31.1图形的相似（导学案）数学新教材人教版九年级下册

该初中数学导学案聚焦“图形的相似”，核心知识点包括比例基本性质、成比例线段、相似多边形及相似比。课堂导入从复习全等图形入手，结合生活实例引导学生观察形状相同的图形，搭建从已知到未知的学习支架，衔接前后知识脉络。 导学案通过生活实例引入相似图形，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识。合作探究环节明确相似多边形的定义、性质及判定的符号语言，发展推理思维，典例分析与中考题结合，提升用数学语言解决问题的能力，助力学生自主学习与知识应用。

31.1图形的相似 导学案 一、学习目标 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比。 学习重点：了解相似多边形和相似比，会判断成比例线段。 学习难点：运用相似多边形的定义完成判定与相关计算。 二、学习过程 （一）复习引入 引言 我们知道全等图形的形状、大小都相同.在现实生活中，还经常见到形状相同、大小不同的图形.我们把形状相同的图形叫作 . 问题 你能找到生活中的相似图形吗？ （二）合作探究 思考 下图的各对相似图形中，其中一个图形是由另一个图形怎样变化得到的? 相似多边形及其相关概念： 两个边数相同的多边形，如果它们的 ， ，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形 叫作相似比.相似用符号“ ”表示，读作“相似于”. 例如 在四边形ABCD与A'B'C′D′ 中， 如果 ，且 ， 那么四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，相似比为 . 同时，四边形 A'B'C′D'∽四边形ABCD，相似比为 . 成比例线段的概念： 对于四条线段a，b，c，d，如果其长度的比满足 ，我们就说线段a，b，c，d成比例. 相似多边形的性质：相似多边形的 ， . 相似多边形的定义既是性质又是判定： 性质符号语言： ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴ . 判定符号语言： ∵ ， ∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′. 思考 大小不同的两个正方形相似吗?矩形呢? 菱形呢? （三）典例分析 例1 如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 例2 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（      ） A． B． C． D． 例3 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH.求∠G，∠D的度数和边EH的长. （四）巩固练习 1．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(    )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 2．下列命题中，正确命题的个数为________． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 3.(1)两个边数相同的正多边形相似吗?为什么? (2)角分别相等的两个多边形相似吗? 边成比例的两个多边形呢?为什么? 4.如图，五边形ABCDE∽五边形A'B'C′D'E'，求∠A′，∠ B 的度数，以及边 C′D'，DE的长. （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2024年江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（     ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 2．（2025年河北）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（     ） A． B． C． D． 3．（2025年甘肃）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为_______． 第2题图 第3题图 第4题图 4．（2023年山东威海）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（　　） A． B． C． D． （七）布置作业 1.必做题：习题31.1 第1，2，3题. 2.探究性作业：习题31.1 第4题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 31.1图形的相似 导学案 一、学习目标 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。 2.通过具体实例认识图形的相似；了解相似多边形和相似比。 学习重点：了解相似多边形和相似比，会判断成比例线段。 学习难点：运用相似多边形的定义完成判定与相关计算。 二、学习过程 （一）复习引入 引言 我们知道全等图形的形状、大小都相同.在现实生活中，还经常见到形状相同、大小不同的图形.我们把形状相同的图形叫作 相似图形 . 问题 你能找到生活中的相似图形吗？ 我国国旗上大小不同的五角星，同一数码照片文件 打印出的不同尺寸的相片，同一区域不同比例尺的两幅地图，大小不同的足球，大小不同的中国结，排版印刷时使用不同字号排出的相同文字，衣服上的大小图案等等. （二）合作探究 思考 下图的各对相似图形中，其中一个图形是由另一个图形怎样变化得到的? 答：在两个相似图形中，一个图形可以看作由另一个图形按一定比例放大或缩小得到. 相似多边形及其相关概念： 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，角的对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫作相似比.相似用符号“ ∽ ”表示，读作“相似于”. 例如 在四边形ABCD与A'B'C′D′ 中， 如果 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′ ， 且 = = = =k ， 那么四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，相似比为 k . 同时，四边形 A'B'C′D'∽四边形ABCD，相似比为 . 成比例线段的概念： 对于四条线段a，b，c，d，如果其长度的比满足 = (即ad=bc) ，我们就说线段a，b，c，d成比例. 相似多边形的性质：相似多边形的 对应角相等 ， 对应边成比例 . 相似多边形的定义既是性质又是判定： 性质符号语言： ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴ ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′， = = = . 判定符号语言： ∵ ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠D=∠D′， = = = ， ∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′. 思考 大小不同的两个正方形相似吗?矩形呢? 菱形呢? 答：大小不同的两个正方形相似；大小不同的两个矩形不一定相似；大小不同的两个菱形不一定相似. （三）典例分析 例1 如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（  A  ） A． B． C． D． 例2 下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（  B   ） A． B． C． D． 例3 如图，四边形ABCD∽四边形EFGH.求∠G，∠D的度数和边EH的长. 解：因为四边形ABCD∽四边形 EFCH，所以它们的对应角相等. 由此可得∠G=∠C=83°，∠A=∠E=118° . 在四边形ABCD中 ，∠D=360°-(78°+83°+118°)=81° . 因为四边形ABCD∽四边形EFGH，所以它们的对应边成比例. 由此可得 = ，即=， 解得EH=28. （四）巩固练习 1．如图，将图形用放大镜放大，应该属于(  B   )． A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换 2．下列命题中，正确命题的个数为____1___． ①所有的正方形都相似 ②所有的菱形都相似 ③边长相等的两个菱形都相似 ④对角线相等的两个矩形都相似 3.(1)两个边数相同的正多边形相似吗?为什么? (2)角分别相等的两个多边形相似吗? 边成比例的两个多边形呢?为什么? 解：(1) 两个边数相同的正多边形相似.理由如下： 根据正多边形的定义得：它的各个内角都相等，各条边也相等， 因为两个正多边形边数相同， 所以它们的对应角相等，对应边成比例， 根据相似多边形的定义得：两个边数相同的正多边形相似. (2) 角分别相等的两个多边形不一定相似.反例如下： 正方形ABCD与矩形EFGH的对应角相等，但两者不相似. 边成比例的两个多边形不一定相似.反例如下： 正方形ABCD与菱形EFGH的对应边成比例，但两者不相似. 4.如图，五边形ABCDE∽五边形A'B'C′D'E'，求∠A′，∠ B 的度数，以及边 C′D'，DE的长. 解：∵五边形ABCDE∽五边形A'B'C′D'E'， ∴∠A′=∠A=78°，∠B=∠B'=105° . ∵五边形ABCDE∽五边形A'B'C′D'E'， ∴ = = ， 即 = = ， 解得C′D'=2，DE=1.5. （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2024年江苏连云港）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（  D  ） A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 2．（2025年河北）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（  C  ） A． B． C． D． 3．（2025年甘肃）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为___195___． 第2题图 第3题图 第4题图 4．（2023年山东威海）如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为（ C ） A． B． C． D． （七）布置作业 1.必做题：习题31.1 第1，2，3题. 2.探究性作业：习题31.1 第4题. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $