第1章 特殊平行四边形 达标卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为九年级上册北师大版特殊平行四边形单元达标卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层次设计，覆盖菱形、矩形、正方形性质与判定，融合折叠、动点等几何情境，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|菱形面积计算、矩形判定、正方形性质|第7题结合函数图像分析菱形动点面积，体现数学眼光| |填空题|6题|折叠问题、勾股定理应用|第16题菱形中动点最值问题，培养空间观念| |解答题|5题|性质证明、综合计算、探究推理|第21题正方形动点探究，融合推理意识与创新应用，适配中考命题趋势|

第1章特殊平行四边形达标卷-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（新教材） 一、单选题 1．在菱形中，对角线与交于点，若，，则的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（     ） A． B． C． D． 3．下列命题中是假命题的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．一组邻边相等的矩形是正方形 D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形 4．如图，菱形中，对角线，相交于点，若，，则的长是（     ） A．16 B．14 C．8 D．6 5．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，顶点的坐标是，则顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 7．如图1，在菱形中，对角线，相交于点，动点由点出发，沿向点运动．设点的运动路程为，的面积为，与之间的关系如图2所示，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，，点为边上的一个动点，把沿折叠，当点的对应点刚好落在矩形的对称轴上时，则的长为（   ）． A． B． C．或 D．或 9．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．若正方形的面积是4，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积都是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．如图，在长方形中，，在上存在一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上的点处，若，那么长为_______． 12．如图，在菱形中，交于点O，，于点E，则的长为______． 13．如图，在矩形中，，．现将该矩形沿折叠，使点A、C重合，则重叠部分的面积是______． 14．如图，中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，．过，两点作直线，分别交，于点，，连接．若，则_________． 15．如图，在矩形中，F是边上一点，将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 16．如图，菱形的边长为，，、分别是、上的两个动点，则的最小值为__________ 三、解答题 17．四边形是菱形，对角线相交于点O，且，求菱形的面积． 18．如图，某学校有一块形状为矩形的空地，米，米，现要在矩形空地中修建两个长为米，宽为米的矩形花坛（阴影部分）． (1)矩形空地的周长为______米；（结果化为最简二次根式） (2)除去修建花坛的地方，学校计划在其他地方铺上地砖，若铺地砖的造价为元/平方米，则铺完地砖需要花费多少元？ 19．如图，四边形中，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接与交于点O，过点D作交的延长线于E点，连接，若，，求的长． 20．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与相交于点F，求的长； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 21．在正方形中，对角线与相交于点，点是线段上的动点．    (1)如图1，若平分． ①求证：． ②若，求的长． (2)如图2，延长交于点，连接．当时，探究与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D A C A C D D A 1．A 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，即可计算得到的面积． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，，. ∵，， ∴，. ∴． 2．A 【分析】明确基础图形是平行四边形，需回忆平行四边形判定为矩形的定理，包括对角线相关、内角相关的判定条件。逐一分析各选项对应的几何性质，结合判定定理匹配符合要求的选项． 【详解】解：选项A：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中对角线，满足条件，可以判定它是矩形，该选项正确． 选项B：邻边相等（）的平行四边形是菱形，不能判定是矩形，该选项错误． 选项C：平行四边形本身就具有对边平行的性质，本来就是平行四边形的已有性质，无法判定它是矩形，该选项错误． 选项D：对角线互相垂直（）的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项错误． 3．D 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意； C、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意； D、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，是假命题，符合题意； 4．A 【分析】先根据菱形的对角线互相垂直平分求出的长度，再在中利用勾股定理求出，最后根据对角线互相平分得到的长． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．C 【分析】先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：两小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形的边长为． 6．A 【分析】由点的坐标利用两点间距离公式求出的长，再根据菱形的性质得出的长及与轴平行，进而求出点的坐标． 【详解】解：点的坐标是，点的坐标是， ， 四边形是菱形， ，， 点在轴上， 轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 又点在点的右侧， 点的横坐标为， 点的坐标是． 7．C 【分析】根据函数图象可知，当点运动到点时，路程，面积为，从而求出菱形的边长；当点运动到点时，的面积最大，为，即；利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理和完全平方公式求出的值，进而求得的长． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，，，， 由图2可知，当时，，此时点运动到点， ∴， ∴，解得； 当点运动到点时，的面积最大，为， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8．D 【分析】矩形有两条对称轴，因此分两种情况讨论；利用折叠性质得到，，再借助勾股定理列方程求出的长度． 【详解】解：设，由折叠性质得：，． 矩形的对称轴分为两种情况： 情况一：落在竖直对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时， 在中： ， ， 又， 在中，由勾股定理：， ， 解得：． 情况二：落在水平对称轴上，过点作于，交于，如图，平分、， ， 此时． 在中：， ， 在中：， ， 解得：． 综上：或． 9．D 【分析】首先根据勾股定理逆定理判定是直角三角形，再根据矩形的判定和性质得出，最后根据垂线段最短得出当时最短，利用面积法求出的最小值即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 是直角三角形，且， ， ， 四边形是矩形， ． 为中点， ． 根据垂线段最短可知，当时，最短，此时也最小， 此时， ， 的最小值为． 10．A 【分析】过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，如图所示： ∵四边形和是正方形，且正方形的面积是4， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形的面积， ∵， ∴两个正方形重叠部分的面积等于． 11．/ 【分析】由折叠的性质，得，然后求出，则求出的长度，再根据勾股定理建立方程，求出即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， 由折叠的性质，得， ∵， ∴， 又， 在中，， ， 解得， ． 12． 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理求出对角线的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，为的中点， ∴． 13． / 【分析】设，根据折叠性质表示出，在中利用勾股定理列方程求出，进而得到的长. 根据折叠性质和平行线性质证明为等腰三角形，得到，最后利用三角形面积公式求解； 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可知，， 在中，由勾股定理，得，即，解得， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ． 14． 【分析】连接，由作图可得是的垂直平分线，则点F是的中点，．根据直角三角形斜边上中线的性质得到，由勾股定理求出，，在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接， 由作图可得是的垂直平分线， ∴点F是的中点，， ∵，， ∴， ∴在中，． 设，则， ∵在中，， ∴， 解得 ∴． 15． 【分析】先证出，然后在中，利用勾股定理，列方程即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将沿翻折，点C的对应点恰好落在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得． 16． 【分析】连接、、，作于点，由菱形的性质容易证明，则，因此．由线段公理可得，当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值．容易证明是等边三角形，则，使用勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、、，作于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴当、、三点共线，且（即点与点重合）时，取得最小值， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， 由勾股定理可得，， ∴的最小值为． 17． 【分析】由题意易得，，，然后利用含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得，即，再根据菱形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1) (2)元 【分析】（1）根据矩形的周长公式即可求出矩形空地的周长； （2）首先根据矩形的面积公式求出需要铺地砖的面积，再根据费用铺地砖的面积地砖的造价求出需要的费用． 【详解】（1）解：矩形空地的周长为： ； （2）解：根据题意得： （平方米）， 铺完地砖需要花费（元）， 答：铺完地砖需要花费元． 19．(1)证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； (2)8 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，得到，则可证明平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到点O为的中点，则由直角三角形的性质得到，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴点O为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)的长为 (2)四边形是等腰梯形，理由如下： 由翻折可得，， 由(1)知， 故，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是等腰梯形； (3) 【分析】（1）先由折叠的性质和平行线的性质得出，再设，则，根据勾股定理即可求解； （2）通过折叠的性质和矩形对边相等的性质，得到，再利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，由折叠的性质，确定被垂直平分，可得，，由（1）可得，即可判断四边形为菱形，通过勾股定理求得和的长，最后通过菱形的面积求解即可． 【详解】（1）解∶由折叠可知，， 又∵， ∴， ∴，故， 又∵，， 设，则， 在中，由勾股定理可得 解得 即的长为 （2）略 （3）解：如图1所示，连接，则被垂直平分，故，， 又由(1)中同理可证， 故，即四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， 解得 由勾股定理可得， 根据菱形的面积可得 ， ∴ ． 21．(1)①证明：四边形是正方形， ， 平分， ， ，， ， ； ②； (2)， 理由：取的中点，连接，，   四边形是正方形， ，， 为的中点， 为的中位线， ，， 在中，， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， ， ． 【分析】（1）①由正方形的性质证出，由角平分线的性质得出，则可得出结论；②过点作于点，由等腰直角三角形的性质及角平分线的性质可得出结论； （2）取的中点，连接，，由三角形中位线定理得出，，证明四边形为平行四边形，由平行四边形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）①略； ②过点作于点，   ，， ， ， ， ， 平分，，， ； （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $