第3章 3.1.1 第1课时 函数的概念（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦函数的概念这一核心知识点，从初中变量依赖关系引入，通过列车路程、空气质量指数图等实例抽象出用集合语言和对应关系刻画的函数定义，系统梳理定义域、值域、对应关系三要素，构建从具体到抽象的学习支架。 该资料特色显著，以现实情境实例引导学生用数学眼光观察世界，通过问题链和例题训练发展数学思维，如判断对应关系是否为函数、求定义域值域等，用集合语言精确描述定义培养数学语言能力。课中助力教师引导学生逐步深入，课后丰富练习便于学生巩固查漏。

3.1.1　函数及其表示方法 第1课时　函数的概念 学习目标　1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念.2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.3.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域和值域. 导语 在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长l与边长x的对应关系是l=4x，而且对于每一个确定的x都有唯一的l与之对应，所以l是x的函数.这个函数与正比例函数y=4x相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断y=x与y=是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数的概念. 一、函数关系的判断 问题1　你还记得初中所学函数的概念吗？ 提示　在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数. 问题2　下面三个例子所给出的两个变量是函数关系吗？ (1)某“复兴号”高速列车运行速度到350 km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程s(单位：km)与运行时间t(单位：h)的关系是函数关系吗？ (2)如图是某市某日的空气质量指数变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？ (3)国际上常用恩格尔系数r反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.如表是我国某省城镇居民恩格尔系数的变化情况，你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？ 年份y 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 33.53 33.87 29.89 29.89 29.35 28.57 提示　(1)是.s与t的关系可以表示为s=350t，此时t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}，s的变化范围是数集B1={s|0≤s≤175}，对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系s=350t，在数集B1中都有唯一确定的路程s和它对应. (2)(3)略. 问题3　上述例子中的函数有哪些共同特征？ 提示　共同特征有：(1)都包含两个非空数集，用A，B来表示；(2)都有一个对应关系；(3)尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应. 知识梳理　函数的有关概念 函数的定义 一般地，给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数 函数的记法 y=f(x)，x∈A 定义域 x称为自变量，y称为因变量，自变量取值的范围(即数集A)称为这个函数的定义域 值域 所有函数值组成的集合{y|y=f(x)，x∈A}称为函数的值域 注意点： (1)A，B是非空的实数集，定义域是数集A，函数的值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)函数符号“y=f(x)”是一个整体，不表示y等于f与x的乘积. (4)f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样. (5)函数三要素：定义域、对应关系与值域. 例1　(1)(多选)下列对应关系f是定义在集合A上的一个函数的是(　　) A.A={-1，0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数的平方 B.A={0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数的开方 C.A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数 D.A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，f：A中的数的2倍 答案　AD 解析　A选项，(-1)2=1，02=0，12=1， 为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数. B选项，±=0，±=±1，集合A中的元素1在集合B中有两个元素与之对应，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数. C选项，A中的元素0的倒数没有意义，不符合函数定义，f不是定义在集合A上的函数. D选项，1×2=2，2×2=4，3×2=6，4×2=8， 为一一对应关系，f是定义在集合A上的一个函数. (2)下图中，能表示函数y=f(x)的图象的是(　　) 答案　D 解析　由函数定义可知，任意作一条直线x=a，与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知D中图象能表示y=f(x)的图象. 反思感悟　(1)判断对应关系是否为函数的两个条件 ①A，B必须是非空实数集. ②A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系. (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线l. ②在定义域内平行移动直线l. ③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内有两个或两个以上的交点，则不是函数. 跟踪训练1　(1)下列对应关系中是定义在集合A上的一个函数的是(　　) A.A⊆R，B⊆R，x2+y2=1 B.A={-1，0，1}，B={1，2}，y=|x|+1 C.A=R，B=R，y= D.A=Z，B=Z，y= 答案　B 解析　对于A，x2+y2=1可化为y=±显然对任意x∈A(x=±1除外)，y值不唯一，故不符合函数的定义；对于B，符合函数的定义；对于C，2∈A，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于D，-1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义. (2)判断下列对应关系是否为函数： ①x→x≠0，x∈R； ②x→y，其中|y|=x，x∈R，y∈R. 解　①是函数.因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应. ②不是函数.当x=1时，y=±1，即存在非零实数x，对应两个y的值，不符合函数的概念. 二、函数的定义域、函数值和值域 问题4　初中我们学习过哪些函数？ 提示　一次函数、二次函数和反比例函数. 问题5　你能说一说问题4中的几个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗？ 提示　一次函数的定义域是R，值域也是R，对应关系实际上就是f(x)=ax+b(a≠0)；二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，它的值域是；当a<0时，它的值域是对应关系实际上就是f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；反比例函数f(x)=(k≠0)的定义域是{x|x≠0}，值域是{y|y≠0}，对应关系是f(x)=(k≠0). 角度1　求具体函数的定义域 例2　(课本例1)求下列函数的定义域： (1)f(x)=；　　(2)g(x)=+. 解　(1)因为函数有意义当且仅当 解得x>-1，所以函数的定义域为(-1，+∞). (2)因为函数有意义当且仅当 解得x≠0且x≠-2，因此函数的定义域为(-∞，-2)∪(-2，0)∪(0，+∞). 例2　求下列函数的定义域： (1)f(x)=； (2)f(x)=(x-1)0+； (3)f(x)=·； (4)f(x)=-. 解　(1)当且仅当x-2≠0，即x≠2时，函数f(x)=有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}. (2)函数有意义，当且仅当解得x>-1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>-1，且x≠1}. (3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}. (4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠-1，所以这个函数的定义域为{x|x≤1，且x≠-1}. 反思感悟　求函数定义域的常用依据 (1)若f(x)是分式，则应考虑分母不为零. (2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于等于零. (3)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义. (4)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际情况，使实际问题有意义. 跟踪训练2　设全集为R，函数f(x)=的定义域为M，则∁RM等于(　　) A.{x|x≥2或x=-1} B.{x|x<2且x≠-1} C.{x|x≥2} D.{x|x>2或x=-1} 答案　A 角度2　求抽象函数的定义域 例3　(1)已知函数f(x)的定义域为[-1，1]，求函数f(2x-1)的定义域. 解　∵函数f(x)的定义域为[-1，1]， ∴函数f(2x-1)中自变量x的取值应满足-1≤2x-1≤1，即0≤x≤1. ∴函数f(2x-1)的定义域为[0，1]. (2)已知函数f(x-1)的定义域为(1，4]，求函数f(x)的定义域. 解　∵函数f(x-1)的定义域为(1，4]， 即x∈(1，4]，∴0<x-1≤3，令x-1=t， 则函数f(t)的定义域为(0，3]， 即函数f(x)的定义域为(0，3]. 延伸探究　若函数f(x-1)的定义域为(-1，1)，如何求函数f(2x-1)的定义域？ 解　∵函数f(x-1)的定义域为(-1，1)， ∴-1<x<1，则-2<x-1<0，令x-1=t， ∴函数f(t)的定义域为(-2，0)， 即函数f(x)的定义域为(-2，0). ∴由-2<2x-1<0，得-<x<. ∴函数f(2x-1)的定义域为. 反思感悟　抽象函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出. (2)若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的取值范围. (3)函数f(x)，f(g(x))的定义域指的都是x的范围. 跟踪训练3　设函数f(x)=则f +f 的定义域为(　　) A. B.[2，4] C.[1，+∞) D. 答案　B 解析　因为函数f(x)=的定义域为[1，+∞)， 所以解得2≤x≤4. 故f +f 的定义域为[2，4]. 角度3　求函数值 例4　已知函数f(x)=g(x)=3x2+1. (1)求f(1)，g(1)的值； (2)求f(g(1))的值； (3)若a≠-1，求f(a-1)，g(a+1)，f(g(a+1)). 解　(1)f(1)==g(1)=3×12+1=4. (2)f(g(1))=f(4)==. (3)f(a-1)== g(a+1)=3(a+1)2+1=3a2+6a+4， f(g(a+1))=f(3a2+6a+4)=. 反思感悟　求函数值的方法 (1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x，即得f(a)的值. (2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则. 角度4　求值域 例5　求下列函数的值域： (1)y=2x，x∈{1，2，3，4}； (2)y=2+3； (3)y=； (4)y=x+； (5)y=x2-4x+6(1≤x≤5). 解　(1)当x=1时，y=2；当x=2时，y=4；当x=3时，y=6；当x=4时，y=8. 所以函数y=2x，x∈{1，2，3，4}的值域为{2，4，6，8}. (2)因为≥0，所以2≥0，所以2+3≥3. 故y=2+3的值域为[3，+∞). (3)借助反比例函数的特征. y===3-(x≠-1)， 显然≠0， 即所求函数的值域为{y|y≠3}. (4)设u=(x≥0)，则x=u2(u≥0)， 则y=u2+u=-(u≥0). 由u≥0，可知≥ 所以y≥0. 所以函数y=x+的值域为[0，+∞). (5)y=x2-4x+6=(x-2)2+2， 由1≤x≤5，结合函数图象知y=x2-4x+6(1≤x≤5)的值域为[2，11]. 反思感悟　求函数值域常用的四种方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到. (2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域. (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域. (4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f(x)=ax+b+(其中a，b，c，d为常数，且a≠0)型的函数常用换元法. 三、同一个函数的判定 问题6　构成函数的要素有哪些？ 提示　定义域、对应关系和值域. 问题7　结合函数的定义，如何才能确定一个函数？ 提示　有确定的定义域和对应关系，则此时值域唯一确定. 知识梳理 如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数表达式得到的函数值都相等)，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数. 注意点： (1)两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同，故判断两个函数是否为同一函数时，只需判断定义域和对应关系是否相同即可. (2)定义域和值域分别相同的两个函数不一定是同一个函数. 例6　(多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=x，g(x)=()2 B.f(x)=x2+1，g(t)=t2+1 C.f(x)=1(x≠0)，g(x)= D.f(x)=x，g(x)=|x| 答案　BC 解析　A中，由于f(x)=x的定义域为R，g(x)=()2的定义域为{x|x≥0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一个函数. B中，函数的定义域、值域和对应关系都相同，所以它们是同一个函数. C中，由于g(x)==1的定义域为{x|x≠0}，故它们的定义域相同，所以它们是同一个函数. D中，两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是同一个函数. 反思感悟　在两个函数中，只有当定义域、对应关系都相同时，两函数才是同一个函数.值域相等只是前两个要素相等的必然结果. 跟踪训练4　(多选)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A.f(x)=g(x)= B.f(x)=·g(x)= C.f(x)=g(x)=x+3 D.汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x≤5) 答案　BD 解析　A项，f(x)=g(x)=不是同一个函数，对应关系不同； B项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同； C项，f(x)=|x+3|，g(x)=x+3，不是同一个函数，对应关系不同； D项，是同一个函数，定义域、对应关系都相同. 1.知识清单： (1)函数的概念. (2)函数的定义域、值域. (3)同一个函数的判定. 2.方法归纳：观察法、换元法、配方法、分离常数法. 3.常见误区： (1)定义域中的每一个自变量都有唯一确定的值与其相对应. (2)自变量用不同字母表示不影响同一个函数的判断. 1.(多选)下列四个图形各表示两个变量x，y的对应关系，其中表示y是x的函数的有(　　) 答案　BC 解析　由图形判断对应关系是否为函数的方法，可知当-1≤a≤1时，只有图形BC始终与直线x=a仅有一个交点，故可以表示y是x的函数的有BC. 2.函数y=+的定义域为(　　) A.{x|x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|x≥1或x≤0} D.{x|0≤x≤1} 答案　D 解析　由题意可知解得0≤x≤1. 3.如果函数y=x2-2x的定义域为{0，1，2，3}，那么其值域为(　　) A.{-1，0，3} B.{0，1，2，3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 答案　A 解析　当x取0，1，2，3时，y的值分别为0，-1，0，3，则其值域为{-1，0，3}. 4.下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A.y=x+1与y= B.y=2x+1与s=2t+1 C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2 答案　B 解析　A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D中不是同一个函数；B选项中两函数的定义域和对应关系均相同，是同一个函数. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共24分 1.(多选)下列关于函数y=f(x)的说法正确的是(　　) A.y是x的函数 B.x是y的函数 C.对于不同的x，y也不同 D.f(a)表示x=a时，f(x)的函数值是一个常数 答案　AD 解析　由函数的定义可知B错误，根据函数的定义，对于不同的x，y可以相同，例如f(x)=1，故C错误. 2.函数f(x)=2x+1，x∈[0，1]的值域是(　　) A.[1，3] B.(1，3) C.[2，3] D.[0，2] 答案　A 解析　由f(x)=2x+1的图象(图略)知，图象整体是上升的， 当x∈[0，1]时，f(0)=1，f(1)=3， 所以值域为[1，3]. 3.已知集合A={x|-1≤x≤1}，B={y|-1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是(　　) 答案　C 解析　对于A，图象对应的定义域不包含x=0，不满足题意； 对于B，图象存在x有两个y与之对应，不表示函数图象，不满足题意； 对于C，图象对应的定义域为A={x|-1≤x≤1}，且每个x都有唯一的y与之对应，且值域为B={y|-1≤y≤1}，满足题意； 对于D，当x=0时，有两个y与之对应，不表示函数图象，不满足题意. 4.(多选)下列四组函数中是同一个函数的是(　　) A.f(n)=n+1，n∈N；g(x)=x-1，x∈Z B.f(x)=|x|；g(x)= C.f(x)=；g(t)= D.f(x)=；g(x)=()2 答案　BC 解析　对于A，两个函数的定义域分别是N与Z，不是同一个函数； 对于B，两个函数的定义域都为R，且g(x)==|x|，对应关系相同，故是同一个函数； 对于C，函数f(x)的定义域为{x|x>0}，函数g(t)的定义域为{t|t>0}，且f(x)==x，g(t)==t，对应关系相同，故是同一个函数； 对于D，函数f(x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≥0}，定义域不同，不是同一个函数. 5.已知f =x2-1，则f 等于(　　) A.- B.- C.8 D.-8 答案　A 解析　令=得x=故f =-1=-. 6.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合B={y|0≤y≤4}，则下列对应关系中，可看作是从A到B的函数关系的是(　　) A.f：x→y=x B.f：x→y=x C.f：x→y=x D.f：x→y=x 答案　ABC 解析　根据函数的定义，对于D项，在集合A中的部分元素在集合B中没有元素与之对应，故D不正确. 7.(5分)函数f(x)=+的定义域为　　　　　　　　　　　.  答案　{x|-1≤x≤2且x≠0} 解析　由题意得解得-1≤x≤2且x≠0， 则定义域为{x|-1≤x≤2且x≠0}. 8.(5分)已知函数f(x)=-1，且f(a)=3，则a=　　　　.  答案　16 解析　因为f(x)=-1，所以f(a)=-1=3， 解得a=16. 9.(10分)已知函数f(x)=+. (1)求函数f(x)的定义域；(2分) (2)求f(-3)，f 的值；(4分) (3)当a>0时，求f(a)，f(a-1)的值.(4分) 解　(1)要使函数有意义，则x应满足 解得-3≤x<-2或x>-2. 即函数的定义域是[-3，-2)∪(-2，+∞). (2)f(-3)=+=-1. f=+=+. (3)∵a>0，∴a，a-1∈[-3，-2)∪(-2，+∞). 即f(a)，f(a-1)有意义. 则f(a)=+； f(a-1)=+=+. 10.(10分)求下列函数的值域： (1)y=；(3分) (2)y=；(3分) (3)y=x-.(4分) 解　(1)令t=x2-4x+6=(x-2)2+2， 则t∈[2，+∞). 所以函数的值域为+∞). (2)因为函数的定义域为{x|x≠1}，y==5+所以函数的值域为{y|y≠5}. (3)设t=(x≥-1)，则x=t2-1(t≥0)， 于是y=t2-1-t=-. 又t≥0，故y≥-. 所以函数的值域为. 11.若函数f(2x-1)的定义域为[-3，1]，则y=的定义域为(　　) A.{1} B. C. D. 答案　D 解析　由题意可知-3≤x≤1，所以-7≤2x-1≤1，要使函数y=有意义，则解得1<x≤. 12.已知函数f(x)=-x2+4x，x∈[m，4]的值域是[0，4]，则实数m的取值范围是(　　) A.(-∞，2) B. C. D. 答案　C 解析　画出函数y=-x2+4x的图象，如图所示， 若f(x)=-x2+4x，x∈的值域是由图可知m的取值范围是. 13.(5分)设函数y=f(x)对任意正实数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，若f(8)=3，则f()=　　　　.  答案　 解析　因为f(xy)=f(x)+f(y)，所以令x=y=得f(2)=f()+f()=2f()， 令x=y=2，得f(4)=f(2)+f(2)=2f(2)， 令x=2，y=4，得f(8)=f(2)+f(4)=3f(2)=6f()， 又f(8)=3，所以f()=. 14.(5分)已知集合A=B={0，1，2，3}，f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有　　　　种.  答案　15 解析　由函数的定义知，此函数可分为四类： 若函数是四对一对应，则值域有{0}，{1}，{2}，{3}，共4种情况； 若函数是四对二对应，则值域有{0，1}，{0，2}，{0，3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共6种情况； 若函数是四对三对应，则值域有{0，1，2}，{0，1，3}，{0，2，3}，{1，2，3}，共4种情况； 若函数是四对四对应，则值域为{0，1，2，3}，共1种情况. 综上，该函数的值域的不同情况有4+6+4+1=15(种). 15.(多选)给出定义：若m-<x≤m+(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m.在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x-{x}|的四个结论，其中正确的是(　　) A.f = B.f(3.4)=0.2 C.f=f D.y=f(x)的定义域为R，值域为 答案　AC 解析　对于A，因为-1-<-≤-1+ 所以=-1，所以f ===所以A正确； 对于B，因为3-<3.4≤3+所以{3.4}=3，所以f(3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4，所以B错误； 对于C，因为0-<-≤0+所以=0，所以f ===因为0-<≤0+所以=0，所以f ===所以f =f 所以C正确； 对于D，y=f(x)的定义域为R，值域为所以D错误. 16.(11分)已知函数f(x)=的定义域与值域均为[0，4]，求实数a的值. 解　由题意，得y=ax2+bx+c，x∈[0，4]的值域为[0，16]，且ax2+bx+c≥0的解集为[0，4]，故函数图象开口向下，a<0，即ax2+bx+c=0的两根为0和4，所以0+4=-c=0，即b=-4a，则y=ax2-4ax=a(x-2)2-4a，当x=2时，y=a(x-2)2-4a取得最大值16，即-4a=16，解得a=-4. 学科网（北京）股份有限公司 $