综合测试卷（三）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）（原卷版+解析版）

**基本信息** 本专项以分层训练构建知识网络，通过AB卷巩固基础与提升能力，综合卷模拟实战，聚焦核心素养中空间观念、推理能力与运算能力的培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|覆盖复数、立体几何位置关系等|从概念辨析到性质应用，体现知识内在推导| |填空题|8题|含抛物线焦点、向量坐标运算等|基础运算与几何意义结合，强化符号意识| |解答证明综合题|7题|椭圆性质、线面垂直证明等|从单一知识到综合应用，培养逻辑推理与模型意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1.计算（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算即可得解. 【详解】， 故选：D． 2.复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据复数的加减法，再根据题意列方程求解即可. 【详解】因为复数，，它们的和为实数，差为纯虚数， 所以是实数，是纯虚数， 故解得，. 故选：A. 3.已知，且，那么直线b与平面α的位置关系是（ ） A．必相交 B．必平行 C．相交或平行 D．平行或在平面内 【答案】D 【分析】根据线面的位置关系判断即可. 【详解】因为，且，那么直线b在内或平行. 故选：D. 4.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的解法以及充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】由不等式解得，显然当时不一定有成立，充分性不成立， 反之当时，一定有，必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5.“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据圆与直线相交的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】充分性：若，则圆的圆心到直线的距离 ，因此直线与圆相交，充分性得证； 必要性：若直线与圆相交，则 圆心到直线的距离， 解得： ，必要性不成立， 因此“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件， 故选：A. 6.已知点，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设定点的坐标，根据点坐标得到向量和向量坐标，再根据建立等式，即可求解. 【详解】因为,，所以， 即， 设，所以， 即，解得， 因此，点的坐标是. 故选：B. 7.已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】利用数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为单位向量与的夹角为，所以，， 所以. 故选：B 8.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合题意，利用勾股定理列出等式，化简即可求得离心率. 【详解】设，则， 由椭圆定义知， ， ，即， ， ， 椭圆的离心率， 故选：C. 9.在正方体中，与AC所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出异面直线与AC所成的角的平面角，再利用三角形求出答案. 【详解】连接，如图， 在正方体中，可知， 所以与AC所成的角为， 在正方体中， 均为面对角线， 所以， 所以为等边三角形， 所以. 故选：B. 10.如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义以及复数的除法运算即可. 【详解】如图所示，点，则. 则. 因此的虚部为. 故选：B. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.抛物线的焦点坐标是______． 【答案】 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标即可. 【详解】由抛物线，得， 则， 所以焦点坐标为. 故答案为：. 12.若正六边形边长为1，则_________．    【答案】1 【分析】根据正六边形的性质即可求解. 【详解】因为正六边形边长为1， 且是等边三角形， 故. 故答案为：1. 13.已知，，则的坐标是______． 【答案】 【分析】由终点坐标减起点坐标即可求出的坐标. 【详解】已知，， ， 的坐标是. 故答案为：. 14．已知向量， 则________ 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量， 所以. 故答案为： 15．已知实系数一元二次方程的一个根是，则_________. 【答案】5 【分析】首先由实系数一元二次方程的其中一个根确定另一个根，再由韦达定理求值即可. 【详解】已知的一个根是， 则另一个根为，所以， 即， 故答案为：5. 16.计算：________． 【答案】 【分析】根据复数的乘法和加减法运算法则运算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 17.在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则__________. 【答案】 【分析】先由复数对应的点位于第四象限，可得m的符号，再根据复数的模长公式求解即可. 【详解】∵复数对应的点为， 且该点位于第四象限， ∴，即， ∵， 则有，即， 解得（负值舍掉）， 故. 故答案为：. 18.已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点和，则双曲线的标准方程是__________. 【答案】 【分析】设出双曲线的标准方程代入求解即可. 【详解】因为双曲线的对称轴为坐标轴，且经过，所以设双曲线的标准方程为. 进而，解得. 又因为双曲线过，则，解得. 所以双曲线的标准方程为：. 故答案为：. 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19.设，. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示运算即可. （2）根据向量夹角的坐标表示运算即可. 【详解】（1）已知，， . （2）， ， ，因为， 20.求椭圆的长轴长、短轴长和顶点坐标. 【答案】长轴长为10，短轴长为6，顶点坐标为、、、. 【分析】根据椭圆方程确定其焦点位置，进而求出长半轴长、短半轴长，进而可得长轴长、短轴长和顶点坐标. 【详解】已知椭圆方程，因为，所以椭圆的焦点在轴上. 设为长半轴长，为短半轴长，则，， 因为，，所以，， 所以椭圆的长轴长，短轴长， 顶点坐标为、、、. 21．已知平面向量，，求，以及与夹角的余弦值. 【答案】5， 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量模的坐标表示和向量夹角的公式求值即可. 【详解】已知平面向量，， ， 所以， 所以. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22.如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆上任意一点，求证：平面平面PBC． 【答案】证明见解析 【分析】利用线面与面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】是圆O的直径， . 平面ABC，平面ABC， . 又平面PAC， 平面PAC 平面PBC， 所以平面平面PBC 23.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中（如图所示），求证：直线平面. 【答案】证明过程见解析 【分析】根据线面垂直的性质及正方体特征证两个线线垂直，进而证线面垂直即可. 【详解】证：连接，，如下图所示： 正方体 ABCD A1B1C1D1 中，平面ABCD， 且平面ABCD，所以 又因为四边形ABCD为正方形， 所以有， 且平面，， 所以直线平面. 五、综合题（共10分） 24.已知复数z满足，的虚部是2. (1)求复数z； (2)设，，在复平面内对应的点分别为，求的面积. 【答案】(1)或 (2)1 【分析】（1）设（），再由复数的模的定义和复数乘法运算列方程求解即可. （2）由复数的几何意义得出点的坐标，再由三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）设（）， 则 由题意得且， 则，解得或， 所以或. （2）当时，，， 所以，，， 则，所在的直线方程为， 则点到的距离为底边为的高， 所以； 当时，，， 所以，，， 则，所在的直线方程为， 则点到的距离为底边为的高， 所以. 综上，的面积为1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1.计算（   ） A． B．2 C． D． 2.复数，，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数，的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3.已知，且，那么直线b与平面α的位置关系是（ ） A．必相交 B．必平行 C．相交或平行 D．平行或在平面内 4.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知点，，，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 7.已知单位向量与的夹角为，则（    ） A． B．0 C． D．1 8.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 9.在正方体中，与AC所成的角为（    ） A． B． C． D． 10.如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数的虚部为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.抛物线的焦点坐标是______． 12.若正六边形边长为1，则_________．    13.已知，，则的坐标是______． 14.已知向量， 则________. 15．已知实系数一元二次方程的一个根是，则_________. 16.计算：________． 17.在复平面内，复数对应的点位于第四象限，且，则__________. 18.已知双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点和，则双曲线的标准方程是__________. 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19.设，. (1)求的值； (2)求. 20. 求椭圆的长轴长、短轴长和顶点坐标. 21．已知平面向量，，求，以及与夹角的余弦值. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22.如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆上任意一点，求证：平面平面PBC． 23.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中（如图所示），求证：直线平面. 五、综合题（共10分） 24.已知复数z满足，的虚部是2. (1)求复数z； (2)设，，在复平面内对应的点分别为，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $