三角形的三边关系（教学设计）2026-2027学年五年级上册数学西南大学版

该小学数学教学设计聚焦三角形三边关系，通过生活路线情境导入，关联“两点之间线段最短”旧知，引出“三条线段能否围成三角形”的探究，搭建新旧知识衔接的学习支架。 资料以实验操作与逻辑说理结合为特色，通过小棒拼摆、尺规作图培养几何直观，结合“任意”关键词辨析与“两点之间线段最短”推理发展推理意识，等腰三角形分类讨论落实应用意识，助力学生深化理解，为教师提供系统教学流程。

《三角形的三边关系》教案（2课时）-2026-2027学年西南大学版（新教材）小学数学五年级上册 一、学情分析 五年级学生已经认识三角形，掌握三角形的基本特征，知道三角形有三条边、三个顶点、三个角，能够识别三角形，具备简单动手操作、测量线段长度的能力。学生普遍存在固有认知：只要有三条线段，就一定能够围成三角形，这是本课主要认知障碍。学生可以完成小棒拼摆、尺规画图等实操活动，能够记录实验数据，但是对关键词“任意”理解不到位，容易只计算一组两边之和就直接下结论。学生的逻辑推理尚处在由不完全归纳向演绎推理过渡阶段，很难自主联系“两点之间线段最短”解释三边关系的道理，需要依托教材的实验表格、尺规作图案例、议一议板块开展探究，在数据对比、正反案例辨析中理解三边关系的本质。 二、教材分析 本课选自西南大学版2026秋季新教材小学数学五年级上册第四单元《三角形的边与角》，设置2个课时完成教学。本课安排在三角形的认识之后，是研究三角形边的数量关系的核心课时。新教材兼顾动手操作与逻辑说理，编排逻辑为生活情境导入→拼摆实验收集数据→尺规作图探究→结合“两点之间线段最短”进行推理论证→归纳三角形三边关系→辨析理解关键词“任意”→例题判断能否围成三角形→课堂活动巩固→拓展认识两边之差小于第三边、第三边取值范围。教材配有实验记录表格、尺规作图示范图、多组正反样例、议一议、试一试板块。第1课时重在开展操作探究，归纳得出三角形三边关系，理解“任意两边之和大于第三边”；第2课时重在掌握简便判断方法，学习已知两边推导第三边取值范围，完成等腰三角形相关例题，落实教材全部例题与课堂活动。本课是后续学习三角形分类、周长计算、初中几何推理的重要基础。 三、核心素养教学目标 依据《义务教育数学课程标准2022版》图形与几何领域要求，落实小学数学核心素养。 1. 几何直观：借助小棒拼摆、尺规作图、教材图示，直观观察三条线段能否围成三角形，看懂作图当中两弧相交、不相交的图形特征，建立三边长度与三角形能否围成之间的直观联系。 1. 推理意识：经历猜想、实验、数据整理、归纳结论，并且利用“两点之间线段最短”解释三边关系，理解“任意”一词的含义；能够通过举例辨析，区分可以围成与不可以围成三角形的情况，发展合情推理与简单演绎推理。 1. 运算能力：能够正确计算线段长度的和与差，利用三边关系完成判断、简单计算，规范书写说理过程。 1. 应用意识：会运用三角形三边关系解决教材例题当中的判断、简单实际问题，能够解释生活中和三角形边长相关的现象。 四、教学重难点 教学重点：第1课时理解三角形任意两边之和大于第三边；第2课时掌握简便判断方法，已知两条边能够确定第三边的取值范围。 教学难点：深度理解“任意”的含义；理解“两边之和等于、小于第三边时，不能围成三角形”；利用三边关系解决等腰三角形的分类讨论问题。 五、教学过程 第1课时 探究三角形三边关系 （一）复习旧知，情境导入教材内容 教师引导学生翻开教材《三角形的三边关系》，课件出示教材的生活路线情境图，图上A、B、C三点构成三角形，从A点到C点有两条路径，一条是直接线段AC，另一条是A‑B‑C折线。 师：同学们，前面我们已经认识三角形，谁来说一说什么叫做三角形？ 生：由三条线段首尾依次相接围成的封闭图形叫做三角形。 师：既然是三条线段围成，那是不是随便拿出三根线段，就一定能够首尾相连围成三角形？大家看教材上面这幅路线图，从A地点走到C地点，可以直接走线段AC，也可以先走AB再走BC，哪一条路线更近？这用到我们学过的哪一条数学事实？ 生：直接走AC更近，两点之间，线段最短。 师：如果把A、B、C三点看作三角形的三个顶点，在△ABC当中，AB加BC的长度和AC相比，会是什么大小关系？ 生：。 师：这只是其中一组边，三角形另外两组边是不是也存在类似的大小关系？三角形三条边之间藏着特殊的数量关系，今天我们就一起来学习教材当中新知识——三角形的三边关系，板书课题。 设计意图：依托教材情境，唤醒“两点之间线段最短”这一重要几何基本事实，制造认知冲突，抛出核心探究问题，不直接给出结论，为后面推理验证埋下伏笔，贴合教材编排逻辑。 （二）研读教材例1，动手拼摆实验，整理实验数据 教师出示教材例1，教材给出4组小棒长度（单位cm）：第一组6、7、8；第二组4、5、9；第三组3、6、10；第四组5、5、7。同时出示教材配套实验记录表格，表格包含三列：小棒长度、能否围成三角形、我的发现。 师：请大家阅读教材例1，我们用这四组不同长度的小棒，模拟三条线段，尝试首尾相接围三角形。大家想一想，围三角形的时候，要注意什么？ 生：三根小棒要首尾紧紧靠在一起，形成封闭图形，不能留有缝隙，也不能重叠。 师：小组合作，依次用四组小棒进行拼摆，把每一组实验结果填写到教材的实验表格当中。大家一边操作一边观察，哪些可以围成三角形，哪些没有办法围成三角形。 学生分组开展拼摆实验，完成教材表格记录。拼摆完成后组织全班汇报实验结果。 生1：6cm、7cm、8cm可以围成三角形；4cm、5cm、9cm围不成；3cm、6cm、10cm围不成；5cm、5cm、7cm可以围成三角形。 教师把四组数据以及实验结果板书在黑板上。 师：我们把能够围成三角形的两组挑出来：6、7、8；5、5、7。请大家分别计算每一组当中，任意两条边的和，和第三条边做对比。我们先看6、7、8这一组。 生：，，。 师：三组算式，都是两边之和大于第三条边。再看5、5、7这一组，谁来算一算？ 生：，，，同样三组都是两边之和大于第三边。 师：我们再看不能围成的两组，第一组4、5、9，请大家算一算。 生：，，。 师：这里有一组两边之和等于第三条边，另外两组满足大于，为什么却围不成三角形？大家结合刚才拼摆的过程想一想。 生：4厘米和5厘米两根小棒拼在一起之后，刚好和9厘米小棒重合，三条小棒压在一条直线上面，不能形成封闭的三角形。 师：说得很好，当两条线段加起来等于第三条线段，三条线段就会处在同一条直线，没有办法形成三个角，构不成封闭图形。我们再看3、6、10这一组。 生：，其余两组算式是大于。 师：这一组出现两边之和小于第三边，同样也不能围成封闭三角形。 设计意图：完整落实教材例1拼摆探究活动，依托教材实验表格收集数据，把能围成、不能围成的案例进行对比，让学生直观看到“等于”“小于”的情况，为归纳结论积累事实依据，落实几何直观素养。 （三）教材尺规作图示范，结合议一议归纳三边关系 教师出示教材尺规作图示范图，用尺规尝试根据三条线段画三角形，分为两种情况：两弧可以相交，可以画出三角形；两弧不能相交，画不出三角形。 师：教材除了拼小棒，还给我们展示尺规作图的方法。我们选定一条线段作为底边，分别以底边两个端点为圆心，另外两条线段长度画圆弧。大家观察教材图片，什么时候两个圆弧可以相交，画出三角形？什么时候没有交点？ 生：当两条线段长度加起来大于底边长度，两个圆弧才会相交；小于或者等于底边，圆弧没有交点，画不出三角形。 师：拼摆、尺规作图都告诉我们，想要围成三角形，每一组两条边的和都要大于第三条边。阅读教材议一议板块，想一想，这里为什么要用“任意”两个字，能不能把“任意”去掉？ 生：不能去掉，只满足一组或者两组两边之和大于第三边还不行，三组都要满足。 师：非常关键，“任意”就是三角形当中，每选两条边相加，都必须大于剩下的那一条边。我们齐读教材给出的结论：三角形任意两边之和大于第三边。板书完整结论。 师：回到最开始教材的路线情境，现在你能用这句话解释为什么走线段AC最近吗？ 生：在三角形当中，，所以折线的长度一定大于直接的线段。 设计意图：遵照西南大学版2026新教材要求，将拼摆实验与尺规作图结合，借助教材议一议深挖关键词“任意”，并且回扣开篇情境，把操作现象上升到数学结论，发展推理意识。 （四）教材试一试基础辨析巩固 教师出示教材试一试：判断下面各组线段能不能围成三角形。① 7cm、4cm、5cm；② 2cm、2cm、5cm。 师：请同学们依据刚刚学到的三角形三边关系，完成教材试一试。第一组7、4、5，我们需要写出三组加法算式。 生：，，，三组全部满足，所以可以围成三角形。 师：第二组2、2、5呢？ 生：，不满足条件，不能围成三角形。 师：大家一定要注意，必须考察全部的组合，不能只看一组算式就下判断。 （五）第1课时课堂小结 师：本节课我们学习教材例1，通过小棒拼摆、尺规作图，结合“两点之间线段最短”，归纳得出三角形的三边关系。谁复述本课核心结论？ 生：三角形任意两边之和大于第三边。 师：想一想，当两条边的和等于第三边、小于第三边的时候，会出现什么结果？ 生：都不能围成三角形，三条线段会落在同一条直线，无法封闭。 师：关键词“任意”是不能省略的，三组两边之和都要大于第三条边。下一节课我们继续学习教材，掌握简便判断方法，研究已知两条边，第三条边可以取多长。 （六）课时小结 本节课学习教材例1，借助小棒拼摆、尺规作图开展探究实验，收集多组实验数据，对比能够围成、不能够围成三角形的线段组合，结合“两点之间线段最短”，归纳得出核心结论：三角形任意两边之和大于第三边。通过正反案例辨析理解关键词“任意”，明确当两边之和等于或者小于第三边时，三条线段共线，无法围成封闭三角形。本节课积累了几何探究的活动经验，为第2课时学习简便判断、第三边取值范围做好理论基础。 第2课时 三角形三边关系的运用 （一）复习回顾，衔接教材例2 师：上一节课我们得到三角形三边关系，请大家集体复述。 生：三角形任意两边之和大于第三边。 师：判断：3cm、4cm、8cm能不能围成三角形，说出理由。 生：不能，，不满足三边关系。 师：如果每一次判断，都要写出三组加法算式，有没有更加简便的方法？今天学习教材例2，我们就来解决这个问题。板书课题补充：三边关系的运用。 设计意图：复习上节课核心概念，抛出实际操作当中的麻烦，自然过渡教材例题的简便方法，形成课时之间的逻辑衔接。 （二）教学教材例2，学习简便判断方法 教师出示教材例2：判断下面三组线段能不能围成三角形：① 5cm、12cm、8cm；② 6cm、3cm、9cm；③ 13cm、7cm、4cm。教材文字提示：把三条边从小到大排好顺序，只需要比较较短两条边的和与最长边的大小。 师：阅读教材例2当中的提示，为什么只需要算较短两条边的和，和最长边比较，就可以完成判断？谁结合三角形三边关系想一想。 生：最长边本身比另外两条边都大，最长边加上任意一条短边，肯定大于剩下的短边，这两组算式一定成立，只需要验证最短两条边之和大于最长边。 师：这个发现可以简化我们的计算。我们把三条边从小到大排序，只要满足：较短两边之和＞最长边，就可以围成三角形；如果较短两边之和小于或者等于最长边，就不能围成三角形。我们用教材的三组例题来实践。 师：第一组5、8、12，从小到大排，较短两条边是5和8，最长边12。谁计算？ 生：，满足条件，可以围成三角形。 师：第二组3、6、9，较短两边3和6，最长边9。 生：，等于最长边，不能围成三角形。 师：第三组4、7、13，较短两边4和7，最长边13。 生：，不能围成三角形。 教师板书简便判断步骤：第一步，把三边从小到大排序；第二步，求较短两边之和；第三步，和最长边做大小比较。 设计意图：深度解读教材例2的简便思路，讲清背后的数学道理，而不是单纯交给学生口诀，落实推理意识，降低学生计算负担。 （三）研读教材议一议板块，推导第三边取值范围 教师出示教材议一议：一个三角形两条边分别长6厘米和9厘米，第三条边的长度范围是什么？教材配有提示，结合三边之和、三边之差进行思考。 师：已知三角形两条边，第三条边不是可以随便取值。我们结合“任意两边之和大于第三边”来思考。假设第三条边为 厘米。想一想，第三条边最大不能超过多少？ 生：， 要小于15。 师：那第三条边最小有什么限制？9厘米是两条边当中较长的一条，，那么 。 师：综合起来，第三条边要大于3厘米，同时小于15厘米。教材由此引出推论：三角形任意两边之差小于第三边。把两条已知边相减，可以得到第三边的下限；两条已知边相加，得到第三边的上限。板书：两边之差＜第三边＜两边之和。 师：大家注意，不能等于3，也不能等于15，等于的时候就退化成一条直线，围不成三角形。 教师出示教材配套试一试：三角形两条边是4cm、7cm，第三条边的取值在什么范围？请学生口头说理。 生：，也就是 。 设计意图：依托教材议一议，由三边和推导出第三边取值区间，理清上限与下限，明确不能取等号，突破本课难点，培养学生逻辑思维。 （四）教学教材例3，等腰三角形三边关系例题 教师出示教材例3：有两根小棒，长度分别是5厘米和12厘米，要再选一根小棒围成等腰三角形，第三根小棒应该是几厘米？ 师：什么是等腰三角形？ 生：等腰三角形有两条边长度相等。 师：那么第三根小棒有两种猜想，第一种，第三根是5厘米；第二种，第三根是12厘米。我们要分情况讨论，并且用三边关系检验是否成立。 师：第一种情况，如果第三条边取5厘米，三边为5cm、5cm、12cm，请大家用简便方法判断能不能围成。 生：较短两边 ，不满足三边关系，不能围成三角形，这个情况要舍去。 师：第二种情况，第三条边取12厘米，三边5cm、12cm、12cm，请大家判断。 生：较短两边 ，可以围成等腰三角形。所以第三根小棒只能选12厘米。 师：这道题告诉我们，遇到等腰三角形边长问题，猜想出来的结果，必须要用三角形三边关系检验，不符合条件就要舍弃。 教师组织学生完成教材课堂活动当中同类练习题：等腰三角形，两条边为7cm和3cm，第三条边是多少厘米。学生独立分析后汇报。 生：如果第三条边取3cm，，不成立；第三条边取7cm，，可以围成，第三边等于7厘米。 设计意图：完整讲解教材等腰三角形例题，训练分类讨论的数学思维，强化一个关键点：猜想得到边长，必须经过三边关系验证，不符合条件就要舍去，落实应用意识。 （五）综合辨析，梳理教材全部案例的共性规律 师：我们回顾教材当中所有例题，不管是普通三角形还是等腰三角形，判断三条线段能不能围成三角形，核心依据永远是什么？ 生：三角形任意两边之和大于第三边。 师：简便判断只是做题的技巧，根源还是这条定理；两边之差小于第三边，也是由这条定理推导而来。当我们已知两条边，第三边必须处在两边之差和两边之和中间，不能等于两个端点数值。 （六）课时小结 本节课学习教材例2、议一议、例3。在三角形任意两边之和大于第三边基础上，得到简便判断方法：将三边从小到大排序，只需要验证较短两条边之和大于最长边，即可判断能否围成三角形。由三边关系推导出：三角形两边之差小于第三边，得到第三边取值范围公式：两边之差＜第三边＜两边之和，第三边不能取等于边界的数值。结合教材等腰三角形例题，学会分情况猜想，再用三边关系验证，舍去不成立的结果。本课的知识可以用来判断线段、求解边长，是三角形单元重要工具，为后续几何学习打下推理基础。 2 学科网（北京）股份有限公司 $