第2章 §2.1 第1课时 不等关系与不等式（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦“不等关系与不等式”，核心内容包括用不等式(组)表示不等关系、作差法比较大小及证明不等式。课堂通过生活实例（如身高比较、车辆速度限制）导入，衔接初中等式与实数大小比较知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活情境（如聊天机器人精确度、矩形场地面积）培养数学眼光，通过作差法步骤（作差、变形、判断符号）发展逻辑推理思维，结合实际问题（如商品降价方案）强化模型意识。教学方法含问题引导、例题解析与跟踪训练，小结清晰知识清单与方法。助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

第1课时 不等关系与不等式 第二章　§2.1　等式性质与不等式性质 <<< 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步掌握用作差法比较两个数(式)的大小、证明不等式. 学习目标 大家知道，相等关系与不等关系是数学也是日常生活中最基本的关系.例如长与短、远与近的比较；同学们之间高与矮、轻与重的比较；再如国家人口的多少、面积的大小等，类似于这样的问题，反映在数量关系上就是相等或不等关系.相等关系用等式来表示，不等关系用不等式来表示，下面，请大家试着表示本节课问题中的不等关系吧！ 导 语 一、用不等式(组)表示不等关系 二、作差法比较大小 课时对点练 三、作差法证明不等式 随堂演练 内容索引 用不等式(组)表示不等关系 一 提示　设识别精确度为x，则x≥90%. 请用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系. (1)某款聊天机器人在人机交互中的识别精确度不低于90%； 问题1 提示　x<y. (2)若小明的身高为x，小华的身高为y，小明比小华矮； 提示　设三角形的三条边为a，b，c， 则 (3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 提示　CD<CE. (4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短(如图，E是AB上不同于点D的任意一点). 常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 ____  ____  ____ ____ > < ≥ ≤ 知识梳理 (1)仔细审题，注意同一个题目的单位是否一致. (2)用适当的不等号连接. (3)多个不等关系用不等式组表示. 注 意 点 <<< 9 　京沪线上，复兴号列车的速度为350 km/h，该速度的2倍再加上100 km/h不超过民航飞机的最低时速，该速度超过了普通客车速度的3倍，请你用不等式表示这三种交通工具的速度关系. 例 1 设复兴号列车的速度、民航飞机的最低时速和普通客车的速度分别为v1，v2，v3. 则有 解 10 用不等式(组)表示不等关系的步骤 (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等. (2)适当地设未知数表示变量. (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式(组). 注意隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围. 反 思 感 悟 11 　用不等式或不等式组表示下面的不等关系. (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单位：m)从地面算起不能超过4 m； 跟踪训练 1 0<h≤4. 解 (2)实数a与b的和是非负实数； a+b≥0. 解 12 (3)如图，在一个面积小于350 m2的矩形场地中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L(单位：m)大于宽W(单位：m)的4倍. 解 13 二 作差法比较大小 提示　如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b. 在初中，我们知道数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 问题2 基本事实 依据 a>b⇔ ； a=b⇔ ； a<b⇔_______ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小 a-b>0 a-b=0 a-b<0 差 0 知识梳理 (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式. (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小. (3)对于某些问题也可以采用取中间值的方法比较大小. 注 意 点 <<< 17 　(课本例1)比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. 例 2 因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2>0， 所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4). 解 18 　(1)比较2x2+5x+3与x2+4x+2的大小. 例 2 (2x2+5x+3)-(x2+4x+2) =x2+x+1=. ∵≥0， ∴>0， ∴(2x2+5x+3)-(x2+4x+2)>0， ∴2x2+5x+3>x2+4x+2. 解 19 (2)已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小. 3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 由x≤1得x-1≤0，而3x2+1>0， ∴(3x2+1)(x-1)≤0，∴3x3≤3x2-x+1. 解 20 把本例(2)中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2-x+1的大小. 延伸探究 3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =(3x2+1)(x-1). ∵3x2+1>0， 当x>1时，x-1>0，∴3x3>3x2-x+1； 当x=1时，x-1=0，∴3x3=3x2-x+1； 当x<1时，x-1<0，∴3x3<3x2-x+1. 解 21 作差法比较两个实数大小的基本步骤 反 思 感 悟 22 (1)比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小. 跟踪训练 2 因为(x+3)(x+7)-(x+4)(x+6) =(x2+10x+21)-(x2+10x+24)=-3<0， 所以(x+3)(x+7)<(x+4)(x+6). 解 23 (2)若x∈R，试比较的大小关系. ∵≤0， ∴. 解 24 作差法证明不等式 三 (1)证明：∀a，b∈R，有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 例 3 显然，∀a，b∈R，有(a-b)2≥0， 即a2+b2-2ab≥0. 由两个实数大小关系的基本事实， 得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 证明 26 (2)已知x，y∈R，求证：x2+2y2≥2xy+2y-1. 由x2+2y2-(2xy+2y-1) =x2+2y2-2xy-2y+1 =(x2-2xy+y2)+(y2-2y+1) =(x-y)2+(y-1)2≥0， 当且仅当x=y=1时，等号成立， 所以x2+2y2≥2xy+2y-1. 证明 27 作差法是证明不等式的一种常用方法，一般要将不等式转化为两个式子差的形式，再通过恰当的等价变形来确定差的符号，从而证明原不等式成立. 反 思 感 悟 28 已知a>0，求证：a+≥2. 跟踪训练 3 ∵a+-2=()2+-2 =≥0， ∴a+≥2，当且仅当即a=1时，等号成立. 证明 29 1.知识清单： (1)用不等式(组)表示不等关系. (2)作差法比较大小. (3)作差法证明不等式. 2.方法归纳：作差法. 3.常见误区：实际问题中变量的实际意义. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于50 m，用不等式表示为 A.v≤120 km/h且d≥50 m B.v≤120 km/h或d≥50 m C.v≤120 km/h D.d≥50 m √ v的最大值为120 km/h， 即v≤120 km/h， 车间距d不得小于50 m，即d≥50 m. 解析 1 2 3 4 2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人满足的关系式是 A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200 C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200 √ 依题意，得50x+40y≤2 000， 即5x+4y≤200. 解析 1 2 3 4 3.设M=x2，N=-x-1，则M与N的大小关系是 A.M>N B.M=N C.M<N D.与x有关 √ ∵M-N=x2+x+1=>0，∴M>N. 解析 1 2 3 4 4.若实数a>b，则a2-ab　　ab-b2.(填“>”或“<”)  因为(a2-ab)-(ab-b2)=(a-b)2， a>b，所以(a-b)2>0，则a2-ab>ab-b2. 解析 > 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 BCD B C A B B A 499≤x≤501 题号 9 11 12 13 15 答案 x≥y B C C C 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -(a+b)= 因为a>0，b>0， 所以≥0， 当且仅当a=b时等号成立， 所以≥a+b. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=(m-n)m3-(m-n)n3 =(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)， 因为m≠n，所以(m-n)2>0， 又因为m2+mn+n2=≥0， 当且仅当m+=n=0，即m=n=0时取等号， 又m≠n，所以m2+mn+n2=>0，所以x-y>0，所以x>y. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)y1-y2= 因为a>b>1，所以(a-1)(b-1)>0，b-a<0， 当m>0时，y1-y2<0，即y1<y2； 当m=0时，y1-y2=0，即y1=y2； 当m<0时，y1-y2>0，即y1>y2. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设一件该商品最初的价格为a(a>0)， 则方案A经过两次降价后，价格变为a(1-m)(1-n)； 方案B经过两次降价后，价格变为a(1-n)(1-m)； 方案C经过两次降价后，价格变为a 显然方案A，B的降价幅度相同， 因为a-a(1-n)(1-m) 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =a =a(m-n)2， 又n≠m，所以(m-n)2>0，又a>0，则(m-n)2>0， 即a>a(1-n)(1-m)， 所以A=B<C. 基础巩固 1.(多选)下列说法正确的是 A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B.小明的体重x kg，小华的体重y kg，则小明比小华重表示为“x>y” C.某变量x至少为a可表示为“x≥a” D.某变量y不超过a可表示为“y≤a” √ 对于A，x应满足x≤2 000，故A错； B，C，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 2.一个工厂原来每天加工x件商品，经过工艺改进后该工厂每天加工的商品比原来多560件，且30天加工的商品将超过75 000件，这一关系可用不等式表示为 A.30x+560>75 000 B.30(x+560)>75 000 C.30x+560≥75 000 D.30(x+560)≥75 000 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得工艺改进后工厂每天加工的商品数为x+560，则该工厂30天加工的商品数为30(x+560)， 所以题中关系表示为30(x+560)>75 000. 解析 3.若a≠3，则M=a2-6a的值与-9的大小关系是 A.M=-9 B.M<-9 C.M>-9 D.不能确定 √ 由M-(-9)=a2-6a+9=(a-3)2， 因为a≠3，故(a-3)2>0，即得M>-9. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若x∈R，y∈R，则 A.x2+y2>2xy-1 B.x2+y2=2xy-1 C.x2+y2<2xy-1 D.x2+y2≤2xy-1 √ 因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1 =(x-y)2+1>0， 所以x2+y2>2xy-1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知0<a1<1，0<a2<1，记M=a1a2，N=a1+a2-1，则M与N的大小关系是 A.M<N B.M>N C.M=N D.M≥N √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵0<a1<1，0<a2<1， ∴-1<a1-1<0，-1<a2-1<0， ∴M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0， ∴M>N. 解析 6.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2+1≥2a，即a2+1-2a=(a-1)2≥0，∴当a=1时，等号成立. 解析 7.已知正有理数p满足p2<2，q=p-则p与q的大小关系为 A.p<q B.p>q C.p=q D.无法判断 因为p-q=p-p+ 而p2<2，p>0， 所以p2-2<0，p+2>0， 所以<0，即p<q. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 8.某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则该商品的重量用不等式表示为　　 　　. ∵某商品包装上标有重量500±1克， 若用x表示商品的重量，则-1≤x-500≤1， ∴499≤x≤501. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 499≤x≤501 9.已知a>0，b>0，若x=a2+3b2，y=2b(a+b)，则x与y的大小关系为　　　. x-y=a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0， 当且仅当a=b时，等号成立. 所以x≥y. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x≥y 10.若a>0，b>0，求证：≥a+b. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -(a+b)= 因为a>0，b>0， 所以≥0， 当且仅当a=b时等号成立， 所以≥a+b. 证明 11.足球赛期间，某球迷俱乐部一行56人从旅馆乘出租车到球场为中国队加油，现有A，B两个出租车队，A队比B队少3辆车.若全部安排乘A队的车，每辆车坐5人，车不够，每辆车坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆车坐4人，车不够，每辆车坐5人，有的车未坐满.则A队有出租车 A.11辆 B.10辆 C.9辆 D.8辆 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A队有出租车x辆， 则B队有出租车(x+3)辆，由题意得 解得 则<x<11.而x为正整数，故x=10. 解析 12.某校新生加入乒乓球协会的学生人数多于加入篮球协会的学生人数，加入篮球协会的学生人数多于加入足球协会的学生人数，加入足球协会学生人数的3倍多于加入乒乓球协会和加入篮球协会的学生人数之和，若该校新生每人只能加入其中一个协会，则该校新生中加入这三个协会的总人数至少为 A.9 B.12 C.15 D.18 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设加入乒乓球协会、篮球协会、足球协会的学生人数分别为a，b，c， 则又a，b，c∈N*，若c=1，则a+b≥3+2=5，不满足3c>a+b； 若c=2，则a+b≥4+3=7，不满足3c>a+b；若c=3，则a+b≥5+4=9，不满足3c>a+b；若c=4，则a+b≥6+5=11，满足3c>a+b，则加入这三个协会的总人数至少为6+5+4=15. 解析 13.矩形ABCD的一组邻边长为a，b-c，矩形EFGH的一组邻边长为b，a-c(a>b>c>0).按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1与S2的大小关系为 A.S1>S2 B.S1=S2 C.S1<S2 D.不能确定 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设空白处面积为S， 则S1=a(b-c)-S，S2=b(a-c)-S， 又c>0，且b-a<0， 所以S1-S2=a(b-c)-S-b(a-c)+S =ab-ac-ab+bc=c(b-a)<0， 所以S1<S2. 解析 14.(1)设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，比较x与y的大小； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x-y=(m4-m3n)-(n3m-n4)=(m-n)m3-(m-n)n3 =(m-n)(m3-n3)=(m-n)2(m2+mn+n2)， 因为m≠n，所以(m-n)2>0， 又因为m2+mn+n2=≥0， 当且仅当m+=n=0，即m=n=0时取等号， 又m≠n，所以m2+mn+n2=>0，所以x-y>0，所以x>y. 解 (2)已知m∈R，a>b>1，函数y=当x=a时，y1=当x=b时，y2= 试比较y1与y2的大小. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y1-y2= 因为a>b>1，所以(a-1)(b-1)>0，b-a<0， 当m>0时，y1-y2<0，即y1<y2； 当m=0时，y1-y2=0，即y1=y2； 当m<0时，y1-y2>0，即y1>y2. 解 15.甲、乙两人两次购买同一种文娱用品时，甲不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；乙不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.假设所购物品的价格发生波动，则 A.两位中省钱小能手是甲 B.两位中谁是省钱小能手与价格升降有关 C.两位中省钱小能手是乙 D.两位中谁是省钱小能手与购买数量有关 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设第一次购买一件物品的价格为p1，第二次购买一件物品的价格为p2，则p1≠p2，设甲单次购买物品的数量为n， 则甲两次所购物品的平均价格为. 设乙单次购买物品所花的钱数为m，则乙第一次购买物品的数量为第二次购买物品的数量为 则乙两次所购物品的平均价格为. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为≥0， 但p1≠p2，故等号不能取到，所以甲两次所购物品的平均价格大于乙两次所购物品的平均价格，故乙是省钱小能手. 解析 16.某网店的最新商品计划分两次降价促销，有三种方案： A：第一次降价的百分率为m，第二次降价的百分率为n. B：第一次降价的百分率为n，第二次降价的百分率为m. C：第一次降价的百分率为第二次降价的百分率为. 其中0%<n<m<100%. 求出三种方案经过两次降价后的价格并将方案A，B，C按其最终价格从小到大排列. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设一件该商品最初的价格为a(a>0)， 则方案A经过两次降价后，价格变为a(1-m)(1-n)； 方案B经过两次降价后，价格变为a(1-n)(1-m)； 方案C经过两次降价后，价格变为a 显然方案A，B的降价幅度相同， 因为a-a(1-n)(1-m) =a 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 =a(m-n)2， 又n≠m，所以(m-n)2>0，又a>0，则(m-n)2>0， 即a>a(1-n)(1-m)， 所以A=B<C. 解 第二章　§2.1　等式性质与不等式性质 <<< $