综合测试卷（二）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）（原卷版+解析版）

**基本信息** 以教材章节为基准，通过AB卷分层训练与综合测试卷整合复数、向量、解析几何及立体几何知识，构建“基础巩固-能力提升-实战突破”三阶训练体系，培养抽象能力与空间观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-7、填空11-14|聚焦复数坐标、向量夹角等概念辨析，考查平面性质判断|从代数概念（复数、向量）到几何初步（平面性质），形成概念生成逻辑链| |性质应用|选择8-10、填空15-18、解答19-21|涉及双曲线渐近线、抛物线焦点距离等性质应用，训练推理能力|以解析几何性质（抛物线准线、双曲线离心率）为核心，构建“性质推导-应用拓展”链条| |综合证明|证明22-23、综合24|立体几何中点线面平行证明、抛物线与直线综合题，提升空间观念|整合向量工具与几何证明，实现代数与几何知识网络融合，培养综合应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1.复平面内，与复数对应的向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 2.已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 3.已知抛物线上一点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4.已知向量，且，则（   ） A．5 B． C．10 D． 5.不等式成立是不等式成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6.已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7.下列命题正确的个数是（    ） ①一个平面长，宽；②一个平面的面积为；③两个平面重叠在一起比一个平面厚；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8.两条直线不平行是两条直线异面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9.已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则的方程为（    ） A． B． C． D． 10.如图，在正方体中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.已知，，则向量，的夹角的余弦值为________. 12.抛物线的准线方程是_________． 13.=______． 14.若实数系一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是______． 15.已知，，，则_________． 16．双曲线的离心率是______． 17.已知向量，且，则__________. 18.“”是“”的______条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”） 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19.已知向量，，，求 (1)； (2). 20.已知双曲线求： (1)实半轴长、虚半轴长； (2)焦点坐标； (3)离心率． 21.（1）已知是虚数单位，若复数是纯虚数，求实数的值； （2）已知复数，且，试求复数． 四、证明题（每小题6分，共12分） 22.在中，三个顶点坐标分别为，，，求证：是直角三角形. 23.如图，在空间四边形中，、、、分别为，，，的中点.求证：    (1)平面； (2)四边形为平行四边形. 五、综合题（共10分） 24.已知抛物线的准线方程为，焦点为.过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1.复平面内，与复数对应的向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应的向量坐标求解即可. 【详解】复数对应复平面内的点为，故对应的向量坐标为. 故选：B . 2.已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算，结合题意即可求解． 【详解】因为， 故选：A． 3.已知抛物线上一点到轴的距离为4，则点到该抛物线焦点的距离是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】先求出点到抛物线准线的距离，再由抛物线的定义求解即可. 【详解】抛物线，其准线方程为， 因为点到轴的距离为4， 所以点到准线的距离为， 由抛物线的定义可得，点到该抛物线焦点的距离也为. 故选：C. 4.已知向量，且，则（   ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据题意利用模长公式求出，代入内积公式即可得解. 【详解】，则， ∴， 故选：. 5.不等式成立是不等式成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意根据不等式的性质以及命题的充分性和必要性求解. 【详解】根据指数函数的单调性，解不等式，得，即, 解不等式，得，, 又， 所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件， 故选:B. 6.已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的定义和坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，向量， 所以， 所以， 则， 因为， 所以与的夹角为. 故选：D. 7.下列命题正确的个数是（    ） ①一个平面长，宽；②一个平面的面积为；③两个平面重叠在一起比一个平面厚；④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平面的概念即可判断. 【详解】由平面的概念知，平面是平滑、无厚度、可以无限延展的， 据此可以判断所给命题都不正确. 故选：A. 8.两条直线不平行是两条直线异面的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据条件的充分性和必要性分别进行证明. 【详解】两条直线不平行，但可相交或者异面，故充分性不成立； 两条直线异面，则两条直线一定不平行，必要性成立. 故选：B. 9.已知双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由渐近线的倾斜角求出，再由焦点到渐近线的距离为2求出，进而求得，从而得解. 【详解】双曲线（，）的渐近线方程为， 又其中一条渐近线的倾斜角为，所以， 所以渐近线方程为，即， 又焦点到渐近线的距离为2，不妨令焦点，渐近线方程为， 则焦点到渐近线方程的距离， 所以，则，， 所以双曲线的方程为. 故选：B. 10.如图，在正方体中，分别为，的中点，则异面直线与所成的角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合正方形的结构特征，及异面直线所成角的概念，即可求解. 【详解】 由题意，连接， 因为正方体中，分别为，的中点， 所以， 所以即为异面直线与所成的角， 又, 所以是等边三角形，则， 即异面直线与所成的角为. 故选：B. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.已知，，则向量，的夹角的余弦值为________. 【答案】 【分析】先求解及，，再按公式求解即可 【详解】因为，， 所以， ，， 所以. 故答案为：. 12.抛物线的准线方程是_________． 【答案】 【分析】根据抛物线的准线方程解答即可. 【详解】因为抛物线，所以, 所以抛物线的准线方程为， 故答案为：. 13.=______． 【答案】 【分析】根据向量的加法运算法则和减法运算法则，即可求解. 【详解】. 故答案为：. 14.若实数系一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是______． 【答案】 【分析】由实数系一元二次方程的根互为共轭复数即可得解. 【详解】根据实数系一元二次方程的根互为共轭复数， 实数系一元二次方程的一个根是， 所以它的另一个根是. 故答案为：. 15.已知，，，则_________． 【答案】 【分析】根据向量的内积公式即可解得. 【详解】由题， . 故答案为： 16.双曲线的离心率是______． 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程及性质求解即可. 【详解】因为双曲线的方程为， 所以，，且， 所以，， 所以． 故答案为：. 17.已知向量，且，则__________. 【答案】 【分析】由向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量，且， 所以，解得. 故答案为：. 18.“”是“”的______条件．（填“充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要、充要”） 【答案】充分不必要 【分析】通过举反例由充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，而，所以成立. 因此“”是“”的充分条件. 若，取，，此时满足，但，不满足. 因此“”不是“”的必要条件. 故答案为：充分不必要 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19.已知向量，，，求 (1)； (2). 【答案】(1). (2)50. 【分析】（）根据题意结合平面向量线性运算的坐标表示即可得解. （）根据平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】（1）向量，，， . （2）向量，，， ， . 20.已知双曲线求： (1)实半轴长、虚半轴长； (2)焦点坐标； (3)离心率． 【答案】(1)实半轴长为4，虚半轴长为3. (2)，. (3) 【分析】（1）根据双曲线的方程分别求出的值即可. （2）由（1）可知，根据双曲线方程中的关系求出的值即可. （3）根据离心率公式即可求解. 【详解】（1）由双曲线方程可知， 则，所以实半轴长为4，虚半轴长为3. （2）因为，所以， 所以双曲线的焦点坐标为. （3）因为，所以双曲线的离心率. 21.（1）已知是虚数单位，若复数是纯虚数，求实数的值； （2）已知复数，且，试求复数． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由纯虚数的概念列方程求解； （2）法一：设，代入方程利用复数相等列式求解；法二：利用求根公式直接求解. 【详解】（1）因为是纯虚数， 所以， 解得 （2）解法一：设． ∵，∴ ∴ 解得．故． 解法二：∵， ∴．故． 四、证明题（每小题6分，共12分） 22.在中，三个顶点坐标分别为，，，求证：是直角三角形. 【答案】证明见解析 【分析】根据三点坐标转换成向量，如果，即可证明，即是直角三角形. 【详解】由题意可知，， 则， 所以是直角三角形. 如图，在空间四边形中，、、、分别为，，，的中点.求证：    (1)平面； (2)四边形为平行四边形. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明线线平行，再由线面平行的判定定理可得结论. （2）根据平行公理可得. 【详解】（1）证明： 因为、分别为，的中点， 所以是的中位线. 即. 又因为不在平面内，在平面内. 所以平面. （2）证明： 因为、分别为，的中点. 所以是的中位线. 即，且. 同理可证：且. 所以且. 即四边形为平行四边形. 五、综合题（共10分） 24.已知抛物线的准线方程为，焦点为.过焦点的直线交抛物线于两点，延长交准线于点，且已知. (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)连接，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据抛物线的准线方程求出值即可得解. （）根据题意结合焦半径公式求出点坐标，利用两点间斜率公式即可得解. （）写出直线的点斜式方程，联立方程组，利用韦达定理求出点坐标，再将代入直线方程，利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积即可得解. 【详解】（1）抛物线的准线为，已知准线为， 故，则抛物线方程为. （2）抛物线焦点， 设，则，. 由焦半径公式：， 代入（取正），故， 直线过和， 则斜率：.    （3）直线斜率为，过点， 所以直线方程：， 联立方程组，得， 由韦达定理：，已知，故， 代入抛物线得，故， 直线与准线交于M：令， 代入直线方程：，故， 因为，，， ， 直线的一般式方程为， 点到直线的距离为， 所以的面积为.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $