2.3 有理数的乘方 同步讲义 2026-2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦初中数学“有理数的乘方”核心知识点，系统梳理乘方的定义、法则及运算顺序，延伸至非负数性质（偶次方）的应用，结合有理数混合运算，衔接近似数、有效数字与科学记数法，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料以“解题知识+典例+变式”模块设计，通过具体题目培养抽象能力（如乘方符号判断）和运算能力（如混合运算顺序），融入电商销售、非遗春节等实际情境体现应用意识。课中辅助教师分题型教学，课后助力学生通过变式题与过关验收查漏补缺。

第2章 2.3 有理数的乘方 内 容 导 航 题型1 有理数的乘方 题型2 非负数的性质：偶次方 题型3 有理数的混合运算 题型4 近似数和有效数字 题型5 科学记数法—表示较大的数 考 点 演 练 题型1 有理数的乘方 解｜题｜知｜识 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 【典例1】下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 【答案】B 【解答】解：A．∵（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，﹣22＝﹣2×2＝﹣4，∴﹣4≠4，故此选项不符合题意； B．∵（﹣1）3＝（﹣1）×（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，﹣（﹣1）2＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，∴（﹣1）3＝﹣（﹣1）2，故此选项符合题意； C．∵﹣|﹣0.3|＝﹣0.3，﹣0.3≠0.3，故此选项不符合题意； D．∵当a≥0时，|a|＝a，当a＜0时，|a|＝﹣a，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】一个数的平方等于16，则这个数的立方与这个数的绝对值的和是（　　） A．±4 B．﹣60 C．68 D．﹣60或68 【答案】D 【解答】解：∵一个数的平方等于16， ∴这个是等于±4， ∴这个数的立方与这个数的绝对值的和是： （﹣4）3+|﹣4|＝﹣60或43+|4|＝68． 故选：D． 【变式2】下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与 【答案】C 【解答】解：A、﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣1|＝﹣1，即﹣（﹣1）与﹣|﹣1|不相等，故此选项不符合题意； B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，即﹣32与（﹣3）2不相等，故此选项不符合题意； C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，即（﹣4）3与﹣43相等，故此选项符合题意； D、，，即与不相等，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④﹣（﹣1）4其中结果等于﹣1的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：①﹣12＝﹣1； ②﹣（﹣1）2＝﹣1； ③﹣13＝﹣1； ④﹣（﹣1）4＝﹣1． ∴结果等于﹣1的是①②③④， 故选：D． 【变式4】在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示． 则第5个方框中最下面一行的数可能是（　　） A．1296 B．2809 C．3136 D．4225 【答案】B 【解答】解：观察图象可知，第一行从右向左分别为个位数和十位数字的平方，每个数的平方占两个空，平方是一位数的前面的空用0填补，第二行从左边第2个空开始向右是这个两位数的两个数字的乘积的2倍，然后相加即为这个两位数的平方． 第5方框第2行数是30，所以原数的十位数字和个位数字的乘积是，那么这两个数就应该是3和5， 所以这两位数是35或53，352＝1225，532＝2809， 故选：B． 【变式5】方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（）① ② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（）① ② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　②　 步，圆圆开始出错的是第 　①　 步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方方开始出错的是第②步，圆圆开始出错的是第①步， 故答案为：②，①； （2） ＝﹣16÷（﹣8）×（） ＝2×（） ． 题型2 非负数的性质：偶次方 解｜题｜知｜识 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 【典例1】若有理数x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0，则xy的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．9 D．﹣9 【答案】A． 【解答】解：∵|x+2|+（y﹣3）2＝0， ∴x+2＝0，y﹣3＝0， ∴x＝﹣2，y＝3， ∴xy＝（﹣2）3＝﹣8． 故选：A． 【变式1】已知|m﹣1|+（n+3）2＝0，则m﹣n的值等于（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4 【答案】A． 【解答】解：∵|m﹣1|+（n+3）2＝0， ∴m﹣1＝0，n+3＝0， ∴m＝1，n＝﹣3， ∴m﹣n＝1﹣（﹣3）＝4． 故选：A． 【变式2】若|m﹣2|+（n+3）2＝0，则m+n＝　﹣1　 ． 【答案】﹣1 【解答】解：∵|m﹣2|+（n+3）2＝0， ∴， 解得， ∴m+n＝2﹣3＝﹣1． 故答案为﹣1． 【变式3】若|a+2|与（b﹣6）2互为相反数，则ab＝　64　 ． 【答案】64． 【解答】解：∵|a+2|和（b﹣6）2互为相反数， ∴|a+2|+（b﹣6）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣6＝0， ∴a＝﹣2，b＝6， ∴ab＝（﹣2）6＝64． 故答案为：64． 【变式4】已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题： （1）请直接写出a、b、c的值．a＝　﹣1　 ，b＝　1　 ，c＝　5　 ． （2）画一条数轴，并将下列各数标在数轴上． ﹣（﹣1），﹣22，，|﹣3|． 【答案】（1）﹣1，1，5； （2）． 【解答】解：（1）∵（c﹣5）2+|a+b|＝0，b是最小的正整数， ∴c﹣5＝0，a+b＝0，b＝1， 解得a＝﹣1，c＝5． 故答案为：﹣1，1，5． （2）由﹣（﹣1）＝1，﹣22＝﹣4，|﹣3|＝3， 各点在数轴上表示如下： 【变式5】如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且|a+24|+（b﹣10）2＝0． （1）a＝　﹣24　 ，b＝　10　 ； （2）如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点A1与点B重合． ①点C表示的数为　﹣7　 ； ②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E．若点E与点B之间相距5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数． 【答案】（1）﹣24，10； （2）①﹣7；②﹣19或﹣29． 【解答】解：（1）∵|a+24|+（b﹣10）2＝0， ∴a+24＝0，b﹣10＝0， 解得a＝﹣24、b＝10． 故答案为：﹣24，10； （2）①∵该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点A1与点B重合， ∴点C表示的数为：， 故答案为：﹣7； ②∵点E与点B之间相距5个单位长度，点E是点D的对应点，点B是点A的对应点， ∴点D与点A的距离也是5． ﹣24+5＝﹣19或﹣24﹣5＝﹣29． 故点D所表示的数为﹣19或﹣29． 题型3 有理数的混合运算 解｜题｜知｜识 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 【典例1】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 若输入的值为π，则y10的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：把x＝π代入得：y1， 把y1代入得：y2， 把y2代入得：y3， 归纳总结得：yn， 则y10． 故选：C． 【变式1】下列算式正确的是（　　） A．（﹣5）+（+3）＝﹣8 B．（﹣5）﹣（+3）＝﹣2 C． D．|﹣3|×（﹣2）2＝﹣12 【答案】C 【解答】解：（﹣5）+（+3）＝﹣2，则A不符合题意； （﹣5）﹣（+3）＝﹣8，则B不符合题意； （﹣3）÷（）＝6，则C符合题意； |﹣3|×（﹣2）2＝12，则D不符合题意； 故选：C． 【变式2】二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝5，同样地，三进制数（102）3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30＝11．现有二进制数a＝（11101）2、三进制数b＝（1010）3，那么a、b的大小关系是（　　） A．a＜b B．b＜a C．a＝b D．不能确定 【答案】A 【解答】解：a＝（11101）2用十进制表示为1×24+1×23+1×22+0×21+1×20＝29， b＝（1010）3用十进制表示为1×33+0×32+1×31+0×30＝30， ∵29＜30， ∴a＜b， 故选：A． 【变式3】计算的结果是（　　） A．2m+3n B．2m+3n C．m2+3n D．2m+n3 【答案】B 【解答】解：根据乘方的定义，乘法的定义列出代数式可得： m个2相加＝2×m＝2m，n个3相乘＝3n， ∴原式 ＝ 2m+3n． 故选：B． 【变式4】如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是（　　） 账号：wenxinzhijia wen⊕5*3*6＝wen301848 xin⊕2*6*7＝xin144256 jia⊕6*6*6＝密码 A．jia666666 B．jia723672 C．jia123636 D．jia363672 【答案】D 【解答】解：由第一组数可得5×6＝30，3×6＝18，30+18＝48， 由第二组数可得2×7＝14，6×7＝42，14+42＝56， 则6×6＝36，6×6＝36，36+36＝72， 那么密码为jia363672， 故选：D． 【变式5】上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME﹣14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进仿数字3745．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×1，在电子计算机中用的二进制，如二进制中110＝1×22+1×21+0×1等于十进制的数6、八进制数字3745换算成十进制是 　2021　 ． 【答案】2021． 【解答】解：3745＝3×83+7×82+4×81+5×80 ＝1536+448+32+5 ＝2021． 所以八进制数字3745换算成十进制是2021． 故答案为：2021． 题型4 近似数和有效数字 解｜题｜知｜识 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．近似数1.8945精确到0.001 B．近似数0.520精确到百分位 C．近似数3.72精确到百分位 D．近似数5000精确到千位 【答案】C 【解答】解：A、近似数1.8945精确到万分位，所以A选项错误； B、近似数0.520精确到百分位 到千位，所以B选项错误； C、近似数3.72精确到百分位，所以C选项正确； D、近似数5000精确到个位，所以D选项错误． 故选：C． 【变式1】按括号内的要求用四舍五入法取近似数，下列错误的是（　　） A．1.804≈1.80（精确到0.1） B．0.0296≈0.03（精确到0.01） C．304.35≈304（精确到个位） D．1.804≈1.80（精确到百分位） 【答案】A 【解答】解：A：1.804精确到0.1（十分位），应看百分位上的数字，百分位上的数字是0，小于5，应舍去，结果为1.8．选项结果为1.80，与要求不符，故错误，符合题意； B：0.0296精确到0.01（百分位），需看千分位的数字，千分位是9，9≥5，故百分位2进1得0.03，正确，不符合题意； C：304.35精确到个位，需看十分位的数字，十分位是3，3＜5，故个位4保持不变，结果为304，正确，不符合题意； D：1.804精确到百分位，需看千分位的数字，千分位是4，4＜5，故百分位0保持不变，结果为1.80，正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】为了测试一款智能焊接机器人的精确度，将四个机器人分别对同一焊接处的长度进行两次测量，下面是每个机器人两次测量结果的差，则对应的两次测量结果最接近的是（　　） A．0.03毫米 B．﹣0.02毫米 C．0.02毫米 D．﹣0.01毫米 【答案】D 【解答】解：∵|0.03|＝0.03，|﹣0.02|＝0.02，|0.02|＝0.02，|﹣0.01|＝0.01， ∴0.03＞0.02＞0.01， 故选：D． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．任何有理数的正偶次方总为正数 B．若a+b＞0且ab＜0，则a，b异号且负数的绝对值较大 C．若a+b＝0且ab≠0，则 D．近似数5.23×107精确到了百分位 【答案】C 【解答】解：A．任何有理数的正偶次方总为正数（0除外），所以A选项不符合题意； B．若a+b＞0且ab＜0，则a，b异号且正数的绝对值较大，所以B选项不符合题意； C．若a+b＝0且ab≠0，则1，所以C选项符合题意； D．近似数5.23×107精确到了十万位，所以D选项不符合题意； 故选：C． 【变式4】把3.1415926精确到百分位的近似值为 　3.14　 ． 【答案】3.14 【解答】解：把3.1415926精确到百分位的近似值为3.14， 故答案为：3.14． 【变式5】我国的国土面积为9596950平方千米，把它四舍五入精确到万位是　9.60×106 平方千米． 【答案】9.60×106． 【解答】解：9596950平方千米≈9.60×106平方千米， 即9596950平方千米四舍五入精确到万位是9.60×106平方千米， 故答案为：9.60×106． 题型5 科学记数法—表示较大的数 解｜题｜知｜识 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【典例1】2025年12月4日，“春节﹣中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．2026年是第一个“非遗版”春节，某电商平台年货节期间，河南特产销售总额突破了12600000000元．将数据“12600000000”用科学记数法表示为（　　） A．126×109 B．1.26×1010 C．12.6×109 D．0.126×1010 【答案】B 【解答】解：12600000000＝1.26×1010． 故选：B． 【变式1】据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（　　） A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107 【答案】B 【解答】解：将35000000用科学记数法表示为：3.5×107． 故选：B． 【变式2】ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 【答案】D 【解答】解：175000000000＝1.75×1011． 故选：D． 【变式3】中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将这个数用科学记数法表示为（　　） A．44×108 B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010 【答案】C 【解答】解：4 400 000 000＝4.4×109， 故选：C． 【变式4】 2021年12月9日，“天宫课堂”第一课在中国空间站正式开讲，青少年参与踊跃．这是时隔8年之后，中国航天员再次进行太空授课．早在2013年6月20日，全国6000余万中小学生观看了首次太空授课直播．数6000万用科学记数法表示为（　　） A．6×103 B．60×106 C．6×107 D．0.6×108 【答案】C 【解答】解：6000万＝60000000＝6×107． 故选：C． 【变式5】下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 B． C．中，非负整数有1个 D．2025年九三阅兵中洲际导弹东风﹣31A射程超过11000公里，11000用科学记数法表示为1.1×103 【答案】A 【解答】解：A．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远，符合题意， B．（﹣2）3，不符合题意， C．非负整数有2025，0共2个，不符合题意， D．11000用科学记数法表示为1.1×104，不符合题意， 故选：A． 过 关 验 收 1. 下列选项中，互为相反数的是（　　） A．（﹣3）3和﹣33 B．和 C．和2025 D．﹣22和（﹣2）2 【答案】D 【解答】解：A．（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，故本选项不符合题意； B.，两数相等，故本选项不符合题意； C.，2025，两数互为倒数，故本选项不符合题意； D．﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列关于描述正确的个数是：（　　） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③平方等于它本身的数只有0；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数逐项分析判断如下： 有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 平方等于它本身的数有0，1，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 故选：C． 3. 下列各组算式中，计算结果相等的是（　　） A．32与23 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣32与（﹣3）2 D．[﹣2×（﹣3）]2与2×（﹣3）2 【答案】B 【解答】解：A．32＝9，23＝8，两数不相等，选项错误，不符合题意； B．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，两数相等，选项正确，符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，两数不相等，选项错误，不符合题意； D．[﹣2×（﹣3）]2＝36，2×（﹣3）2＝18，两数不相等，选项错误，不符合题意． 故选：B． 4. 平方根等于本身的数是　0　 ． 【答案】0 【解答】解：∵02＝0， ∴平方根等于本身的是0； 故答案为：0 5. 如果|x﹣1|+（y+2）2＝0，那么yx的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵|x﹣1|+（y+2）2＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴yx＝﹣2． 故选：A． 6. 若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则（a﹣b）2025＝ 　﹣1　 ． 【答案】﹣1． 【解答】解：∵（a﹣1）2+|b﹣2|＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴（a﹣b）2025＝（1﹣2）2025＝﹣1． 故答案为：﹣1． 7. 已知x，y是有理数，且满足，则﹣yx＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵， ∴x﹣3＝0，0， ∴x＝3，y， ∴﹣yx． 故答案为：． 8. 如图是一个简单的运算程序，如果输入的x值为﹣2，则输出的结果为（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣14 【答案】B 【解答】解：根据图示列出算式可得： （﹣2+5）×（﹣2） ＝3×（﹣2） ＝﹣6． 故选：B． 9. 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）天 A．343 B．466 C．441 D．462 【答案】B 【解答】解：1×73+2×72+3×7+4＝466（天）， 故选：B． 10. 如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 【答案】A 【解答】解：把a＝﹣1代入得： [（﹣1）2﹣（﹣2）]×（﹣3）+4 ＝（1+2）×（﹣3）+4 ＝3×（﹣3）+4 ＝﹣9+4 ＝﹣5， 故选：A． 11. 下列说法：①平方等于它本身的数是1；②倒数等于它本身的数是±1；③若|a|＝a，则a≥0；④若|a|＞|b|，则有（a﹣b）是正数；⑤A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；⑥a+b＝0（a、b都不为0），则的值为0．其中正确的是　②③⑥　 ．（填写序号） 【答案】②③⑥． 【解答】解：①：平方等于本身的数满足x2＝x，解得x＝0或x＝1，故①错误； ②：倒数等于本身的数满足，解得x＝±1，故②正确； ③：绝对值性质，|a|＝a，当且仅当a≥0，故③正确； ④：取a＝﹣3，b＝2，则|a|＝3＞|b|＝2，但a﹣b＝﹣5＜0，故④错误； ⑤：相邻两点距离相等即|6﹣（﹣2）|＝|x﹣6|，解得x＝14或x＝﹣2（舍去），故⑤错误； ⑥：由a+b＝0得b＝﹣a，代入得 ，故⑥正确． 故答案为：②③⑥． 12. 一条山路，从A地到B地是下坡路，从B地到C地是上坡路．小张从A地出发经B地到C地所用的时间，比从C地出发经B地回到A地的时间多5分钟，已知小张上坡的速度是下坡的，AB两地的路程与BC两地的路程的比是5：7．那么，小张在这条山路上往返一次要 　2.5　 小时． 【答案】2.5． 【解答】解：上坡用时： ＝90（分钟）， 下坡用时： （分钟）， 往返一次用时：90+60＝150（分钟）， 150分钟＝2.5小时， 故答案为：2.5． 13. DeepSeek﹣R1发布后用户数量爆发，在1月份累计获得约1.25亿用户，数据1.25亿精确到（　　） A．亿位 B．千万位 C．百万位 D．百分位 【答案】C 【解答】解：近似数1.25亿精确到百万位， 综上所述：C符合题意， 故选：C． 14. 用四舍五入法将3.818精确到百分位，所得到的结果为　3.82　 ． 【答案】3.82． 【解答】解：∵数字3.818的百分位数字是1，千分位数字是8，千分位数字8＞5， ∴向百分位进一，百分位1变为2， 用四舍五入法将3.818精确到百分位，3.818≈3.82． 故答案为：3.82． 15. DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　） A．6.71×1012 B．6.71×1011 C．67.1×1010 D．671×109 【答案】B 【解答】解：6710亿＝671000000000＝6.71×1011． 故选：B． 16. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类历史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为 　2.5×104 ． 【答案】2.5×104． 【解答】解：25000＝2.5×104． 故答案为：2.5×104． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 2.3 有理数的乘方 内 容 导 航 题型1 有理数的乘方 题型2 非负数的性质：偶次方 题型3 有理数的混合运算 题型4 近似数和有效数字 题型5 科学记数法—表示较大的数 考 点 演 练 题型1 有理数的乘方 解｜题｜知｜识 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 【典例1】下列各组数相等的有（　　） A．（﹣2）2与﹣22 B．（﹣1）3与﹣（﹣1）2 C．﹣|﹣0.3|与0.3 D．|a|与a 【变式1】一个数的平方等于16，则这个数的立方与这个数的绝对值的和是（　　） A．±4 B．﹣60 C．68 D．﹣60或68 【变式2】下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与 【变式3】下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣13；④﹣（﹣1）4其中结果等于﹣1的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式4】在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示． 则第5个方框中最下面一行的数可能是（　　） A．1296 B．2809 C．3136 D．4225 【变式5】方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方： ＝﹣16÷（﹣8）×（）① ② ＝﹣16÷1③ ＝﹣16④ 圆圆： ＝（﹣8）÷（﹣6）×（）① ② ＝﹣6③ （1）以上计算过程中，方方开始出错的是第 　 　 步，圆圆开始出错的是第 　 　 步（填序号）； （2）写出你的计算过程． 题型2 非负数的性质：偶次方 解｜题｜知｜识 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 【典例1】若有理数x，y满足|x+2|+（y﹣3）2＝0，则xy的值是（　　） A．﹣8 B．8 C．9 D．﹣9 【变式1】已知|m﹣1|+（n+3）2＝0，则m﹣n的值等于（　　） A．4 B．﹣2 C．2 D．﹣4 【变式2】若|m﹣2|+（n+3）2＝0，则m+n＝　 　 ． 【变式3】若|a+2|与（b﹣6）2互为相反数，则ab＝　 　 ． 【变式4】已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题： （1）请直接写出a、b、c的值．a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）画一条数轴，并将下列各数标在数轴上． ﹣（﹣1），﹣22，，|﹣3|． 【变式5】如图1，点A，B在数轴上对应的数分别为a，b，且|a+24|+（b﹣10）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）如图2所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A的对应点A1与点B重合． ①点C表示的数为　 　 ； ②点D为该数轴上点C左侧的一点，沿着点C进行同样的折叠后，对应点记作点E．若点E与点B之间相距5个单位长度，借助数轴求出点D所表示的数． 题型3 有理数的混合运算 解｜题｜知｜识 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 【典例1】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1的和，多次重复进行这种运算的过程如下： 若输入的值为π，则y10的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列算式正确的是（　　） A．（﹣5）+（+3）＝﹣8 B．（﹣5）﹣（+3）＝﹣2 C． D．|﹣3|×（﹣2）2＝﹣12 【变式2】二进制数（101）2可用十进制表示为1×22+0×21+1×20＝5，同样地，三进制数（102）3可用十进制表示为1×32+0×31+2×30＝11．现有二进制数a＝（11101）2、三进制数b＝（1010）3，那么a、b的大小关系是（　　） A．a＜b B．b＜a C．a＝b D．不能确定 【变式3】计算的结果是（　　） A．2m+3n B．2m+3n C．m2+3n D．2m+n3 【变式4】如表，张老师把教室里的白板密码设置成了数学问题，小明同学看到图表后思索了片刻，之后输入密码，顺利地进入了白板页面，那么她输入的密码是（　　） 账号：wenxinzhijia wen⊕5*3*6＝wen301848 xin⊕2*6*7＝xin144256 jia⊕6*6*6＝密码 A．jia666666 B．jia723672 C．jia123636 D．jia363672 【变式5】上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME﹣14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进仿数字3745．我们常用的数是十进制数，如4657＝4×103+6×102+5×101+7×1，在电子计算机中用的二进制，如二进制中110＝1×22+1×21+0×1等于十进制的数6、八进制数字3745换算成十进制是 　 　 ． 题型4 近似数和有效数字 解｜题｜知｜识 （1）有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字． （2）近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． （3）规律方法总结： “精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 【典例1】下列说法正确的是（　　） A．近似数1.8945精确到0.001 B．近似数0.520精确到百分位 C．近似数3.72精确到百分位 D．近似数5000精确到千位 【变式1】按括号内的要求用四舍五入法取近似数，下列错误的是（　　） A．1.804≈1.80（精确到0.1） B．0.0296≈0.03（精确到0.01） C．304.35≈304（精确到个位） D．1.804≈1.80（精确到百分位） 【变式2】为了测试一款智能焊接机器人的精确度，将四个机器人分别对同一焊接处的长度进行两次测量，下面是每个机器人两次测量结果的差，则对应的两次测量结果最接近的是（　　） A．0.03毫米 B．﹣0.02毫米 C．0.02毫米 D．﹣0.01毫米 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．任何有理数的正偶次方总为正数 B．若a+b＞0且ab＜0，则a，b异号且负数的绝对值较大 C．若a+b＝0且ab≠0，则 D．近似数5.23×107精确到了百分位 【变式4】把3.1415926精确到百分位的近似值为 　 　 ． 【变式5】我国的国土面积为9596950平方千米，把它四舍五入精确到万位是 平方千米． 题型5 科学记数法—表示较大的数 解｜题｜知｜识 （1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】 （2）规律方法总结： ①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n． ②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号． 【典例1】2025年12月4日，“春节﹣中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．2026年是第一个“非遗版”春节，某电商平台年货节期间，河南特产销售总额突破了12600000000元．将数据“12600000000”用科学记数法表示为（　　） A．126×109 B．1.26×1010 C．12.6×109 D．0.126×1010 【变式1】据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来．用科学记数法表示35000000是（　　） A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107 【变式2】ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　） A．1.75×103 B．1.75×1012 C．1750×108 D．1.75×1011 【变式3】中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将这个数用科学记数法表示为（　　） A．44×108 B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010 【变式4】 2021年12月9日，“天宫课堂”第一课在中国空间站正式开讲，青少年参与踊跃．这是时隔8年之后，中国航天员再次进行太空授课．早在2013年6月20日，全国6000余万中小学生观看了首次太空授课直播．数6000万用科学记数法表示为（　　） A．6×103 B．60×106 C．6×107 D．0.6×108 【变式5】下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点离原点越远 B． C．中，非负整数有1个 D．2025年九三阅兵中洲际导弹东风﹣31A射程超过11000公里，11000用科学记数法表示为1.1×103 过 关 验 收 1. 下列选项中，互为相反数的是（　　） A．（﹣3）3和﹣33 B．和 C．和2025 D．﹣22和（﹣2）2 2. 下列关于描述正确的个数是：（　　） ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③平方等于它本身的数只有0；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 下列各组算式中，计算结果相等的是（　　） A．32与23 B．﹣23与（﹣2）3 C．﹣32与（﹣3）2 D．[﹣2×（﹣3）]2与2×（﹣3）2 4. 平方根等于本身的数是　 　 ． 5. 如果|x﹣1|+（y+2）2＝0，那么yx的值是（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 6. 若（a﹣1）2+|b﹣2|＝0，则（a﹣b）2025＝ 　 　 ． 7. 已知x，y是有理数，且满足，则﹣yx＝　 ． 8. 如图是一个简单的运算程序，如果输入的x值为﹣2，则输出的结果为（　　） A．6 B．﹣6 C．﹣12 D．﹣14 9. 远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（　　）天 A．343 B．466 C．441 D．462 10. 如图是一个计算程序，若输入a的值为﹣1，则输出的结果b为（　　） A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．6 11. 下列说法：①平方等于它本身的数是1；②倒数等于它本身的数是±1；③若|a|＝a，则a≥0；④若|a|＞|b|，则有（a﹣b）是正数；⑤A、B、C三点在数轴上对应的数分别是﹣2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x＝2；⑥a+b＝0（a、b都不为0），则的值为0．其中正确的是　 　 ．（填写序号） 12. 一条山路，从A地到B地是下坡路，从B地到C地是上坡路．小张从A地出发经B地到C地所用的时间，比从C地出发经B地回到A地的时间多5分钟，已知小张上坡的速度是下坡的，AB两地的路程与BC两地的路程的比是5：7．那么，小张在这条山路上往返一次要 　 　 小时． 13. DeepSeek﹣R1发布后用户数量爆发，在1月份累计获得约1.25亿用户，数据1.25亿精确到（　　） A．亿位 B．千万位 C．百万位 D．百分位 14. 用四舍五入法将3.818精确到百分位，所得到的结果为　 　 ． 15. DeepSeek﹣V3是一款基于混合专家（MoE）架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，DeepSeek的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（　　） A．6.71×1012 B．6.71×1011 C．67.1×1010 D．671×109 16. “长征是宣言书，长征是宣传队，长征是播种机”．二万五千里长征是中国历史上的伟大壮举，也是人类历史上的奇迹．将25000用科学记数法可表示为 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $