5.1&5.2&5.4平行四边形的性质与判定（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

**基本信息** 本同步练习以平行四边形与梯形为核心，通过基础概念辨析、性质应用推理、综合问题解决三层设计，构建从单一知识点到跨情境应用的巩固路径，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|梯形定义、平行四边形判定条件|选择/判断/填空结合，强化概念辨析（如梯形定义的多选项判断）| |提升层|等腰梯形性质、平行四边形性质计算|几何计算与简单推理结合（如等腰梯形面积计算、对角线关系应用）| |综合层|性质与判定综合、实际问题应用|证明题与情境题结合（如三点构平行四边形、测量距离方案设计）|

平行四边形的性质与判定（含梯形） 题型一   梯形的定义 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】 平行 不平行 题型二   等腰梯形的性质 1．【答案】A 2．【答案】A 3．【答案】 4．【答案】 5．【答案】10 6．【答案】130 7． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分别过点作的垂线，垂足分别为点，则，由等腰三角形性质可得，然后通过直角三角形性质得出，最后由周长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为点，则， ∵梯形是等腰梯形，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴梯形的周长． 8． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是根据梯形性质解决问题，根据梯形的定义，把一个下底是上底的2倍的梯形四等分即可． 【详解】解：如下图所示，梯形、梯形、梯形、梯形即为所求作． 9． 【答案】梯形的面积是25． 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是根据等腰梯形的性质得出全等，再求出高即可． 【详解】解：过点D作的平行线交的延长线于点E，过点D作于H． ， ， 四边形ACED是平行四边形， ，， ， ． 四边形是等腰梯形，， ， ， ， ， ， ， ，， ． ． 答：梯形的面积是25． 题型三   添加一个条件成为平行四边形 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 5．【答案】（答案不唯一） 6．【答案】（答案不唯一） 7．【答案】（答案不唯一） 8．【答案】（答案不唯一） 题型四   求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】或或 5． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定及作图能力，解题的关键是数形结合． （1）由勾股定理的逆定理进行证明； （2）根据由平行四边形的判定画图即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； （2）如图所示，即为所求． 6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 题型五   数图中平行四边形的个数 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】4 5．【答案】 题型六   判断能否构成平行四边形 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】D 题型一   利用平行四边形的性质求解 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】24 4．【答案】 5．【答案】18 6．【答案】20 7． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围； （2）由平行四边形的性质求得，再根据三角形的三边关系定理得到的取值范围． 【详解】（1）解：在中，， 即． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即． （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，． 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解，掌握以上知识点是解题的关键． 题型二   利用平行四边形的性质证明 1．【答案】D 2． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与三角形全等的判定，掌握利用平行四边形的性质得到全等条件，通过三角形全等证明线段相等是解题的关键． 要证明，可通过证明包含这两条线段的三角形全等来实现，先利用平行四边形的性质得到三角形全等的条件，再结合已知条件，用判定三角形全等，从而推出对应边相等． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中： ∴， ∴． 3． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点、分别是、上的中点， ∴，， ∴， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴． 4． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．又由平行四边形的性质得到，证明，则，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 6． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明，得到，再由平行四边形的对边相等得到，即可得证结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 8． 【答案】见解析 【分析】由，得，由是的中点，得，即可通过证明，根据全等三角形的性质得到，结合，得到，则可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得到结论． 【详解】证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 题型三   平行四边形性质的其他应用 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】B 5． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； （2）当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 6． 【答案】见解析 【分析】方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分，据此即可画图． 【详解】解：方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分； 据此即可画图， 如图所示：   【点睛】此题主要考查图形的划分，关键是明确有关于平行四边形的特征和它的对角线的性质． 题型四   证明四边形是平行四边形 1．【答案】D 2． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ， 即． 又， ∴四边形为平行四边形． 3． 【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见解析 【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】，，，， ， 即， 解得， ∴，，， ，， ∴四边形ABCD是平行四边形． 4． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【详解】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 5． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，继而证明，得到，则四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】证明：， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 6． 【答案】四边形为平行四边形．理由见解析. 【分析】先利用已知的边和角，通过判定三角形全等，得到对应边相等；再结合题目中已有的边相等条件，依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判断四边形的形状． 【详解】解：四边形为平行四边形．理由如下： 在和中： ， ． ， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与平行四边形的判定，掌握利用证明三角形全等得到对应边相等，及两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理是解题的关键． 7． 【答案】见解析 【分析】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的对边平行性质，及利用等角的补角相等推出对角相等，进而判定平行四边形是解题的关键． 8． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是解题关键． 题型五   平行四边形的性质与判定综合运用 1．【答案】1 2． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 3． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． （1）根据得出，则，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为． 5． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证得； （2）由（1）的结论和中点的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，进而得到，由此可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，． 在和中， ． （2）证明：由（1）得， ，． 又，分别是，的中点， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 6． 【答案】(1)与互相平分，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）由四边形为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可判定； （2）首先连接，，，，然后通过证明三角形全等，得到四边形的两组对边分别相等，证得四边形为平行四边形，则与相互平分． 【详解】（1）解：四点出发前，与互相平分．理由如下： 如图①，设对角线与相交于点． 四边形是平行四边形， ，，即与互相平分． （2）解：（1）中的结论还成立．理由如下： 如图②，连接，，，． 四边形是平行四边形， ，，，． 由题意，得，， ，． 在和中， ， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解决本题的关键． 7． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再证明即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． （2）利用平行四边形的性质求面积即可． 本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的面积，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：为平行四边形， ，． ， ． ∴四边形是平行四边形． （2）解：当E为中点时，的面积的面积． ， 的面积的面积． ， 的面积的面积， 的面积的面积． ∴四边形的面积． 9． 【答案】(1)见解析 (2)与互相平分 【分析】（1）根据中点的定义求出，根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求证即可； （2）根据全等三角形的性质求出，，则，再根据平行四边形的判定与性质求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分， 故答案为：与互相平分． 10． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理； （1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）证明，可得，在中，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， 在中，． 11． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 12． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题． 【详解】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示： 则四边形均为平行四边形， ， ，则即为所求． 13． 【答案】说法正确，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可． 【详解】解：正确． 理由：过点作，交于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型六   全等三角形拼平行四边形问题 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】3 题型七   平行线间的距离 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】7或17 5． 【答案】图形见解析；或 【分析】本题主要考查了平行线间的距离．分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：当直线在直线，之外时，如图1， 直线，之间的距离为； 当直线在直线，之间时，如图2， 直线，之间的距离为． 综上，直线，之间的距离是或． 6． 【答案】(1)点到的距离是 (2)点到地面的距离为 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）过点作于点，证明，得到，即可； （2）根据，得到，过点作于点，得到，即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为F． ，， 在中，． 又， 在和中， ． ． 由题意，知，，， ， ，即点到的距离是． （2）解：如图所示，过点作，垂足为． 由（1），知 由题意，知，， ， 即点到地面的距离是． 7． 【答案】直线，之间的距离是或 【分析】本题考查了平行线间的距离．分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：当直线在直线，之间时，如图1， 直线，之间的距离为； 当直线在直线，外部时，如图2， 直线，之间的距离为． 综上，直线，之间的距离是或． 8． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 9． 【答案】见解析 【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等． 【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点． ， ． ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键． 题型一   平行四边形综合问题 1．【答案】D 2． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明， 推出， 由， 推出，即可解决问题； （2）如图中， 由题意可知， 设，则， 推出， 计算出的值即可； （3）如图中， 在上截取， 则，证明四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， E， ， ； （2）如图中， 是等腰三角形，， ， 设，则， ， ， （3）如图中， 在上截取， 则， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会添加常用辅助线构造全等三角形． 3． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②，证明见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由平行四边形性质证明可得，再结合即可证明结论； （2）①由（1）得，如图：延长和且交于点，由平行四边形的性质可得，由折叠的性质可得，进而证明结论；②如图：过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：①证明：由（1）得， 如图：延长和且交于点， 四边形是平行四边形， ， ． 由折叠可知， ， ， ． ②解：，证明如下： 如图：过点作，交于点， ． 由折叠可知． ， ， ， ， ． 由（1）可知， ， ， 四边形是平行四边形， ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形的性质与判定（含梯形） 题型一   梯形的定义 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 2．（2025·上海·模拟预测）若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25七年级上·江西上饶·开学考试）有一组对边平行的四边形是梯形．( ) 5．（22-23七年级上·宁夏固原·开学考试）长方形是特殊的梯形．        ( ) 6．（25-26九年级上·全国·期中）梯形的一组对边 ，另一组对边 ． 题型二   等腰梯形的性质 1．（2024八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 3．（24-25八年级下·上海·月考）在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 4．（24-25八年级下·上海·月考）等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为 ． 5．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 6．（23-24八年级下·上海·期末）在等腰梯形中，已知，，那么 ． 7．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在等腰梯形 中，，，，，．求梯形 的周长． 8．（23-24六年级下·新疆乌鲁木齐·自主招生）一个等腰梯形的下底是上底的2倍，把它分成4个面积相等，形状相同的梯形，请动手试一试． 9．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 题型三   添加一个条件成为平行四边形 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在四边形ABCD中，．添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件： ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 6．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 7．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是 8．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形． 题型四   求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（20-21八年级下·江苏无锡·期末）以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 5．（24-25八年级下·山东德州·月考）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由． (2)在网格中画出； 6．（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 题型五   数图中平行四边形的个数 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 3．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 4．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 5．（23-24八年级下·黑龙江绥化·月考）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 题型六   判断能否构成平行四边形 1．（25-26八年级上·上海·月考）根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 2．（24-25九年级下·内蒙古包头·自主招生）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方向，最后到达的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 4．（25-26八年级上·山东济南·月考）已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 6．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 题型一   利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为 ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，MN和BD交于点O且互相平分．若，，则四边形MNCD的周长为 ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为 cm． 7．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O． (1)若，，求OA的取值范围． (2)若，，求AB的取值范围． 题型二   利用平行四边形的性质证明 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，E，F分别是的边AB，CD上的点．已知，求证：． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 5．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 6．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 7．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 题型三   平行四边形性质的其他应用 1．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）对于任意给定的，其所在平面上的点P满足，，的面积相等，则这样的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 2．（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 3．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·重庆·期中）如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 5．（24-25八年级上·河南南阳·月考）如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 6．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      题型四   证明四边形是平行四边形 1．（25-26八年级下·全国·周测）已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，四边形的对角线与交于点O，若，，求证：四边形是平行四边形． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，，，，且．试判断四边形的形状，并说明理由． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 题型五   平行四边形的性质与判定综合运用 1．（20-21七年级上·广西桂林·月考）如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为 ． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 4．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，四边形是平行四边形，点从点运动到点的速度与点从点运动到点的速度相同，点从点运动到点的速度与点从点运动到点的速度相同，连接，． (1)四点出发前，与是否互相平分？请说明理由． (2)若四点同时出发且均没到终点，则（1）中的结论还成立吗？为什么？ 7．（25-26八年级上·山东泰安·月考）已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 8．（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形的对角线交于O，，连接． (1)求证四边形是平行四边形； (2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积． 9．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，是的中点，，． (1)求证：； (2)连接，则与的关系是 ． 10．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 11．（24-25八年级下·广东佛山·期末）【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 题型六   全等三角形拼平行四边形问题 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 4．（22-23八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 题型七   平行线间的距离 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 2．（23-24八年级下·全国·期中）已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，已知直线，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是．请画出图形，并求出直线a与c之间的距离． 6．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图2是小枫荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．小枫在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，若．求： (1)点到的距离． (2)点到地面的距离． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，已知，，若直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，则直线，之间的距离是多少？ 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 题型一   平行四边形综合问题 1．（25-26九年级上·广东深圳·周测）如图，在中，，是边上的高，点E在线段上，，且，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图是等边三角形，分别是延长线上的点，且，连，直线交于点． (1)求的度数； (2)作于，则时，为等腰三角形，求出的值； (3)若在上，，连，作，，连接交于，则的值为___________． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是的对角线，是经过的中点的直线，且与分别交于点． (1)连接，如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交于点． ①如图2，求证：； ②连接，如图3，判断和之间位置的关系并加以证明． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 平行四边形的性质与判定（含梯形） 题型一   梯形的定义 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列说法中，符合梯形定义的是（    ） A．有一组对边平行的四边形是梯形 B．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形 C．有两组对边平行的四边形是梯形 D．只有一组对边平行的四边形是梯形 【答案】D 【分析】本题考查了梯形定义，熟练掌握梯形的特征是解题的关键． 根据梯形的定义：梯形是只有一组对边平行的四边形，进行判断即可. 【详解】解：A、因为有一组对边平行的四边形可能为平行四边形（两组对边平行），不一定是梯形，该选项说法错误，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，也可能是平行四边形，该描述不是梯形的定义，且当其为平行四边形时，不符合梯形只有一组对边平行的特点，故该选项说法错误，不符合题意； C、因为有两组对边平行的四边形是平行四边形，不是梯形，该选项说法错误，不符合题意； D、只有一组对边平行的四边形是梯形，符合梯形定义，符合题意. 故选：D． 2．（2025·上海·模拟预测）若以长度分别为、、、的四条线段为边作梯形，则这样的梯形（ ） A．能作个 B．能作个 C．能作个 D．不能作 【答案】B 【分析】本题考查了梯形的定义，平行四边形的判定与性质，三角形的三边关系． 过梯形一个底的顶点作腰的平行线与另一个底相交，则可得该梯形被分割为一个平行四边形和一个三角形，再根据平行四边形的对边相等，以及三角形的三边关系判断该三角形是否成立即可． 【详解】解：可以作两个梯形 以为上底，为下底，和为腰， 以为上底，为下底，和为腰． 故选B． 3．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，找一点D，使是一个梯形．D点共有（   ）种不同的选法． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查梯形． 根据梯形的定义，确定点的位置即可． 【详解】解：若，且，则点可以位于、、的位置， 若，且，则点可以位于、的位置， ∴点共有种不同的选法． 故选：D． 4．（24-25七年级上·江西上饶·开学考试）有一组对边平行的四边形是梯形．( ) 【答案】 【分析】此题考查了梯形的判定，根据梯形的判定定理求解即可． 【详解】解：有一组对边平行，且另一组对边不平行的四边形是梯形，故原说法错误． 故答案为：． 5．（22-23七年级上·宁夏固原·开学考试）长方形是特殊的梯形．        ( ) 【答案】 【分析】本题考查长方形，根据长方形是特殊的平行四边形，判断即可． 【详解】解：长方形是特殊的平行四边形，不是特殊的梯形， 故． 6．（25-26九年级上·全国·期中）梯形的一组对边 ，另一组对边 ． 【答案】 平行 不平行 【分析】本题考查了梯形的定义，就是只有一组对边平行的四边形是梯形． 根据梯形的定义，梯形是只有一组对边平行的四边形，因此一组对边互相平行，另一组对边不平行． 【详解】解：梯形是指一组对边互相平行，另一组对边不平行的四边形． 故答案为：平行；不平行． 题型二   等腰梯形的性质 1．（2024八年级下·上海·专题练习）已知等腰梯形的下底长为，一底角为，一条对角线恰好与一腰垂直，则此梯形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查等腰梯形的性质、面积计算和直角三角形的性质等知识点的理解及运用．如图，根据已知可求得，，及，的长，再根据已知求得，的长，根据梯形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，由题意易得，，   ，， 根据勾股定理可得， 根据三角形的面积可求得上的高为， 又∵， ， ， ， 则此梯形的面积等于． 故选：A． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·期末）如图，在等腰梯形中，，连接，，且，设，．下列两个说法：①；②，则下列说法正确的是（ ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】A 【分析】本题考查梯形中求线段长，平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键. 过作, 交延长线于，根据梯形为等腰梯形，可得，即可得到,根据等腰直角三角形性质即可求出长，然后根据从而得到答案. 【详解】过作, 交延长线于, 如图所示:、 ∵, ∴四边形是平行四边形, ∴, , ∵是等腰梯形， ∴, ∵, ∴, ∴, 即, ∵, ∴, 在中,, ∴, ，此时①正确； 由， ∴， ∴，故②错误； 故选A 3．（24-25八年级下·上海·月考）在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是 【答案】 【分析】此题考查了等腰梯形的性质．首先设与交于点，由四边形是等腰梯形，，可求得的长，又由，即可求得答案． 【详解】解：设与交于点， 四边形是等腰梯形， ， ， ， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·上海·月考）等腰梯形的上下底边长分别为2和6，其两条对角线互相垂直，则这个等腰梯形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题需要先画图，考查了等腰梯形的轴对称性，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先画图，过点作梯形对称轴，交于，交于，，，然后求得，，，然后即可求解； 【详解】解：过点作梯形对称轴，交于，交于，，，如图： 根据等腰梯形的对称性可知，，， 又∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，，， ∴． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·上海·期中）如图，在等腰梯形中，，是中位线，且，，平分，的长为 cm． 【答案】10 【分析】本题考查了梯形中位线的性质，解题关键是明确梯形中位线的性质，再根据角平分线得出，再根据30度角所对直角边等于斜边一半得出，然后利用即可求解． 【详解】解：在等腰梯形中，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是中位线，且， ∴， 即， ， 故答案为：10． 6．（23-24八年级下·上海·期末）在等腰梯形中，已知，，那么 ． 【答案】130 【分析】本题考查了等腰梯形的性质．由，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由四边形等腰梯形，即可求得的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴． 故答案为：130． 7．（25-26九年级上·全国·期中）如图，在等腰梯形 中，，，，，．求梯形 的周长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分别过点作的垂线，垂足分别为点，则，由等腰三角形性质可得，然后通过直角三角形性质得出，最后由周长公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：分别过点作的垂线，垂足分别为点，则， ∵梯形是等腰梯形，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴梯形的周长． 8．（23-24六年级下·新疆乌鲁木齐·自主招生）一个等腰梯形的下底是上底的2倍，把它分成4个面积相等，形状相同的梯形，请动手试一试． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是根据梯形性质解决问题，根据梯形的定义，把一个下底是上底的2倍的梯形四等分即可． 【详解】解：如下图所示，梯形、梯形、梯形、梯形即为所求作． 9．（24-25八年级下·上海·期中）如图，已知等腰梯形ABCD中，，，，，，求梯形的面积． 【答案】梯形的面积是25． 【分析】本题考查了等腰梯形的性质，解题关键是根据等腰梯形的性质得出全等，再求出高即可． 【详解】解：过点D作的平行线交的延长线于点E，过点D作于H． ， ， 四边形ACED是平行四边形， ，， ， ． 四边形是等腰梯形，， ， ， ， ， ， ， ，， ． ． 答：梯形的面积是25． 题型三   添加一个条件成为平行四边形 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在四边形ABCD中，．添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，以及区分等腰梯形与平行四边形的特征是解题的关键． 已知，需结合平行四边形的判定定理，逐一分析每个选项是否能确定四边形为平行四边形． 【详解】解：A、，此条件可能构成等腰梯形，不符合题意； B、，等腰梯形也满足对角线相等，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、，且，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，则四边形是平行四边形，符合题意； D、，仅涉及一组邻边相等，不涉及对边关系，不能判定为平行四边形，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在四边形中，，对角线和交于点，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，三角形全等的判定，平行线的性质，掌握平行四边形的判定条件是解题关键． 根据平行四边形的判定定理对选项依次判断即可． 【详解】解：已知，要使四边形为平行四边形， 选项：仅且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：且，四边形可能是等腰梯形，无法判定为平行四边形，故 错误； 选项：平行四边形要求对角线互相平分，仅不满足，故错误； 选项：， ， 在和中， , ， ， 四边形为平行四边形． 故正确． 故选：． 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 4．（24-25八年级上·北京·期末）如图，平行四边形的对角线交于点O，E，F是对角线上两点，添加一个能判定四边形是平行四边形的条件： ． 【答案】E，F分别是，的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 首先由平行四边形得到，，然后结合中点性质得到，即可判定四边形是平行四边形． 【详解】添加的条件：E，F分别是，的中点 证明：四边形是平行四边形， ，， 、F分别是、的中点， ，， ， 四边形是平行四边形． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，相交于点，点，在对角线上，且，．要使四边形为平行四边形，则应添加的条件是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可添加，可证明，结合即可证明四边形为平行四边形． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）． 理由如下：，， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形，符合题意． 故答案为：（答案不唯一）． 6．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭地·月考）如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是 ，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）如图，在四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使四边形是平行四边形，则需添加的一个条件是 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或两组对边分别平行的四边形是平行四边形求解即可． 【详解】解：添加条件或等， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 添加条件证明如下： ∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，在四边形中，已知，在不添加辅助线的情况下，请你再添加一个条件 （写出一个即可），则四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，准确理解题意是解题的关键． 根据已知条件，可根据一组对边平行且相等或两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可； 【详解】， 当时，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断；或当时，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断； 故答案是：（答案不唯一）． 题型四   求与已知三点组成平行四边形的点的个数 1．（2024·湖南娄底·模拟预测）在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 2．（20-21八年级下·江苏无锡·期末）以不共线的三点为平行四边形的其中三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．做题时需要分类讨论，以防漏解．如图，三点不共线，连接、、，分别以其中一条线段为对角线，另两边为平行四边形的边，可构成三个不同的平行四边形． 【详解】解：如图，三点不共线，连接、、， 分别以、、为平行四边形的对角线，另外两边为边， 可构成的平行四边形有三个：，，； 综上所述，可以作3个平行四边形， 故选：B． 3．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·月考）在平面直角坐标系中，已知点、、，若以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．分三种情况：①和为对角线时，②和为对角线时，③和为对角线时，设点的坐标为，利用平行四边形两对角线互相平分结合中点公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为， 分三种情况：①和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ②和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； ③和为对角线时， 得， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，点C的坐标可能是或或，不可能是． 故选：D． 4．（21-22七年级下·湖北荆州·期末）在平面直角坐标系中，已知以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形，其中，，，则点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，平面直角坐标系点的特征，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 利用平行四边形的判定作出图象求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，已知，，，可作图如下： ∵四边形是平行四边形， 当，， ∴在点的基础上向左和向右平移两个单位即可得到和 ∴；； 当时，点向下平移1个单位向左平移1个单位可得到点， ∴在点的基础上向下平移1个单位并向左平移1个单位可得到点； 故答案为：或或． 5．（24-25八年级下·山东德州·月考）如图，在由边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)判断的形状，并说明理由． (2)在网格中画出； 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的判定及作图能力，解题的关键是数形结合． （1）由勾股定理的逆定理进行证明； （2）根据由平行四边形的判定画图即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ，，， ， 是直角三角形； （2）如图所示，即为所求． 6．（23-24八年级下·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法． (1)在图①中以为边画一个面积为2的平行四边形． (2)在图②中以为边画一个面积为3的平行四边形（菱形除外）． (3)在图③中以为边画一个面积为5的平行四边形（正方形除外）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定以及网格作图等知识，掌握正方形的判定是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的判定进行画图即可； （2）根据平行四边形的判定进行画图即可； （3）根据平行四边形的判定进行画图即可． 【详解】（1）解：如图：平行四边形即为所求． （2）解：如图：平行四边形即为所求． （3）解：如图：平行四边形即为所求． 题型五   数图中平行四边形的个数 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知，，，则图中的平行四边形有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据平行条件逐一判定平行四边形的方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理，结合已知的平行线关系来确定图中的平行四边形． 【详解】解：， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上，图中共有个平行四边形． 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在平行四边形中，相交于点，图中共有（　　）个平行四边形． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定； 首先根据已知条件找出图中的平行线段，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，来判断图中平行四边形的个数． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴ ∴平行四边形有：、、、、、、、；；共个． 故选：C． 3．（25-26七年级上·辽宁营口·期中）如图，每一图中有若干个大小不同的平行四边形，第1幅图中有1个平行四边形，第2幅图中有3个平行四边形，第3幅图中有5个平行四边形，则第100幅图中有平行四边形的个数是（   ） A．200 B．201 C．199 D．198 【答案】C 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题中信息找出规律，得到第n幅图的通式是解题关键． 根据后一幅图比前一幅图多出2个平行四边形，求出第n幅图中的平行四边形个数的通式，再代入100即可求出答案． 【详解】解：第1幅图中有1个， 第2幅图中有3个， 第3幅图中有5个， 第4幅图中有7个， 则第n幅图中有个， ∴第100幅图中共有：， 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 5．（23-24八年级下·黑龙江绥化·月考）根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 题型六   判断能否构成平行四边形 1．（25-26八年级上·上海·月考）根据下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．一组对边平行且相等的四边形 B．一组对边相等一组对角是直角的四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线互相平分的四边形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定条件；根据初中数学教材，平行四边形的判定包括：一组对边平行且相等、两组对边分别相等、对角线互相平分等；选项A和D是标准判定条件，能判定平行四边形；选项B通过推导可知能判定；选项C对角线相等不能判定平行四边形，如等腰梯形. 【详解】解：A. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； B. 一组对边相等且一组对角是直角的四边形：连接对角线，利用勾股定理可证另一组对边相等，从而判定平行四边形； C. 对角线相等的四边形不能判定平行四边形，如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形； D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 故选：C. 2．（24-25九年级下·内蒙古包头·自主招生）如图入口进入，沿框内问题的正确判断方向，最后到达的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，全等三角形的判定，平行四边形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．逐个判断命题的真假，假命题要举出反例，最后得出结论即可． 【详解】解：“有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等”是假命题， 如图，和，如果这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时， 满足， 但与不全等； ∴“有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等”是假命题； “一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题， 如图，等腰，在底边上取一点D（非中点），使得； 再以点A为圆心、为半径画弧，以点D为圆心、为半径画弧，两弧交于点E； 连接，得到四边形． 由作法可知，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时四边形中，一组对角相等（），一组对边相等（）， 但四边形不是平行四边形，故“一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形”是假命题． 综合以上到达的是丁， 故选：D 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即需满足且，由此即可得到结论. 【详解】解：A、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； B、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，能判定这个四边形是平行四边形，符合题意； D、，，，，不能判定这个四边形是平行四边形，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·山东济南·月考）已知四边形中．与交于点，如果只给出条件“”，那么可以判定四边形是平行四边形的是（    ） ①再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ②再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ③再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． ④再加上条件“”，则四边形一定是平行四边形． A．①和② B．①和③和④ C．②和③ D．②和③和④ 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法，结合已知，逐一分析各附加条件是否足以证明四边形为平行四边形． 【详解】解：如图， ∵， ①若，四边形可能为等腰梯形，不一定是平行四边形，故①错误． ②若， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故②正确． ③若， ∵， ∴，， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形，故③正确． ④若，该条件不足以证明平行四边形，可能存在反例（如等腰梯形），故④错误． ∴正确条件为②和③， 故选：C． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 6．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，四边形的对角线相交于点O，下列条件中不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据平行四边形的判定定理进行求解即可． 【详解】解：A、当，时，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形，故不符合题意； B、当，时，可根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； C、当，时，则有，所以，所以，同理可得，所以根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 判定四边形是平行四边形，故不符合题意； D、当，时，无法判定四边形是平行四边形，故符合题意； 故选D． 题型一   利用平行四边形的性质求解 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知在平行四边形中，的度数之比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知两组对角分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且，结合角度比例即可求解. 【详解】解：设，，，. 要判定四边形是平行四边形，则其两组对角需要分别相等，即且， 由可得，解得； 由可得，解得 此时. ∴当时，能判定四边形是平行四边形， 故选：C． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握利用平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质证明三角形全等，进而转化线段求周长是解题的关键． 先证；再由平行四边形周长得；最后转化四边形的周长表达式，代入数值计算． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴，， ∴． ∵的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键； 利用平行四边形的性质求得、的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在中， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且． 在中， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，点M，N分别在AD，BC上，MN和BD交于点O且互相平分．若，，则四边形MNCD的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 如图，连接，，通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证明四边形是平行四边形，然后根据一组对边平行且相等可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得到，即可求出四边形的周长 【详解】解：如图，连接，． 和相交于点且互相平分， ∴四边形是平行四边形， ，． 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，于点F，于点E．若，，，则的周长为 cm． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的性质与含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形对边相等、对角相等，以及含角的直角三角形中角所对直角边是斜边的一半是解题的关键． 先利用平行四边形的性质，得到对边相等、对角相等；再结合垂直条件，识别出含角的直角三角形，利用角所对的直角边是斜边的一半求出邻边和的长度；最后代入平行四边形周长公式计算周长 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长为． 故答案为：． 7．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O． (1)若，，求OA的取值范围． (2)若，，求AB的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系定理得到的取值范围，再根据平行四边形的性质即可求出的取值范围； （2）由平行四边形的性质求得，再根据三角形的三边关系定理得到的取值范围． 【详解】（1）解：在中，， 即． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即． （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，． 在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解，掌握以上知识点是解题的关键． 题型二   利用平行四边形的性质证明 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，是的平分线．有下列结论：①；②是的平分线；③．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键，即①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 可证明四边形为平行四边形，可求得，可判断①；结合角平分线的定义和条件可证明、为等边三角形，可判断②③，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ，故结论①正确． 平分， ． 又， ， ， ， ． ， ， 是等边三角形， ． 又， ， 是等边三角形， ， 是的平分线，，故结论②③正确． 综上所述，其中正确的个数是． 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，E，F分别是的边AB，CD上的点．已知，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与三角形全等的判定，掌握利用平行四边形的性质得到全等条件，通过三角形全等证明线段相等是解题的关键． 要证明，可通过证明包含这两条线段的三角形全等来实现，先利用平行四边形的性质得到三角形全等的条件，再结合已知条件，用判定三角形全等，从而推出对应边相等． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中： ∴， ∴． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的两条对角线、相交于点，点、分别是、上的中点．连接、．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点、分别是、上的中点， ∴，， ∴， ∴ 即， 在和中， ， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线相交于点O，过点O的直线分别交的延长线于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点，熟练运用平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，进而可得，再根据对顶角相等可得从而证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 5．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，E是的中点，的延长线与的延长线相交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识．又由平行四边形的性质得到，证明，则，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵点E是的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，点M，N分别在边上，且，对角线分别交于点E，F．求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，平行线的性质，由平行四边形的性质得到，由平行线的性质和对顶角相等推出，，据此证明，则可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级下·西藏昌都·期末）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行得到，再由线段中点的定义得到，据此可证明，得到，再由平行四边形的对边相等得到，即可得证结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，对角线与相交于点，是的中点．点，在对角线上，连接，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由，得，由是的中点，得，即可通过证明，根据全等三角形的性质得到，结合，得到，则可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等即可得到结论． 【详解】证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ． 又， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 题型三   平行四边形性质的其他应用 1．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）对于任意给定的，其所在平面上的点P满足，，的面积相等，则这样的点P的个数是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．点P满足，，面积相等，即点P到三边距离与边长成反比. 满足面积比的条件可得点P轨迹为通过A、B、C的直线，这些直线相交产生4个点（包括重心和3个外部点），且均满足面积相等． 【详解】解：过点A作，过点B作，过点C作， 交点分别为， 则四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 根据平行四边形的性质，得，，的面积相等，同理可证，，，的面积相等，，，的面积相等， 故这样的点P有3个； 当点是三角形中线的交点时，，，的面积相等，都等于 面积的 故点P的个数为4． 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东东莞·期末）为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：经过边上一点；分成面积相等的两部分．则小路除了经过点外，还经过（   ） A．点 B．的中点 C．的中点 D．边上的点，且 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质即可得出答案，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：由平行四边形的性质结合题意得：小路除了经过点外，还经过的中点， 故选：B． 3．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图，面积为的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边的2倍，则图中四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质及三角形面积的计算，推出四边形的面积是的4倍是解本题的关键． 根据平移的性质得出四边形是平行四边形，用表示出、，设点A到的距离为h，然后根据三角形的面积公式与平行四边形的面积公式列式进行计算即可． 【详解】面积为的沿方向平移至的位置，平移的距离是边的2倍， ，即， ，， 四边形为平行四边形， 设点A到的距离为h， ， ∴四边形的面积为： 故选：C． 4．（22-23八年级上·重庆·期中）如图，已知点，将线段向左平移三个单位长度，则线段扫过的面积为（　　） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，根据平移的性质和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵点，将线段向左平移三个单位长度， ∴线段扫过的图形是一个底边长为3，高为2的平行四边形， ∴线段扫过的面积为， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河南南阳·月考）如图所示，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为米，为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含有、的式子表示绿化的面积； (2)若，，请你帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1) (2)平方米 【分析】本题考查多项式乘多项式， （1）利用长方形的面积公式及平行四边形的面积公式进行求解即可； （2）把相应的值代入（1）中运算即可； 解答的关键是掌握相应的运算法则和公式． 【详解】（1）解：由题意得： （平方米）， ∴绿化的面积为平方米； （2）当，时， （平方米）， ∴此时绿化的面积为平方米． 6．（22-23八年级下·甘肃平凉·期末）请用三种不同的方法将平行四边形划分成面积相等的四部分．      【答案】见解析 【分析】方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分，据此即可画图． 【详解】解：方法一：找出平行四边形的左右两条边的四等分点，依次对应连接起来，即可将平行四边形四等分； 方法二：连接平行四边形的两组对边的中点，即可把平行四边形四等分； 方法三：连接平行四边形的两条对角线，即可把平行四边形四等分； 据此即可画图， 如图所示：   【点睛】此题主要考查图形的划分，关键是明确有关于平行四边形的特征和它的对角线的性质． 题型四   证明四边形是平行四边形 1．（25-26八年级下·全国·周测）已知一个四边形的四边长顺次为a，b，c，d，且满足，则此四边形是（    ） A．长方形 B．等腰梯形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据题意，得到，从而有，，结合两组对边分别相等的四边形是平行四边形，得到结果． 【详解】解：， ∴ ， 即 ， ∵ ，， 且 ， 即 ，， ∴ 四边形两组对边分别相等， ∴ 此四边形为平行四边形. 故选：D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ， 即． 又， ∴四边形为平行四边形． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见解析 【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】，，，， ， 即， 解得， ∴，，， ，， ∴四边形ABCD是平行四边形． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作于点N，过点C作于点M，连接AM，CN．求证：四边形ANCM为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 方法：通过平行四边形的性质得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可；方法：通过平行四边形的性质得到，，，，两直线平行内错角相等可得到，由垂直的定义得到，即可通过证明，通过全等三角形的性质得到，再通过线段的和差关系得到，最后根据对角线互相平分的四边形为平行四边形进行证明即可． 【详解】方法：证明：∵四边形为平行四边形， ． ，， ． 在和中， ， ， ∴四边形为平行四边形． 方法：∵四边形为平行四边形， ，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ，即， ∴四边形为平行四边形． 5．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）如图，四边形的对角线与交于点O，若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，，继而证明，得到，则四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】证明：， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，，，，且．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形为平行四边形．理由见解析. 【分析】先利用已知的边和角，通过判定三角形全等，得到对应边相等；再结合题目中已有的边相等条件，依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判断四边形的形状． 【详解】解：四边形为平行四边形．理由如下： 在和中： ， ． ， 四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与平行四边形的判定，掌握利用证明三角形全等得到对应边相等，及两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理是解题的关键． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在中，，分别是，上一点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先利用平行四边形的对边平行性质，得到同旁内角互补的关系；再结合已知的，推出另一组对角相等；最后根据平行四边形的判定定理，证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的对边平行性质，及利用等角的补角相等推出对角相等，进而判定平行四边形是解题的关键． 8．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，，，均为直线同侧的等边三角形．当时，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据等边三角形的性质得出边角之间的关系，再利用全等三角形的判定得出，进而得出，同理可得，即可得出四边形为平行四边形． 【详解】证明：，为等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ． 又为等边三角形， ， ． 同理可得， 四边形是平行四边形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定，得出是解题关键． 题型五   平行四边形的性质与判定综合运用 1．（20-21七年级上·广西桂林·月考）如图，将沿直线方向平移到的位置，D点在上，则的面积和两阴影部分面积之和的比值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由平移性质可证明四边形为平行四边形，则可证面积为面积的一半，则题目可求． 【详解】解：∵将沿直线方向平移到的位置， ， ∴四边形为平行四边形， 与同底等高， ， ， ． 故答案为：1． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，D是边上任意一点，F是的中点，过点C作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识． （1）证明，则，又由即可证明结论； （2）过点C作于点G，求出，  由勾股定理得到，证明，则，即可得到的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴，．           ∵F是AC的中点， ∴， ∴，           ∴， 又∵， ∴四边形ADCE是平行四边形． （2）解：过点C作于点G， ∵，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴，           ∴， ∵， ∴，           ∴． 3．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在与中，点，，，在同一条直线上，连接，，且，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质是解题的关键． （1）根据得出，则，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，进而证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．（24-25八年级下·广东河源·期末）如图，的对角线、相交于点，，，若，．求四边形的周长． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先证明四边形是平行四边形，再由平行四边形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ∴， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，E，F分别是的AD，BC边上的点，且． (1)求证：． (2)若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，求证：四边形MFNE是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，证得； （2）由（1）的结论和中点的性质可得，，根据平行四边形的性质可得，进而得到，由此可证，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，． 在和中， ． （2）证明：由（1）得， ，． 又，分别是，的中点， ，， ． ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ，即， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，四边形是平行四边形，点从点运动到点的速度与点从点运动到点的速度相同，点从点运动到点的速度与点从点运动到点的速度相同，连接，． (1)四点出发前，与是否互相平分？请说明理由． (2)若四点同时出发且均没到终点，则（1）中的结论还成立吗？为什么？ 【答案】(1)与互相平分，理由见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）由四边形为平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可判定； （2）首先连接，，，，然后通过证明三角形全等，得到四边形的两组对边分别相等，证得四边形为平行四边形，则与相互平分． 【详解】（1）解：四点出发前，与互相平分．理由如下： 如图①，设对角线与相交于点． 四边形是平行四边形， ，，即与互相平分． （2）解：（1）中的结论还成立．理由如下： 如图②，连接，，，． 四边形是平行四边形， ，，，． 由题意，得，， ，． 在和中， ， ． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 与互相平分． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确地作出辅助线是解决本题的关键． 7．（25-26八年级上·山东泰安·月考）已知：如图，在四边形中，，E是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，证出四边形为平行四边形是解题的关键． （1）根据，可证明，再证明即可证明四边形是平行四边形； （2）由勾股定理求出的长，进而求出的长，再由平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．（2025·贵州遵义·一模）如图，平行四边形的对角线交于O，，连接． (1)求证四边形是平行四边形； (2)若点E是的中点，的面积为2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可． （2）利用平行四边形的性质求面积即可． 本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的面积，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：为平行四边形， ，． ， ． ∴四边形是平行四边形． （2）解：当E为中点时，的面积的面积． ， 的面积的面积． ， 的面积的面积， 的面积的面积． ∴四边形的面积． 9．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，是的中点，，． (1)求证：； (2)连接，则与的关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)与互相平分 【分析】（1）根据中点的定义求出，根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求证即可； （2）根据全等三角形的性质求出，，则，再根据平行四边形的判定与性质求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分， 故答案为：与互相平分． 10．（25-26八年级上·山东济宁·月考）如图，在中，过点作，交于点，交于点，过点作，交于点，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理； （1）证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）证明，可得，在中，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， ， ， 在中，． 11．（24-25八年级下·广东佛山·期末）【项目主题】测量距离 【项目背景】如图1，、两点被大山阻隔（、两点距离不可直接测得）．为了改善山区的交通，现拟开凿一条贯穿、的隧道，修建一条高速公路． 【实践操作】 方案一：如图2，某工程队分别以、两点为起点，朝同一方向行进相同距离，分别到达点、．测量、两点之间线段的长度，即为、两点的距离． 【问题解决】 (1)请你说明方案一的合理性； (2)请你设计与方案一不同的方案，在答题卡上画出几何图形，并表示出、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查的是平行四边形的判定和性质，全等三角形的应用． （1）证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即可得到结论； （2）在大山外取一点O，连接，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：如图，在大山外取一点O，连接， 延长到D，使，延长到E，使，测量D、E两点之间线段的长度，即为A、B两点的距离． 在和中，， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形池塘的四个顶点处各有一棵树．若要扩建池塘，使扩建后的池塘是平行四边形，且面积是原来的两倍，树的位置不变且不能在水中．试画出扩建后的池塘． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图一应用与设计作图、平行四边形的判定与性质，连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，则即为所求，解题的关键是理解题意，灵活运用平行四边形的判定与性质解决问题． 【详解】解：连接，交于点 ，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，过点作的平行线，四条平行线依次交于点，，，，如图所示： 则四边形均为平行四边形， ， ，则即为所求． 13．（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，张雨同学想了一个测量池塘宽度AB的方法：过点A、B引直线、相交于点C，在上取点E、G，使，再在上分别取点F、H，使，测得．于是，她就得出了结论：池塘的宽为．你认为她说得对吗？请说明理由． 【答案】说法正确，理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，过点作，交于点．只要证明四边形是平行四边形且即可． 【详解】解：正确． 理由：过点作，交于点，则， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 题型六   全等三角形拼平行四边形问题 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．以三角尺的三边为对角线，分别拼成不同的平行四边形，即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 2．（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 3．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 4．（22-23八年级下·河南南阳·期末）将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键． 题型七   平行线间的距离 1．（23-24七年级下·贵州铜仁·月考）如图，，，，则点C到的距离为（   ） A．2 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，运用平行线之间三角形面积相等是解题的关键． 首先利用平行线之间三角形面积相等，得到的面积，再根据面积公式求解点C到的距离即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点C到的距离为， 故选：A． 2．（23-24八年级下·全国·期中）已知在同一平面内，直线a，b，c互相平行，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是，那么直线a与c的距离是（    ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，注意需分两种情况讨论求解是解题的关键．分（1）直线a在直线b、c外，（2）直线a在直线b、c之间两种情况，画出图形（1）（2），根据图形进行计算即可． 【详解】解：有两种情况：如图 （1）直线a与c的距离是3厘米厘米厘米； （2）直线a与c的距离是5厘米厘米厘米． 故选：C． 3．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E．若，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到，同理可得，设之间的距离为，然后将面积比化为底之比求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 由，设之间的距离为， 则， ∴ ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）设，，是同一平面内三条互相平行的直线，已知与的距离是，与的距离是，则与的距离等于 ． 【答案】7或17 【分析】本题考查了平行线之间的距离．由于三条直线互相平行，需考虑在与之间或同侧两种情况，分别计算距离． 【详解】解：分两种情况： 当在，之间时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 当，在同侧时，如图： ∵与的距离是，与的距离是， ∴与的距离为． 综上所述，与的距离为或， 故答案为：7或17． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）在同一平面内，已知直线，直线a与b之间的距离是，直线b与c之间的距离是．请画出图形，并求出直线a与c之间的距离． 【答案】图形见解析；或 【分析】本题主要考查了平行线间的距离．分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：当直线在直线，之外时，如图1， 直线，之间的距离为； 当直线在直线，之间时，如图2， 直线，之间的距离为． 综上，直线，之间的距离是或． 6．（25-26八年级上·山东德州·月考）如图2是小枫荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．小枫在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，若．求： (1)点到的距离． (2)点到地面的距离． 【答案】(1)点到的距离是 (2)点到地面的距离为 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． （1）过点作于点，证明，得到，即可； （2）根据，得到，过点作于点，得到，即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，垂足为F． ，， 在中，． 又， 在和中， ． ． 由题意，知，，， ， ，即点到的距离是． （2）解：如图所示，过点作，垂足为． 由（1），知 由题意，知，， ， 即点到地面的距离是． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）在同一平面内，已知，，若直线，之间的距离为，直线，之间的距离为，则直线，之间的距离是多少？ 【答案】直线，之间的距离是或 【分析】本题考查了平行线间的距离．分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：当直线在直线，之间时，如图1， 直线，之间的距离为； 当直线在直线，外部时，如图2， 直线，之间的距离为． 综上，直线，之间的距离是或． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可． 【详解】解：因为在直角三角形中，，，，， 所以点到的距离， 因为， 所以与的距离是． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等． 【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点． ， ． ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键． 题型一   平行四边形综合问题 1．（25-26九年级上·广东深圳·周测）如图，在中，，是边上的高，点E在线段上，，且，若，则的长度为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边中线定理，直角三角形两锐角互余，全等三角形判定与性质，平行四边形判定与性质，垂直平分线的性质及勾股定理．取中点F，连接、、，利用等腰三角形三线合一的性质得出，再利用直角三角形斜边中线定理得出，进而得出，证明推导出平行关系，判定平行四边形，再利用垂直平分线性质和勾股定理即可得出结果． 【详解】解：如图，取中点F，连接、、， ∵在中，，是边上的高， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E在线段上，，且， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）如图是等边三角形，分别是延长线上的点，且，连，直线交于点． (1)求的度数； (2)作于，则时，为等腰三角形，求出的值； (3)若在上，，连，作，，连接交于，则的值为___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明， 推出， 由， 推出，即可解决问题； （2）如图中， 由题意可知， 设，则， 推出， 计算出的值即可； （3）如图中， 在上截取， 则，证明四边形是平行四边形即可解决问题． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， E， ， ； （2）如图中， 是等腰三角形，， ， 设，则， ， ， （3）如图中， 在上截取， 则， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会添加常用辅助线构造全等三角形． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是的对角线，是经过的中点的直线，且与分别交于点． (1)连接，如图1，求证：四边形是平行四边形； (2)将沿直线折叠，点落在点处，点落在点处，设交于点，分别交于点． ①如图2，求证：； ②连接，如图3，判断和之间位置的关系并加以证明． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②，证明见解析． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由平行四边形性质证明可得，再结合即可证明结论； （2）①由（1）得，如图：延长和且交于点，由平行四边形的性质可得，由折叠的性质可得，进而证明结论；②如图：过点作，交于点，证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：①证明：由（1）得， 如图：延长和且交于点， 四边形是平行四边形， ， ． 由折叠可知， ， ， ． ②解：，证明如下： 如图：过点作，交于点， ． 由折叠可知． ， ， ， ， ． 由（1）可知， ， ， 四边形是平行四边形， ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $