31.2.1平行线分线段成比例（第2课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“平行线分线段成比例（第2课时）”，核心内容为探索并证明三角形相似判定定理的预备定理，通过复习旧知引入，引导学生合作探究在三角形中作相似三角形，从作图分析到证明平行线与两边及延长线相交两种情况，构建知识支架衔接前后内容。 资料特色在于注重探究过程，以问题链引导学生推理证明，典例与中考题结合，培养推理能力和应用意识，几何直观与逻辑推理结合，帮助学生用数学思维解决问题，适合自主学习与课堂教学，提升学生推理能力与应用意识。

31.2.1平行线分线段成比例（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.探索并证明三角形相似的判定定理的预备定理。 2.会利用平行线判定两个三角形相似并进行相关的证明和计算，发展推理能力。 学习重点：探索并证明三角形相似的判定定理的预备定理。 学习难点：利用平行线判定两个三角形相似并进行相关的证明和计算。 二、学习过程 （一）复习引入 回顾上节课所学知识： 我们在上节课所学的基础上研究三角形相似的判定方法. （二）合作探究 思考 由前面所学的结论，在一个三角形中，你能作出一个与这个三角形相似的三角形吗? 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 根据相似三角形的定义，要想证明两个三角形相似，需要满足两个条件： ， . 分析：在△ABC中，由 ，可知△ADE 与△ABC的角分别相等. 由前面基本事实的推论，可知 ，若能再证明 ， 就能证明这两个三角形的边成比例，从而证明△ADE∽△ABC. 从要证的 = 可以看出，除DE外 ，AE，AC，BC 都在△ABC的边上， 因此只需先将DE平移到BC边上， 如图，使BF=DE，再证明 就可以了. 证明： 归纳： . 思考 当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形与原三角形相似吗？ 如图，DE∥BC，点D，E分别在BA，CA的延长线上. 求证：△ADE∽△ABC. 证明： 归纳： . 三角形相似的判定定理的预备定理 平行于三角形一边的直线，与 相交，所构成的三角形与原三角形相似. 符号语言 ∵DE//BC，∴ . （三）典例分析 例1 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，（ ） A． B． C． D． 例1图 例2图 例2 如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（ ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 例3 如图，在▱ABCD中 ，E是CD的中点，AC，BE相交于点F.求的值. 例4 如图，在中，，中线，相交于点、，交于点．．求的长． （四）巩固练习 1.如图，在直角三角形中，，矩形直尺的一边与重合，另一边与分别交于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为，，，．若矩形直尺的宽为，则边的长为 ． 2.如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第1题图 第2题图 3.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE//BC，AD=3，BD=2. 写出图中的相似三角形，并指出其相似比. 4.如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，DE//AB. 延长DE到点F， 使DF=AB，连接BF. 求证：△BFE∽△CDE. 5.如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2026年贵州）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（ ） A． B． C． D． 2．（2026年四川南充）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为 ． 第1题图 第2题图 3．（2023年四川雅安）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2026年山西）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（ ） A． B． C． D． 第3题图 第4题图 （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第3，6题. 2.探究性作业：习题31.2 第15题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.2.1平行线分线段成比例（第2课时） 导学案 一、学习目标 1.探索并证明三角形相似的判定定理的预备定理。 2.会利用平行线判定两个三角形相似并进行相关的证明和计算，发展推理能力。 学习重点：探索并证明三角形相似的判定定理的预备定理。 学习难点：利用平行线判定两个三角形相似并进行相关的证明和计算。 二、学习过程 （一）复习引入 回顾上节课所学知识： 我们在上节课所学的基础上研究三角形相似的判定方法. （二）合作探究 思考 由前面所学的结论，在一个三角形中，你能作出一个与这个三角形相似的三角形吗? 如图，在△ABC中 ，作DE//BC，且与AB，AC分别相交于点D，E. 求证：△ADE∽△ABC. 根据相似三角形的定义，要想证明两个三角形相似，需要满足两个条件：对应角相等，对应边成比例. 分析：在△ABC中，由 DE//BC ，可知△ADE 与△ABC的角分别相等. 由前面基本事实的推论，可知 = ，若能再证明 = ， 就能证明这两个三角形的边成比例，从而证明△ADE∽△ABC. 从要证的 = 可以看出，除DE外 ，AE，AC，BC 都在△ABC的边上， 因此只需先将DE平移到BC边上， 如图，使BF=DE，再证明 = 就可以了. 证明： 过点E作EF//AB，交 BC 于点F. ∴ = . ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， = . 根据平行四边形的定义得：四边形BFED是平行四边形， ∴ BF=DE， ∴ = =， ∴△ADE与△ABC的边成比例， 又∵△ADE与△ABC的角分别相等， ∴△ADE∽△ ABC. 归纳：平行于三角形一边的直线，与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 思考 当平行于三角形一边的直线与其他两边的延长线相交时，所构成的三角形与原三角形相似吗？ 如图，DE∥BC，点D，E分别在BA，CA的延长线上. 求证：△ADE∽△ABC. 证法1： 过点D作DF//AC，交BC的延长线于点F. ∴ = . ∵DE//BC， ∴∠ADE=∠B，∠E=∠ACB， = . 根据平行四边形的定义得：四边形CFDE是平行四边形， ∴ CF=DE， ∴ = = ， ∴△ADE与△ABC的边成比例， 又∵△ADE与△ABC的角分别相等， ∴△ADE∽△ ABC. 证法2： 在AB上截取AD'=AD，过点D'作D'E'//BC，交AC于点E'. ∵DE//BC，∴D'E'//DE， ∴∠D=∠AD'E'，∠E=∠AE'D'， ∴△ADE≌△AD'E'， ∵D'E'//BC， ∴△AD'E'∽△ABC. ∴△ADE∽△ABC. 归纳：平行于三角形一边的直线，与其他两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似. 三角形相似的判定定理的预备定理 平行于三角形一边的直线，与其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 符号语言 ∵DE//BC，∴△ADE∽△ ABC. （三）典例分析 例1 如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，，，都在格点上，线段与相交于点，(　A　) A． B． C． D． 例1图 例2图 例2 如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（  C ）． A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 例3 如图，在▱ABCD中 ，E是CD的中点，AC，BE相交于点F.求的值. 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD. ∴△ABF∽△CEF. ∴ = ， 又E是CD的中点， ∴ AB=CD=2CE. ∴=2. 例4 如图，在中，，中线，相交于点、，交于点．．求的长． 解：如图，连接， ∵中线，相交于点，∴，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∵，是中线， ∴． （四）巩固练习 1.如图，在直角三角形中，，矩形直尺的一边与重合，另一边与分别交于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为，，，．若矩形直尺的宽为，则边的长为__4____． 第1题图 第2题图 2.如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（B） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE//BC，AD=3，BD=2. 写出图中的相似三角形，并指出其相似比. 答：△ADE∽△ABC，相似比为； △ABC∽△ADE，相似比为. 4.如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，DE//AB. 延长DE到点F， 使DF=AB，连接BF. 求证：△BFE∽△CDE. 解：∵DF//AB，DF=AB， ∴四边形ADFB是平行四边形， ∴AC∥BF， ∴ △BFE∽△CDE. 5.如图，为矩形的对角线，N是边上的中点，请用尺规作图法在对角线上求作一点M，使．（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图，点M即为所求．（答案不唯一） （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2026年贵州）如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（  B   ） A． B． C． D． 2．（2026年四川南充）如图，在中，，，．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于，两点，直线分别交，于点，，则的长为 3 ． 第1题图 第2题图 第3题图 3．（2023年四川雅安）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ C  ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2026年山西）如图，在正方形中，对角线，交于点．将线段沿射线方向平移，点，的对应点分别为点，，线段分别与，交于点，．当点是的中点时，的值为（    A ） A． B． C． D． 解：∵四边形是正方形，∴， ∵点是的中点，∴， 由平移得，∴， ∴, 又∵，∴． （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第3，6题. 2.探究性作业：习题31.2 第15题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $