综合测试卷（四）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，通过AB卷分层训练与综合测试卷实战模拟，系统整合立体几何、复数、向量、解析几何等跨章节知识，培养数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念辨析|选择1-6题|聚焦平面性质、充分必要条件等概念辨析|以立体几何、复数概念为起点，构建逻辑推理基础| |核心运算应用|填空11-18题、解答19-21题|向量运算、椭圆方程求解等定量计算|衔接概念与应用，形成“概念-公式-运算”推导链条| |综合证明与探究|证明22-23题、综合24题|三点共线证明、概率与复数结合|跨章节整合向量、几何、概率知识，发展数学应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1.下列命题中，正确的是（   ） A．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 B．若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线垂直于另一个平面 C．若空间中两条直线无公共点，则这两条直线平行 D．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直 2.若复数满足，其中i为虚数单位，则等于（    ） A．i B． C．1 D． 3.已知是实系数方程的一个根，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4.已知函数的定义域为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5.向量，则向量与夹角是（    ） A． B． C． D． 6.“”是“的解集是实数集”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 8.如图所示，正六边形ABCDEF的边长为1，则（   ）    A．3 B． C． D．2 9.已知非零向量，满足|＋|＝|－|，则下列结论正确的是（    ） A．⊥ B．||＝|| C．∥ D．||>|| 10.双曲线的两条渐近线互相垂直，则（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数的共轭复数是__________. 12.已知平行四边形的三个顶点A、B、C的坐标分别是，则第四个顶点的坐标是_____________________. 13.已知平面直角坐标系内的点，，，则______. 14.已知，，点满足，则点的坐标是____________． 15.已知、是非零向量，，，且，则________． 16.已知椭圆的焦点与椭圆的短轴顶点重合，且两个椭圆的离心率相等，则椭圆的标准方程是____________． 17.已知向量，，，若A，B，C三点共线，则实数k应满足的条件是________. 18.已知平面向量，若，则____________. 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19.已知点，，，，向量，，．解答下列各题： (1)求； (2)求满足的实数，的值； (3)若，求的值． 20.已知一椭圆中心在原点，焦点在轴上，半长轴长为2，且经过点. (1)求该椭圆的标准方程； (2)若直线与该椭圆有交点，求的取值范围. 21.已知向量,. (1)求和； (2)求向量与的夹角. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22.已知两个非零向量、不共线．若=+，=2+8，，求证：、、三点共线. 23.如图所示，在空间四边形ABCD中，，E是CD的中点，求证：． 五、综合题（共10分） 24.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1.下列命题中，正确的是（   ） A．若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 B．若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线垂直于另一个平面 C．若空间中两条直线无公共点，则这两条直线平行 D．若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直 【答案】A 【分析】根据平面及直线平行与垂直的判定与性质定理即可选出正确答案. 【详解】如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行， 故A选项正确； 两平面垂直时，平面内的直线可能与另一个平面相交、平行或垂直，故B选项错误； 若空间中两条直线无公共点，则这两条直线平行或异面，故C选项错误； 直线垂直于平面需要满足直线垂直于平面内的两条相交直线，仅仅垂直于平面内的无数条直线，不足以判断这条直线与这个平面垂直，故D选项错误. 故选：A 2.若复数满足，其中i为虚数单位，则等于（    ） A．i B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，再结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，，则， 所以. 故选：C 3.已知是实系数方程的一个根，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使代入方程中，列出关于的方程求解即可. 【详解】已知是实系数方程的一个根， 则，即， 整理得， 因为均为实数，所以， 解得，， 故选：B. 4.已知函数的定义域为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】利用具体函数定义域的求法得到集合，再利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】对于，有，即，解得且， 所以的定义域为， 当时，显然有，故充分性成立； 当时，取，则不成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．向量，则向量与夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，再由向量的夹角公式求解即可. 【详解】， ， ， 又， . 故选：D. 6.“”是“的解集是实数集”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立的条件及充分必要条件即可得解. 【详解】当时，，显然成立； 当时，，解得， 故的解集是实数集等价于. 因此，“”是“的解集是实数集”的充分而不必要条件. 故选：A. 7.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线方程求得渐近线方程，从而得到，再利用双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 点在其中一条渐近线上，则，故， 所以. 故选：D. 8.如图所示，正六边形ABCDEF的边长为1，则（   ）    A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据向量加法的几何运算求解即可. 【详解】根据图知，，所以.    因为正六边形ABCDEF的边长为1，所以， 进而. 故选：D. 9.已知非零向量，满足|＋|＝|－|，则下列结论正确的是（    ） A．⊥ B．||＝|| C．∥ D．||>|| 【答案】A 【详解】(解法1)因为|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，所以2＋2＋2·＝2＋2－2·．所以·＝0，所以⊥．故选A． (解法2)利用向量加法的平行四边形法则． 在平行四边形ABCD中，设＝，＝，由|＋|＝|－|知，||＝||，从而平行四边形ABCD为矩形， 即AB⊥AD，故⊥． 【考查意图】向量加、减法的几何意义． 10．双曲线的两条渐近线互相垂直，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程求得其渐近线，从而由直线垂直得到，进而得解. 【详解】因为双曲线的两条渐近线为， 又双曲线两条渐近线互相垂直，所以，得， 所以. 故选：C. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数的共轭复数是__________. 【答案】 【分析】由已知条件得，由此能求出复数的共轭复数. 由在复平面内，复数对应的向量分别是， 得， ， ∴复数的共轭复数是. 故答案为：. 12．已知平行四边形的三个顶点A、B、C的坐标分别是，则第四个顶点的坐标是_____________________. 【答案】 【分析】利用平行四边形的性质可得，利用向量的坐标表示求解即可. 【详解】设顶点的坐标为， 已知，，， 可得，， 在平行四边形中，有， 所以， 则，解得，， 综上，顶点的坐标为. 故答案为：. 13.已知平面直角坐标系内的点，，，则______. 【答案】 【分析】利用向量的坐标表示、向量坐标的运算结合向量模的计算可求. 【详解】由题可知，， 则，； 故答案为：. 14.已知，，点满足，则点的坐标是____________． 【答案】 【分析】设点的坐标为，再由向量的坐标表示列方程求解即可. 【详解】设点的坐标为， 则， ， 由得，解得， 所以点的坐标为， 故答案为：. 15.已知、是非零向量，，，且，则________． 【答案】 【分析】将两边平方，利用平面向量的运算法则求出即可得解. 【详解】、是非零向量，，，且， 则， 解得， 因为，所以， 故答案为：. 16.已知椭圆的焦点与椭圆的短轴顶点重合，且两个椭圆的离心率相等，则椭圆的标准方程是____________． 【答案】 【分析】首先由已知椭圆方程确定短轴顶点和离心率，再设椭圆的方程为，并由离心率公式和的关系求值即可. 【详解】已知椭圆的短轴顶点为，离心率为， 故椭圆的焦点为，即，设方程为， 因为两个椭圆的离心率相等， 所以，即， 解得，所以椭圆的标准方程为． 故答案为：. 17.已知向量，，，若A，B，C三点共线，则实数k应满足的条件是________. 【答案】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示可得和，再根据向量共线的坐标表示可得结果. 【详解】由题可得， ， ， 由A，B，C三点共线，可得， 所以，解得. 故答案为： 18.已知平面向量，若，则____________. 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算及向量平行的充要条件、模长的坐标公式列式计算即可得到结果. 【详解】由，可得， 由，可得，解得， 所以，. 故答案为：. 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19.已知向量,. (1)求和； (2)求向量与的夹角. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（）根据题意利用模长公式即可得解. （）利用平面向量的夹角公式即可得解. 【详解】（1）向量,， 则，. （2）， 因为，所以. 20.已知一椭圆中心在原点，焦点在轴上，半长轴长为2，且经过点. (1)求该椭圆的标准方程； (2)若直线与该椭圆有交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的标准方程是，再由题意确定的值，并将点代入方程中求解即可. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再由方程根的情况列不等式求解即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是， 由题得， 则，解得， 所以椭圆的标准方程是. （2）由题意得， 化简得， 因为直线与椭圆有交点，所以， 则，解得. 21．已知点，，，，向量，，．解答下列各题： (1)求； (2)求满足的实数，的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据向量坐标求出，再根据向量的运算求解即可. （2）根据向量的坐标以及向量相等求解即可. （3）根据向量平行以及向量的运算求解即可. 【详解】（1）已知点，，，， 则向量，，． 则； （2）因为，则，解得. （3）因为，，， 则，化简得，解得. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22.已知两个非零向量、不共线．若=+，=2+8，，求证：、、三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】计算出，利用平面向量共线的基本定理可证得，由此可证得结论成立. 【详解】证明：因为两个非零向量、不共线．若，=2+8，， 则，所以，， 又因为、有公共点，所以，、、三点共线. 23.图所示，在空间四边形ABCD中，，E是CD的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据直线与平面的垂直证明异面直线垂直即可. 【详解】证明  ，E为CD的中点， ，又， 平面AEB，又平面AEB， ． 五、综合题（共10分） 24.将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为，第二次出现的点数为，设复数． (1)求事件“为实数”的概率； (2)求事件“”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若为实数，则该复数的虚部为0，可解得，所以第二次抛掷出现的点数的概率为，即事件“为实数”的概率为； （2）由题意，结合复数的模的计算，有，逐个分析所有的可能，先确定的取值，再分析可能的取值，经计算，共有9种情况下可使事件“”成立，又，的取值情况共有种，进而可求得该事件的概率. （1）若为实数，即为实数，所以， 故该事件只与第二次抛掷骰子有关，与第一次抛掷骰子无关， 又依题意，第二次抛掷出现的点数可取1，2，3，4，5，6， 故出现的概率为， 即事件“为实数”的概率为. （2）由已知， 可知，的值只能取1，2，3， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取1，2，3，4， 当时，，即可取2， 由上可知，共有9种情况下可使事件“”成立， 又，的取值情况共有种， 故事件“”的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $