综合测试卷（一）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，AB卷分层巩固，综合卷整合复数、向量、圆锥曲线等核心考点，通过基础辨析、计算证明及综合应用题型，构建知识网络，提升数学思维与应试能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-4题|概念辨析（如充要条件）|从集合、函数性质到逻辑关系，形成概念链| |空间向量|选择5-7题|计算与几何应用（如向量平行）|向量定义→运算→几何意义的推导过程| |圆锥曲线|选择8-9题、填空11/16/18题|方程与性质（如离心率）|曲线方程→几何性质→参数计算的应用逻辑| |综合应用|解答21、24题|跨模块综合（如双曲线焦点三角形）|复数、向量与圆锥曲线知识整合，体现数学应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1.复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 2.已知，，则（    ） A． B． C． D． 3.“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 4.下列三个命题中真命题的个数是（    ） （1）集合的非空真子集个数为3； （2）若全集U为小于6的自然数，集合，则； （3）若，，则条件p是结论q成立的充分条件. A．0 B．1 C．2 D．3 5.已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 6.已知点，，若向量，则（    ） A． B． C．5 D． 7.若点分别为的边的中点，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 8.下列关于曲线：的叙述中，正确的是（   ） A．一定是椭圆 B．可能是抛物线 C．一定是双曲线 D．焦距为定值 9.椭圆的离心率为，则k的值为（    ） A．4或 B．或4 C． D．4 10.如图，用符号语言可以表达为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为______. 12.若是单位向量，则______ 13.平面与平面的位置关系有______种. 14.“”是“”的______条件． 15.计算：__________． 16.若椭圆 的离心率为，则___________. 17.在边长为3的正三角形中，__________. 18.已知焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______． 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19.已知复数，. (1)若，求a的值； (2)若z是纯虚数，求a的值； (3)若，求实数b的取值范围. 20.已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求： (1)； (2)； (3)若，求的值. 21.已知抛物线上点到F的距离为4，直线交抛物线于A、B两点，且． (1)求抛物线的标准方程． (2)求直线l的方程． 四、证明题（每小题6分，共12分） 22.已知A（1,2）,B(2,3),C(3,0),求证：. 23.如图，的底面是平行四边形，是中点.求证：平面. 五、综合题（共10分） 24.双曲线上任意一点P与两个焦点，构成的三角形称为焦点三角形．若，则双曲线的焦点三角形的面积为．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是该双曲线上一点，，的面积为，点是双曲线上一点．    (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线与双曲线C交于M，N两点，且，求m的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1.复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念求值即可. 【详解】复数的共轭复数是， 故选：A. 2.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法运算易得答案. 【详解】由题意得． 故选：C. 3.“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的概念和函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】设函数表达式为， 充分性：若函数图像关于原点对称，设为图像上任意一点， 则关于原点的对称点为，该点仍在图像上， 因此，符合奇函数的定义，即函数为奇函数； 必要性：若函数为奇函数，设为图像上任意一点， 则关于原点的对称点为， 因为为奇函数，所以， 即仍在图像上，因此，函数图像关于原点对称. 综上所述：“函数的图像关于原点对称”是“函数是奇函数”的充要条件. 故选：. 4.下列三个命题中真命题的个数是（    ） （1）集合的非空真子集个数为3； （2）若全集U为小于6的自然数，集合，则； （3）若，，则条件p是结论q成立的充分条件. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据集合的相关知识以及充分必要条件的判断求解即可. 【详解】对于（1），可知集合有两个元素， 其非空真子集有个，所以错误； 对于（2），因为全集，又因为， 可得，所以错误； 对于（3），当时，，则，得，故充分性成立； 当时，取，则，故必要性不成立. 所以条件是结论成立的充分条件，故正确. 所以真命题的个数为1个. 故选：B. 5．已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量， 则， 由得，， 整理得，解得， 故选：D. 6.已知点，，若向量，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据向量得到点坐标，即可得到向量坐标，即可求解向量模长. 【详解】设点，因为， 所以向量， 即，所以， 又，所以, 故. 故选：B. 7.若点分别为的边的中点，且，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形中位线性质以及向量的加减法运算求解即可. 【详解】A选项，由于点分别为的边的中点，所以， 进而有，，A结论正确. B选项，由于点分别为的边的中点， 所以， 进而有，，B结论正确. C选项，由于点分别为的边的中点， 所以根据平行四边形法则， 进而有，，C结论正确. D选项，由于点分别为的边的中点， 所以根据中位线性质， ，D结论错误. 故选：D. 8．下列关于曲线：的叙述中，正确的是（   ） A．一定是椭圆 B．可能是抛物线 C．一定是双曲线 D．焦距为定值 【答案】D 【分析】利用椭圆、双曲线和抛物线标准方程的特征对分类讨论即可求解. 【详解】因为曲线方程没有一次项，不可能为抛物线，所以B错误； 因为可正也可负，所以曲线可能为椭圆，也可能为双曲线，所以A，C错误； 若曲线为椭圆，即时，则，所以，焦距为； 若曲线为双曲线，即时，方程为，则， 所以，焦距为，所以D正确. 故选：D. 9.椭圆的离心率为，则k的值为（    ） A．4或 B．或4 C． D．4 【答案】B 【分析】按椭圆的焦点在轴和轴分类讨论，结合离心率公式求解k的值即可. 【详解】椭圆的离心率为， 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得； 当椭圆的焦点在轴上，则，即， 由，解得. 故选：B. 10.如图，用符号语言可以表达为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点线面之间的关系，结合符号表示即可求解. 【详解】对A，由图可得，点在直线上，即，故A错误. 对B，由图可得，直线在平面内，即，故B错误. 对C，由图可得，点在直线上且在直线上，即，故C错误. 对D，由图可得，与相交于直线，即；直线在平面内，即； 点在直线上且在直线上，即，故D正确. 故选：D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.若抛物线的顶点是原点，准线为直线，则此抛物线的方程为______. 【答案】 【分析】根据抛物线的准线方程求出易得答案. 【详解】因为抛物线的顶点是原点，准线为直线， 所以焦点坐标为， 所以抛物线的焦点在轴正半轴上，， 所以抛物线的方程为. 故答案为： 12.若是单位向量，则______ 【答案】 【分析】根据单位向量的概念，即可求出. 【详解】是单位向量， . 故答案为：. 13.平面与平面的位置关系有______种. 【答案】2 【分析】根据空间中平面与平面的位置关系求解即可. 【详解】在空间中，两个平面的位置关系只有两种情况： 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面互相平行； 如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交. 综上，平面与平面的位置关系有2种. 故答案为：2. 14.“”是“”的______条件． 【答案】必要不充分 【分析】解方程，求得的值，结合充分、必要条件的定义即可得解． 【详解】由，可得或， 则“”“”， “”“”， 因此“”是“”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分 15.计算：__________． 【答案】 【分析】根据虚数单位的性质即可得解. 【详解】由可知，， 所以， 所以， 故答案为：. 16.若椭圆 的离心率为，则___________. 【答案】 【分析】根据确定，的值，利用椭圆中，，的关系及离心率公式求解即可. ，，， ， ， 解得. 故答案为：. 17.在边长为3的正三角形中，__________. 【答案】 【分析】首先求出的夹角，再结合向量数量积的定义求解即可. 【详解】因为三角形为正三角形，所以. 进而. 又因为三角形的边长为3， 所以. 故答案为：. 18.已知焦点在y轴上的双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】由题意设出双曲线方程，根据渐近线方程和双曲线的平方关系，得出比值，求出该双曲线的离心率. 【详解】双曲线的中心在原点，焦点在轴上，设双曲线的方程为 由此可得双曲线的渐近线方程为, 因为双曲线的一条渐近线方程为即，所以,, 又因,所以, ∴该双曲线的离心率是. 故答案为：. 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19.已知复数，. (1)若，求a的值； (2)若z是纯虚数，求a的值； (3)若，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将复数化简，由复数为零得到实部虚部均为零，列式求解即可. （2）由复数为纯虚数得到实部为零，虚部不为零，列式求解即可. （3）由复数的大小关系得到是大于零的实数，列式求解即可. 【详解】（1）由题意知. 若，则，解得. （2）因为z是纯虚数，所以，所以. （3）因为，所以，所以. 20．已知为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，求： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标表示求解； （2）根据向量模的坐标表示求解； （3）根据向量平行的坐标表示求解. 【详解】（1）由，， 得. （2）， . （3），， ， ，解得. 21.已知抛物线上点到F的距离为4，直线交抛物线于A、B两点，且． (1)求抛物线的标准方程． (2)求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义求解的值即可； （2）联立直线与抛物线的方程，再结合抛物线的定义和已知条件求解的值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 已知点到焦点的距离为， 由抛物线定义可知，点到准线的距离也为， 则，所以， 故抛物线的标准方程为. （2）联立直线：与抛物线的方程， 可得：，即， 设，，由韦达定理可知， 根据抛物线的定义，，， 则， 所以，可得，解得， 当时，方程变成， 此时，满足直线与抛物线有两个交点. 所以直线的方程为. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22.已知，，，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】根据向量的坐标表示、向量垂直的坐标表示证明. 【详解】证明：∵ ，， ∴ 　 又∵ ∴ 23.如图，的底面是平行四边形，是中点.求证：平面.    【答案】证明见解析 【分析】连接，交于点，连接，推导出，由此能证明平面. 【详解】如图连接，交于点，连接，    因为底面是平行四边形，所以点为中点， 又因为是中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 五、综合题（共10分） 24.双曲线上任意一点P与两个焦点，构成的三角形称为焦点三角形．若，则双曲线的焦点三角形的面积为．如图所示，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P是该双曲线上一点，，的面积为，点是双曲线上一点．    (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线与双曲线C交于M，N两点，且，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点三角形的面积公式和将代入方程中联立求解即可. （2）设，，将直线方程与双曲线方程联立，并由韦达定理得出，再由向量内积的坐标表示列方程求解即可. 【详解】（1）已知，的面积为， 点是双曲线上一点， 得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，， 联立方程 消去，整理得， 由韦达定理，得， 所以， 因为，，， 所以， 即， 解得，经检验符合题意. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $