第六章 三角函数（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学拓展模块下册第六章三角计算B卷，单元复习用，紧扣教材核心考点，通过基础巩固与能力提升梯度设计，整合三角变换、解三角形及实际应用，适配数学眼光、思维与语言核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|三角函数定义、三角恒等变换、充要条件|结合方程根关系（第8题）考查逻辑推理| |填空题|5/20|解三角形、角平分线性质|航海问题（第15题）体现应用意识| |解答题|4/40|正弦型函数图像、解三角形与函数性质综合|圭表文化情境（第10题）渗透数学眼光，图像分析（第19题）强化几何直观|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 三角计算 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知，且，若将角的终边绕其顶点顺时针旋转后得到角β，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数基本关系式求出，利用两角差的余弦公式即可得解. 【详解】，且， 则， ， 故选：. 2．若，为锐角，则的值为（    ） A．                   B．                  C．                  D． 【答案】A 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数平方关系，结合正余弦齐次式解法求解即可. 【详解】 . 故选：A. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的基本关系和二倍角公式求解. 【详解】已知，可得：， 因为，所以， 所以， 故选：B. 4．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式求解. 【详解】 ， 故选：A. 5．“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用辅助角公式及的性质，由得到，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 由，得到， 则，当时，， 所以可以推出，但推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A. 6．已知的面积是，且，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】已知的面积是， 且，，则， 解得， 故选：C. 7．已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，则角（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合三角形的性质，及正弦定理，即可求解. 【详解】因为，，,所以， 又，即， 解得，又， 解得. 故选：D. 8．设和是方程的两个根，则p、q之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据韦达定理得出与的和与积，再利用两角差的正切公式化简，进而得到、之间的关系. 【详解】因为和是方程的两个根， 得，， 所以， 所以，故B正确，D错误； 取，则， 此时， 则；，故排除A，C， 故选：B． 9．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】在中由正弦定理得出，再在中由正弦定理可得. 在中由正弦定理得，， 即， 因为， 且为锐角三角形， 所以，， 因为为的角平分线，所以，， 则在中由正弦定理得， 即. 10．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线.日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为厘米，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将题意转化为三角形问题，再根据正弦定理求值即可. 【详解】 如图，， ， 又，根据勾股定理， 在中，根据正弦定理可知， 即， 解得. 故选：C. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．_______________．_______________． 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式以及正切公式求解即可. 【详解】． ． 故答案为：. 12．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则________. 【答案】 【分析】根据正弦定理和余弦定理求解即可. 【详解】因为，根据正弦定理，则. 因为，所以 进而. 故答案为：. 13．在中，，且，则的最小边长为________. 【答案】6 【分析】根据题意结合正弦定理及勾股定理得出三角形为直角三角形，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】由及正弦定理，得， 设，，，因为，即， 所以，所以，解得或（舍）， 所以的最小边， 故答案为：. 14．在 中， 是角平分线， ， ，则 ____. 【答案】 【分析】根据角平分线的性质以及三角形的面积求解即可. 【详解】 过点作 因为是角平分线，且，所以 ， 结合面积公式 . 故答案为：. 15．某船开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东航行后，灯塔在正西方向，此时船与灯塔的距离为________km. 【答案】 【分析】根据正弦定理列方程求解即可. 【详解】如图，设某船开始位置为，行驶后位置为， 灯塔位置为，所以，因为船沿南偏东行驶， 且行驶后灯塔在正西方向，所以，， 且，所以在中，， 即，， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，，. (1)求角的大小； (2)若函数，求该函数的最小正周期和单调递增区间. 【答案】(1) (2)最小正周期为， 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合角的范围和特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据（1）的结论和两角和差的正弦公式对函数进行化简，再结合周期公式和正弦型函数的单调性求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 所以， 又因为，，所以， 所以. （2）由（1）知， 所以 ， 所以的最小正周期； 当函数为增函数时，有， 即， 所以函数的单调递增区间为. 17．已知， ，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及两角差的余弦公式可求结果； （2）利用二倍角的正弦和余弦公式化简后可得结果. 【详解】（1）因为， ，，， 所以，， ； （2） . 18．如图所示，钝角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，圆与轴的正半轴交于点，与角的终边交于点，设.    (1)使用表示； (2)如果，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题意及三角形的内角和使用表示； （2）由二倍角公式、诱导公式及三角函数的定义即可得解. 【详解】（1）如题图，因为， 所以. （2）因为，为锐角，所以， 所以， ， 因为点N在圆上，半径为5， 由三角函数的定义知：， ， 所以. 19．已知正弦型函数的图像如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求当x取何值时，函数取得最小值，并求出函数的最小值. 【答案】(1) (2)，最小值是 【分析】（1）首先由最值确定的值，再由周期确定的值，最后将代入函数解析式中求解即可. （2）运用整体法列方程求解即可. 【详解】（1）由图像可知函数的最大值为，最小值为， 因为，所以， 因为，所以， 解得，则， 将代入得， 即，得， 解得，因为， 所以，所以. （2）由（1）可得，， 当时，， 此时，解得， 所以当，有最小值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第六章 三角计算 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知，且，若将角的终边绕其顶点顺时针旋转后得到角β，则（    ） A． B． C． D． 2．若，为锐角，则的值为（    ） A．                   B．                  C．                  D． 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（ ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知的面积是，且，，则（   ） A． B． C． D．1 7．已知，，分别为的三个内角，，的对边，若，，，则角（   ） A．或 B． C． D． 8．设和是方程的两个根，则p、q之间的关系是（    ） A． B． C． D． 9．在锐角中，的角平分线交BC于D，则AD为（ ） A． B．2 C． D． 10．如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角.圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线.日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线.已知景德镇冬至正午太阳高度角为，夏至正午太阳高度角为，表高厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为厘米，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．_______________．_______________． 12．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，则________. 13．在中，，且，则的最小边长为________. 14．在 中， 是角平分线， ， ，则 ____. 15．某船开始看见灯塔在南偏东方向，后来船沿南偏东航行后，灯塔在正西方向，此时船与灯塔的距离为________km. 三、解答题（本大题共 4 小题，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，，. (1)求角的大小； (2)若函数，求该函数的最小正周期和单调递增区间. 17．已知， ，，. (1)求的值； (2)求的值. 18．如图所示，钝角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，圆与轴的正半轴交于点，与角的终边交于点，设.    (1)使用表示； (2)如果，求点的坐标. 19．已知正弦型函数的图像如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求当x取何值时，函数取得最小值，并求出函数的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $