31.2.1平行线分线段成比例（第1课时）（教学设计）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学教学设计聚焦“平行线分线段成比例”核心内容，涵盖基本事实及三角形推论。通过复习相似多边形与成比例线段知识，以“相似三角形判定需研究线段比例”设问导入，搭建新旧知识桥梁，形成学习支架。 此设计亮点在于用信息技术工具动态验证基本事实，结合《几何原本》史料渗透数学文化，典例与练习融入生活场景（如书法格线、斜拉桥设计），培养学生几何直观与模型意识。中考真题训练提升推理能力，分层例题与纠错环节助力教师精准教学，帮助学生夯实基础并发展应用能力。

31.2.1平行线分线段成比例（第1课时）教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课内容为人教版九年级下册31.2.1平行线分线段成比例，主要包含两部分内容：①平行线分线段成比例的基本事实；②该事实在三角形中的推论。 2. 内容分析 本节课是相似三角形判定的前置基础，承接上一节相似多边形、成比例线段知识，由“多条平行线截任意两条直线”的一般情况，过渡到“平行线截三角形两边（或两边的延长线）”的特殊情况，实现从直线组到三角形的转化。基本事实揭示了平行线与线段成比例的内在联系，为后续三角形相似的判定定理的证明提供核心推理依据；同时渗透从一般到特殊、数形结合、转化的数学思想。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握平行线分线段成比例的基本事实。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 （2）利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行证明和计算，发展推理能力。 2. 目标解析 （1）能准确复述平行线分线段成比例的基本事实，能看懂几何图形，规范书写符号语言，能自主写出比例式，分清“对应线段”的含义。 （2）能区分基本事实及其推论；可利用比例式完成线段长度的计算，能结合等式性质完成简单几何证明；能将生活、网格、矩形、折叠等实际图形抽象为平行线分线段成比例的模型，提升几何识图与推理能力。 三、教学问题诊断分析 学情分析：学生已掌握相似多边形和成比例线段的定义，具备基础线段计算能力，但存在两处典型难点：①容易混淆“对应线段”，列错比例式；②遇到复杂图形时，模型识别困难；③不会灵活转化比例式，计算时等量代换容易出错。 应对策略：用彩笔标注每组平行线截出的上下对应线段，直观区分对应关系；分层例题梯度训练，设置错误辨析环节，展示典型错误，集体纠错。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行证明和计算。 四、教学过程设计 （一）复习引入 回顾上节课所学知识： 问题 在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 你能根据相似多边形的定义，给出相似三角形的定义吗？ 答：两个三角形，如果它们的三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形叫作相似三角形. 两个三角形是否相似，与它们的对应边是否成比例有关.为研究三角形相似的判定，需要研究线段成比例的问题.我们先来看一般的情况，即两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段是否成比例. 设计意图：回顾相似多边形、成比例线段的相关内容，搭建新旧知识桥梁，借助设问自然引出本节课研究主题，让学生理清知识逻辑，激发探究平行线与线段比例关系的兴趣。 （二）合作探究 探究1 如图，利用信息技术工具，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2 都相交的平行线l3，l4，l5，三条平行线在l1上截得的线段分别为AB，BC，AC，在l2上截得的线段分别为 DE，EF，DF. 度量上述线段的长度，哪些线段成比例? 平移l3或l4或l5，它们依然互相平行，你得到的结论还成立吗? 平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言 ∵l3∥l4∥l5， ∴ = ， = ， = . 探究2 进一步地，平移图中的直线l2, 使点D与点A重合，或者点E与点B重合，得到如图所示的两种情况. 如左图，把l4看成平行于△ACF的边CF的直线，可推出对应线段成比例； 如右图，把l3看成平行于△BCF的边CF的直线，可推出对应线段成比例. 平行线分线段成比例的基本事实的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. 溯源 平行线分线段成比例的基本事实是研究三角形相似判定的重要基础.早在公元前300年左右，古希腊的数学名著《原本》中就有上述基本事实的推论，出现在卷VI的命题2中. 设计意图：先用信息技术度量数据直观验证定理，通过平移平行线验证结论具有普遍性，引导学生自主归纳基本事实；再通过平移直线得到三角形特殊模型，完成从一般到特殊的转化，结合《几何原本》史料渗透数学文化，完整梳理基本事实与推论的图形、条件、结论，建立完整几何认知。 （三）典例分析 例1 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ A   ） A． B． C． D． 例2 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 例3 如图是一座斜拉桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁 OA，OB 关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行.索塔上拉索最高索鞍(用于拉索穿过 并固定的索塔装置) C到桥梁的距离OC为 15 m，索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40 m. 如果桥梁上每隔8 m需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍? 解：由题意可知，穿过索塔左侧的拉索一共需要5根.设索塔左侧第1根拉索到第5根拉索在桥梁上的位置分别为A₁，A₂，A₃，A₄，A，索塔上索鞍的位置分别为C₁，C₂，C₃，C₄，C. 因为所有拉索互相平行，所以 = ， 即 = ，解得OC₁=3. 由 = 及OA₁=A₁A₂, 可得C₁C₂=OC₁=3. 同理，C₂C₃= C₃C₄= C₄C=3. 因此，只要在OC 之间每隔3 m安排一个索鞍即可. 设计意图：选取基础三角形、生活格线、工程实景三类典型例题，由浅入深覆盖基础计算和实际应用，帮助学生掌握典型例题的解题思路，学会把实际场景抽象为几何图形，发展抽象能力和应用意识。 （四）巩固练习 1．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（  B   ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 2．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（  B ） A． B．1 C． D． 3．如图，在矩形中，若，则的长为___1_ _． 解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴． 4.如图，AB//CD//EF，点C在BE上，点D在AF上 ，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5. 求BC:CE的值. 解：∵AG=2，GD=1， ∴AD=AG+GD=3. ∵AB//CD//EF， ∴BC:CE=AD:DF=. 5.如图，在△ABC中 ，D是AB的中点，DE//BC，交AC于点E. 求证：AE=EC. 解：∵ D是AB的中点， ∴AD=DB. ∵DE//BC， ∴AE:EC=AD:DB=1， ∴AE=EC. 设计意图：分层练习兼顾基础识图计算与逻辑证明，全面巩固本节课所学知识，便于发现课堂薄弱点，及时查漏补缺。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年四川雅安）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（  D ） A． B． C． D． 2．（2023年江苏常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点． 这一画图过程体现的数学依据是 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 . 3．（2026吉林）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则________． 解：由作法可知，CE=AD=2， ∵DE∥BC， ∴AD:BD=AE:CE， ∴2:1=AE:2， ∴AE=4． 4．（2026年内蒙古）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 解：如图，连接交于点O， 是等边三角形，边长为 ， 点是边的中点 ，． 由折叠的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 设计意图：选用各地近年中考真题，覆盖基础计算、作图依据、几何综合题型，对接中考考查方向，训练学生几何解题思维，让学生感知本节知识在中考中的出题形式与难度。 （七）小结梳理 设计意图：梳理整章“相似”知识逻辑链条，明确平行线分线段成比例是判定三角形相似的核心基础，让学生把握单元整体知识脉络，理清本节课在整章中的地位与作用。 （八）布置作业 1.必做题：习题31.2 第1，2题. 2.探究性作业：习题31.2 第14题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $