第八章 排列组合（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本试卷为中职数学拓展模块下册第八章排列组合B卷（能力提升），60分钟100分，通过现实情境问题设计，覆盖排列、组合、二项式定理等核心考点，适配单元复习，提升学生数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|排列数计算（如数字组成三位数）、组合应用（如选3个数字）|基础概念与简单应用结合，考查数学眼光| |填空题|5/20|二项式系数（如第7、8项系数最大求n）、分组分配（如足球入箱）|知识整合与细节考查，体现数学思维| |解答题|4/40|工作分配（甲、乙、丙做四项工作）、选法计算（男女生选4人）|实际情境综合应用，培养数学语言表达与逻辑推理|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．由数字1、2、3组成的无重复数字的奇数，可以组成（ ）. A．4 B．8 C．10 D．12 2． （    ） A． B． C． D． 3．计算（   ） A．20 B．10 C．30 D．40 4．从1，2，3，4，5这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（ ） A．20 B．30 C．48 D．60 5．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（    ） A．243 B．252 C．261 D．279 6．安排3位医务工作者完成4项不同的医疗工作，每人至少完成1项医疗工作，每项医疗工作由1人完成，那么不同的安排方式共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 7．8个人两两互通一次电话，一共要通话多少次？若两两相互写一封信，一共要写多少封信？上述两个问题的计算公式分别为（   ）. A． B． C． D． 8．甲、乙、丙三人去看电影，正好有一排连续5个空座位，他们从该排选3个连在一起的座位入座的方法有（   ）. A．13种 B．15种 C．18种 D．60种 9．若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A． B． C．180 D．320 10．已知，当的展开式中项系数为3时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．的展开式中，第7项和第8项的二项式系数最大，则______. 12．从 7 名运动员中选出 4 人参加校运会的米接力赛，则甲、乙两人都不跑中间两棒的方法有________种. 13．体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放法有______种. 14．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. 15．若（），则______（数字作答）. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 17.有6本不同的书，6本不同的书分成三组，每组都是2本，有多少种不同的分法？ 18. 已知二项式. (1) 求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 19．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．由数字1、2、3组成的无重复数字的奇数，可以组成（ ）. A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】分别列举出一位、两位、三位奇数的个数，利用分类计数原理可求解. 【详解】分类完成， ①一位奇数，有1、3，共2个； ②两位奇数，有21、23、31、13，共4个； ③三位奇数，有231、321、213、123，共4个. 所以，组成的无重复数字的奇数个数为：（个）. 故选：C 2． （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数的计算即可解得. 【详解】选项A：，正确. 选项B：，错误. 选项C：，错误. 选项D：，错误. 故选：A 3．计算（   ） A．20 B．10 C．30 D．40 【答案】B 【分析】根据组合数公式即可得解. 【详解】， 故选：. 4．从1，2，3，4，5这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（ ） A．20 B．30 C．48 D．60 【答案】D 【分析】根据已知条件结合排列数公式排数即可. 从1，2，3，4，5这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数， 则所有满足条件的三位数的个数为. 故选：D. 5．用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（    ） A．243 B．252 C．261 D．279 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理，先求组成三位数的个数，再求组成没有重复数字的三位数的个数，利用剔除法可求解. 【详解】由分步乘法计数原理知， 用0，1，…，9十个数字组成三位数的个数为：， 组成没有重复数字的三位数的个数为：， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：. 故选：B 6．安排3位医务工作者完成4项不同的医疗工作，每人至少完成1项医疗工作，每项医疗工作由1人完成，那么不同的安排方式共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】D 【分析】先将4项工作分成3组，再进行全排列，即可求解. 【详解】由题意可知，将4项工作分配给3个人，方式为2、1、1， 则从4项工作里挑两个，将工作变成3组，有种方式， 再分配给3位医务工作者，有种方式， 再用分步计数原理得：不同的安排方式共有 种， 故选：D 7．8个人两两互通一次电话，一共要通话多少次？若两两相互写一封信，一共要写多少封信？上述两个问题的计算公式分别为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通话是两人之间的双向互动，是无序的；而写信是单向的发送行为，是有序的，据此即可选出正确答案. 【详解】甲给乙打电话和乙给甲打电话是同一次通话，是无序的，没有先后之分，是组合问题， 故通话次数应是：， 而两个人写信时，谁是写信者，谁是收信者是有顺序的，是排列问题， 通信次数应为：， 故选：D 8．甲、乙、丙三人去看电影，正好有一排连续5个空座位，他们从该排选3个连在一起的座位入座的方法有（   ）. A．13种 B．15种 C．18种 D．60种 【答案】C 【分析】先选3个连在一起的座位，再将3个人入座排列，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】第一步：选3个连在一起的座位 一排有5个连续座号，编号为1，2，3，4，5， 连续3个座位有：，共3种选法； 第二步：3个人入座排列 甲、乙、丙3人在选好的3个座位上全排列， 排列数为：， 根据分步计数原理，总方法数为：， 故选：C 9．若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（    ） A． B． C．180 D．320 【答案】C 【分析】根据二项式系数的性质可得n的值，再由展开式的通项公式，令x的次数为0，求得r的值，据此可得解. 【详解】因为的展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共有项，即. 所以展开式的通项公式为： ，其中， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故选：C 10．已知，当的展开式中项系数为3时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式定理结合柯西不等式即可求解. 【详解】由二项式定理可得系数为：. 所以，解得. 由柯西不等式可得，， 整理得.即. 当且仅当时，等号成立.所以的最大值为. 故选：. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．的展开式中，第7项和第8项的二项式系数最大，则______. 【答案】13 【分析】根据二项式系数的性质即可得解. 【详解】的展开式中，第7项和第8项的二项式系数最大， 所以项数为，则， 故答案为：. 12．从 7 名运动员中选出 4 人参加校运会的米接力赛，则甲、乙两人都不跑中间两棒的方法有________种. 【答案】400 【分析】根据题意利用排列数的计算即可得解. 【详解】甲乙都不跑中间两棒，中间两棒只能从剩下的 5 人中选取排列： 种； 剩下两棒从剩余 5 人（包含甲乙及未被选中的 3 人）中任选 2 个排列： 种； 总方法数 种， 故答案为：. 13．体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号，则不同的放法有______种. 【答案】10 【分析】利用变量代换将下限条件转化为非负整数解，再用隔板法求方程解的个数. 【详解】将9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱子，每个箱子放的球数不小于其编号. 设三个箱子分别放入个球，则，且， 令， 则， 非负整数解的个数为，因此，不同的放法有10种. 故答案为：. 14．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有________种. 【答案】60 【分析】利用排列组合的知识，结合分类加法原则分别讨论3张有奖券分配到4个人手中的分布差异即可得解. 【详解】把8张奖券分成4组有两种分法： 一种是分（一等奖、无奖），（二等奖、无奖），（三等奖、无奖），（无奖、无奖）四组，分给4人有种分法； 另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另外两组无奖，共有种分法，再分给4人有种分法. 所以不同获奖情况种数为. 15．若（），则______（数字作答）. 【答案】2003 【分析】利用赋值法求解. 【详解】, 令，得， 令，得， 则 ， 故答案为：2003． 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作． (1)共有多少种不同的情况； (2)求甲做工作的概率． 【答案】(1)36 (2) 【分析】（1）由题意可知有1人做两项工作，其余2人各做一项工作，根据排列与组合的知识求解即可； （2）分甲只做工作和甲做工作及中的任意一项工作，求解即可. 1）解：甲、乙、丙做四项工作，每项工作只需1人完成，每人至少完成1项工作， 故有1人做两项工作，其余2人各做一项工作， 共有种情况． （2）解：甲做工作的情况有2种： ①甲只做工作，共有种情况； ②甲做工作及中的任意一项工作，共有种情况， 所以甲做工作的情况有种， 故所求概率为． 17．有6本不同的书，6本不同的书分成三组，每组都是2本，有多少种不同的分法？ 【答案】15 【分析】这是平均分组问题，列举，，是一种分法，所以求出组合数除以即可. 先分三组，有种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为， 若第一组取了，，第二组取了，第三组取了，则该种方法记为， 但种分法中还有，，共种情况， 而这种情况只能作为一种分法，故分配方式有（种）． 18．已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) (3)540 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. （1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 19．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有多少种站队方法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 【答案】(1)2880 (2)91 (3)120 【分析】（1）利用插空法可得答案； （2）男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法，第二种情况是甲乙选人选法，求和可得答案； （3）利用间接法可得答案. （1）先安排4名女生，出现5个空位，再安排5名男生， 所以参加选拔的9名同学站成一排且男生不相邻共有 种方法； （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，包含两种情况， 第一种甲和乙都在内的选法有种， 第二种情况，甲乙选人，有种选法， 则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； （3）如果人中必须既有男生又有女生，先从所有人中选人， 去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $