第30讲 用单摆测重力加速度题型 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 以“解题口诀+考向定位+分阶训练”构建单摆测重力加速度完整方法体系，覆盖基础操作、数字化创新及等效情境，逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |教材标准原型|10题|摆长计算、周期测量、误差分析口诀|从单摆周期公式出发，掌握基础操作规范与数据处理| |数字化器材革新拓展|10题|光电/磁传感器、摄像计时等创新方案口诀|传统实验与数字化技术融合，提升数据采集与图像解读能力| |等效类单摆测量方案|12题|等效重力加速度与摆长分析口诀|结合动力学情境，拓展单摆模型在复合场、斜面等场景的应用|

第30讲 用单摆测重力加速度题型专项训练 〖组卷模式：解题口诀+高考考向+题型专练〗 题型01 教材标准原型 1 题型02 数字化器材革新拓展 13 题型03 等效类单摆测量方案 25 题型01 教材标准原型 解题口诀：摆角不超五度角，摆长线球半径和；最低点起计周期，累积次数减误差；图像求斜率，误差来源逐条析。 高考考向：实验大题基础设问必考，考查器材选择、操作正误、游标卡尺读数、多组数据图像处理；辨析摆长漏算、计时起点、空气阻力等系统误差，新高考实验送分核心板块。 1.（2026·贵州·高考真题）如图，某同学居家设计简易单摆测量重力加速度。主要器材有：细线、金属球、卷尺、手机、挂衣架。 请完成下列步骤： （1）用卷尺测量金属球直径三次后得平均值。 （2）用卷尺测量摆线长度三次后得平均值。将金属球从平衡位置拉至一个偏角小于的位置并由静止释放，用手机秒表测量金属球20次全振动的时间。重复测量三次，得周期的平均值。 （3）改变摆线长度，重复步骤（2）。得、（、、）和的数据如下表： 110.10 42.43 42.25 42.38 2.12 100.37 40.43 40.50 40.38 90.23 38.62 38.38 38.50 1.93 计算上表中时的_____s。（保留三位有效数字） （4）根据重力加速度表达式_____（用、T、L和 表示），计算实验值。 （5）查询当地重力加速度，发现 的实验值偏小。为减小空气阻力引起的误差，应尽量选择质量_____（填“大”或“小”）、体积_____（填“大”或“小”）的摆球。 【答案】 ①.2.02 ②. ③.大 ④.小 【详解】（3）[1]金属球做20次全振动的时间为，则周期 当时，代入数据可得 （4）[2])根据单摆的周期公式 其中 则 可得重力加速度表达式为 （5）[3][4]为减小空气阻力引起的误差，应尽量选择质量大、体积小的摆球。 2．某同学用单摆测当地的重力加速度。由于实验室提供的刻度尺能测量的最大长度明显小于悬线的长度，因此该同学设计了如图甲所示的装置。悬线（长度一定）穿过薄木板上的小孔，一端悬于点，另一端系着小球，将薄木板水平固定，并保持悬线竖直。 (1)使小球在竖直面内做小角度的摆动，从小球经过最低点时开始计时，并记为1，此后小球依次经过最低点时分别记为2，3，…，记为时，小球运动的总时间为，则小球摆动的周期__________。（用、表示） (2)改变薄木板的高度重复实验，每次测量点到小孔的距离，测得对应每次小球摆动的周期。得到多组数据后，为更直观地得出结论，应绘制以为纵轴、__________（填“”“”或“”）为横轴的图像。 (3)若获得的图像如图乙所示，该图线斜率的绝对值为，则当地的重力加速度大小为__________。（用、表示） 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）从第1次经过最低点开始计时，到第次经过最低点的过程中，小球经过最低点的间隔数为次，每经过一次全振动小球会2次经过最低点， 因此总全振动次数为。已知总计时时长为，可得周期 （2）设悬线的总固定长度为，当点到小孔的距离为，则此时单摆的实际摆长为时，有 整理得 为更直观地得出结论，应绘制以为纵轴、为横轴的图像。 （3）由上述推导的线性关系可知该图像的斜率绝对值 整理得当地的重力加速度大小 3．某班同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的实践和探究： (1)用游标卡尺测量摆球直径d，如图甲所示，则摆球直径为_________cm，测量单摆摆长为l； (2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=60时，秒表的示数如图乙所示，秒表读数为__________s； (3)将测量数据代入公式得到的测量结果与真实的重力加速度值比较，发现测量结果偏大，可能的原因是 ； A．误将59次数成了60次 B．在未悬挂单摆之前先测定好摆长 C．将摆线长当成了摆长 D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长 (4)该组同学纠正了之前的错误操作，尝试测量不同摆长l对应的单摆周期T，并在坐标纸上画出T2与l的关系图线，如图丙所示。由图线计算出的重力加速度的值g=________m/s2。（保留3位有效数字） (5)在测量时，某小组由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比__________（填“偏大”、“偏小”、“不变”）。 【答案】(1)2.06(2)67.4(3)AD(4)9.86(5)偏大 【详解】（1）游标卡尺的主尺读数为20mm，游标读数为0.1×6=0.6mm，则最终读数为20.6 mm=2.06 cm。 （2）秒表的读数为60s＋7.4s=67.4s。 （3）根据单摆周期公式 解得 A．误将59次数成了60次 ，导致测量时周期T测小，可知g值测量值偏大，故A正确； B．在未悬挂单摆之前先测定好摆长 ，导致测量的摆长小于真实的摆长，可知g值偏小；故B错误； C．将摆线长当成了摆长没有加小球的半径，导致测量的摆长偏小，可知g值偏小，故C错误； D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长，导致测量的摆长变长，根据可知g值偏大，故D正确； 故选AD。 （4）根据单摆周期公式 解得 则在与 l 的关系图线中，斜率为 解得 （5）以L表示摆长，表示摆线与竖直方向的夹角，m表示摆球的质量，F表示摆线对摆球的拉力，T表示摆球圆锥摆运动的周期，由牛顿第二定律得 在竖直方向，由平衡条件得 解得 等效摆长小于单摆摆长L，则单摆周期的测量值偏小，根据单摆周期公式求出的重力加速度偏大，即重力加速度的测量值偏大。 4．某同学利用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度。 (1)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在固定装置的横杆上，如图，则悬挂方式应采用______（选填“甲”或“乙”）； (2)测量中，该同学用游标卡尺测量摆球的直径如图乙所示，其读数为______cm； (3)若在实验过程中，该同学误将摆球61次全振动的时间记为60次，则重力加速度的测量值会______。（选填“偏大”、“偏小”或“不变”） (4)若某同学将实验搬到月球上去进行，改变摆长，测量出多组周期T、摆长L数值后，画出的关系如图丙所示，则当地的重力加速度______（保留三位有效数字）。 【答案】(1)乙(2)2.145(3)偏小(4)1.60 【详解】（1）甲图中摆球在摆动过程中摆线长将会变大，所以摆线的悬点应用铁夹固定。 故选乙。 （2）游标卡尺的读数为主尺读数与游标尺读数之和 （3）该同学误将摆球61次全振动的时间记为60次，周期的测量值偏大，则由公式 可得 则重力加速度的测量值会偏小。 （4）根据题意，由（3）分析可得 结合图丙可得 解得 5．小组用单摆测量重力加速度，装置如图。 (1)游标卡尺测得摆球直径，刻度尺测得摆线长，则摆长_____（保留四位有效数字）； (2)使摆线与竖直方向夹角为（），无初速度释放摆球，摆球位于_____选填：“最高点”或“最低点”）开始计时，记录摆球做次全振动，则单摆周期_____，由此测得当地重力加速度_____（取，保留三位有效数字）。 【答案】(1)(2) 最低点 1.80 【详解】（1）单摆的摆长为 （2）[1]为减小实验计时误差，需摆球经过最低点时开始计时； [2]单摆周期 [3]根据单摆周期公式 可得 代入数值得 6．某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 （1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为________mm。 （2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为_____m/s2（保留3位有效数字）。 （3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是____________，原因是____________。 【答案】 19.20 9.86 随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小 随着摆线长度l的增加，则越接近于l，此时计算得到的g的差值越小 【详解】（1）[1]用游标卡尺测量摆球直径d=19mm+0.02mm×10=19.20mm （2）[2]单摆的摆长为 L=990.1mm+×19.20mm=999.7mm 根据 可得 带入数据 （3）[3][4]由图可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则越接近于l，此时计算得到的g的差值越小。 7．某课外兴趣小组在“用单摆测量重力加速度”的实验中，测的摆球经过次全振动的总时间为。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为。回答下列问题： (1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标计时开始计时，该标记应该放置在摆球的最______点（选填“高”或者“低”）； (2)重力加速度的表达式为_________（用题目中给出的字母表示） (3)如果测得的值偏小，可能的原因是（　　） A．测摆长时，摆线拉的过紧 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 D．实验时误将51次全振动记为50次 (4)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长，并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标，为纵坐标做图线。若某同学忘记加小球半径，直接用摆线长度代替摆长，由此拟合出的图像可能是图乙中的________（选填①、②、③）。 【答案】(1)低(2)(3)BD(4)③ 【详解】（1）小球在摆动过程中，由于能量损失，最高点的位置会发生变化，故该标记放置在摆球的最低点更准确。 （2）由，其中，，代入可得 （3）由可知 A．测摆长时，摆线拉的过紧，则偏大，值偏大，A错误； B．振动中悬点出现松动，摆线长度的数据不变，但测量得到的偏大，值偏小，B正确； C．开始计时时，停表过迟按下，则偏小，值偏大，C错误； D．实验时误将51次全振动记为50次，即偏小，偏大，值偏小，D正确。 故选BD。 （4）由得，若忘记加小球半径，则修正的摆长为，代入得，是图乙中的③。 8．了解地球表面重力加速度的分布，对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域都有十分重要的意义。某实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验： (1)用游标卡尺测量实验所用的匀质小球的直径D，如图甲所示，则小球的直径D是___________mm。 (2)该同学利用秒表测量单摆的周期时，秒表示数如图乙所示，读数为___________s。 (3)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有（　　） A．摆线要选择细些、伸缩性尽量小些、适当长一些的 B．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始拉开摆球时，应使摆角大一些 C．为保证摆球摆动时摆长不变，应用夹子夹住摆线上端 D．拉开摆球，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔∆t即为单摆周期T (4)实验中，测量不同摆长及对应的周期，用多组实验数据做出摆长与周期平方的图像如图丙所示，则重力加速度的大小为___________m/s2（π2取9.86，结果保留三位有效数字）。 (5)另一名同学不小心，每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的L-T2图像是图丁中的___________（选填“①”“②”或“③”），该同学测得的重力加速度与真实值相比___________（选填“偏大”偏小”或“不变”）。 【答案】(1)10.75(2)79.5(3)AC(4)9.86(5) ③ 不变 【详解】（1）游标卡尺的读数为主尺读数与游标尺读数之和，所以小球的直径为 （2）图中秒表示数为 （3）A．为了减小实验误差和摆线对实验的影响，摆线选择细些、伸缩性尽量小些、适当长一些的，故A正确； B．可以通过适当增加摆长来增大单摆的周期，但摆角不能过大，不能超过5°，故B错误； C．为保证摆球摆动时摆长不变，应用夹子夹住摆线上端，故C正确； D．在摆球摆动至平衡位置时开始计时，且记录摆球摆动若干次全振动的总时间，再计算单摆的周期，以减小实验误差，故D错误。 故选AC。 （4）根据单摆周期公式 可得 结合图线可得 解得 （5）[1]根据单摆的周期公式可得 所以 即L-T2图像纵轴截距为正，图像为③； [2]由以上分析可知，图像斜率仍为，对重力加速度的测量无影响，即该同学测得的重力加速度与真实值相比不变。 9．在用单摆测量重力加速度时，小明将小锁头栓接在不易形变的细丝线一端，另一端固定在O点，并在细线上标记一点A，如图所示。 (1)将小锁头拉到某一高度（细线与竖直方向夹角很小）由静止释放，当锁头第一次到达最低点D时开始计时并计数为1，以后锁头每到达D点一次，计数增加1，计数为N时，秒表测出单摆运动时间为t，则该单摆的周期_________； (2)他保持A点以下的细线长度不变，通过改变OA间细线长度L以改变摆长，并测出单摆运动对应的周期T，测量多组数据后，作出图乙所示图像，图像纵坐标应为_________（选填“”、“”、“”、“”）； (3)已知图像的斜率为k，可求得当地的重力加速度_________。 (4)图线乙明显不过原点，其图像与横轴交点的意义是_________。 【答案】(1)(2)(3)(4)A点距小锁头重心距离的负值 【详解】（1）单摆一周内经过两次平衡位置，由题意可知 解得 （2）设A点距小锁头重心距离为，根据单摆周期公式 化简得 可知图乙所示图像纵坐标应为 （3）图像的斜率为，根据 解得 （4）当时，，因此图线乙不过原点，其图像与横轴交点的意义是A点距小锁头重心距离的负值。 10．某实验小组的同学们利用单摆来测量某地的重力加速度，按如图甲安装好实验仪器。 (1)该小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是（　　） A．尽量选择质量大、体积小的摆球 B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 C．用悬线长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏小 D．利用图甲测量重力加速度，由于摆球做圆锥摆导致测量的重力加速度偏大 (2)实验过程中测量小球直径时游标卡尺读数如图乙所示，其读数为______mm；小组同学通过改变摆线的长度，获得了多组摆长L和对应的单摆周期T的数据，作出T2−L图像如图丙所示，可测得重力加速度g=_________m/s2（π2=9.87，结果保留三位有效数字）； (3)在实验中，有三位同学作出的T2−L图线分别如图丁中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值，则相对于图线a和c，下列分析正确的是（　　） A．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 B．图线a对应的g值大于图线b对应的g值 C．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 D．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L 【答案】(1)AD(2) 22.6 9.87(3)C 【详解】（1）[1]A．尽量选择质量大、体积小的摆球，以减小阻力的影响，故A正确； B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为，故B错误； C．根据，可得 用悬线长度加摆球的直径作为摆长，则摆长偏大，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大，故C错误； D．利用图甲测量重力加速度，由于摆球做圆锥摆则根据 解得 则测得的周期值偏小，根据可知导致测量的重力加速度偏大，故D正确。 故选AD。 （2）[1]实验过程中测量小球直径时游标卡尺读数为22mm+0.1mm×6=22.6mm [2]小组同学通过改变摆线的长度，获得了多组摆长L和对应的单摆周期T的数据，作出T2−L图像如图丙所示，根据 可得 则重力加速度 （3）AB．根据，可得 T2−L图像的斜率，由图所示图像可知，对图线a与图线b的斜率相同，所以图线a对应的g值等于图线b对应的g值，图线c对应的g值大于图线b对应的g值，故AB错误； C．如果实验中误将49次全振动记为50次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大，图线的斜率k偏小，故出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次，故C正确； D．由图所示图像可知，对图线a，当L为零时，T不为零，所测摆长偏小，可能是把细线长度作为摆长L，也可能是把悬点到摆球上端的距离作为摆长，故D错误。故选C。 题型02 数字化器材革新拓展 解题口诀：光电传感手机测，双线双线换单摆；图像采集自动记，无需人工数周期；装置改良减摩擦，方案优劣对比判。 高考考向：新高考创新实验热点，依托光电门、手机磁传感器、双线摆、摄像计时等新式装置命题；考查创新方案原理、数据图像解读、传统与数字化实验优劣评价，区分中档考生。 11.（2026·湖南·高考真题）某同学借助视频分析软件进行“用单摆测量重力加速度”的实验，步骤如下： （1）准备好单摆，用支架将手机竖直放置。 （2）打开手机录像，将单摆拉离平衡位置4°摆角由静止释放。 （3）将录制的视频导入软件进行分析，得到摆球的v—t图像，拟合后如图1所示，可知此单摆的周期T为______s。 （4）如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0刻度线与单摆悬点对齐，读出______（填“a”“b”或“c”）位置的读数，该读数即为摆长l。 （5）重力加速度g = ______（用题中给出的字母“T”和“l”表示）。 （6）该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可能的原因是刻度尺0刻度线______（填“高于”或“低于”）悬点。 【答案】 ①. ②. ③. ④. 低于 【详解】（3）[1]根据题意，由图1可知，单摆的周期为。 （4）[2]如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0刻度线与单摆悬点对齐，应读出球心所在位置的读数，即位置的读数，该读数即为摆长。 （5）[3]由单摆周期公式 可得重力加速度 （6）[4]若该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可知摆长测量值偏小，即刻度尺0刻度线低于悬点。 12．智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。某实验小组用手机、磁化小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度。 (1)将摆线上端固定在支架上，下端系在小球上。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长l（从悬点到摆球的最上端），再用游标卡尺测得摆球的直径为d（读数如图乙所示），摆球的直径为d＝______cm； (2)将磁化小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁性强弱的变化曲线如图丙所示，则单摆的周期为______（用表示）； (3)改变悬线长度l，重复操作，可以得到多组周期T和悬线长度l的值，以______（填“”“T”或““）为纵坐标，以l的值为横坐标，描点作图，若所得图像的斜率为k，则重力加速度的测量值为______； (4)关于该实验的误差分析，下列说法正确的是______（填字母）。 A．小王同学认为手机内也含有铁等金属，由于手机对磁化小球的吸引，会使g的测量值偏大 B．小李同学认为如果摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，会使g的测量值偏大 C．小张同学认为由于测摆长时漏测了摆球的半径，会使g的测量值偏小 【答案】(1)2.125(2)(3) (4)A 【详解】（1）游标卡尺主尺读数为，游标尺第5条刻线与主尺刻线对齐，故 （2）小球每经过最低点一次，磁感应强度出现一个峰值。一个周期内小球两次经过最低点，相邻两峰间的时间为，故单摆周期 （3）[1][2]单摆摆长为，由单摆周期公式有 平方并整理得 故应以为纵坐标。图像斜率 解得 （4）A．手机对磁化小球的吸引会使小球经过最低点附近时的回复作用增强，同一摆长下周期偏小，以为纵坐标、为横坐标的图像斜率偏小，由 可知的测量值偏大，故A正确； B．若摆线上端未固定，摆动中可能发生松动，使有效摆长变长，周期变大；在仍按原摆长处理时，的测量值偏小，故B错误； C．由 可知，漏测摆球半径只会改变纵轴截距，不改变斜率，故不影响的测量值，故C错误。 故选A。 13．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)下列说法正确的有______（填标号）。 A．摆角要尽可能大 B．摆线应适当长些 C．摆球应选择密度大、体积小的实心金属小球 (2)如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，某同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，则单摆的周期为______（用字母表示）。 (3)在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长为，再用螺旋测微器测得摆球的直径为，则该单摆摆长的表达式为______（用所测物理量的字母表示）。 (4)根据已知的物理量，可得重力加速度的表达式为______（用字母、、表示）。 【答案】(1)BC(2)(3)(4) 【详解】（1）A．为减小实验误差，摆角要小于5°，故A错误； B．摆线适当长一些，故B正确； C．摆球选质量大体积小的，减小空气阻力，故C正确。 故选BC。 （2）由图可知，每次到最高点时绳子的拉力最小，故周期为 （3）摆长是从悬点至球心的距离，故 （4）由 得 14．如图是利用DIS完成“用单摆测定当地重力加速度”实验。实验时，先量出摆球的半径与摆线的长度。单摆摆动后，点击“记录数据”。摆球每经过平衡位置时计数1次，第1次记为“0”，当计数为“50”时，点击“停止记录”，显示时间为t。 (1)则该单摆振动周期为________； (2)若某组同学误以摆线的长度L作为纵坐标，以单摆周期的平方作为横坐标，作出的图像。其他操作测量都无误，则作出的图线是上图中的________（选填“1”、“2”或“3”）； (3)现发现三组同学作出的图线分别是1、2和3，但测出的斜率都为k，是否可以根据斜率求出当地的重力加速度？________（若不可以求出，填“否”；若可以求出，请填重力加速度的表达式）。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）单摆一个周期内会2次经过平衡位置，从记数“0”到记数“50”共记录了50次经过平衡位置，对应总周期数为 总时间为，因此周期 （2）根据单摆周期公式 实际摆长（是摆线长，是摆球半径） 整理得 这说明时，，纵截距为负，对应图线3。 （3）由的关系式可知，图线斜率，斜率与截距无关，因此可求得重力加速度。 15．某学习小组利用双线摆测重力加速度，如图所示，双线摆上端系在间距为、等高的两螺钉上，长均为的两细绳下端悬挂磁性小铁球，手机置于磁性小铁球正下方。 ①用螺旋测微器测量磁性小铁球的直径，其读数如图所示，直径___________mm； ②开启手机磁力计，使双线摆前后摆动起来（最大摆角不超过5°），测得磁感应强度随时间的变化如图所示，发现磁性小铁球摆动过程中，磁感应强度的最小值在逐渐增大，其原因是：___________； 该同学测出图中第1至第11个峰值之间的时间间隔为，则当地重力加速度的大小___________（用、、、表示）。 【答案】10.753/10.750/10.751/10.752/10.754 由于阻力作用，小球能摆到的最高点越来越靠近手机（或：由于阻力作用，小球摆动幅度越来越小，最高点越来越靠近手机） 或或 【详解】[1]由图丙得磁性小铁球的直径 [2]由于阻力作用，小球能摆到的最高点越来越靠近手机，磁场就越强。（或：由于阻力作用，小球摆动幅度越来越小，最高点越来越靠近手机） [3]一个周期内，小球两次经过最低点，磁感应强度出现两个峰值，则周期 小球摆长 由单摆周期公式得 16．单摆实验装置如图1所示。 (1)根据图2所示，已知悬点对齐零刻度，测得的摆长____________； (2)小张为减小实验误差，多次改变摆长，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制得到如图3的图像，由图可知当地重力加速度__________（用图中字母表示）。 (3)用（2）中方法__________（填“能”或“不能”）消除因摆球质量分布不均而造成的g的测量误差； (4)小刘同学将一个摆长未知的单摆挂在测力传感器的探头上，用测力探头和计算机组成的试验装置来测定单摆动过程中摆线受到的拉力（摆角小于5°），计算机屏幕上得到如图所示的图像，由图像可确定： ①此单摆的周期为___________s； ②此摆球的质量为___________（取）。 【答案】(1)98.50(2)(3)能(4) 0.05kg 【详解】（1）摆长是绳长与小球半径之和，刻度尺的分度值为1mm，读数为98.50cm （2）根据单摆周期公式有 变形可得 根据图像的斜率可知 解得 （3）根据重力加速度的表达式可知，摆球质量分布不均匀不会影响图像的斜率，所以不会对重力加速度的测量造成影响，因此能够消除因摆球质量分布不均匀而造成的测量误差。 （4）①[1] 每个周期内小球两次最低点，摆线的拉两次最大，所以单摆的周期为s； ②[2]最高点时有 最低点时有 根据动能定理有 代入数据解得kg 17．同学们用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。在单摆悬点处安装拉力传感器，并获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示。 (1)关于本实验的操作，下列哪个说法是正确的？（　　） A．需要用天平称出摆球的质量 B．摆线要选择较细的、伸缩性小些的，并且适当长一些 C．测摆长时应先在水平桌面上将细线拉直测得细线长度，再悬挂小球 D．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，初始摆角应大于 (2)由图乙可知，该单摆的周期为_____（用图乙中字母表示）； (3)同学们改变摆长，测量不同摆长情况下单摆的周期，得到多组数据。以为横轴，为纵轴，作出图像，如图丙所示。若图线的斜率为，则重力加速度的大小______（用本小题所给字母表示）。 【答案】(1)B(2)(3) 【详解】（1）A．实验中摆球应选择质量大些、体积小些的球，但不需要用天平称出摆球的质量，故A错误； B．单摆的摆线要选择细些的、伸缩性小些的线，并且适当长一些，故B正确； C．测摆长时应测量细绳的悬挂点到摆球球心的距离，故C错误； D．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，初始摆角应小于，故D错误。 故选B。 （2）两次拉力最大时完成一次全振动，图中完成5次全振动用t ，故周期 （3）由周期公式 即 斜率故 18．甲同学用单摆测定重力加速度的装置如图所示，O为固定悬点，摆球用细线悬挂，在摆球与O点之间串联力传感器，记录细线对摆球的拉力F。将摆球从最高点（与竖直方向夹角）由静止释放，摆球在同一竖直面内往返运动。数据采集得到图像如图所示。 (1)由图乙可知，单摆的振动周期T=______s。 (2)若已知摆长L和周期T，则当地重力加速度的表达式g=______（用L、T表示）。 (3)乙同学发现他们组的摆球在水平面内做圆周运动，如图丙所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍然用单摆运动公式求出重力加速度，则由此测得的重力加速度值与真实值相比将______（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】(1)1.6(2)(3)偏大 【详解】（1）由图乙图像可知，相邻两个拉力峰值之间的时间间隔为 即摆球连续两次经过最低点的时间间隔为 所以单摆的振动周期为 （2）由单摆的周期公式 可得当地重力加速度的表达式为 （3）若摆球在同一水平面内做圆锥摆运动，其周期公式为 其中为细线与竖直方向的夹角，由于 所以对同一摆长L有圆锥摆的周期小于单摆的周期T。若仍然用单摆运动公式求出重力加速度，由于实际周期测量值偏小，将导致测得的重力加速度值与真实值相比偏大。 19．某学习小组用图甲装置测量当地重力加速度。 将细绳一端固定在O点，另一端系一磁性小球（质量很大，体积很小），在摆球的正下方放置一手机。打开手机中测量磁感应强度的软件，调整手机位置使手机磁传感器恰好位于磁性小球的悬挂点正下方。用毫米刻度尺测出细绳悬挂点到摆球球心的长度； (1)使磁性球做小角度摆动，手机呈现出沿x轴方向磁感应强度随时间变化曲线，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最高点，当磁感应强度约为0时，小球所在位置为______（选填“最低点”或“最高点”）。 (2)实验采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙，可知5s-15s内有______个周期； (3)通过计算得到当地重力加速度大小为______（取，结果保留三位有效数字）； (4)另一组同学多次改变摆长，根据测得数据，画出单摆周期平方T2与摆长L的关系图线，发现其延长线未过原点，如图丙所示，原因可能是（　　） A．将摆线的长度作为摆长 B．将摆线的长度与小球半径的和作为摆长 C．将摆线的长度与小球直径的和作为摆长 【答案】(1)最低点(2)5(3)9.82(4)C 【详解】（1）磁感应强度最大时小球位于最高点，磁性小球运动到最低点（平衡位置）时，沿x方向的磁感应强度分量近似为0，因此B约为0时小球在最低点。 （2）单摆一个周期内会两次到达最高点（左右各一次），对应B出现两次峰值。由图乙可知，内有5个完整周期。 （3）由上述分析得单摆周期，摆长 根据单摆周期公式 变形得 （4）C．设真实摆长为，测量摆长为，若测量摆长时，将摆线长度与小球直径之和作为摆长，真实摆长（为小球半径，测量多了一个），代入周期公式得 当时， 即图线延长线与轴交于正半轴符合图丙的情况，故C正确； A．只将摆线长作为摆长，会得到时，不符合，故A错误； B．测量正确时图线过原点，不符合，故B错误。 故选C。 20．智能手机软件中的磁力计可显示磁感应强度大小随时间变化的关系，两同学用该软件设计实验测量单摆的周期及当地重力加速度。 (1)将摆线上端固定于铁架台，下端系在小球上，让手机内置磁敏元件位于小球静止位置的正下方，做成如图所示的单摆。测出摆线长为，将小球磁化后，由平衡位置拉开一个小角度静止释放，手机软件显示磁感应强度大小随时间变化如图（b）所示。则该单摆的振动周期为_______（用字母表示）。 (2)改变摆线长，重复实验操作，得到多组数据，画出周期平方随摆线长的变化图像如图所示，图像斜率为，则测得重力加速度为_______（用字母表示）。 (3)图像未过原点，的测量值________（选填“>”“<”或“=”）真实值。甲同学认为手机内也含有铁等金属，由于手机对小球的吸引，会使的测量值_______（选填“>”“<”或“=”）真实值。 (4)乙同学发现，振动较长时间后手机显示磁感应强度随时间呈图（b）变化趋势，忽略手机对小球的吸引，引起该情况最可能的原因是（　　） A．小球磁性减弱 B．小球振幅减小 C．小球由单摆运动变为圆锥摆运动 【答案】(1)(2)(3) = >(4)B 【详解】（1）磁性小球经过最低点测得的磁感应强度B最大，小球两次经最低点的时间间隔是半个周期，则 解得 （2）根据单摆周期公式 可得 由图像斜率为，则测得重力加速度 （3）图像未过原点，是因为摆长测量未考虑小球半径等因素，但不影响斜率，的测量值等于真实值。 手机内也含有铁等金属，由于手机对小球的吸引，会使单摆周期减小，图像的斜率变小，的测量值会偏大，会使的测量值大于真实值。 （4）磁感应强度随时间呈图（b）变化趋势，磁感应强度的最小值变大，说明小球越来越靠近手机，最可能是小球振幅减小造成的。 题型03 等效类单摆测量方案 解题口诀：复合场、升降梯、圆弧轨道皆等效；先找等效重力加速度，再定等效摆长；小幅振动套周期，超重失重电场分开算。 高考考向：实验关联动力学压轴小题，涵盖电梯加速、匀强电场带电摆、光滑圆弧、斜面上类单摆；等效参量推导、周期对比、拓展测重力加速度方案设计，试卷拉分难点。 21．极限运动被称为是向人类身体极限发出挑战的勇敢者的游戏。其中轮滑和滑板运动深受青少年朋友的喜爱。滑板运动场地有一种常见的圆弧形轨道，其截面如图。某同学用一光滑金属球和手机估测轨道半径R（金属球的半径远小于轨道半径）。 实验过程如下： ①实验原理：将金属球的运动视为简谐运动 ②实验步骤 a.用智能手机及相关APP软件测得当地的重力加速度g； b.找出轨道的最低点并做标记O，把金属球从O点移开一小段距离至P点，由静止释放。当小球经过最低点时开始用手机计时，并数做“1”。此后每次经过最低点就累计计数一次，测出第N次经过最低点总时间为t。算出滑板车做往复运动的周期______；（用N、t表示） c.代入实验数据计算半径，根据简谐运动的周期公式可以得到轨道半径______（用T、g表示）。 【答案】 【详解】[1]每次经过最低点就累计计数一次，测出第N次经过最低点总时间为t，则周期为 [2]单摆的周期公式可得 解得轨道半径为 22．某研究性学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，将小球通过摆线固定在斜面上，摆线与斜面始终保持平行，小球静止在斜面上时测得摆线长度为L。已知斜面倾角为。 (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有___________（填字母）。 A．摆线要选择较轻、无伸缩性，并且适当长一些的 B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的 C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相对平衡位置时有较大的偏角 (2)测量单摆周期时，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“0”，当摆球再次通过最低点时数“1”，依此类推，当他数到“50”时，秒表停止计时，读出这段时间。则该单摆的周期为___________。 (3)改变摆线长度，测量出多组周期、摆线长的数值后，画出图像如图乙所示，测得此图像斜率为，则当地重力加速度的表达式为=____ (4)图像不过坐标原点，对（3）中的测量值________（填“有”或“没有”）影响。 【答案】(1)AB(2)(3)(4)没有 【详解】（1）A．为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故A正确； B．为尽量减小空气阻力的影响，摆球尽量选择质量较大、体积较小的，故B正确； C．单摆摆角应小于5°，故C错误。 故选AB。 （2）计数50时，单摆完成25次全振动，故周期为 （3）斜面倾角为时，等效重力加速度为，由单摆周期公式有 化简得 可得， （4）由上问可得，不过坐标原点的原因是忽略了摆球半径，使摆长测量值偏小，对图像斜率没有影响，故对g的测量值没有影响。 23．图（a）是某兴趣小组基于手机磁力传感器，利用Phyphox应用软件完成单摆测量重力加速度的示意图，手机中的磁力传感器能够实时测量并记录外部磁场的磁感应强度大小。在磁性小球摆动过程中，当磁性小球摆动到最右端时，记录的磁感应强度最大。实验时，通过磁力传感器记录磁感应强度发生的周期性变化，间接测得小球运动的周期。部分实验操作如下： (1)用游标卡尺测量小球直径，结果如图（b）所示， 则小球的直径为__________mm。 (2)保证细线与竖直方向的夹角小于5°并释放小球，打开Phyphox应用软件采集数据，图（c）为实验过程中磁感应强度随时间发生周期性变化的图像。则小球运动的周期为__________（用、表示）。 (3)某次实验中，由于操作不当，导致小球不在同一竖直面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，测量周期后，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则重力加速度的测量值__________实际值（填“小于”、“大于”或“等于”）。 (4)此小组又改进了实验装置，决定采用杆线摆测量重力加速度。如图（d）所示，杆线摆可以绕着悬挂轴来回摆动，直径为的摆球其运动轨迹被约束在一个倾斜平面内，这相当于单摆在斜面上来回摆动。如图（e）所示，在铁架台上装一根铅垂线，在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把杆线摆装在立柱上，调节细线的长度，使摆杆与立柱垂直，保持摆杆长度不变。如图（f）所示，把铁架台底座一侧垫高，立柱倾斜，测出静止时摆杆与铅垂线的夹角为，并测量该倾角下单摆的周期。改变铁架台的倾斜程度，测出多组夹角和单摆周期，若作出的图像是一条过原点的直线，其斜率为，则可以求得重力加速度为__________（结果用、、表示）。 【答案】(1)22.50(2)(3)大于(4) 【详解】（1）[1] 游标卡尺的游标为20分度，分度值为，游标零刻度线左侧的主尺读数为，游标尺第10条刻度线与主尺刻度线对齐，故小球直径为 （2）[2] 磁感应强度最大时小球位于最右端，从到包含10个完整运动周期，故小球运动周期 （3）[3] 设细线长为，小球做水平圆周运动时细线与竖直方向的夹角为，细线拉力大小为，实际重力加速度为，小球做圆周运动的半径为 沿竖直方向和水平方向分别列式，有 由关系式 联立得 若仍按单摆周期公式计算，则 故测量值大于实际值。 （4）[4]摆球球心到悬挂轴的距离为，重力加速度在摆动平面内的有效值为 根据单摆周期公式有 以为纵坐标、为横坐标，图像斜率 整理得 24．根据单摆周期公式，可以通过实验测量当地的重力加速度。 (1)如图甲所示，组装单摆时，应在下列器材中选用____________。 A．长度为1m左右的细线 B．长度为10cm左右的细线 C．直径为1.8cm的塑料球 D．直径为1.8cm的铁球 (2)为使重力加速度的测量结果更加准确，以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有____________。 A．在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定 B．摆线偏离平衡位置的角度不能太大 C．测量周期时应该从摆球运动到最高点时开始计时 (3)用上面的方法测得的值比当地的实际值偏大，可能的原因是____________。 A．摆球的质量偏大 B．计算摆长时，把悬线长当作了摆长 C．摆动的偏角偏小 D．测量周期时，将次全振动误记成了次全振动 (4)小刚同学在实验中改变摆长重复实验，他只测出了悬线的长度及对应的周期，得到几组数据，再以为横坐标，为纵坐标作出图线如图乙所示。已知图线与纵轴的截距为，图线上点坐标为，则由此计算重力加速度____________。（用题中字母表示） (5)小丽同学为了研究“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的定量关系”，在伽利略用斜面“冲淡”重力思想的启发下，创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图丙所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把长为的摆线固定于斜面上的点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至点，静止释放后，摆球在之间做简谐运动。测得摆角为、摆球的摆动周期为。多次改变斜面的倾角，重复实验，记录、和，为了能方便准确地利用图像处理数据进而获得结论，她应绘制____________图像（写出图像的纵坐标—横坐标）。 (6)请读出图丁中游标卡尺的示数：____________mm。 【答案】(1)AD(2)AB(3)D(4)(5)(6)20.7 【详解】（1）摆线一般1米左右的细线，摆球密度要大一些，避免空气阻力的影响。 故选AD。 （2）A．为使重力加速度的测量结果更加准确，在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定，防止振动过程中摆长变化，故A正确； B．摆线偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过5°，故B正确； C．测量周期时应该从摆球运动到最低点时开始计时，这样会减小误差，故C错误。 故选AB。 （3）根据单摆周期公式 解得 A．根据知，重力加速度的表达式与摆球的质量无关，故A错误； B．根据知，计算摆长时，把悬线长当作了摆长l，则摆线的长度偏小，计算的重力加速度的值偏小，故B错误； C．根据知，重力加速度的表达式与摆球的偏转角无关，故C错误； D．周期的测量值，实验中误将n次全振动数为（n+1）次，则周期测量值偏小，根据知，重力加速度的测量值偏大，故D正确。 故选D。 （4）由单摆周期公式得 解得 结合图像的斜率 解得重力加速度 （5）根据单摆的原理可知，等效重力加速度为，与摆角无关，则有 变形可得 则为了能方便准确地利用图像处理数据进而测出重力加速度，应绘制图像，利用斜率求出。 （6）游标卡尺的精确度为0.1mm，读数为 25．某同学利用如图甲所示的装置完成了“利用单摆测定当地重力加速度”的实验，将拉力传感器固定在倾角为α=30°的光滑斜面上，长为L=0.99 m的轻绳固定在拉力传感器上，轻绳的下端拴接一小铁球，实验时将轻绳拉开一个小角度后由静止释放小铁球，拉力传感器的拉力随时间的变化规律如图乙所示。已知π2=9.86。 (1)用游标卡尺测量小铁球的直径时，游标卡尺的示数如图丙所示，则小铁球的直径d=___________cm； (2)若小铁球完成n次全振动的时间为t，则当地的重力加速度的表示式g=___________（用已知和测得的物理量的符号表示）； (3)由图乙可知该单摆的周期为T=___________s，则重力加速度g=___________m/s2（结果均保留两位小数）。 【答案】(1)2.010(2)(3) 2.86 9.64 【详解】（1）[1]游标卡尺主尺读数为 ，游标尺第 条刻线与主尺刻线对齐，游标尺精度为，故小铁球直径 （2）[2]小铁球在光滑斜面内摆动，沿斜面向下的重力分量提供等效重力场，等效重力加速度为 ，摆长为 由单摆周期公式得 若小铁球完成 次全振动的时间为，则 ，解得 （3）[3]由图乙可知相邻两个拉力最大值的时间间隔为 拉力在小铁球每次经过平衡位置时达到最大，一次全振动经过平衡位置两次，故拉力变化周期为单摆周期的一半，所以 [4]由[1]可知 代入 、、、 得 26．学习了用单摆测量重力加速度后，课外小组的同学们将一根长为L、质量分布均匀的刻度尺一端固定在光滑水平轴上，使其做小角度（小于5°）摆动，以测量当地重力加速度，如图所示。 (1)实验中，为了使测量的周期尽可能准确，应在刻度尺下端经过________（选填“最低点”或“最高点”）时开始计时，并把该次记为0。 (2)刻度尺摆动过程中下端第N（N足够大）次经过（1）中所选的点时停止计时，共用时为t，则由此计算出其周期为________（用所给物理量的符号表示）。 (3)摆长取刻度尺重心到转轴的距离，用单摆周期公式计算出重力加速度。结果发现该计算值与当地真实的重力加速度相差很大，在请教老师后得知，该刻度尺不是单摆，而是物理摆，它的摆动周期公式应为（L为刻度尺的长度，g为重力加速度）。根据题中已知条件和该物理摆的周期公式可得，当地的重力加速度的表达式为g=________（用所给物理量的符号表示）。若在刻度尺下端第N次经过（1）中所选的点时没有同时停止计时，导致计时时间相对变长，则由此计算出的重力加速度________（选填“大于”“等于”或“小于”）真实的重力加速度。 【答案】(1)最低点(2)(3) 小于 【详解】（1）刻度尺经过最低点时下端速度最大，所以为了使测量的周期尽可能准确，应在刻度尺下端经过最低点时开始计时。 （2）刻度尺完成一次全振动的时间为T，根据题意可知，刻度尺完成全振动的次数为，所以 （3）[1]由于刻度尺摆动周期公式为， 联立解得 [2]由以上分析可知，若在刻度尺下端第N次经过最低点时没有同时停止计时，导致计时时间相对变长，则由此计算出的重力加速度偏小，即计算出的重力加速度小于真实的重力加速度。 27．某研究性学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，将小球通过摆线固定在斜面上，摆线与斜面始终保持平行，小球静止在斜面上时测得摆线长度为L。已知斜面倾角为。 (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有______（填字母）。 A．摆线要选择较轻、无伸缩性，并且适当长一些的 B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的 C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相对平衡位置时有较大的偏角 (2)测量单摆周期时，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“0”，当摆球再次通过最低点时数“1”，依此类推，当他数到“50”时，秒表停止计时，读出这段时间t。则该单摆的周期为______。 (3)改变摆线长度，测量出多组周期T、摆线长L的数值后，画出图像如图乙所示，测得此图像斜率为k，则当地重力加速度的表达式为______。 (4)图像不过坐标原点的原因是__________________________________________，该原因对（3）中g的测量值______（填“有”或“没有”）影响。 【答案】(1)AB(2)(3)(4) 由于忽略了摆球半径，使摆长测量值偏小 没有 【详解】（1）A．为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故A正确； B．为尽量减小空气阻力的影响，摆球尽量选择质量较大、体积较小的，故B正确； C．单摆摆角应小于5°，故C错误。 故选AB。 （2）计数50时，单摆完成25次全振动，故周期 （3）斜面倾角为时，等效重力加速度为，由单摆周期公式有 化简得 可得， （4）[1][2]由上问可得，不过坐标原点的原因是忽略了摆球半径，使摆长测量值偏小，对图像斜率没有影响，故对g的测量值没有影响。 28．某同学利用手机内的磁传感器做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球（下方吸附有小磁片），做成一个单摆。使小钢球在竖直平面内做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件，并将手机置于悬点正下方。某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图乙所示，则单摆的振动周期T=_________s（结果保留两位有效数字）； (2)某次实验由于操作不当，小球在水平面内做圆锥摆运动。测量周期后，仍用单摆的周期公式求重力加速度，则重力加速度的测量值___________实际值（填“小于”、“大于”或“等于”）。 (3)如图丙所示，为改进实验方案将铁架台右侧垫高，使单摆处于倾斜状态。在小球上连接一绕铁架台柱O'点自由转动且与铁架台柱始终垂直的轻杆。小球运动轨迹相当于绕O点垂直纸面摆动的单摆。在铁架台上O点装一根铅垂线，测出静止时轻杆与铅垂线的夹角为β，并测量该倾角下单摆的周期T。改变铁架台的倾斜程度，测出多组夹角和单摆周期T，作出的图像是一条过原点的直线，其斜率为k，小球直径为D，则重力加速度为__________（结果用k、L、D表示）。 【答案】(1)1.4s(2)大于(3) 【详解】（1）单摆一个周期内两次经过最低点（磁传感器位置），磁感应强度出现两次峰值。由图乙可知，0~9s内共出现13次峰值，对应6.5个周期，故周期 （2）设摆长为，摆角为，由向心力公式得 整理得圆锥摆周期 比同摆长竖直单摆的周期小。实验仍用单摆公式计算，偏小，故计算得到的重力加速度测量值大于实际值。 （3）该倾斜单摆的等效摆长为 摆动时回复力由重力沿切向的分力提供，等效重力加速度分量为，故周期公式为 可知图像的斜率 整理得 29．某同学利用在半径为R的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图甲所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。 (1)该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径为d = __________cm。 (2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图丙所示，则小球摆动的周期为T = __________。 (3)根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为g = __________（用d、t0、R表示）。 (4)另一同学将光滑圆弧球面半径R当做小球等效单摆长度测得重力加速度，则测得的重力加速度的值__________（选填“大于”、“小于”或“等于”）当地重力加速度的真实值。 【答案】(1)1.050(2)(3)(4)大于 【详解】（1）由游标卡尺读数有，小球的直径 （2）小球从运动到，再到，返回最后运动到，运动的时间为一个周期，当小球运动到点时，压力传感器示数最大，所以一个周期内压力传感器示数出现两次最大，由图丙可知，小球摆动的周期为。 （3）由题意可知周期，摆长为 根据单摆周期公式，可得 解得 （4）由（3）可知 若将光滑圆弧球面半径当做小球等效单摆长度测得重力加速度，显然等效摆长变大，所以重力加速度g的测量值大于当地重力加速度的真实值。 30．小张同学为了测定当地的重力加速度，利用在半径为R的光滑圆弧面上做简谐运动的匀质小球来进行实验，实验装置如图甲所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。 (1)该同学利用螺旋测微器测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径_____________。 (2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图丙所示，则根据已知的物理量、可得当地重力加速度g的表达式为_____________（用d、、R表示）。 (3)另一同学将光滑圆弧球面半径R当作小球等效单摆长度，所测得的g值比真实重力加速度_____________（选填“偏大”“偏小”或“无误差”）。 【答案】(1)4.700(2)(3)偏大 【详解】（1）螺旋测微器的精确度为0.01mm，读数为 （2）由图丙可得小球摆动的周期为，再根据 解得 （3）若将光滑圆弧球面半径R当作小球等效单摆长度，则测量的重力加速度，即测得的g比真实重力加速度偏大。 31．某实验小组在利用单摆测量当地重力加速度时发现，单摆容易出现圆锥摆的情况，从而导致测量结果出现较大误差。于是该实验小组同学改进了实验方案，尝试利用如图所示的双线摆进行实验。 （1）将两段长度相等且不可伸长的细绳一端分别拴在两个固定竖直杆上，固定点记为A、B（A、B两点在同一水平面上），另一端与一小钢球顶端相连。 （2）用刻度尺测出一根细绳的长度为l，A、B两点的间距为a，用游标卡尺测出小球的直径为d，则等效摆长L=___________。 （3）将摆沿垂直纸面方向拉开一个小角度（小于5°），静止释放，待摆动稳定后，摆球运动到最低点时开始计时，并开始计数1，摆球再次运动到最低点时计数2，依次数到n时停止计时，读出秒表时间为t，则单摆的周期为____________。 （4）多次改变细绳的长度，重复实验，根据实验数据绘制得到如图所示的T 2-L图像，由图像中数据可知，当地重力加速度g=___________。 【答案】 【详解】【小题1】[1] 摆长为等效悬点到小球球心的距离。根据几何关系，绳子长度为，间距，则细绳在竖直方向的长度为，再加上小球半径，因此等效摆长为 [2]开始计时计数为，数到时，一共完成了个半个周期，总时间为，因此周期 [3] 根据单摆周期公式可得 变形得 因此图像的斜率 整理得 32．某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期_____。 (2)设弹簧的原长为，则l与g、、T的关系式为_____。 (3)由实验数据作出的图线如图（b）所示，可得_____（保留三位有效数字，取9.87）。 (4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。 A．空气阻力 B．弹簧质量不为零 C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 【答案】(1)(2)(3)(4)AB 【详解】（1）30次全振动所用时间t，则振动周期 （2）弹簧振子的振动周期 可得振子的质量 振子平衡时，根据平衡条件 可得 则l与g、、T的关系式为 （3）根据整理可得 则图像斜率 解得 （4）A．空气阻力的存在会影响弹簧振子的振动周期，是实验的误差来源之一，故A正确； B．根据弹簧振子周期公式可知，振子的质量影响振子的周期，通过光电门测量出的周期为振子考虑弹簧质量的真实周期，而根据（3）问求出的的关系是不考虑弹簧质量的关系式子，二者的中的是不相等的，所以弹簧质量不为零是误差来源之一，故B正确； C．利用光电门与数字计时器的组合测量周期的原理：根据简谐运动的规律可知，只要从开始计时起，振子的速度第二次与开始计时的速度相等即为一个周期，与是否在平衡位置无关，故C错误。 故选AB。 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第30讲 用单摆测重力加速度题型专项训练 〖组卷模式：解题口诀+高考考向+题型专练〗 题型01 教材标准原型 1 题型02 数字化器材革新拓展 8 题型03 等效类单摆测量方案 14 题型01 教材标准原型 解题口诀：摆角不超五度角，摆长线球半径和；最低点起计周期，累积次数减误差；图像求斜率，误差来源逐条析。 高考考向：实验大题基础设问必考，考查器材选择、操作正误、游标卡尺读数、多组数据图像处理；辨析摆长漏算、计时起点、空气阻力等系统误差，新高考实验送分核心板块。 1.（2026·贵州·高考真题）如图，某同学居家设计简易单摆测量重力加速度。主要器材有：细线、金属球、卷尺、手机、挂衣架。 请完成下列步骤： （1）用卷尺测量金属球直径三次后得平均值。 （2）用卷尺测量摆线长度三次后得平均值。将金属球从平衡位置拉至一个偏角小于的位置并由静止释放，用手机秒表测量金属球20次全振动的时间。重复测量三次，得周期的平均值。 （3）改变摆线长度，重复步骤（2）。得、（、、）和的数据如下表： 110.10 42.43 42.25 42.38 2.12 100.37 40.43 40.50 40.38 90.23 38.62 38.38 38.50 1.93 计算上表中时的_____s。（保留三位有效数字） （4）根据重力加速度表达式_____（用、T、L和 表示），计算实验值。 （5）查询当地重力加速度，发现 的实验值偏小。为减小空气阻力引起的误差，应尽量选择质量_____（填“大”或“小”）、体积_____（填“大”或“小”）的摆球。 2．某同学用单摆测当地的重力加速度。由于实验室提供的刻度尺能测量的最大长度明显小于悬线的长度，因此该同学设计了如图甲所示的装置。悬线（长度一定）穿过薄木板上的小孔，一端悬于点，另一端系着小球，将薄木板水平固定，并保持悬线竖直。 (1)使小球在竖直面内做小角度的摆动，从小球经过最低点时开始计时，并记为1，此后小球依次经过最低点时分别记为2，3，…，记为时，小球运动的总时间为，则小球摆动的周期__________。（用、表示） (2)改变薄木板的高度重复实验，每次测量点到小孔的距离，测得对应每次小球摆动的周期。得到多组数据后，为更直观地得出结论，应绘制以为纵轴、__________（填“”“”或“”）为横轴的图像。 (3)若获得的图像如图乙所示，该图线斜率的绝对值为，则当地的重力加速度大小为__________。（用、表示） 3．某班同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的实践和探究： (1)用游标卡尺测量摆球直径d，如图甲所示，则摆球直径为_________cm，测量单摆摆长为l； (2)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=60时，秒表的示数如图乙所示，秒表读数为__________s； (3)将测量数据代入公式得到的测量结果与真实的重力加速度值比较，发现测量结果偏大，可能的原因是 ； A．误将59次数成了60次 B．在未悬挂单摆之前先测定好摆长 C．将摆线长当成了摆长 D．将摆线长和球的直径之和当成了摆长 (4)该组同学纠正了之前的错误操作，尝试测量不同摆长l对应的单摆周期T，并在坐标纸上画出T2与l的关系图线，如图丙所示。由图线计算出的重力加速度的值g=________m/s2。（保留3位有效数字） (5)在测量时，某小组由于操作失误，致使摆球不在同一竖直平面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则求出的重力加速度与重力加速度的实际值相比__________（填“偏大”、“偏小”、“不变”）。 4．某同学利用如图甲所示的单摆装置测量当地的重力加速度。 (1)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在固定装置的横杆上，如图，则悬挂方式应采用______（选填“甲”或“乙”）； (2)测量中，该同学用游标卡尺测量摆球的直径如图乙所示，其读数为______cm； (3)若在实验过程中，该同学误将摆球61次全振动的时间记为60次，则重力加速度的测量值会______。（选填“偏大”、“偏小”或“不变”） (4)若某同学将实验搬到月球上去进行，改变摆长，测量出多组周期T、摆长L数值后，画出的关系如图丙所示，则当地的重力加速度______（保留三位有效数字）。 5．小组用单摆测量重力加速度，装置如图。 (1)游标卡尺测得摆球直径，刻度尺测得摆线长，则摆长_____（保留四位有效数字）； (2)使摆线与竖直方向夹角为（），无初速度释放摆球，摆球位于_____选填：“最高点”或“最低点”）开始计时，记录摆球做次全振动，则单摆周期_____，由此测得当地重力加速度_____（取，保留三位有效数字）。 6．某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。 （1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为________mm。 （2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为_____m/s2（保留3位有效数字）。 （3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是____________，原因是____________。 7．某课外兴趣小组在“用单摆测量重力加速度”的实验中，测的摆球经过次全振动的总时间为。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长度为，再用游标卡尺测量摆球的直径为。回答下列问题： (1)为了减小测量周期的误差，实验时需要在适当的位置做一标记，当摆球通过该标计时开始计时，该标记应该放置在摆球的最______点（选填“高”或者“低”）； (2)重力加速度的表达式为_________（用题目中给出的字母表示） (3)如果测得的值偏小，可能的原因是（　　） A．测摆长时，摆线拉的过紧 B．摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了 C．开始计时时，停表过迟按下 D．实验时误将51次全振动记为50次 (4)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长，并测出相应的周期，从而得出几组对应的和的数值，以为横坐标，为纵坐标做图线。若某同学忘记加小球半径，直接用摆线长度代替摆长，由此拟合出的图像可能是图乙中的________（选填①、②、③）。 8．了解地球表面重力加速度的分布，对地球物理学、航空航天技术及大地测量等领域都有十分重要的意义。某实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验： (1)用游标卡尺测量实验所用的匀质小球的直径D，如图甲所示，则小球的直径D是___________mm。 (2)该同学利用秒表测量单摆的周期时，秒表示数如图乙所示，读数为___________s。 (3)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有（　　） A．摆线要选择细些、伸缩性尽量小些、适当长一些的 B．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始拉开摆球时，应使摆角大一些 C．为保证摆球摆动时摆长不变，应用夹子夹住摆线上端 D．拉开摆球，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔∆t即为单摆周期T (4)实验中，测量不同摆长及对应的周期，用多组实验数据做出摆长与周期平方的图像如图丙所示，则重力加速度的大小为___________m/s2（π2取9.86，结果保留三位有效数字）。 (5)另一名同学不小心，每次都把小球直径当作半径来计算摆长，由此得到的L-T2图像是图丁中的___________（选填“①”“②”或“③”），该同学测得的重力加速度与真实值相比___________（选填“偏大”偏小”或“不变”）。 9．在用单摆测量重力加速度时，小明将小锁头栓接在不易形变的细丝线一端，另一端固定在O点，并在细线上标记一点A，如图所示。 (1)将小锁头拉到某一高度（细线与竖直方向夹角很小）由静止释放，当锁头第一次到达最低点D时开始计时并计数为1，以后锁头每到达D点一次，计数增加1，计数为N时，秒表测出单摆运动时间为t，则该单摆的周期_________； (2)他保持A点以下的细线长度不变，通过改变OA间细线长度L以改变摆长，并测出单摆运动对应的周期T，测量多组数据后，作出图乙所示图像，图像纵坐标应为_________（选填“”、“”、“”、“”）； (3)已知图像的斜率为k，可求得当地的重力加速度_________。 (4)图线乙明显不过原点，其图像与横轴交点的意义是_________。 10．某实验小组的同学们利用单摆来测量某地的重力加速度，按如图甲安装好实验仪器。 (1)该小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是（　　） A．尽量选择质量大、体积小的摆球 B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 C．用悬线长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏小 D．利用图甲测量重力加速度，由于摆球做圆锥摆导致测量的重力加速度偏大 (2)实验过程中测量小球直径时游标卡尺读数如图乙所示，其读数为______mm；小组同学通过改变摆线的长度，获得了多组摆长L和对应的单摆周期T的数据，作出T2−L图像如图丙所示，可测得重力加速度g=_________m/s2（π2=9.87，结果保留三位有效数字）； (3)在实验中，有三位同学作出的T2−L图线分别如图丁中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值，则相对于图线a和c，下列分析正确的是（　　） A．图线c对应的g值小于图线b对应的g值 B．图线a对应的g值大于图线b对应的g值 C．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次 D．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长L 题型02 数字化器材革新拓展 解题口诀：光电传感手机测，双线双线换单摆；图像采集自动记，无需人工数周期；装置改良减摩擦，方案优劣对比判。 高考考向：新高考创新实验热点，依托光电门、手机磁传感器、双线摆、摄像计时等新式装置命题；考查创新方案原理、数据图像解读、传统与数字化实验优劣评价，区分中档考生。 11.（2026·湖南·高考真题）某同学借助视频分析软件进行“用单摆测量重力加速度”的实验，步骤如下： （1）准备好单摆，用支架将手机竖直放置。 （2）打开手机录像，将单摆拉离平衡位置4°摆角由静止释放。 （3）将录制的视频导入软件进行分析，得到摆球的v—t图像，拟合后如图1所示，可知此单摆的周期T为______s。 （4）如图2，用刻度尺测量单摆摆长，该同学将刻度尺竖直放置，刻度尺0刻度线与单摆悬点对齐，读出______（填“a”“b”或“c”）位置的读数，该读数即为摆长l。 （5）重力加速度g = ______（用题中给出的字母“T”和“l”表示）。 （6）该同学发现所得实验结果小于当地重力加速度，可能的原因是刻度尺0刻度线______（填“高于”或“低于”）悬点。 12．智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越大。某实验小组用手机、磁化小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度。 (1)将摆线上端固定在支架上，下端系在小球上。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长l（从悬点到摆球的最上端），再用游标卡尺测得摆球的直径为d（读数如图乙所示），摆球的直径为d＝______cm； (2)将磁化小球由平衡位置拉开一个小角度，由静止释放，手机软件记录磁性强弱的变化曲线如图丙所示，则单摆的周期为______（用表示）； (3)改变悬线长度l，重复操作，可以得到多组周期T和悬线长度l的值，以______（填“”“T”或““）为纵坐标，以l的值为横坐标，描点作图，若所得图像的斜率为k，则重力加速度的测量值为______； (4)关于该实验的误差分析，下列说法正确的是______（填字母）。 A．小王同学认为手机内也含有铁等金属，由于手机对磁化小球的吸引，会使g的测量值偏大 B．小李同学认为如果摆线上端未固定牢，摆动过程中出现松动，会使g的测量值偏大 C．小张同学认为由于测摆长时漏测了摆球的半径，会使g的测量值偏小 13．某学习小组用如图甲所示装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验。 (1)下列说法正确的有______（填标号）。 A．摆角要尽可能大 B．摆线应适当长些 C．摆球应选择密度大、体积小的实心金属小球 (2)如图甲，可在单摆悬点处安装力传感器，某同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，则单摆的周期为______（用字母表示）。 (3)在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆线长为，再用螺旋测微器测得摆球的直径为，则该单摆摆长的表达式为______（用所测物理量的字母表示）。 (4)根据已知的物理量，可得重力加速度的表达式为______（用字母、、表示）。 14．如图是利用DIS完成“用单摆测定当地重力加速度”实验。实验时，先量出摆球的半径与摆线的长度。单摆摆动后，点击“记录数据”。摆球每经过平衡位置时计数1次，第1次记为“0”，当计数为“50”时，点击“停止记录”，显示时间为t。 (1)则该单摆振动周期为________； (2)若某组同学误以摆线的长度L作为纵坐标，以单摆周期的平方作为横坐标，作出的图像。其他操作测量都无误，则作出的图线是上图中的________（选填“1”、“2”或“3”）； (3)现发现三组同学作出的图线分别是1、2和3，但测出的斜率都为k，是否可以根据斜率求出当地的重力加速度？________（若不可以求出，填“否”；若可以求出，请填重力加速度的表达式）。 15．某学习小组利用双线摆测重力加速度，如图所示，双线摆上端系在间距为、等高的两螺钉上，长均为的两细绳下端悬挂磁性小铁球，手机置于磁性小铁球正下方。 ①用螺旋测微器测量磁性小铁球的直径，其读数如图所示，直径___________mm； ②开启手机磁力计，使双线摆前后摆动起来（最大摆角不超过5°），测得磁感应强度随时间的变化如图所示，发现磁性小铁球摆动过程中，磁感应强度的最小值在逐渐增大，其原因是：___________； 该同学测出图中第1至第11个峰值之间的时间间隔为，则当地重力加速度的大小___________（用、、、表示）。 16．单摆实验装置如图1所示。 (1)根据图2所示，已知悬点对齐零刻度，测得的摆长____________； (2)小张为减小实验误差，多次改变摆长，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制得到如图3的图像，由图可知当地重力加速度__________（用图中字母表示）。 (3)用（2）中方法__________（填“能”或“不能”）消除因摆球质量分布不均而造成的g的测量误差； (4)小刘同学将一个摆长未知的单摆挂在测力传感器的探头上，用测力探头和计算机组成的试验装置来测定单摆动过程中摆线受到的拉力（摆角小于5°），计算机屏幕上得到如图所示的图像，由图像可确定： ①此单摆的周期为___________s； ②此摆球的质量为___________（取）。 17．同学们用如图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。在单摆悬点处安装拉力传感器，并获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示。 (1)关于本实验的操作，下列哪个说法是正确的？（　　） A．需要用天平称出摆球的质量 B．摆线要选择较细的、伸缩性小些的，并且适当长一些 C．测摆长时应先在水平桌面上将细线拉直测得细线长度，再悬挂小球 D．为了使单摆的周期大一些，以方便测量，初始摆角应大于 (2)由图乙可知，该单摆的周期为_____（用图乙中字母表示）； (3)同学们改变摆长，测量不同摆长情况下单摆的周期，得到多组数据。以为横轴，为纵轴，作出图像，如图丙所示。若图线的斜率为，则重力加速度的大小______（用本小题所给字母表示）。 18．甲同学用单摆测定重力加速度的装置如图所示，O为固定悬点，摆球用细线悬挂，在摆球与O点之间串联力传感器，记录细线对摆球的拉力F。将摆球从最高点（与竖直方向夹角）由静止释放，摆球在同一竖直面内往返运动。数据采集得到图像如图所示。 (1)由图乙可知，单摆的振动周期T=______s。 (2)若已知摆长L和周期T，则当地重力加速度的表达式g=______（用L、T表示）。 (3)乙同学发现他们组的摆球在水平面内做圆周运动，如图丙所示，这时如果测出摆球做这种运动的周期，仍然用单摆运动公式求出重力加速度，则由此测得的重力加速度值与真实值相比将______（选填“偏大”“偏小”或“不变”）。 19．某学习小组用图甲装置测量当地重力加速度。 将细绳一端固定在O点，另一端系一磁性小球（质量很大，体积很小），在摆球的正下方放置一手机。打开手机中测量磁感应强度的软件，调整手机位置使手机磁传感器恰好位于磁性小球的悬挂点正下方。用毫米刻度尺测出细绳悬挂点到摆球球心的长度； (1)使磁性球做小角度摆动，手机呈现出沿x轴方向磁感应强度随时间变化曲线，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最高点，当磁感应强度约为0时，小球所在位置为______（选填“最低点”或“最高点”）。 (2)实验采集到磁感应强度随时间变化的图像如图乙，可知5s-15s内有______个周期； (3)通过计算得到当地重力加速度大小为______（取，结果保留三位有效数字）； (4)另一组同学多次改变摆长，根据测得数据，画出单摆周期平方T2与摆长L的关系图线，发现其延长线未过原点，如图丙所示，原因可能是（　　） A．将摆线的长度作为摆长 B．将摆线的长度与小球半径的和作为摆长 C．将摆线的长度与小球直径的和作为摆长 20．智能手机软件中的磁力计可显示磁感应强度大小随时间变化的关系，两同学用该软件设计实验测量单摆的周期及当地重力加速度。 (1)将摆线上端固定于铁架台，下端系在小球上，让手机内置磁敏元件位于小球静止位置的正下方，做成如图所示的单摆。测出摆线长为，将小球磁化后，由平衡位置拉开一个小角度静止释放，手机软件显示磁感应强度大小随时间变化如图（b）所示。则该单摆的振动周期为_______（用字母表示）。 (2)改变摆线长，重复实验操作，得到多组数据，画出周期平方随摆线长的变化图像如图所示，图像斜率为，则测得重力加速度为_______（用字母表示）。 (3)图像未过原点，的测量值________（选填“>”“<”或“=”）真实值。甲同学认为手机内也含有铁等金属，由于手机对小球的吸引，会使的测量值_______（选填“>”“<”或“=”）真实值。 (4)乙同学发现，振动较长时间后手机显示磁感应强度随时间呈图（b）变化趋势，忽略手机对小球的吸引，引起该情况最可能的原因是（　　） A．小球磁性减弱 B．小球振幅减小 C．小球由单摆运动变为圆锥摆运动 题型03 等效类单摆测量方案 解题口诀：复合场、升降梯、圆弧轨道皆等效；先找等效重力加速度，再定等效摆长；小幅振动套周期，超重失重电场分开算。 高考考向：实验关联动力学压轴小题，涵盖电梯加速、匀强电场带电摆、光滑圆弧、斜面上类单摆；等效参量推导、周期对比、拓展测重力加速度方案设计，试卷拉分难点。 21．极限运动被称为是向人类身体极限发出挑战的勇敢者的游戏。其中轮滑和滑板运动深受青少年朋友的喜爱。滑板运动场地有一种常见的圆弧形轨道，其截面如图。某同学用一光滑金属球和手机估测轨道半径R（金属球的半径远小于轨道半径）。 实验过程如下： ①实验原理：将金属球的运动视为简谐运动 ②实验步骤 a.用智能手机及相关APP软件测得当地的重力加速度g； b.找出轨道的最低点并做标记O，把金属球从O点移开一小段距离至P点，由静止释放。当小球经过最低点时开始用手机计时，并数做“1”。此后每次经过最低点就累计计数一次，测出第N次经过最低点总时间为t。算出滑板车做往复运动的周期______；（用N、t表示） c.代入实验数据计算半径，根据简谐运动的周期公式可以得到轨道半径______（用T、g表示）。 22．某研究性学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，将小球通过摆线固定在斜面上，摆线与斜面始终保持平行，小球静止在斜面上时测得摆线长度为L。已知斜面倾角为。 (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有___________（填字母）。 A．摆线要选择较轻、无伸缩性，并且适当长一些的 B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的 C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相对平衡位置时有较大的偏角 (2)测量单摆周期时，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“0”，当摆球再次通过最低点时数“1”，依此类推，当他数到“50”时，秒表停止计时，读出这段时间。则该单摆的周期为___________。 (3)改变摆线长度，测量出多组周期、摆线长的数值后，画出图像如图乙所示，测得此图像斜率为，则当地重力加速度的表达式为=____ (4)图像不过坐标原点，对（3）中的测量值________（填“有”或“没有”）影响。 23．图（a）是某兴趣小组基于手机磁力传感器，利用Phyphox应用软件完成单摆测量重力加速度的示意图，手机中的磁力传感器能够实时测量并记录外部磁场的磁感应强度大小。在磁性小球摆动过程中，当磁性小球摆动到最右端时，记录的磁感应强度最大。实验时，通过磁力传感器记录磁感应强度发生的周期性变化，间接测得小球运动的周期。部分实验操作如下： (1)用游标卡尺测量小球直径，结果如图（b）所示， 则小球的直径为__________mm。 (2)保证细线与竖直方向的夹角小于5°并释放小球，打开Phyphox应用软件采集数据，图（c）为实验过程中磁感应强度随时间发生周期性变化的图像。则小球运动的周期为__________（用、表示）。 (3)某次实验中，由于操作不当，导致小球不在同一竖直面内运动，而是在一个水平面内做圆周运动，测量周期后，仍用单摆的周期公式求出重力加速度，则重力加速度的测量值__________实际值（填“小于”、“大于”或“等于”）。 (4)此小组又改进了实验装置，决定采用杆线摆测量重力加速度。如图（d）所示，杆线摆可以绕着悬挂轴来回摆动，直径为的摆球其运动轨迹被约束在一个倾斜平面内，这相当于单摆在斜面上来回摆动。如图（e）所示，在铁架台上装一根铅垂线，在铁架台的立柱跟铅垂线平行的情况下把杆线摆装在立柱上，调节细线的长度，使摆杆与立柱垂直，保持摆杆长度不变。如图（f）所示，把铁架台底座一侧垫高，立柱倾斜，测出静止时摆杆与铅垂线的夹角为，并测量该倾角下单摆的周期。改变铁架台的倾斜程度，测出多组夹角和单摆周期，若作出的图像是一条过原点的直线，其斜率为，则可以求得重力加速度为__________（结果用、、表示）。 24．根据单摆周期公式，可以通过实验测量当地的重力加速度。 (1)如图甲所示，组装单摆时，应在下列器材中选用____________。 A．长度为1m左右的细线 B．长度为10cm左右的细线 C．直径为1.8cm的塑料球 D．直径为1.8cm的铁球 (2)为使重力加速度的测量结果更加准确，以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有____________。 A．在摆球运动的过程中，必须保证悬点固定 B．摆线偏离平衡位置的角度不能太大 C．测量周期时应该从摆球运动到最高点时开始计时 (3)用上面的方法测得的值比当地的实际值偏大，可能的原因是____________。 A．摆球的质量偏大 B．计算摆长时，把悬线长当作了摆长 C．摆动的偏角偏小 D．测量周期时，将次全振动误记成了次全振动 (4)小刚同学在实验中改变摆长重复实验，他只测出了悬线的长度及对应的周期，得到几组数据，再以为横坐标，为纵坐标作出图线如图乙所示。已知图线与纵轴的截距为，图线上点坐标为，则由此计算重力加速度____________。（用题中字母表示） (5)小丽同学为了研究“单摆做简谐运动的周期与重力加速度的定量关系”，在伽利略用斜面“冲淡”重力思想的启发下，创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境：如图丙所示，在水平地面上固定一倾角可调的光滑斜面，把长为的摆线固定于斜面上的点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至点，静止释放后，摆球在之间做简谐运动。测得摆角为、摆球的摆动周期为。多次改变斜面的倾角，重复实验，记录、和，为了能方便准确地利用图像处理数据进而获得结论，她应绘制____________图像（写出图像的纵坐标—横坐标）。 (6)请读出图丁中游标卡尺的示数：____________mm。 25．某同学利用如图甲所示的装置完成了“利用单摆测定当地重力加速度”的实验，将拉力传感器固定在倾角为α=30°的光滑斜面上，长为L=0.99 m的轻绳固定在拉力传感器上，轻绳的下端拴接一小铁球，实验时将轻绳拉开一个小角度后由静止释放小铁球，拉力传感器的拉力随时间的变化规律如图乙所示。已知π2=9.86。 (1)用游标卡尺测量小铁球的直径时，游标卡尺的示数如图丙所示，则小铁球的直径d=___________cm； (2)若小铁球完成n次全振动的时间为t，则当地的重力加速度的表示式g=___________（用已知和测得的物理量的符号表示）； (3)由图乙可知该单摆的周期为T=___________s，则重力加速度g=___________m/s2（结果均保留两位小数）。 26．学习了用单摆测量重力加速度后，课外小组的同学们将一根长为L、质量分布均匀的刻度尺一端固定在光滑水平轴上，使其做小角度（小于5°）摆动，以测量当地重力加速度，如图所示。 (1)实验中，为了使测量的周期尽可能准确，应在刻度尺下端经过________（选填“最低点”或“最高点”）时开始计时，并把该次记为0。 (2)刻度尺摆动过程中下端第N（N足够大）次经过（1）中所选的点时停止计时，共用时为t，则由此计算出其周期为________（用所给物理量的符号表示）。 (3)摆长取刻度尺重心到转轴的距离，用单摆周期公式计算出重力加速度。结果发现该计算值与当地真实的重力加速度相差很大，在请教老师后得知，该刻度尺不是单摆，而是物理摆，它的摆动周期公式应为（L为刻度尺的长度，g为重力加速度）。根据题中已知条件和该物理摆的周期公式可得，当地的重力加速度的表达式为g=________（用所给物理量的符号表示）。若在刻度尺下端第N次经过（1）中所选的点时没有同时停止计时，导致计时时间相对变长，则由此计算出的重力加速度________（选填“大于”“等于”或“小于”）真实的重力加速度。 27．某研究性学习小组设计了如图甲所示的实验装置，利用单摆测量当地的重力加速度，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，将小球通过摆线固定在斜面上，摆线与斜面始终保持平行，小球静止在斜面上时测得摆线长度为L。已知斜面倾角为。 (1)以下是实验过程中的一些做法，其中正确的有______（填字母）。 A．摆线要选择较轻、无伸缩性，并且适当长一些的 B．摆球尽量选择质量较大、体积较小的 C．为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相对平衡位置时有较大的偏角 (2)测量单摆周期时，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“0”，当摆球再次通过最低点时数“1”，依此类推，当他数到“50”时，秒表停止计时，读出这段时间t。则该单摆的周期为______。 (3)改变摆线长度，测量出多组周期T、摆线长L的数值后，画出图像如图乙所示，测得此图像斜率为k，则当地重力加速度的表达式为______。 (4)图像不过坐标原点的原因是__________________________________________，该原因对（3）中g的测量值______（填“有”或“没有”）影响。 28．某同学利用手机内的磁传感器做“用单摆测量重力加速度”的实验。 (1)如图甲所示，细线的上端固定在铁架台上，下端系一个小钢球（下方吸附有小磁片），做成一个单摆。使小钢球在竖直平面内做小角度摆动，打开手机的磁传感器软件，并将手机置于悬点正下方。某次采集到的磁感应强度B的大小随时间t变化的图像如图乙所示，则单摆的振动周期T=_________s（结果保留两位有效数字）； (2)某次实验由于操作不当，小球在水平面内做圆锥摆运动。测量周期后，仍用单摆的周期公式求重力加速度，则重力加速度的测量值___________实际值（填“小于”、“大于”或“等于”）。 (3)如图丙所示，为改进实验方案将铁架台右侧垫高，使单摆处于倾斜状态。在小球上连接一绕铁架台柱O'点自由转动且与铁架台柱始终垂直的轻杆。小球运动轨迹相当于绕O点垂直纸面摆动的单摆。在铁架台上O点装一根铅垂线，测出静止时轻杆与铅垂线的夹角为β，并测量该倾角下单摆的周期T。改变铁架台的倾斜程度，测出多组夹角和单摆周期T，作出的图像是一条过原点的直线，其斜率为k，小球直径为D，则重力加速度为__________（结果用k、L、D表示）。 29．某同学利用在半径为R的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图甲所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。 (1)该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径为d = __________cm。 (2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图丙所示，则小球摆动的周期为T = __________。 (3)根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为g = __________（用d、t0、R表示）。 (4)另一同学将光滑圆弧球面半径R当做小球等效单摆长度测得重力加速度，则测得的重力加速度的值__________（选填“大于”、“小于”或“等于”）当地重力加速度的真实值。 30．小张同学为了测定当地的重力加速度，利用在半径为R的光滑圆弧面上做简谐运动的匀质小球来进行实验，实验装置如图甲所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。 (1)该同学利用螺旋测微器测量小球的直径，示数如图乙所示，则小球的直径_____________。 (2)该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图丙所示，则根据已知的物理量、可得当地重力加速度g的表达式为_____________（用d、、R表示）。 (3)另一同学将光滑圆弧球面半径R当作小球等效单摆长度，所测得的g值比真实重力加速度_____________（选填“偏大”“偏小”或“无误差”）。 31．某实验小组在利用单摆测量当地重力加速度时发现，单摆容易出现圆锥摆的情况，从而导致测量结果出现较大误差。于是该实验小组同学改进了实验方案，尝试利用如图所示的双线摆进行实验。 （1）将两段长度相等且不可伸长的细绳一端分别拴在两个固定竖直杆上，固定点记为A、B（A、B两点在同一水平面上），另一端与一小钢球顶端相连。 （2）用刻度尺测出一根细绳的长度为l，A、B两点的间距为a，用游标卡尺测出小球的直径为d，则等效摆长L=___________。 （3）将摆沿垂直纸面方向拉开一个小角度（小于5°），静止释放，待摆动稳定后，摆球运动到最低点时开始计时，并开始计数1，摆球再次运动到最低点时计数2，依次数到n时停止计时，读出秒表时间为t，则单摆的周期为____________。 （4）多次改变细绳的长度，重复实验，根据实验数据绘制得到如图所示的T 2-L图像，由图像中数据可知，当地重力加速度g=___________。 32．某同学设计了一个测量重力加速度大小g的实验方案，所用器材有：2g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台等。 具体步骤如下： ①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图（a）所示。 ②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。 ③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。 ④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。 ⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。 该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。 (1)由步骤④，可知振动周期_____。 (2)设弹簧的原长为，则l与g、、T的关系式为_____。 (3)由实验数据作出的图线如图（b）所示，可得_____（保留三位有效数字，取9.87）。 (4)本实验的误差来源包括_____（双选，填标号）。 A．空气阻力 B．弹簧质量不为零 C．光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $