专题11 对数运算与对数函数（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 对数运算与对数函数 【复习目标】 1. 能转换对数与指数形式，会求对数函数定义域 2. 熟记对数计算规律，正确完成对数化简、求值 3. 分清对数函数增减变化，用来比较对数大小 4. 掌握对数基础题型解法，适配福建中职学考答题要求 5. 学会分类、数形结合解题，规避对数常见易错点 考点1 对数 1 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的 ，N称为 ． 2. 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3.根据对数的定义，对数具有如下性质： （1） loga1=0，即1的对数是0； （2） logaa=1，即底的对数是1； （3） N >0，即零和负数没有对数． 4. 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为 ． 5. 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为 ． 6. 对数运算有如下运算法则： （1） = （2）= （3） = （4） = 7.换底公式： = 8.对数恒等式： 【即时训练】 1．，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数,若,则（   ） A． B． C． D． 3．的值是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 4．等于（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ）． A．9 B．3 C． D． 6．（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 7．则的值为（   ） A． B． C． D． 8．下列式子中，错误的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，用a，b表示__________. 10．设，则______． 11．设函数. (1)求的定义域； (2)当时，求出的取值范围. 12．设，求的值． 考点2 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为 ，其图象关于直线对称. 【即时训练】 13．若，则 （    ） A． B． C． D． 14．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 15．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 16．函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 17．下列函数在定义域内为减函数的是（    ） A． B． C． D． 18．如果，那么（    ） A． B． C． D． 19．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 20．设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 21．“”是“”的_____________条件. 22．函数的定义域是_______．（用区间表示） 23．求函数的定义域. 24．已知函数，若，求m的取值范围值. 1. （2025年福建省中等职业学校学业水平考试第15题） 计算：______. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第9题） 把对数式化成指数式是__________. 3.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第13题） 函数的定义域为（ ） A. B. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题11 对数运算与对数函数 【复习目标】 1. 能转换对数与指数形式，会求对数函数定义域 2. 熟记对数计算规律，正确完成对数化简、求值 3. 分清对数函数增减变化，用来比较对数大小 4. 掌握对数基础题型解法，适配福建中职学考答题要求 5. 学会分类、数形结合解题，规避对数常见易错点 考点1 对数 1 一般地，若ab=N(a>0且a≠1)，则称b为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为真数． 2. 当a>0且a≠1， N >0时，指数式ab=N与对数式b=logaN有如下关系： 3.根据对数的定义，对数具有如下性质： （1） loga1=0，即1的对数是0； （2） logaa=1，即底的对数是1； （3） N >0，即零和负数没有对数． 4. 由于以10为底的对数运算相对简便，应用也比较普遍，通常把log10N称为常用对数，简记为lgN ． 5. 在科学研究和工程计算中，经常使用以无理数e(e=2.71828…)为底的对数logeN，并称这个对数为自然对数，简记为lnN ． 6. 对数运算有如下运算法则： （1） = （2）= （3） = （4） = 7.换底公式： = 8.对数恒等式： 【即时训练】 1．，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数与对数的互化即可求得. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．已知函数,若,则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的定义即可得解. 【详解】 故选:. 3．的值是（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则可求解. 【详解】. 故选：B 4．等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算性质化简即可得到答案. 【详解】. 故选：. 5．已知，则（   ）． A．9 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据对数式与指数式的转化，结合对数式有意义的条件，即可求值. 【详解】因为， 所以，解得． 又因为底数且， 所以． 故选：C． 6．（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据对数的定义可求解. 【详解】原式. 故选：D 7．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质，即可求解. 【详解】因为，所以， 故选：B. 8．下列式子中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则，计算可得结果. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A 9．已知，用a，b表示__________. 【答案】 【分析】先利用换底公式将换成底数为14，再分解真数，结合对数的运算法则可求解. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 10．设，则______． 【答案】3 【分析】结合指数与对数的求值由内到外求函数值易得答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 11．设函数. (1)求的定义域； (2)当时，求出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数真数大于即可求解. （2）根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则 解得. 所以的定义域是. （2） . 当时，即. ∴. 因为函数在上是增函数， 所以，则， 解得. 又因为定义域为， 所以当时，. 12．设，求的值． 【答案】． 【分析】先将指数式化成对数式，再用换底公式代入求值. 【详解】解： ． 考点2 对数函数及其性质 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 【即时训练】 13．若，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数单调性及不等式的性质判断即可. 【详解】因为， 以为底的指数函数在上为减函数，因为，则，A错误； 因为，所以幂函数在上为增函数，因为，则，B正确； 以为底的对数函数在上为减函数，因为，则，C错误； ， 因为，则， 则，，D错误. 故选：B. 14．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出令函数有意义的x的取值范围即可. 【详解】由解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 15．下列函数是对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】对于A，为一次函数，不是对数函数，故A错误， 对于B，根据对数函数的定义可知，对数函数为且， 则中，，不符合对数函数的定义，故B错误， 对于C，，符合对数函数的定义，故C正确， 对于D，中，，不符合对数函数的定义，故D错误， 故选：C. 16．函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合对数型复合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为， 令，即，解得或， 即函数的定义域为， 因为函数在定义域上单调递增， 又函数， 所以函数的图像开口向上，对称轴为，在上单调递减，上单调递增， 根据复合函数同增异减的性质可知， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的单调增区间为. 故选：D. 17．下列函数在定义域内为减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过举反例判断A，B；根据对数函数的图像性质判断C；根据幂函数的图像性质判断D. 【详解】A.函数的定义域为， 而，则， 函数在其定义域内不是减函数，故A错误. B.函数的定义域为R， ， 因为，所以不是定义域R上的减函数，故B错误. C.对数函数在定义域上单调递增，故C错误. D.因为幂函数在其定义域上单调递增， 所以在其定义域上单调递减，故D正确. 故选：D. 18．如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数函数的单调性即可比较x，y的大小. 【详解】因为在定义域内为减函数， 又因为， 所以有， 即. 故选:D. 19．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数真数大于零的性质列出不等式即可求解. 【详解】因为函数， 所以， 所以， 函数的定义域是. 故选：C. 20．设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 又因为函数在上单调递减，所以， 所以. 故选：. 21．“”是“”的_____________条件. 【答案】必要不充分 【分析】根据对数的运算法则及充要条件的定义求解即可. 【详解】，， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故答案为：必要不充分. 22．函数的定义域是_______．（用区间表示） 【答案】 【分析】根据对数的真数为正，即可求解. 【详解】要使函数有意义， 则，即， 所以函数的定义域是， 故答案为： 23．求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据分母不等于0，偶次根式大于等于0，0和负数无对数列不等式，解不等式组即可. 【详解】要使函数有意义， 则必须有，即， 解得， 所以函数的定义域为. 24．已知函数，若，求m的取值范围值. 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数， 所以函数在上单调增， 所以， 又因为， 所以. 综上所述：. 1. （2025年福建省中等职业学校学业水平考试第15题） 计算：______. 【答案】0 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系和对数的运算法则计算即可. 【详解】， 故答案为：. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第9题） 把对数式化成指数式是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数与指数的互化即可得解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 3.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第13题） 函数的定义域为（ ） A. B. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的真数大于零求解定义域即可. 【详解】因为函数为， 所以有， 所以函数的定义域为. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $