第5章 5.2.2 同角三角函数的基本关系（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦“同角三角函数的基本关系”，通过特殊角三角函数值表格观察引导学生发现规律，结合单位圆上点的坐标推导平方关系与商数关系，衔接终边相同角的知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察（表格与单位圆推导）、数学思维思考（“知一求二”“弦化切”等方法）、数学语言表达（多种证明思路）为核心，如sinθ±cosθ整体代换求值、三角恒等式证明的左右互推法，帮助学生深化公式应用理解，为教师提供系统的教学案例与训练资源，提升教学效率。

5.2.2 同角三角函数的基本关系 第五章　§5.2　三角函数的概念 <<< 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.(重点) 2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.(难点) 学习目标 公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，终边相同的角的三角函数值之间是否也有某种关系呢？ 导 语 一、利用同角三角函数的基本关系求值 二、sin θ±cos θ型求值问题 课时对点练 三、利用同角三角函数的基本关系化简和证明 随堂演练 内容索引 利用同角三角函数的基本关系求值 一 提示　对于表格中的几个角，同一个角的正弦与余弦的比值等于正切(cos α≠0)，正弦与余弦的平方和等于1. 观察下表，你能发现什么？ 问题1 α 0 sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 不存在 提示　若余弦不为0，则正切等于正弦比余弦，即tan α=；因为点P在单位圆上，则由勾股定理得x2+y2=1，即sin2α+cos2α=1. 若P(x，y)是角α的终边与单位圆的交点，则角α的三个三角函数值之间有什么联系？ 问题2 同角三角函数的基本关系 平方关系：sin2α+cos2α=1； 商数关系：= .  这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切. tan α 知识梳理 (1)“同角”的含义，一是角相同，二是对任意一个角关系式都成立. (2)对于sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立，而tan α=仅对α∈成立. (3)sin2α是(sin α)2的缩写，不能写成sin α2. 注 意 点 <<< 9 　 (1)(课本例6)已知sin α=-，求cos α，tan α的值. 例 1 10 因为sin α<0，sin α≠-1，所以α是第三或第四象限角. 由sin2α+cos2α=1得 cos2α=1-sin2α=1- 如果α是第三象限角，那么cos α<0.于是 cos α=-， 从而tan α= 如果α是第四象限角，那么 cos α= 解 11 　 (1)已知cos α=-求sin α，tan α的值. 例 1 12 ∵cos α=-<0， ∴α是第二或第三象限角. 当α是第二象限角时，sin α>0，tan α<0， ∴sin α= tan α==-； 当α是第三象限角时，sin α<0，tan α>0， ∴sin α=-=-=- tan α=. 解 13 (2)已知tan α=-4，求的值. =. 解 14 (1)已知一个三角函数值可以求出另外两个，即“知一求二”. (2)已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 ①对于形如或的分式，分子、 分母同时除以cos α或cos2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值. ②对于形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α+cos2α， 转化为形如的式子求值. 反 思 感 悟 15 (1)已知sin α+3cos α=0，求sin α，cos α的值. 跟踪训练1 16 ∵sin α+3cos α=0，∴sin α=-3cos α. 又sin2α+cos2α=1， ∴(-3cos α)2+cos2α=1， 即10cos2α=1，∴cos α=±. 又由sin α=-3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时， 解 17 cos α=-sin α=； 当角α的终边在第四象限时， cos α=sin α=-. 解 18 (2)已知=-1，求sin2α+sin α·cos α+1的值. 19 方法一　(弦化切) 由=-1，得tan α=1， 所以sin2α+sin αcos α+1 = = = ==2. 解 20 方法二　因为=-1， 所以sin α=cos α， 所以sin2α+sin αcos α+1=sin2α+cos2α+1=2. 解 21 二 sin θ±cos θ型求值问题 　已知sin θ+cos θ=0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ-cos θ的值. 例 2 因为sin θ+cos θ=0<θ<π)， 所以(sin θ+cos θ)2= 即sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ= 所以sin θcos θ=- 所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ-cos θ>0， 所以sin θ-cos θ ==. 解 23 已知sin θ±cos θ，sin θcos θ求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有 (1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ； (2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ； (3)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2； (4)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ. 上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ+cos θ，sin θ-cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出. 反 思 感 悟 24 若sin θ-cos θ=则tan θ+=　　. 由已知得(sin θ-cos θ)2=2， ∴sin θcos θ=- ∴tan θ+=-2. 解析 跟踪训练2 -2 25 利用同角三角函数的基本关系化简和证明 三 提示　sin2α+cos2α=1⇒ tan α= 你能发现同角三角函数的基本关系的哪些变形形式？ 问题3 利用上述变换我们可以对三角函数式进行化简，也就是代数式的恒等变换，要使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数种类尽可能的少，式子中尽量不含根号，能求值的尽量求值. (1)化简：. 例 3 原式= ==1. 解 28 (2)证明：. 29 方法一　左边= = = ==右边. 所以原等式成立. 证明 30 方法二　因为(sin α-cos α+1)cos α=sin αcos α-cos2α+cos α =sin αcos α+cos α-(1-sin2α) =cos α(sin α+1)-(1+sin α)(1-sin α) =(1+sin α)(cos α-1+sin α) =(1+sin α)(sin α+cos α-1)， 且sin α+cos α-1≠0，cos α≠0， 所以. 证明 31 (2)(课本例7)求证： 32 方法一　由cos x≠0，知sin x≠-1，所以1+sin x≠0，于是 左边= = ==右边. 所以，原式成立. 证明 33 方法二　因为(1-sin x)(1+sin x) =1-sin2x=cos2x =cos xcos x， 且1-sin x≠0，cos x≠0，所以 证明 34 (1)三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α+cos2α=1，以降低函数次数，达到化简的目的. 反 思 感 悟 35 (2)证明三角恒等式的常用方法 ①从左向右推导或从右向左推导. ②左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子. ③化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异. ④变更命题法，如要证明可证ad=bc，或证等. ⑤比较法，即证明“左边-右边=0”或“=1”. 反 思 感 悟 36 (1)化简：+(1+tan2α)·cos2α. 原式=cos2α =·cos2α =1+1=2. 解 跟踪训练3 37 方法一　左边= ==右边. 所以原等式成立. 方法二　右边= ===左边. 所以原等式成立. 证明 (2)求证：. 38 1.知识清单： (1)同角三角函数的基本关系. (2)利用同角三角函数的基本关系求值、化简与证明. 2.方法归纳：由部分到整体、整体代换法. 3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若tan α=2，则的值为 A.0 B. C.1 D. √ . 解析 1 2 3 4 2.已知tan α=α∈则cos α的值是 A.± B. C.- D. √ 由tan α=可得 又sin2α+cos2α=1，可得cos2α+cos2α=1， 解得cos2α=因为α∈ 所以cos α=-. 解析 1 2 3 4 3.已知sin α-cos α=-则sin αcos α等于 A. B.- C.- D. √ 由题意得(sin α-cos α)2= 即sin2α+cos2α-2sin αcos α= 又sin2α+cos2α=1， ∴1-2sin αcos α= ∴sin αcos α=-. 解析 1 2 3 4 4.若2sin α+cos α=0，则=　　. = ==- ∵2sin α+cos α=0，∴tan α=- ∴原式==-8. 解析 -8 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A A D CD = 题号 9 11 12 13 15 答案 1 C AC ACD 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由θ为第二象限角，且tan θ==-2，cos θ<0， 又sin2θ+cos2θ=5cos2θ=1，则cos θ=-=-. (2=-. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)右边= = = ==左边， 故原等式成立. 16 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)设sin2A=m(0<m<1)，sin2B=n(0<n<1)，则cos2A=1-m，cos2B=1-n， 由=1，得=1，即(m-n)2=0， 所以m=n，故=1-n+n=1. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为t=即sin x+cos x=则(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x= 即sin xcos x=- 所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=. 因为x是第四象限角，则sin x<0，cos x>0，所以sin x-cos x<0，所以sin x-cos x=- 所以sin3x-cos3x=(sin x-cos x)(sin2x+sin xcos x+cos2x)=-=-. 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)由(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x，可得sin xcos x=t2-1)， 则关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1可化为-t2+at-=0，t∈[0]. ①当t=0时，-≠0，显然方程无解； 16 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ②当t≠0时，方程-t2+at-=0等价于a=； 当0<t≤时，由基本不等式可得×2=1，当且仅当t=1时，等号成立，又当t→0+时，t+→+∞， 故a=≥1， 所以要使得关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1有实数根，则a≥1. 故实数a的取值范围是[1，+∞). 16 基础巩固 1.已知α是第四象限角，cos α=则sin α等于 A. B.- C. D.- √ 由条件知α是第四象限角，所以sin α<0，即sin α=-= -=-. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是 A. B. C.1 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α) =sin2α+cos2α=1. 解析 3.已知α是第四象限角，且sin α=-则tan α等于 A. B.- C. D.- √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由α是第四象限角，sin α=-得cos α= 所以tan α==-. 解析 4.已知sin α=则sin4α-cos4α的值为 A.- B.- C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2× -1=-. 解析 5.已知sin α-cos α=则的值为 A.- B. C.- D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为sin α-cos α= 所以1-2sin αcos α=所以sin αcos α= 所以=-. 解析 6.已知=3，-<α<则sin α-cos α等于 A.- B.- C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=3，所以=3，解得tan α=2. 又因为-<α<tan α>0， 所以0<α<. 所以sin α=cos α= 所以sin α-cos α=. 解析 7.(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ+cos θ=-则下列结论正确的是 A.θ∈ B.cos θ=- C.tan θ=- D.sin θ-cos θ= 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为θ∈(0，π)，则sin θ>0， 又因为sin θ+cos θ=-<0， 则cos θ<0，可知θ∈故A错误； 因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ= 可得sin θcos θ=- 则(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=且sin θ-cos θ>0， 所以sin θ-cos θ=故D正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 联立 解得故B错误； 所以tan θ==-故C正确. 解析 8.已知asin α+bcos α=c，acos α-bsin α=d，则a2+b2　　c2+d2(填“>”“=”或“<”). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 = c2+d2 =(asin α+bcos α)2+(acos α-bsin α)2 =a2(sin2α+cos2α)+b2(cos2α+sin2α) =a2+b2. 解析 9.已知α为第二象限角，则+cos α的值是　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 由题意，α为第二象限角，可得sin α>0，cos α<0， 则+cos α+cos α =2+cos α=2+cos α×=1. 解析 10.已知θ为第二象限角，若tan θ=-2. (1)求cos θ的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由θ为第二象限角，且tan θ==-2，cos θ<0， 又sin2θ+cos2θ=5cos2θ=1，则cos θ=-=-. 解 (2)求的值. =-. 解 11.若α为锐角，3sin α=tan α=tan β，则 A.cos α= B.tan α=-2 C.tan β=2 D.tan β=-2 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为α为锐角，3sin α=tan α， 所以3sin α= 所以cos α=所以A不正确； 所以sin α= 所以tan α==2 所以B不正确； 解析 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为tan α=tan β， 所以tan β=tan α=×2=2， 所以C正确，D不正确. 解析 16 12.(多选)已知角α是锐角，若sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根，则下列关于实数m，n的判断正确的是 A.m2-2n-1=0 B.mn>0 C.m+n+1>0 D.m2-4n<0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为sin α，cos α是关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根， 所以sin α+cos α=-m，sin αcos α=n， 因为角α是锐角，所以m<0，n>0，则mn<0，故B错误； 又(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=m2>1， 即1+2n=m2，m<-1， 所以m2-2n-1=0，故A正确； 而m+n+1=m++1=>0，故C正确； 因为方程有两个实数根，所以m2-4n≥0，故D错误. 解析 13.已知关于x的方程2x2-+1)x+m=0的两个根分别为sin θ和cos θ，θ∈ 则的值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得sin θ+cos θ= 所以=sin θ+cos θ= . 解析 14.(1)求证：； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 右边= = = ==左边， 故原等式成立. 证明 16 (2)已知=1，求证：=1. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设sin2A=m(0<m<1)，sin2B=n(0<n<1)，则cos2A=1-m，cos2B=1-n， 由=1，得=1，即(m-n)2=0， 所以m=n，故=1-n+n=1. 证明 16 15.(多选)若=-则α的值可以是 A.- B. C. D. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为=- 所以=- 所以=- 所以=-所以sin α<0， 对于A，因为-角为第四象限角，所以sin α<0，故A正确； 对于B，因为角为第二象限角，所以sin α>0，故B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C ，因为角为第三象限角，所以sin α<0，故C正确； 对于D，因为角为第四象限角，所以sin α<0，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16.已知sin x+cos x=t，t∈[0]. (1)当t=且x是第四象限角时，求sin3x-cos3x的值； 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为t=即sin x+cos x=则(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x= 即sin xcos x=- 所以(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=. 因为x是第四象限角，则sin x<0，cos x>0，所以sin x-cos x<0，所以sin x -cos x=- 所以sin3x-cos3x=(sin x-cos x)(sin2x+sin xcos x+cos2x)=-=-. 解 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1有实数根，求实数a的取值范围. 提示：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x，可得sin xcos x=t2-1)， 则关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1可化为-t2+at-=0，t∈[0]. ①当t=0时，-≠0，显然方程无解； ②当t≠0时，方程-t2+at-=0等价于a=； 当0<t≤时，由基本不等式可得×2=1，当且仅当t=1时，等号成立，又当t→0+时，t+→+∞， 解 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故a=≥1， 所以要使得关于x的方程-sin xcos x+a(sin x+cos x)=1有实数根，则a≥1. 故实数a的取值范围是[1，+∞). 解 16 第五章　§5.2　三角函数的概念 <<< $