复习专题 2：百分数的应用（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

专题 2：百分数的应用 人教版小学六年级｜查漏补缺专题讲义 模块一：连续涨跌问题（单位“1”变化） 1. 核心难点 连续两次（或多次）涨跌幅变化时，每次的单位“1”不一样，不能直接把百分比相加减。 2. 标准解题方法：赋值法 (1) 把初始量设为 1（或 100，方便计算） (2) 第一次变化：用初始量 × (1 ± 变化幅度) (3) 第二次变化：用第一次的结果 × (1 ± 变化幅度) (4) 比较最终量和初始量，求变化幅度 💡 口诀：设单位“1"，分步算，每步基准不一样 📖 典型例题精讲 例 1 一件衣服 3 月涨价 20%，4 月又降价 20%，现价和原价相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？ ✅解析： 设原价为 1。 3 月涨价后：1 ×(1 + 20%) = 1.2 4 月降价后：1.2 ×(1 - 20%) = 1.2 ×0.8 = 0.96 现价 0.96 < 原价 1，价格降了 变化幅度：(1 - 0.96) ÷ 1 = 4% 答案：降了，下降 4% ⚠️ 高频误区：很多同学以为涨 20% 又降 20% 就抵消了，其实两次变化的基数不一样！降的那一次基数更大，所以降的更多。 ✏️ 课堂练习 1． 某工厂去年产量比前年增长 15%，今年比去年减少 10%，今年产量和前年相比是增了还是减了？变化幅度是多少？ 2． 一杯糖水，先加水使含糖率降低 20%，再蒸发水使含糖率升高 20%，最终含糖率和最初相比（ ） A. 升高了 B. 降低了 C. 不变 D. 无法确定 模块二：增减幅度问题 1. 核心公式 增加（减少）百分之几 = ×100% 2. 关键：找准单位“1" "A 比 B 多百分之几”→ B 是单位“1"，分母是 B "B 比 A 少百分之几”→ A 是单位“1"，分母是 A 💡 口诀："比”后面是谁，谁就是分母！ 3. 经典易错点 A 比 B 多 25% ≠ B 比 A 少 25% 因为两次比较的单位“1”不一样！ 📖 典型例题精讲 例 2 甲有 80 元，乙有 50 元。 （1） 甲比乙多百分之几？ （2）乙比甲少百分之几？ ✅解析： （1）甲比乙多百分之几 → 乙是单位“1”相差量：80 - 50 = 30 30 ÷ 50 = 0.6 = 60% 甲比乙多 60% （2） 乙比甲少百分之几 → 甲是单位“1”相差量：80 - 50 = 30 30 ÷ 80 = 0.375 = 37.5% 乙比甲少 37.5% ⚠️ 重点强调：同样相差 30 元，但“比谁”不一样，分母就不一样，结果也不一样！这是最容易出错的地方。 ✏️ 课堂练习 1． 甲数是 50，乙数是 40。甲数比乙数多百分之几？乙数比甲数少百分之几？ 2． 男生人数比女生多 20%，女生人数比男生少百分之几？（提示：可以设女生人数为 100 人） 模块三：本金与利息问题 1. 基本概念 · 本金：存入银行的钱 · 利息：银行多支付的钱 · 利率：利息与本金的比率（通常按年计算，叫年利率） · 存期：存钱的时间 · 本息和：本金 + 利息 2. 核心公式 利息 = 本金 × 年利率 × 存期 本息和 = 本金 + 利息 3. 常见拓展 · 利息税：部分存款需要缴纳利息税，税后利息 = 利息 × (1 - 税率) · 国债：国家发行的债券，通常免利息税，利率比普通存款高 · 活期 vs 定期：活期利率低但随时可取，定期利率高但提前取按活期算 💡 解题关键：看清题目问的是“利息”还是“本息和"，有没有利息税。 📖 典型例题精讲 例 3 妈妈把 5000 元存入银行，定期三年，年利率是 4.25%。到期后妈妈能得到多少利息？一共能取回多少钱？ ✅解析： 利息 = 本金 × 年利率 × 存期=5000 × 4.25% × 3 = 637.5（元） 一共取回 = 本金 + 利息 =5000 + 637.5 = 5637.5（元） 答案：利息 637.5 元，一共取回 5637.5 元 ⚠️易错提醒：题目问“取回多少”就是求本息和，要加本金；只问“利息多少”就不用加。 ✏️ 课堂练习 1． 小明把 2000 元压岁钱存入银行，定期两年，年利率 3.75%。到期后小明能拿到多少利息？ 2． 爸爸买了 3000 元五年期国债，年利率 5.32%，国债免利息税。到期后爸爸一共能取回多少元？ 模块四：折扣与利润 1. 折扣相关 · 打几折 = 现价是原价的百分之几十 · 八折 = 80%，七五折 = 75% · 公式：现价 = 原价 × 折扣 2. 利润相关 · 利润 = 售价 - 成本（进价） · 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100% · 售价 = 成本 × (1 + 利润率) 💡 注意：利润率的单位“1”是成本，不是售价！ 📖 典型例题精讲 例 4 一件商品按 20% 的利润定价，然后打八折出售，结果亏了 64 元。这件商品的成本是多少元？ ✅解析： 设成本为 1（单位“1"）。 定价：1 ×(1 + 20%) = 1.2 打八折后售价：1.2 ×80% = 0.96 亏了：1-0.96 = 0.04 亏了0.04 对应 64 元，所以成本：64÷0.04 = 1600（元） 答案：成本是 1600 元 ⚠️ 易错提醒：定价是在成本基础上加利润，打折是在定价基础上降价，两次的单位“1”不一样！ ✏️ 课堂练习 1． 一件商品打七五折后售价是 150 元，这件商品原价多少元？ 2． 某商店把一件商品按进价提高 50% 后标价，又以八折优惠卖出，结果每件仍获利 30 元。这件商品的进价是多少元？ 模块五：浓度问题 🧪 趣味引入：糖水的秘密 你有没有这样的经历 —— 冲一杯糖水，第一口觉得不够甜，又加了一勺糖，就变甜了；或者觉得太甜了，又加了点水，就变淡了。 甜不甜，就是“浓度”在说话：糖放得多 → 浓度高 → 甜 水放得多 → 浓度低 → 淡 浓度问题，就是研究“糖、水、糖水”三者之间的关系。 1. 基本概念 · 溶质：被溶解的东西（糖、盐、药粉……） · 溶剂：溶解东西的液体（水……） · 溶液：溶质 + 溶剂的混合体（糖水、盐水、药水……） 2. 核心公式 浓度 = ×100% 溶质质量 = 溶液质量 ×浓度 溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量 3. 常见题型 · 加水稀释：溶质不变，溶液变多，浓度降低 · 加溶质增浓：溶液变多，溶质变多，浓度升高 · 蒸发浓缩：溶质不变，溶液变少，浓度升高 💡 解题关键：抓住不变的量！加水时溶质不变，加盐时水不变。 📖 典型例题精讲 例 5 有 200 克浓度为 15% 的盐水，要把它稀释成浓度为 10% 的盐水，需要加水多少克？ ✅解析： 加水稀释 → 盐的质量不变（这是关键！） 第一步：先算盐有多少克 200 ×15% = 30（克） 第二步：稀释后盐还是 30 克，但浓度变成 10% 了 稀释后盐水总质量：30 ÷ 10% = 300（克） 第三步：增加的质量就是加的水 300 - 200 = 100（克） 答案：需要加水 100 克 💡 方法总结：稀释问题抓“溶质不变”，先算溶质，再用溶质 ÷ 新浓度 = 新溶液，最后求差值。 ✏️ 课堂练习 1． 有 300 克浓度为 8% 的糖水，要把它变成浓度为 20% 的糖水，需要加糖多少克？（提示：加糖时，水的质量不变） 2． 有含盐率 10% 的盐水 500 克，蒸发掉多少克水后，含盐率变成 25%？ 📝 课堂总结 一、连续涨跌问题 · 核心：每次变化单位“1”不同，不能直接抵消 · 方法：赋值法，设初始量为 1，分步计算 · 易错：涨 20% 再降 20% ≠ 回到原价 二、增减幅度问题 · 公式：相差量 ÷ 单位“1”的量 × 100% · 关键：“比”后面是谁，谁就是分母 · 易错：A 比 B 多 25% ≠ B 比 A 少 25% 三、本金与利息 · 公式：利息 = 本金 × 年利率 × 存期 · 本息和 = 本金 + 利息 · 注意：看清求利息还是本息，有没有利息税 四、折扣与利润 · 折扣：现价 = 原价 × 折扣 · 利润：利润率 = 利润 ÷ 成本（单位“1”是成本！） · 综合题：定价和打折的单位“1”不一样，注意区分 五、浓度问题 · 公式：浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100% · 关键：抓不变量（加水→溶质不变；加盐→水不变） · 技巧：先算不变量，再求新溶液，最后算差值 📋 课后练习题 模块一：连续涨跌问题 1. 一种商品先降价 10%，再涨价（ ）% 就能回到原价。（结果保留一位小数） 2. 某股票第一天涨了 5%，第二天跌了 5%，两天后股价和最初相比（ ） A. 涨了 B. 跌了 C. 不变 D. 无法确定 3. 一件商品经过两次降价，每次都降 20%，现在售价是 128 元。原价是多少元？ 模块二：增减幅度问题 4. 甲数比乙数多 30%，乙数比丙数少 20%，甲数比丙数多百分之几？ 5. 如果男生人数减少 20% 就和女生人数相等，那么男生人数比女生多百分之几？ 模块三：利息与百分数实际应用 6. 爸爸买了 3000 元三年期国债，年利率 4.5%。存了两年后因急需用钱提前支取，按规定提前支取只能按活期年利率 0.35% 计算利息。爸爸比到期支取少得多少元利息？ 7. 小华把 1000 元存入银行，定期两年，年利率 3.75%。如果利息税是 5%，到期后小华实际能拿到多少元利息？ 8. 李阿姨有 5000 元，打算存两年。银行有两种方式： 方式一：直接存两年定期，年利率 4.0% 方式二：先存一年，年利率 3.0%，到期后连本带息再存一年 哪种方式利息更多？多多少元？（结果保留整数） 模块四：折扣与利润 9. 一件商品先涨价 10%，再打九折出售，现价和原价相比（ ） A. 现价高 B. 原价高 C. 一样高 D. 无法比较 10. 某商品按定价出售，每件可获利 45 元。如果按定价的 70% 出售 10 件，与按定价每件减价 25 元出售 12 件所获利润一样多。这种商品每件定价多少元？ 11. 某商场搞促销活动，满 200 减 50，相当于打几折？如果买了一件原价 560 元的衣服，实际折扣是多少？（结果保留一位小数） 模块五：浓度问题 12. 将 200 克浓度为 10% 的盐水与 300 克浓度为 20% 的盐水混合，混合后的盐水浓度是多少？ 13. 有浓度为 20% 的糖水若干，加入一定量的水后稀释成浓度为 15% 的糖水，再加入同样多的水，浓度将变成多少？ 专题 2：百分数的应用 参考答案 课堂练习答案 模块一：连续涨跌问题 1. 设前年产量为 1。去年：1×1.15=1.15；今年：1.15×0.9=1.035 今年比前年增了，增长 3.5%。 2. B（设最初含糖率为 1，降低 20% 后为 0.8，再升高 20% 为0.8×1.2=0.96，降低了） 模块二：增减幅度问题 1. 甲比乙多：(50-40)÷40=25%；乙比甲少：(50-40)÷50=20% 2. 设女生 100 人，男生 120 人。女生比男生少：(120-100)÷120≈16.7% 模块三：利息与百分数实际应用 1. 2000×3.75%×2=150元 2. 利息：3000×5.32%×5=798元；一共取回：3000+798=3798元 模块四：折扣与利润 1. 150÷75%=200元 2. 设进价为 1。标价 1.5，打八折后售价1.5×0.8=1.2， 利润率 20% 30÷20%=150元，进价 150 元 模块五：浓度问题 1. 水的质量不变：300×(1-8%)=276克 加糖后水占 80%：276÷80%=345克 加糖：345-300=45克 2. 盐的质量：500×10%=50克 蒸发后盐水：50÷25%=200克 蒸发水：500-200=300克 课后练习题答案 模块一：连续涨跌问题 1. 设原价为 1，降价后为 0.9，需要涨：(1-0.9)÷0.9≈11.1% 答案：11.1% 2. B（1×1.05×0.95=0.9975<1，跌了） 3. 倒推：128÷(1-20%)÷(1-20%)=128÷0.8÷0.8=200元 答案：200 元 模块二：增减幅度问题 4. 设丙数为 1，乙数 =1×(1-20%)=0.8，甲数 =0.8×(1+30%)=1.04 甲比丙多：(1.04-1)÷1=4% 答案：4% 5. 男生 ×(1-20%)= 女生，男生 ×0.8 = 女生，男生：女生 = 5:4 男生比女生多：(5-4)÷4=25% 答案：25% 模块三：利息与百分数实际应用 6. 正常到期利息：3000×4.5%×3=405元 提前支取利息：3000×0.35%×2=21元 少得：405-21=384元 答案：少得 384 元利息 7. 利息：1000×3.75%×2=75元 税后利息：75×(1-5%)=71.25元 答案：实际拿到利息 71.25 元 8. 方式一：5000×4.0%×2=400元 方式二：第一年利息5000×3.0%=150元 第二年利息(5000+150)×3.0%=154.5元 总利息：150+154.5=304.5≈305元 方式一利息更多，多400-305=95元 答案：方式一利息更多，多 95 元 模块四：折扣与利润 9. B（1×1.1×0.9=0.99<1，原价高） 10. 设每件成本为x元，定价为x+45元。 按 70% 出售 10 件利润：10×[0.7(x+45)-x]=10×(31.5-0.3x) 减价 25 元出售 12 件利润：12×(45-25)=240元 10×(31.5-0.3x)=240 315-3x=240 3x=75，x=25 定价：25+45=70元 答案：70 元 11. 满 200 减 50，买 200 元的东西付 150 元，折扣：150÷200=75%=七五折 560 元的衣服：满 200 减 50，560 里有2个 200，减100元，实付460元 实际折扣：460÷560≈82.1%≈八二折 答案：满 200 减 50 相当于七五折；560 元实际约八二折 模块五：浓度问题 12. 总盐量：200×10%+300×20%=20+60=80克 总溶液：200+300=500克 浓度：80÷500=16% 答案：16% 13. 设原有糖水 100 克，糖 20 克。 第一次加水后：20÷15%=克，加水-100=克 再加同样多水：20÷(+)=20÷=12% 答案：12% 学科网（北京）股份有限公司 $