分层练69 成对数据的统计分析-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 分层设计覆盖线性回归、相关系数、独立性检验等核心考点，通过基础巩固与能力提升结合，提炼最小二乘法、残差分析等方法，构建“概念-计算-应用”逻辑链条，培养数据意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|12题（含解答题）|最小二乘法求回归方程、相关系数与残差平方和判断相关性、独立性检验步骤|从相关关系判断到回归方程建立再到模型评估，形成完整统计分析流程| |能力提升|4题（含非线性回归）|指数型回归转化为线性回归、决定系数比较模型拟合效果|从线性到非线性回归的拓展应用，深化数学建模与数据分析能力|

分层练 69 成对数据的统计分析 【A 级 基础巩固】 1. 根据如表样本数据: 得到的经验回归方程为 ,则 ( ) 2 3 4 5 6 4 2.5 -0.5 -2 -3 A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙、丁四位同学各自对 两个变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得样本相关系数 与残差平方和 ,如下表: 甲 乙 丙 丁 0.82 0.78 0.69 0.85 106 115 124 103 则哪位同学的试验结果体现 两个变量有更强的线性相关性? ( ) A. 甲 B.乙 C.丙 D. 丁 3. 某种产品的广告费支出 与销售额 (单位:万元) 之间的关系如下表: 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 与 的经验回归方程为 ,当广告支出 6 万元时,随机误差的残差为 ( ) A.-5 B. -5.5 C. -6 D. -6.5 4. 某公司在 2019~2023 年的收入与支出情况如下表所示: 收入 (亿元) 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出 (亿元) 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8 根据表中数据可得经验回归方程为 ,依此估计该公司收入为 8 亿元时的支出为( ) A.4.2 亿元 B.4.4 亿元 C.5.2 亿元 D.5.4 亿元 5. (多选)某人工智能公司近5 年的利润情况如下表所示: 第 年 1 2 3 4 5 利润 /亿元 2 3 4 5 7 已知变量 与 之间具有线性相关关系,设用最小二乘法建立的经验回归方程为 ,则下列说法正确的是 ( ) A. B.变量 与 之间的线性相关系数 C. 预测该人工智能公司第 6 年的利润约为 7.8 亿元 D. 该人工智能公司这 5 年的利润的方差小于 2 6. (多选) 变量 与变量 的 20 对数据记为 ,其中 , 根据最小二乘法求得经验回归方程是 ,变量间的相关系数为 ,则下列说法中正确的是 ( ) A. 利用经验回归方程计算所得的 与实际值 必有误差 B. 经验回归直线 必过点 C. 若所有的点 都在经验回归直线 上,则 D. 若变量 与 正相关，则 7. (多选) 下列说法正确的是 ( ) A. 设有一个经验回归方程 ,变量 增加一个单位时, 平均增加 5 个单位 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强, 则样本相关系数 的值越接近于 1 C. 在残差图中, 残差点分布的水平带状区域越窄, 说明模型的拟合精度越高 D. 在一元线性回归模型中,决定系数 越接近于 1，说明回归的效果越好 8. 已知 和 的散点图如图所示，在相关关系中，若用 拟合时的决定系数为 ,用 拟合时的决定系数为 ,则 中较大的是_____. 9. 某驾驶员培训学校为对比了解 “科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了 105 名学员，统计结果为:接受大密度集中培训的 55 个学员中有 45 名学员一次考试通过, 接受周末分散培训的学员一次考试通过的有 30 个.根据统计结果, 认为 “能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过_____. 附: ，其中 . 0.05 0.025 0.010 0.001 3.841 5.024 6.635 10.828 10. 某市物价部门对本市的 5 家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查,5 家商场的售价 (元/ 件)和销售量 (件)的数据如下表所示: 售价 9 9.5 10.5 11 销售量 11 8 6 5 由散点图可知，销售量 与售价 之间有较强的线性相关关系,其经验回归方程是 ,且 ,则其中的 _____. 11. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 10 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位: )和材积量(单位: )，得到如下数据: 样本号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量 , 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得 0.247 4. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量; (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到 0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 . 已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值. 附:相关系数 , . 12. 为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区 100 天的空气质量等级与当天空气中 的浓度 (单位: ),整理数据得到下表: 的浓度空气质量等级 [0, 50] (50,150) (150,475) 1(优) 28 6 2 2(良) 5 7 8 3(轻度污染) 3 8 9 4(中度污染) 1 12 11 若某天的空气质量等级为 1 或 2, 则称这天“空气质量好”; 若某天的空气质量等级为 3 或 4, 则称这天 “空气质量不好”, 根据上述数据, 回答以下问题. (1)估计事件“该市一天的空气质量好，且 的浓度不超过 150 ”的概率； (2)完成下面的 列联表. 的浓度 合计 [0,150] (150,475) 空气质量好 空气质量不好 合计 (3)根据(2)中的列联表，依据小概率值 的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天 的浓度有关? 【B 级 能力提升】 13. 已知变量 与 的一组数据如表所示,根据数据得到 关于 的经验回归方程为 . 1 2 3 4 若 ,则 等于 ( ) A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 14. (多选)某班级学生开展课外数学探究活动, 将一杯冷水从冰箱中取出后静置, 在 25°C的室温下测量水温 (单位:℃)随时间 (单位:min)的变化关系，在测量了 15 个数据后，根据这些实验数据 得到如下的散点图: 现需要选择合适的回归方程进行回归分析, 则根据散点图,合适的回归方程类型有 ( ) A. B. C. D. 15. (多选)已知由样本数据 ， ， 求得的经验回归方程为 ，且 . 现发现一个样本数据(8,12)误差较大，去除该数据后重新求得的经验回归直线 的纵截距依然是 1,则下列说法正确的是 ( ) A. 去除前变量 每增加 1 个单位,变量 一定增加 2 个单位 B. 去除后剩余样本数据中 的平均数为 2 C.去除后的经验回归方程为 D. 去除后样本相关系数 变大 16. 数据显示, 某企业近年加大了科技研发资金的投入，其科技投入x(百万元)与收益 (百万元)的数据统计如下: 根据数据特点, 甲认为样本点分布在指数型曲线 的周围，据此他对数据进行了一些初步处理.如下表: 科技投入 1 2 3 4 5 6 7 收益 19 20 22 31 40 50 70 5 140 1 239 149 2134 130 其中 . (1)请根据表中数据，建立 关于 的回归方程 (系数 精确到 0.1 ); (2)①乙认为样本点分布在直线 的周围，并计算得经验回归方程为 ，以及该回归模型的决定系数 ，试比较甲、乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？ ②由①所得的结论，计算该企业欲使收益达到1亿元， 科技投入的费用至少要多少百万元？(精确到0.1) 附:对于一组数据 , 其经验回归直线 的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ,决定系数: . 参考数据: . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. B［由表中的数据可得，变量随着的增大而减小，则，，，又经验回归方程过点，可得.］ 2. D［的绝对值越大，越接近，线性相关性越强.］ 3. D［由题意结合经验回归方程的预测作用可得，当时，，则随机误差的残差为.］ 4. C［根据题表中的数据， 得， ， ， 经验回归方程为， 当时，(亿元)， 即该公司收入为 8 亿元时支出为 5.2 亿元.］ 5. AC［由题表可知，，. 由经验回归直线恒过点，得，即，故 A 正确；由可得经验回归方程为，显然为正相关，其相关系数，故 B 错误；令，则，故 C 正确；该人工智能公司这 5 年的利润的方差，故 D 错误.］ 6. BCD［对于 A，若所有样本点都在经验回归直线上，则与相等，故 A 错误；对于 B，经验回归直线必过样本数据的中心点，故 B 正确；对于 C，若所有样本点都在经验回归直线上，则，故越接近于 1，变量间的相关系数为 1，即正相关，则，故 D 正确.］ 7. CD［A 中，因为，所以变量每增加一个单位时，平均减少 5 个单位，故 A 错误；B 中，线性相关性具有正负，相关性越强，则样本相关系数的绝对值越接近于 1，故 B 错误；C 中，在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明波动越小，即模型的拟合精度越高，故 C 正确；D 中，在一元线性回归模型中，决定系数越接近于 1，说明模型拟合的精度越高，即回归的效果越好，故 D 正确.］ 8. ［由散点图知，用拟合的效果比拟合的效果要好，所以，故较大者为.］ 9. 0.025 培训方式 集中 分散 合计 一次考过 45 30 75 一次未考过 10 20 30 合计 55 50 105 . 10. ，， 回归直线一定过点， 即， 即 . 又 ,所以 ] 11. 解 (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值， 样本中10棵这种树木的材积量的平均值，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为. (3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比， 可得，解得.则该林区这种树木的总材积量估计为. 12. 解 (1)由表格可知，该市一天的空气质量好，且的浓度不超过天的天数为， 则“该市一天的空气质量好，且的浓度不超过”的概率. (2)由表格数据可得到列联表如下： 的浓度 合计 空气质量好 空气质量不好 合计 (3)零假设为:该市一天的空气质量与当天的浓度无关. 由(2)知， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立，因此可以认为不成立，即认为该市一天的空气质量与当天的浓度有关. 13. 　[由，得，令， 则，由题意知，，.因为满足，所以，解得， 所以，所以，令，解得.] 14. 　[题中散点图的特点是单调递增，增长速度越来越慢，且. 对于A，当时，为增函数，且其增长速度逐渐减小且小于，故可能符合，故A正确； 对于B，该函数值大于，故错误； 对于C，当时，为增函数，其增长速度逐渐减小且小于，故可能符合，故C正确； 对于D，当时，为直线，与散点图不符合，故D错误.] 15. 　[当时，，则，，去除样本数据后的新数据，，，设去除样本数据后重新求得的经验回归方程为，则，解得，故去除后的经验回归方程为，C正确； 对于A选项，去除前变量每增加1个单位，变量大约增加2个单位，A错误； 对于B选项，去除后剩余样本数据中的平均数为2，B正确； 对于D选项，去除了误差较大的样本数据后，线性相关性变强，因为关于为正相关，则， 所以，样本相关系数变大，D正确.] 16. 解 (1)将两边取对数得 ，令，则， ，根据最小二乘估计可知 ， 回归方程为， 即. (2)①甲建立的回归模型： 甲建立的回归模型拟合效果更好. ②由①知，甲建立的回归模型拟合效果更好.令， 即， 解得.科技投入的费用至少要百万元，下一年的收益才能达到1亿元. $