分线段成比例的相关知识进行证明、计算与应用。 2. 内容分析 本节课是平行线分线段成比例基本事实的延伸，由线段成比例过渡到三角形相似的判定，是后续相似三角形判定定理的学习基础。学生需要同时结合平行线的性质、平行四边形的性质完成定理的证明，建立“平行→角相等、线段成比例→三角形相似”的完整逻辑链条。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明三角形相似的判定定理的预备定理。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）探索并证明三角形相似的判定定理的预备定理。 （2）会利用平行线判定两个三角形相似并进行相关的证明和计算，发展推理能力。 2. 目标解析 （1）能区分平行线截三角形两边、两边延长线两种图形，理解两种情形下定理均成立，能借助作平行线构造平行四边形完成边长成比例的推导。 （2）看到图形中的平行线条件，能快速识别相似三角形，准确写出相似对应关系，利用相似比进行线段长度计算、比例转化，解决综合几何问题。 三、教学问题诊断分析 学情分析：学生已掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论、平行四边形的性质、相似三角形的定义，但难点在于：证明时不知道如何转移DE这条线段，想不到作辅助线构造平行四边形实现边长等量代换；容易混淆相似三角形的对应顶点，写错对应边；在复杂图形中难以快速找出全部的相似三角形。 应对策略：分步拆解证明思路，先明确相似两大条件，再逐个突破角相等、三边成比例；动态演示平移DE的过程，帮助学生直观理解；规范符号语言书写，强调对应顶点的顺序；例题分层设计，由浅入深巩固所学。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用平行线判定两个三角形相似并进行相关的证明和计算。 四、教学过程设计 （一）复习引入 回顾上节课所学知识： 我们在上节课所学的基础上研究三角形相似的判定方法. 设计意图：从学生已熟练掌握的旧知识切入，搭建“平行线分线段成比例—三角形相似”的逻辑桥梁，降低新知学习的难度；引导学生思考“线段成比例”与“三角形相似”的关联。 （二）合作探究 思考 由前面所学的结论，在一个三角形中，你能作出一个与这个三角形相似的三角形吗? 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 根据相似三角形的定义，要想证明两个三角形相似，需要满足两个条件：对应角相等，对应边成比例. 分析：在△ABC中，由 DE//BC ，可知△ADE 与△ABC的角分别相等. 由前面基本事实的推论，可知 = ，若能再证明 = ， 就能证明这两个三角形的边成比例，从而证明△ADE∽△ABC. 从要证的 = 可以看出，除DE外 ，AE，AC，BC 都在△ABC的边上， 因此只需先将DE平移到BC边上， 如图，使BF=DE，再证明 = 就可以了. 证明： 过点E作EF//AB，交 BC 于点F. ∴ = . ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， = . 根据平行四边形的定义得：四边形BFED是平行四边形， ∴ BF=DE， ∴ = =， ∴△ADE与△ABC的边成比例， 又∵△ADE与△ABC的角分别相等， ∴△ADE∽△ ABC. 归纳：平行于三角形一边的直线，与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 思考 当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形与原三角形相似吗？ 如图，DE∥BC，点D，E分别在BA，CA的延长线上. 求证：△ADE∽△ABC. 追问：如何转化DE呢？ 证法1： 过点D作DF//AC，交BC的延长线于点F. ∴ = . ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠E=∠ACB， = . 根据平行四边形的定义得：四边形CFDE是平行四边形， ∴ CF=DE， ∴ = = ， ∴△ADE与△ABC的边成比例， 又∵△ADE与△ABC的角分别相等， ∴△ADE∽△ ABC. 证法2： 在AB上截取AD'=AD，过点D'作D'E'//BC，交AC于点E'. ∵DE//BC，∴D'E'//DE， ∴∠D=∠AD'E'，∠E=∠AE'D'， ∴△ADE≌△AD'E'， ∵D'E'//BC， ∴△AD'E'∽△ABC. ∴△ADE∽△ABC. 归纳：平行于三角形一边的直线，与其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似. 三角形相似的判定定理的预备定理 平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 符号语言 ∵DE//BC，∴△ADE∽△ ABC. 设计意图：先以学生最熟悉的内部平行线模型为载体，拆解相似证明的两大核心条件，重点突破“作辅助线构造平行四边形转移线段”这一思维难点，分步展示推理过程，降低辅助线构造的思维难度；再拓展至外部平行线的模型，提供三种不同证明思路供小组合作探究，培养一题多解的发散思维，让学生不仅记住定理结论，更理解定理的推导逻辑。 （三）典例分析 例1 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　A　) A． B． C． D． 例2 如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（  C ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 例3 如图，在▱ABCD中 ，E是CD的中点，AC，BE相交于点F.求的值. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. ∴△ABF∽△CEF. ∴ = ， 又E是CD的中点， ∴ AB=CD=2CE. ∴=2. 例4 如图，在中，，中线，相交于点、，交于点．．求的长． 解：如图，连接， ∵中线，相交于点，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，是中线， ∴． 设计意图：四道例题体现了由易到难、由单一知识点到多知识点融合的过渡，覆盖本节课两类核心模型，帮助学生熟悉考题呈现形式，同时通过板书规范解题格式，培养严谨答题习惯。 （四）巩固练习 1.如图，在直角三角形中，，矩形直尺的一边与重合，另一边与分别交于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为，，，．若矩形直尺的宽为，则边的长为 4 ． 2.如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（B） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE//BC，AD=3，BD=2. 写出图中的相似三角形，并指出其相似比. 答：△ADE∽△ABC，相似比为； △ABC∽△ADE，相似比为. 4.如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，DE//AB. 延长DE到点F， 使DF=AB，连接BF. 求证：△BFE∽△CDE. 解：∵DF//AB，DF=AB， ∴四边形ADFB是平行四边形， ∴AC∥BF， ∴ △BFE∽△CDE. 5.如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，点M即为所求．（答案不唯一） 设计意图：练习题分为计算选择、基础概念、逻辑证明、尺规作图四类，实现知识全方位巩固。练习采用学生独立完成+上台板书+集体纠错的模式，充分暴露学生课堂学习漏洞，教师针对性点评纠错，当堂消化薄弱知识点。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2026年贵州）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（  B   ） A． B． C． D． 2．（2026年四川南充）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为 3 ． 3．（2023年四川雅安）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ C  ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2026年山西）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（    A ） A． B． C． D． 解：∵四边形是正方形，∴， ∵点是的中点，∴， 由平移得，∴， ∴, 又∵，∴． 设计意图：选取不同地区、不同年份的中考真题，兼顾基础巩固与能力拔高，让学生直观感受本节课知识点在中考中的考查形式、命题难度与命题载体。通过真题讲解，提炼“遇平行优先用预备定理”的通用解题技巧，同时让学生体会几何知识的实际应用价值。 （七）小结梳理 设计意图：将本节课内容放置于“相似”整章知识体系中，帮助学生建立系统化知识框架，让学生明白本节课知识在单元中的承接作用。 （八）布置作业 1.必做题：习题31.2 第3，6题. 2.探究性作业：习题31.2 第15题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $