31.2.1平行线分线段成比例（第1课时）（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“平行线分线段成比例”第1课时，核心为掌握基本事实及推论并用于证明计算。通过复习相似多边形定义引出相似三角形对线段成比例的需求，搭建从旧知到新知的学习支架。 特色在于以合作探究为主线，引导学生用信息技术工具画图度量平移验证，发展几何直观与创新意识。典例与练习结合生活实例及中考题，强化推理意识与应用意识，分层作业设计助力学生巩固提升，培养数学思维与实践能力。

31.2.1平行线分线段成比例（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行证明和计算，发展推理能力。 学习重点：掌握平行线分线段成比例的基本事实。 学习难点：利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行证明和计算。 二、学习过程 （一）复习引入 回顾上节课所学知识： 问题 在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 你能根据相似多边形的定义，给出相似三角形的定义吗？ 答：两个三角形，如果它们的三个角分别相等，三条边成比例，那么这两个三角形叫作相似三角形. 两个三角形是否相似，与它们的对应边是否成比例有关.为研究三角形相似的判定，需要研究线段成比例的问题.我们先来看一般的情况，即两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段是否成比例. （二）合作探究 探究1 如图，利用信息技术工具，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5，三条平行线在l1上截得的线段分别为AB，BC，AC，在l2上截得的线段分别为 DE，EF，DF. 度量上述线段的长度，哪些线段成比例? 答：AB、BC、DE、EF成比例；AB、AC、DE、DF成比例；BC、AC、EF、DF成比例. 平移l3或l4或l5，它们依然互相平行，你得到的结论还成立吗? 答：结论还成立. 平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言 ∵l3∥l4∥l5，∴ = ， = ， = . 探究2 进一步地，平移图中的直线l2, 使点D与点A重合，或者点E与点B重合，得到如图所示的两种情况. 如左图，把l4看成平行于△ACF的边CF的直线，可推出 = ， = ， = ； 如右图，把l3看成平行于△BCF的边CF的直线，可推出 = ， = ， = . 平行线分线段成比例的基本事实的推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例. （三）典例分析 例1 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ A   ） A． B． C． D． 例1图 例2图 例2 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为__________． 例3 如图是一座斜拉桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁 OA，OB 关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行.索塔上拉索最高索鞍(用于拉索穿过 并固定的索塔装置) C到桥梁的距离OC为 15 m，索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40 m. 如果桥梁上每隔8 m需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍? 解：由题意可知，穿过索塔左侧的拉索一共需要5根.设索塔左侧第1根拉索到第5根拉索在桥梁上的位置分别为A₁，A₂，A₃，A₄，A，索塔上索鞍的位置分别为C₁，C₂，C₃，C₄，C. 因为所有拉索互相平行，所以 = ， 即 = ，解得OC₁=3. 由 = 及OA₁=A₁A₂, 可得C₁C₂=OC₁=3. 同理，C₂C₃= C₃C₄= C₄C=3. 因此，只要在OC 之间每隔3 m安排一个索鞍即可. （四）巩固练习 1．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（  B   ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 2．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（  B ） A． B．1 C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 3．如图，在矩形中，若，则的长为 1 . 解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴． 4.如图，AB//CD//EF，点C在BE上，点D在AF上 ，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5. 求BC:CE的值. 解：∵AG=2，GD=1， ∴AD=AG+GD=3. ∵AB//CD//EF， ∴BC:CE=AD:DF=. 5.如图，在△ABC中 ，D是AB的中点，DE//BC，交AC于点E. 求证：AE=EC. 解：∵ D是AB的中点， ∴AD=DB. ∵DE//BC， ∴AE:EC=AD:DB=1， ∴AE=EC. （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年四川雅安）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（  D ） A． B． C． D． 2．（2023年江苏常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点． 这一画图过程体现的数学依据是 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 . 3．（2026吉林）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则________． 解：由作法可知，CE=AD=2， ∵DE∥BC， ∴AD:BD=AE:CE， ∴2:1=AE:2， ∴AE=4． 4．（2026年内蒙古）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 解：如图，连接交于点O， 是等边三角形，边长为 ， 点是边的中点 ，． 由折叠的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第1，2题. 2.探究性作业：习题31.2 第14题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.2.1平行线分线段成比例（第1课时） 导学案 一、学习目标 1.掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2.利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行证明和计算，发展推理能力。 学习重点：掌握平行线分线段成比例的基本事实。 学习难点：利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论进行证明和计算。 二、学习过程 （一）复习引入 回顾上节课所学知识： 问题 在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 你能根据相似多边形的定义，给出相似三角形的定义吗？ 两个三角形是否相似，与它们的对应边是否成比例有关.为研究三角形相似的判定，需要研究线段成比例的问题.我们先来看一般的情况，即两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段是否成比例. （二）合作探究 探究1 如图，利用信息技术工具，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5，三条平行线在l1上截得的线段分别为AB，BC，AC，在l2上截得的线段分别为 DE，EF，DF. 度量上述线段的长度，哪些线段成比例? 平移l3或l4或l5，它们依然互相平行，你得到的结论还成立吗? 平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被 所截，所得的对应线段 . 符号语言 ∵l3∥l4∥l5， ∴ . 探究2 进一步地，平移图中的直线l2, 使点D与点A重合，或者点E与点B重合，得到如图所示的两种情况. 如左图，把l4看成平行于△ACF的边CF的直线，可推出 ； 如右图，把l3看成平行于△BCF的边CF的直线，可推出 . 平行线分线段成比例的基本事实的推论 平行于三角形一边的直线截 ，所得的对应线段成比例. （三）典例分析 例1 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 例1图 例2图 例2 如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在竖格线上．若线段，则线段的长为___ _____． 例3 如图是一座斜拉桥部分结构设计示意图，索塔两侧的桥梁 OA，OB 关于索塔的中轴线OC对称，每侧的拉索互相平行.索塔上拉索最高索鞍(用于拉索穿过 并固定的索塔装置) C到桥梁的距离OC为 15 m，索塔左侧部分需要承重的桥梁长度OA=40 m. 如果桥梁上每隔8 m需要安装一根拉索，应该如何在索塔上安排索鞍? （四）巩固练习 1．图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（     ）． A．30 B．36 C．45 D．56.25 2．如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（    ） A． B．1 C． D． 第1题图 第2题图 第3题图 3．如图，在矩形中，若，则的长为 ． 4.如图，AB//CD//EF，点C在BE上，点D在AF上 ，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5. 求BC:CE的值. 5.如图，在△ABC中 ，D是AB的中点，DE//BC，交AC于点E. 求证：AE=EC. （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2025年四川雅安）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（2023年江苏常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点． 这一画图过程体现的数学依据是 . 3．（2026吉林）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则___ ____． 第3题图 第4题图 4．（2026年内蒙古）如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． （七）布置作业 1.必做题：习题31.2 第1，2题. 2.探究性作业：习题31.2 第14题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $