第四章 图形的平移与旋转（必备知识+10题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材鲁教版五四制八年级上册

该初中数学复习讲义通过分点梳理与对比表格构建图形平移与旋转的知识体系，涵盖平移概念性质、作图、坐标变换，旋转三要素、性质、作图，中心对称及中心对称图形等核心知识点，用表格对比中心对称与轴对称、中心对称与中心对称图形的区别联系，清晰呈现知识脉络与重难点。 讲义亮点在于分层练习设计与核心素养培养，题型涵盖图形识别、性质应用、坐标变换、综合问题等，如“坐标与旋转规律问题”通过多次旋转探究点坐标变化规律，培养空间观念与推理意识。基础巩固与能力提升测试满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，学生自主复习时可通过例题变式掌握方法。

第四章 图形的平移与旋转（复习讲义） 知识点01 平移的概念和性质 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 2.平移的性质：（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 知识点02 平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形. 知识点03 点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（横坐标变，纵坐标不变）：向右平移a个单位：(x,y) (x+a, y);向左平移a个单位：(x,y) (x-a, y); 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变）：向上平移b个单位：(x,y) (x, y+b);向下平移b个单位：(x,y) (x, y-b). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 知识点04 旋转的概念和性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点05 旋转作图 旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 知识点06 中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 知识点07 中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 【题型一 图形的平移与中心对称图形的识别】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列图形可以由组成它的一个基础图形通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级下·安徽滁州·开学考试）下列图案中，是中心对称图形的是（   ） A．江西航空 B．重庆航空 C．海南航空 D．中国东方航空 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【变式1-3】（25-26九年级上·云南·期末）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 利用平移的性质求解】 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，将沿射线方向平移，得到，连接．在平移过程中，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，将以每秒的速度沿射线向右平移，得到，设平移时间为t秒．若在B，E，C三个点中，一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系，则t的值为（    ） A．2 B．2或3 C．2或3或4 D．2或3或4或5 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将周长为12的沿直线向右平移n个单位长度，得到，交于点G，连接．给出下列结论∶①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-3】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形（）．若的长度为2021，则的值为（    ） A．504 B．505 C．405 D．404 【题型三 点在平面直角坐标系中的平移】 【例3】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）将点先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿 y 轴向下平移2个单位长度后得到点 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型四 求关于原点的对称点的坐标】 【例4】（25-26九年级上·山东滨州·期末）点关于原点成中心对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，若点关于原点的对称点是，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知点和点，若点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．16 C．24 D．36 【题型五 找旋转中心、旋转角】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，那么： （1）点B的对应点是________，的对应角是________，线段BC的对应线段是________； （2）旋转中心是________，旋转角是________． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东汕尾·月考）如图，中，，按逆时针方向旋转一个角度后，成为，则图中的________是旋转中心，旋转角是________度． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点________，绕中心逆时针旋转了________． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【题型六 求某点旋转后的坐标】 【例6】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【题型七 坐标与旋转规律问题】 【例7】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，边OA在x轴上，，．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26九年级上·重庆·月考）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将逆时针转动（）至称为第一次转动，然后进行第二次转动将逆时针转动至，…，那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，A，B，循环，当时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型八 平面直角坐标系中平移和旋转作图】 【例8】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的； (2)将点绕坐标原点逆时针方向旋转至点，直接写出点的坐标； (3)将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【变式8-2】（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)与关于原点成中心对称，画出； (3)和是否成中心对称图形？若成中心对称图形，请直接写出对称中心的坐标；若不成中心对称图形，请说明理由． 【变式8-3】（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，的三个顶点坐标分别为、、． (1)将绕点逆时针旋转后得到，画出旋转后的，并写出点的坐标； (2)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； (3)直接写出能否通过平移得到，不必说明理由． 【题型九 几何图形中的平移综合问题】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点，． (1)点，的坐标分别为 ， ； (2)求证：点，，在一条直线上． 【变式9-2】（25-26七年级·全国·假期作业）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【变式9-3】（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，在直角坐标系中，边长为4的等边三角形的顶点都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是_____个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是_____； (2)已知点的纵坐标为，则点的坐标为____； (3)连接，交于点，求的度数． 【题型十 几何图形中的旋转综合问题】 【例10】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式10-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，将绕点B旋转，使点C的对应点D落在边上，点A的对应点为点E，过点D作交于点F，连接，已知． (1)求证：； (2)求证：点D为的中点． 【变式10-2】（25-26九年级上·四川凉山·期末）在中，，，D为内一点，，将绕点A顺时针旋转得到，连接并延长交于F点，过B作交的延长线于G． (1)请直接写出的形状为______； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【变式10-3】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图①，点在直线上，点在直线外且是锐角．过点作交直线于点．将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点落在直线上，连接，过点作的垂线，在垂线上取点两点在直线同侧），使，连接． (1)求证：； (2)如图②，若为中点，求证：垂直平分； (3)若，求的长； (4)若，当点在边上时，直接写出的最大值． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）下列图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26九年级上·云南昭通·期末）点关于原点对称的点的坐标是 ． 5．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，将周长为7的三角形沿边向右平移1个单位，得到三角形． （1）线段线段________．四边形的周长为________． （2）若，则______ 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴的正半轴上．将沿直线向上平移得到，点的纵坐标为4．若，则点的坐标为__________． 三、解答题 7．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，三个顶点的坐标分别为： (1)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形； (2)请画出关于点成中心对称的图形； (3)若绕点M旋转得到，请直接写出点M的坐标； (4)在y轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 8．（25-26九年级上·天津·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）点关于坐标原点的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 3．（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）一款风车，它由两种等腰直角三角形拼成．如图，等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限．将绕点逆时针旋转，点所对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 6．（2025七年级上·全国·竞赛）如图，是一个钝角三角形，，，边上的高为．若此三角形以每秒的速度沿所在直线向上移动，秒后，此三角形扫过的面积是 _______． 7．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上的点时，线段的长为________． 8．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿所在的直线向右平移，所得的对应图形为三角形．设平移时间为，若要使成立，则的值为______． 三、解答题 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将周长为的三角形沿方向向右平移，得到三角形．求四边形的周长． 10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 11．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，其中a，b满足．平移线段得到线段，使得C，D两点分别落在y轴和x轴上． (1)①点A的坐标是 ；点B的坐标是 ； ②求三角形的面积． (2)将点E向下移动1个单位长度得到点F，连接，，是x轴负半轴上一点．若三角形的面积不小于三角形的面积，求m的取值范围． 12．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）， (1)则 ； (2)求出等边的边长； (3)通过类比探究，参考小明同学的思路，解决问题：如图3，在正方形外有一点P，且， ， ，求的度数和正方形的周长． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 图形的平移与旋转（复习讲义） 知识点01 平移的概念和性质 1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离。注：平移=移动方向+移动距离 2.平移的性质：（1）图形（形状、大小）不变，仅改变图形的位置 （2）对应点间连线，这些线段长度相等，且对应直线平行 （3）对应点的连线即为平移的路径（直线），包括方向和距离 知识点02 平移作图 平移作图步骤：①找出能代表图形的关键点;②将原图中某一关键点按要求平移后，与原来点连接起来; ③过其他点分别作线段，使它们与确定直线段平行且相等，即确定其他关键点平移后的位置;④连接关键点，还原图形. 知识点03 点在平面直角坐标系中平移 1.左右平移（横坐标变，纵坐标不变）：向右平移a个单位：(x,y) (x+a, y);向左平移a个单位：(x,y) (x-a, y); 2.上下平移（纵坐标变，横坐标不变）：向上平移b个单位：(x,y) (x, y+b);向下平移b个单位：(x,y) (x, y-b). 口诀：右加左减，上加下减。平移前后图形形状、大小不变。 知识点04 旋转的概念和性质 （1）旋转的概念：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一定角度的变换. 点O叫作旋转中心；转动的角度叫作旋转角； 图形上点P旋转后得到点P’，这两个点叫作对应点. （2）旋转三要素：①旋转方向；②旋转中心；③旋转角度 注：旋转中心可在任意位置.即可在旋转图形上，也可不在旋转图形上. （3）旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等. 知识点05 旋转作图 旋转作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形. 作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； （3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； （4）连接所得到的各对应点. 知识点06 中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． （2）中心对称是指两个图形的位置关系，涉及到两个图形，如图所示，△ABC与△A’B’C’关于点O对称. （3）中心对称与轴对称的区别与联系： 区别 中心对称 轴对称 有一个对称中心 有一条对称轴 图形绕对称中心旋转180° 图形沿对称轴翻折 旋转后与另一个图形重合 翻折后与另一个图形重合 联系 都是两个图形之间的关系，并且变换前后的两个图形全等 （4）中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转变换，具有旋转的一切性质，成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，成中心对称的两个图形是全等图形. （5）确定对称中心的方法： 1.连接任意一组对称点，连线的中点就是对称中心； 2.连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心. （6）中心对称作图 1.连接原图形的关键点与对称中心； 2.延长所连接的线段，在延长线上分别找出关键点的对称点，使对称点到对称中心的距离和关键点到对称中心的距离相等； 3.将对称点按照原图形的顺序依次连接即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 知识点07 中心对称图形 （1）中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． （2）中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 区别 针对两个图形 针对一个图形 两个图形位置上的关系 具有某种性质的一个图形 对称点在两个图形上 对称点在一个图形上 对称中心在两个图形之间 对称中心在图形上或图形内部 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 【题型一 图形的平移与中心对称图形的识别】 【例1】（25-26七年级下·全国·单元测试）下列图形可以由组成它的一个基础图形通过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质进行判断即可． 【详解】解：A：由组成它的一个基础图形旋转得到，故不符合题意； B：由组成它的一个基础图形平移得到，故符合题意； C：由组成它的一个基础图形旋转得到，故不符合题意； D：由组成它的一个基础图形旋转得到，故不符合题意； 故选：B． 【变式1-1】（25-26九年级下·安徽滁州·开学考试）下列图案中，是中心对称图形的是（   ） A．江西航空 B．重庆航空 C．海南航空 D．中国东方航空 【答案】B 【分析】中心对称图形绕一个点旋转后，能和原来的图形互相重合． 【详解】A、不是中心对称图形； B、是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形． 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（   ） A．工作中的雨刮器 B．移动中的黑板 C．折叠中的纸片 D．骑行中的自行车 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，据此逐个分析，即可作答． 【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意； B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意； C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意； D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意； 故选：B 【变式1-3】（25-26九年级上·云南·期末）下列图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕一点旋转后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形，解决本题的关键是根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：该图形绕任何一点旋转都不能与自身重合，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形绕圆心旋转可以与自身重合，是中心对称图形，故B选项符合题意； C选项：该图形绕任何一点旋转都不能与自身重合，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形绕任何一点旋转都不能与自身重合，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 【题型二 利用平移的性质求解】 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在锐角三角形中，，将沿射线方向平移，得到，连接．在平移过程中，若，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质，平行线的性质分两种情况进行计算即可． 【详解】解：如图1， 由平移的性质可知，， ∴， ∵， ∴； 如图2， 由平移的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述的度数为或． 故选：D． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，将以每秒的速度沿射线向右平移，得到，设平移时间为t秒．若在B，E，C三个点中，一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系，则t的值为（    ） A．2 B．2或3 C．2或3或4 D．2或3或4或5 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．先根据平移的性质得到，分三种情况讨论：当、、，列出方程，然后分别解方程即可． 【详解】解：∵以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为， ∴， 当，即，解得； 当，即，解得； 当，即，解得； 综上所述，t的值为2或3或4， 故答案为：2或3或4． 【变式2-2】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将周长为12的沿直线向右平移n个单位长度，得到，交于点G，连接．给出下列结论∶①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可．本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：①根据平移的性质，得，故①正确，符合题意； ②根据平移的性质，可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意； ④根据平移的性质可得， ， ∴四边形的周长为， ∴，即沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，长方形中，，第1次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，第2次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形，…，第次将长方形沿的方向向右平移4个单位长度，得到长方形（）．若的长度为2021，则的值为（    ） A．504 B．505 C．405 D．404 【答案】A 【分析】此题主要考查了代数式，图形的变化规律，以及一元一次方程，根据图形变化规律得出长度的规律是解题关键． 根据平移的性质得出，，再找出长度的规律，然后根据所求得出数字变化规律，再根据规律列出方程求解n的值． 【详解】解：∵，第1次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时，， 第2次平移将长方形沿的方向向右平移4个单位，得到长方形，此时， 以此类推，第n次平移后，． ∵的长度为2021， ∴， 解得：， 故选：A． 【题型三 点在平面直角坐标系中的平移】 【例3】（25-26八年级上·安徽淮北·期中）将点先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿 y 轴向下平移2个单位长度后得到点 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了点坐标的平移，根据坐标平移规则，向右平移横坐标增加，向下平移纵坐标减小． 【详解】解：∵点沿x轴向右平移3个单位， ∴横坐标变为，纵坐标不变，得点； ∵再沿y轴向下平移2个单位， ∴纵坐标变为，横坐标不变，得点． ∴点的坐标为． 故选：A． 【变式3-1】（25-26八年级上·广西南宁·开学考试）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点的平移规律：“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解题的关键． 根据点的平移规律解答即可． 【详解】将点向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度， 得到点的坐标是，即． 故选：D． 【变式3-2】（25-26八年级上·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，，平移后点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了图形平移的性质和点的坐标变化规律，解题关键点在于确定平移的方向和长度，混淆平移方向是本题的易错点；根据点平移前后的坐标，确定平移的方向和长度，再根据横纵坐标的变化求得的坐标即可． 【详解】∵平移后得， ∴横坐标，纵坐标；即向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得． 故选A． 【变式3-3】（25-26九年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，点的对应点是直线上的一点，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数、点坐标的平移变换，熟练掌握点坐标的平移变换是解题关键． 先根据平移的性质求出点的纵坐标为6，代入可得点的坐标，从而可得平移距离，再根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】解：将沿轴向右平移后得到，且点的坐标为， 点的纵坐标为6， 当时，， 解得， ， 将沿轴向右平移个单位长度后得到， 平移后，点与点是对应点，且点的坐标为， ，即． 故选：C 【题型四 求关于原点的对称点的坐标】 【例4】（25-26九年级上·山东滨州·期末）点关于原点成中心对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点关于原点中心对称的坐标变化规律，规律为对称点的横纵坐标均为原坐标的相反数． 【详解】解：点关于原点成中心对称点的坐标为． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点绕原点旋转的坐标变化规律，理解绕原点旋转就是关于原点对称是解决问题的关键． 绕原点旋转实质是求关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的坐标性质即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，把点绕原点旋转后的坐标就是求点关于原点对称的点的坐标， ∴把点绕原点旋转后，得到的对应点的坐标为， ∴故选：D． 【变式4-2】（25-26八年级上·山东淄博·期末）在平面直角坐标系中，若点关于原点的对称点是，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质； 直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， 又∵对称点为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式4-3】（25-26九年级上·湖北襄阳·期末）已知点和点，若点与点关于原点对称，则的值为（   ） A． B．16 C．24 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数； 根据原点对称的性质求出和的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴， 故选：D． 【题型五 找旋转中心、旋转角】 【例5】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，那么： （1）点B的对应点是________，的对应角是________，线段BC的对应线段是________； （2）旋转中心是________，旋转角是________． 【答案】 点 点 或 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应点，对应角，对应线段的关系以及旋转中心和旋转角的确定方法． 根据旋转性质，确定旋转后的对应元素（点，角，线段），以及旋转中心和旋转角． 【详解】（1）由旋转性质可知，旋转得到时，点的对应点是点；的对应角是旋转后的；线段的对应线段是． 故答案为：点；；； （2）旋转中心是旋转过程中位置固定的点，即点；旋转角是对应点与旋转中心连线所成的角，因此是或． 故答案为：点；或． 【变式5-1】（24-25九年级上·广东汕尾·月考）如图，中，，按逆时针方向旋转一个角度后，成为，则图中的________是旋转中心，旋转角是________度． 【答案】 A点 /90度 【分析】本题主要考查了旋转的性质、旋转中心、旋转角等知识点，掌握旋转的性质是解题的关键． 利用旋转的性质确定对应点，再确定旋转中心和旋转角即可． 【详解】解：∵按逆时针方向旋转一个角度后，成为， ∴A的对应点是A，B的对应点是C，C的对应点是D， ∴A点是旋转中心，旋转角度等于． 故答案为：A点，． 【变式5-2】（24-25七年级下·全国·假期作业）如图， 与都是等腰直角三角形，，和都是直角，如果经旋转后能与重合，那么旋转中心是点________，绕中心逆时针旋转了________． 【答案】 B 45°/45度 【分析】此题主要考查了旋转的性质及等腰直角三角形的性质．由于与都是等腰直角三角形，由此可以得到与都是，如果经过旋转后能与重合，那么根据旋转的性质即可确定旋转中心及旋转角． 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，和都是直角，点C在上， ∴与都是， 而经过旋转后能与重合， 那么旋转中心为点B，旋转角为， ∴旋转角度为． 故答案为：B，． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点． (1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ； (2)请你求出的度数． 【答案】(1)，顺， (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可； （1）由图即可求解； （2）设与交于点，证即可； 【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是； （2）解：设与交于点, ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 根据三角形的外角的性质可知， ∴． 【题型六 求某点旋转后的坐标】 【例6】（25-26九年级上·湖北孝感·期中）若点绕原点O逆时针旋转，点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换-旋转，根据点绕原点逆时针旋转，坐标变换规则为求解即可． 【详解】解：∵点绕原点O逆时针旋转， ∴对应点的坐标为． 故选：B． 【变式6-1】（25-26九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，关键是熟练应用知识点解题；根据旋转可得两三角形全等，进而根据对应边相等得出结果． 【详解】解：如图所示：绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-2】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转的性质，坐标与图形——轴对称，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作轴于点，结合旋转的性质证明，再利用轴对称的性质和全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：过点作轴于点， 有， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， 点，，与关于轴对称， ，， ， 点的对应点的坐标为， 故选：A． 【变式6-3】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，利用含30度角的直角三角形的性质求得的长度即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点B．   将线段绕点O沿顺时针方向旋转到线段， ，点在第一象限， ． 在中， ， ． 根据勾股定理，得， 点的坐标为． 故选：D． 【题型七 坐标与旋转规律问题】 【例7】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，边OA在x轴上，，．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形规律． 根据题意先将前几次旋转后的坐标，找出规律即可得到本题答案． 【详解】解：∵，边在x轴上，，， ∵将绕点O顺时针旋转，每次旋转， ∴点， 第一次旋转后，如图， ∴， 即， 同理可得第二次旋转，第三次旋转，第四次旋转， ∴可知点的坐标次一循环， ∴第2025次旋转结束时，， ∴点B的坐标为． 故选：A． 【变式7-1】（25-26九年级上·重庆·月考）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，顶点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形性质与判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． 根据题意得到，结合旋转的性质推出绕原点逆时针旋转，每旋转次为一个循环，进而得到第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同，记第4次旋转结束时，点的对应点记为，过点，作轴于点，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：， ， 顶点的坐标为， ， 绕原点逆时针旋转，每次旋转，且， 即每旋转次为一个循环， ， 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标与第4次旋转结束时，点对应点的坐标相同， 如图，记第4次旋转结束时，点的对应点记为， 过点，作轴于点， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 即第4次旋转结束时，点的对应点的坐标为， 第2026次旋转结束时，点对应点的坐标为； 故选：A． 【变式7-2】（25-26八年级上·河南郑州·期中）小星利用平面直角坐标系绘制了如图的风车图形，他先将固定在坐标系中，其中，接着他将逆时针转动（）至称为第一次转动，然后进行第二次转动将逆时针转动至，…，那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，规律型：点的坐标，解题的关键是掌握探究规律的方法，属于中考常考题型． 根据每次转动可知，4次一个循环，分别求出第一次到第四次的点的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：∵绕原点O逆时针转动至， 而， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， ∵绕原点O逆时针转动至， ∴， 即点与点A重合， ∴点A每旋转4次为一个循环， ∵， ∴在转动2023次后，点A在点的位置，此时点A的坐标为． 故选：A． 【变式7-3】（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按，A，B，循环，当时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 找出图形的规律，循环周期为4，半径依次增加1，然后进行求解即可． 【详解】解：根据图形可得，弧的半径依次增加1，四个弧旋转一周，为一个旋转周期， ∴的旋转周期为，此时，弧的半径为2025，在轴的正半轴上， ∴点的坐标是， 故选：A． 【题型八 平面直角坐标系中平移和旋转作图】 【例8】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为对称中心，画出与成中心对称的； (2)将点绕坐标原点逆时针方向旋转至点，直接写出点的坐标； (3)将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析，这个变化过程中扫过的面积为 【分析】本题主要考查了中心对称的性质、图形的旋转变换、图形的平移变换以及平移过程中扫过面积的计算，熟练掌握中心对称、旋转、平移的坐标变化规律和平行四边形的面积计算方法是解题的关键。 （1）根据中心对称的性质，分别找出点、、关于原点的对称点、、，再顺次连接即可得到。 （2）根据点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律，直接求出点的坐标。 （3）根据平移的性质画出，再通过计算线段平移形成的平行四边形面积，求出扫过的面积。 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求，； （3）解：如图，，这个变化过程中扫过的面积． 【变式8-1】（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，、． (1)画出将向下平移6个单位长度得到； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)若将绕某一点旋转就可以得到，则旋转中心的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移和中心对称，旋转的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别将点A、B、C向下平移6个单位长度，得到对应点，然后顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此可确定的坐标，描出，并顺次连接即可； （3）根据旋转的性质可知，连接，交点即为旋转中心点M，可知坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）如图，旋转中心为点M，可知旋转中心的坐标为， 故答案为：． 【变式8-2】（25-26九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．    (1)将向左平移5个单位长度，得到，画出； (2)与关于原点成中心对称，画出； (3)和是否成中心对称图形？若成中心对称图形，请直接写出对称中心的坐标；若不成中心对称图形，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)和是成中心对称图形，对称中心的坐标为 【分析】本题考查了作图—平移变换，画中心对称图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据成中心对称图形的性质作图即可； （3）连接、、，它们相交于一点，结合中心对称图形的定义得出和是成中心对称图形，再结合图形写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作，    （2）解：如图：即为所作，   ； （3）解：如图，连接、、，它们相交于一点，则和是成中心对称图形，   ， 由图形可得，对称中心的坐标为． 【变式8-3】（25-26九年级上·河北承德·期末）如图，的三个顶点坐标分别为、、． (1)将绕点逆时针旋转后得到，画出旋转后的，并写出点的坐标； (2)画出关于原点对称的图形，并写出点的坐标； (3)直接写出能否通过平移得到，不必说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)不能，理由见详解 【分析】本题考查平面直角坐标系中的图形变换．熟悉图形的旋转变换，图形的中心对称变换，平移变换的性质，以及不同变换后图形的关系，是解题的关键． （1）根据绕原点逆时针旋转的坐标变换规律：点旋转后对应点的坐标为，据此计算出、的坐标，再画出旋转后的三角形． （2）根据关于原点对称的坐标变换规律：点关于原点对称的点坐标为，据此计算出、的坐标，再画出对称后的三角形． （3）根据平移的核心性质：平移只改变图形的位置，不改变形状与大小，且图形上所有点的横、纵坐标的变化量完全相同．通过对比与对应点的坐标变化是否一致，即可判断． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转后得到， ∴变化后对应点的坐标为，变化后对应点的坐标为， ∴绘制如图所示， ∴； （2）解：∵ 关于原点对称的图形， ∴变化后对应点的坐标为，变化后对应点的坐标为， ∴绘制如图所示， ∴； （3）解：不能，理由如下， ∵如果可以将通过平移变化得到， ∴图形上所有点的横、纵坐标的变化量完全相同， ∵和的横、纵坐标的变化量不完全相同， ∴和不存在平移的位置关系， ∴不能． 【题型九 几何图形中的平移综合问题】 【例9】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，将三角形沿直线l向右平移得到三角形． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段平行、平移距离对应线段的长度是解题的关键． （1）利用平移的性质得到对应线段平行，结合已知角的度数，通过邻补角的关系计算的度数； （2）根据平移距离确定对应线段的长度，结合的长度，通过线段和计算的长． 【详解】（1）解：由平移的性质知，， ∴， ∴． （2）解：由平移的性质知，． ∵， ∴． 【变式9-1】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．将点A，C分别向下平移3个单位长度得到点，． (1)点，的坐标分别为 ， ； (2)求证：点，，在一条直线上． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查了点坐标的平移变换、求一次函数的解析式，熟练掌握点坐标的平移变换规律是解题关键． （1）根据点坐标的平移变换规律求解即可得； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再求出直线经过点，由此即可得证． 【详解】（1）解：∵将点，分别向下平移3个单位长度得到点，， ∴，， 即，， 故答案为：，． （2）证明：设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：， ∴直线经过点， ∴点，，在一条直线上． 【变式9-2】（25-26七年级·全国·假期作业）如图，将三角形沿射线方向平移到三角形的位置，连接． (1)与的位置关系为 ． (2)试探索：和之间的数量关系，并说明理由． (3)设，，试探索与x，y之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据平移的性质可得，，则，最后结合三角形内角和定理解答即可； （3）过点A作，交于点D，根据平移的性质可得，则可得，进而根据其性质解答即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 根据平移的性质可知，， ∴，， ∴， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点A作，交于点D， 根据平移性质可知， ∴， ∴，， ∴ ， 即． 【变式9-3】（25-26八年级上·河南安阳·月考）如图，在直角坐标系中，边长为4的等边三角形的顶点都在轴上，顶点在第二象限内，经过平移或轴对称都可以得到． (1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是_____个长度单位；与关于直线对称，则对称轴是_____； (2)已知点的纵坐标为，则点的坐标为____； (3)连接，交于点，求的度数． 【答案】(1)4；轴 (2) (3) 【分析】（1）由点的坐标为，根据平移的性质得到沿轴向右平移 2 个单位得到，则与关于轴对称； （2）根据等边三角形的性质求出点的坐标为，再根据与关于轴对称，即可求解． （3）根据平移或对称的性质得到，而，得到，根据证得，即可证得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，边长为4， ∴点的坐标为， ∴沿轴向右平移4个单位得到； ∴与关于轴对称， 故答案为：4；轴； （2）解：∵点的坐标为，是等边三角形，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵与关于轴对称， ∴点D的坐标为， 故答案为：． （3）解：如图，∵与是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【题型十 几何图形中的旋转综合问题】 【例10】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，在中，，，于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由旋转得，，可得，证明，可得； （2）由旋转得，，则，由勾股定理得，即可得． 【详解】（1）解：， 将线段绕点C顺时针旋转角后得到线段， ，， ， ， ； （2）， ，， , 由（1）知，， ， ． 【变式10-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，将绕点B旋转，使点C的对应点D落在边上，点A的对应点为点E，过点D作交于点F，连接，已知． (1)求证：； (2)求证：点D为的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由旋转的性质得，结合平行线的性质可证证明可证结论成立； （2）由（1）得，从而，证明是等边三角形，得出求出进而可证结论成立． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得， ∴ ， ∵ ； （2）证明：由（1）得， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ， ，即点是的中点． 【变式10-2】（25-26九年级上·四川凉山·期末）在中，，，D为内一点，，将绕点A顺时针旋转得到，连接并延长交于F点，过B作交的延长线于G． (1)请直接写出的形状为______； (2)探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)等腰直角三角形 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据旋转的性质得出、，然后等腰直角三角形的定义判断即可； （2）先求出，根据全等三角形的性质得出，，则可求出，，进而求出，根据等角对等边得出，证明，得出，在中，根据勾股定理求出，最后结合即可得出结论． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴，， ∴， ∴的形状为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）解：， 理由：∵、， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， 在中，， 又， ∴． 【变式10-3】（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）如图①，点在直线上，点在直线外且是锐角．过点作交直线于点．将线段绕点逆时针旋转，使点的对应点落在直线上，连接，过点作的垂线，在垂线上取点两点在直线同侧），使，连接． (1)求证：； (2)如图②，若为中点，求证：垂直平分； (3)若，求的长； (4)若，当点在边上时，直接写出的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)； (4) 【分析】（1）先由旋转性质得，再结合、推出，最后结合，用判定三角形全等． （2）先由直角三角形斜边中线性质得，推出；再由（）的全等得，从而，证明，可得，即可证得垂直平分． （3）由（1）的全等得，，推出；再通过角度关系证明，在中用勾股定理求． （4）分析当点与点重合时，取得最大值；结合全等及勾股定理，计算出最大值为． 【详解】（1）解：线段绕逆时针旋转得， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， 在中，； （4）解：如图，当点与点重合时，与重合，此时取最大值，， ∵， ∴，， ∴，即最大值为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·月考）下列图形中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，不符合题意； C、该图形是中心对称图形，符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知点，若将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点，则m，n的值分别为（   ） A．6，2 B．0，2 C．6， D．0， 【答案】B 【分析】本题考查坐标与平移，根据点的平移规则，向下平移时y坐标减少，向右平移时x坐标增加，由点和平移后的点，列方程求解． 【详解】解：将点先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∵将点P先向下平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到点， ∴， 解得， 故选：B． 3．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26九年级上·云南昭通·期末）点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】平面直角坐标系内，点关于原点对称的点的坐标为，即横、纵坐标均互为相反数．依据该特征，将已知点的横、纵坐标分别取相反数，即可得到对应对称点的坐标． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， ∴点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）如图，将周长为7的三角形沿边向右平移1个单位，得到三角形． （1）线段线段________．四边形的周长为________． （2）若，则______ 【答案】 / 9 70 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质得线段线段，，再根据四边形的周长公式求解即可． （2）由平移的性质得线段线段，再结合平行线性质求解，即可解题． 【详解】解：（1）由平移性质可知线段线段， 将周长为7的三角形沿边向右平移1个单位， ， 四边形的周长为； 故答案为：，9． （2）由平移性质可知线段线段， 若，则； 故答案为：． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点与原点重合，顶点，分别在轴、轴的正半轴上．将沿直线向上平移得到，点的纵坐标为4．若，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化，平移，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于读懂题目信息并求出点的坐标． 根据直线解析式求出点的横坐标，再根据平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小确定出点的横坐标与纵坐标，然后写出即可． 一题多解：根据直线解析式求出点的横坐标，得到点的坐标，然后根据平移的性质即可得到点的坐标． 【详解】解：点在直线上，且纵坐标为， ，解得， ， 即从点至点，横坐标增加了，纵坐标增加了． ， ， ． 故答案为：． 一题多解 点在直线上，且纵坐标为， ，解得， ． ， 由平移的性质，知，， ． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，三个顶点的坐标分别为： (1)请画出将向左平移4个单位长度后得到的图形； (2)请画出关于点成中心对称的图形； (3)若绕点M旋转得到，请直接写出点M的坐标； (4)在y轴上找一点P，使的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点M的坐标 (4)见解析， 【分析】本题考查作图—旋转变换，平移变换，轴对称最短问题，一次函数与y轴交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出A，B，C的对应点，，即可； （2）分别作出A，B，C关于点的对称点，，即可； （3）连接，交于点M，点M即为所求； （4）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，点P即为所求，然后求出所在直线解析式，将代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图，点M即为所求，点M的坐标； （4）如图所示，点P即为所求． ∵， 设所在直线解析式为 ∴ ∴ ∴ ∴当时，． ∴． 8．（25-26九年级上·天津·期中）如图，已知为正方形内一点，经过旋转后到达的位置． (1)请写出旋转中心及旋转角的度数； (2)若，求的度数和的长． 【答案】(1)旋转中心为点，旋转角的度数为； (2)，． 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，勾股定理 （1）由旋转的性质可求解； （2）由旋转的性质可得，，由等腰直角三角形的性质以及勾股定理可求解． 【详解】（1）解：经过旋转后到达的位置， ∴旋转中心为点，旋转角的度数为； （2）经过旋转后到达的位置 ， ，， ，． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）点关于坐标原点的对称点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征，根据关于原点对称的坐标的特点：两点的横坐标互为相反数；纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点坐标为． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东中山·期末）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则下列旋转方式中正确的是（   ） A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转 C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转 【答案】B 【分析】本题考查了图形旋转方式（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度． 观察与的对应点，确定旋转中心、旋转方向和旋转角度即可得出答案． 【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为； 绕点顺时针旋转到，绕点顺时针旋转到， 故旋转方式是绕点顺时针旋转． 故选：B． 3．（25-26九年级上·青海果洛·期末）如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 4．（25-26九年级上·河北张家口·期末）一款风车，它由两种等腰直角三角形拼成．如图，等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限．将绕点逆时针旋转，点所对应的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，点的坐标，等腰三角形的性质，先理解题意，记点所对应的点为点，过H作轴，过作轴，结合等腰三角形的性质得，又因为旋转性质得，即可作答． 【详解】解：记点所对应的点为点，过H作轴，过作轴，如图所示： ∵等腰直角三角形OAB中，斜边，点在轴的正半轴上，点在第一象限． ∴， ∵旋转， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为 故选：A 二、填空题 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，三架飞机P，M，N保持编队飞行，某时刻在直角坐标系中的坐标分别为，30秒后，飞机P飞到的位置，则飞机M，N飞到的位置为_____________，为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，根据点和点的坐标可以确定平移方式，再根据平移方式即可得到对应点坐标． 【详解】解：∵飞机P飞到的位置， ∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的坐标为，即，点的坐标为，即． 故答案为：，． 6．（2025七年级上·全国·竞赛）如图，是一个钝角三角形，，，边上的高为．若此三角形以每秒的速度沿所在直线向上移动，秒后，此三角形扫过的面积是 _______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，平移的性质，不规则图形的面积． 延长至，使得，作平行四边形，根据勾股定理可得，从而可得梯形和的面积，相减即可得扫过的面积． 【详解】解：根据题意可得，移动距离为 如图，延长至，使得，作平行四边形，五边形为扫过的区域， ， ∵，，， ∴ ∴ ∴扫过的面积是． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，把放在直角坐标系内，其中，，点，的坐标分别为，，将沿轴向右平移，当点落在直线上的点时，线段的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-平移，勾股定理等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，由，则，又由勾股定理得，故，又设平移距离为，平移后点的坐标为，点的坐标为，又点在直线上，故，可得，则，进而计算可以得解． 【详解】解：， ， 设平移距离为， 平移后点的坐标为，点的坐标为， 又点在直线上， ． ∴， ， 线段的长为， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如图，在三角形中，，将三角形以每秒的速度沿所在的直线向右平移，所得的对应图形为三角形．设平移时间为，若要使成立，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是根据平移的性质得到，分以下两种情况讨论即可． 当点移到点右侧时，当点在点，点之间时． 【详解】解：当点移到点右侧时，如下图 ， ， ， ， （秒）； 当点在点，点之间时，如下图 ， ， ， （秒）； 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，将周长为的三角形沿方向向右平移，得到三角形．求四边形的周长． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，由平移可得，，结合周长为，即可求解． 【详解】解：周长为， ， 由平移得，， ， 即四边形的周长为． 10．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)画出向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的； (2)画出关于原点的中心对称图形； (3)P为x轴上的一个动点．当有最小值时，求这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平移作图，中心对称作图，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握平移和中心对称的性质． （1）分别将点向左平移5个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到点，再顺次连接即可； （2）分别作出点关于原点对称的点，再顺次连接即可； （3）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时为最小值，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时为最小值， 由勾股定理得， ∴这个最小值为． 11．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，其中a，b满足．平移线段得到线段，使得C，D两点分别落在y轴和x轴上． (1)①点A的坐标是 ；点B的坐标是 ； ②求三角形的面积． (2)将点E向下移动1个单位长度得到点F，连接，，是x轴负半轴上一点．若三角形的面积不小于三角形的面积，求m的取值范围． 【答案】(1)①，；②3 (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系内图形的平移规则，割补法求图形面积，掌握平面直角坐标系内图形的平移规则是解题的关键． （1）①根据非负数的性质得到a、b的值即可得到A、B的坐标； ②利用平移规则得到C、D的坐标即可求解； （2）根据E向下移动1个单位长度得到点F的坐标，求出三角形和三角形的面积，最后根据三角形的面积不小于三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 解得：，， ∴，， 故答案为：，； ②∵平移线段得到线段，使得C、D两点分别落在y轴和x轴上，且，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵将点E向下移动1个单位长度得到点F， ∴， ∴三角形的面积， 三角形的面积， ∵三角形的面积不小于三角形的面积， ∴， ∵是x轴负半轴上一点， ∴， ∴， ∴m的取值范围为． 12．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图1，在等边三角形内有一点P，且，，，将绕点B逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图2），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）， (1)则 ； (2)求出等边的边长； (3)通过类比探究，参考小明同学的思路，解决问题：如图3，在正方形外有一点P，且， ， ，求的度数和正方形的周长． 【答案】(1)150 (2) (3)， 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，推出，进而得到是等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，即可得出； （2）过点作，交的延长线于，则，求出，，，最后由勾股定理进行计算即可； （3）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H，通过旋转性质得到，，在中，得到，进而求出，再利用勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，进而可求出，再利用勾股定理求出，进而可求出正方形的周长． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交的延长线于， ， ， ， ， ； （3）解：将绕点B逆时针旋转，得到，连接，过点A作，交的延长线于H， ∴， ∴，，， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴正方形的周长为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $