专题10 指数幂运算与指数函数（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数幂运算与指数函数 【复习目标】 1. 1.熟练根式与分数指数幂互化，掌握指数幂所有运算公式； 2. 2.牢记指数函数定义、图像与两类单调性性质； 3. 3.会比较指数式大小、求区间最值、解简单指数不等式； 4. 4.掌握指数对数互化、分段指数函数基础题型解法； 5. 5.会用分类讨论、数形结合思想解题，规避常见计算易错点。 考点1 根式 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 【即时训练】 1．有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数幂转化为根式的性质，结合根式的性质即可得解. 【详解】，所以，解得， 故选：. 2．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则逐个判断即可. 【详解】，故A错误. ，故B错误. ，故C正确. ，故D错误. 故选：C. 3．的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数的运算性质即可解得. 【详解】由题，， 故选：B 4．计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算法则计算. 【详解】由题意可知， 原式. 故选：A. 5．计算____________. 【答案】 【分析】根据分数指数幂运算法则计算并化简易得答案. 【详解】因为. 故答案为：. 6．______． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则进行化简即可. 【详解】 ， 故答案为：. 7．已知函数（且），且. (1)求的值，并写出函数的定义域； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)，定义域为 (2)不存在m 【分析】（1）将代入解析式，再由指数函数的定义域即可解答. （2）将代入合适的解析式中，求解即可. 【详解】（1）， 又，故， ，定义域为. （2）由， 得，此方程无解，故不存在满足条件的实数m. 8．求值: (1) ； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数、对数的性质、运算法则求解即可. （2）利用指数的性质、运算法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. 考点2 指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 【即时训练】 9．若是的算术平方根，则（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义解出，再代入立方根即可解得. 【详解】由题是的算术平方根， 可得， 则， 故选：D 10．（），则b等于（ ） A． B．34 C．43 D．35 【答案】A 【分析】根据分数指数幂的概念可以表示出. 【详解】因为且，所以. 故选：. 11．的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算即可得解. 【详解】. 故选：B. 12．下列根式无意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根式有意义的条件即可求解． 【详解】∵要使有意义，则有， 无意义，； 都是有意义的， ∴只有A符合题意． 故选：A． 13．已知函数，则______. 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 14．________ 【答案】// 【分析】由对数及指数幂的运算性质进行计算即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 15．已知指数函数，（且），若， (1)求函数的解析式； (2)求，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由列出方程，解方程求出，即可求得解析式. （2）将直接代入解析式求解即可. 【详解】（1）因为指数函数，（且）， 所以， 解得或（舍） 所以函数的解析式为. （2）由（1）得函数的解析式为， 所以， . 16．已知，求 【答案】200 【分析】运用幂的运算法则即可求解. 【详解】 故答案为:200. 考点3 指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 【即时训练】 17．设为常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】， 故选：. 18．的值是（   ） A．0 B．5 C． D．5和 【答案】B 【分析】根据即可求解． 【详解】． 故选：B． 19．16的4次方根为（    ） A．2 B．2和 C．4 D．4和 【答案】B 【分析】根据方根的定义求出即可． 【详解】因为， 所以16的4次方根为2和. 故选：B. 20．（    ）． A．8 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：. 21．已知函数，则______. 【答案】1 【分析】根据指数幂的运算法则即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 22．________ 【答案】// 【分析】由对数及指数幂的运算性质进行计算即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 23．求已知函数的定义域. 【答案】 【分析】由函数中偶次根式的被开方数大于等于0，分母不为0，0次幂的底数不为0列出不等式，求解即可. 【详解】因为函数为， 所以有，所以有， 函数定义域为且， 即. 24．求下列各式中x的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用同底法求得的值. （2）结合因式分解以及指数运算求得的值. 【详解】（1）由，得，即，所以． （2）由，得，即或，所以或 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第4题）下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和的单调性进行判断. 【详解】指数函数在上增函数， 因为，所以，故选项A错误； 因为，所以，故B错误； 指数函数在上是减函数， 因为，所以，故选项C正确； 因为，所以，故D错误. 故选：C. 2. （2022年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）指数函数在上的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为指数函数在单调递增， 所以最小值为. 故选：B 3.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第9题）9. 把对数式化成指数式是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数与指数的互化即可得解. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 4.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）17. 已知分段函数，其中. （1）求实数a的值； （2）求的值，求函数的定义域； （3）已知，求n的值. 【答案】（1）2 （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式列方程求解即可. （2）分别将代入合适的解析式中，求出的值，再由函数的解析式确定函数的定义域即可. （3）分别讨论为奇数与为偶数两种情况，再由指数函数的单调性求解不等式即可. 【小问1详解】 已知分段函数， 其中，则，解得. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 所以； 易知的定义域为. 【小问3详解】 由（1）可知，， 当n为奇数时，有，即， 因为在上为增函数， 所以，且n为奇数，所以， 当n为偶数时， 有，解得， 且n为偶数，所以， 综上所述，n的值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 指数幂运算与指数函数 【复习目标】 1. 1.熟练根式与分数指数幂互化，掌握指数幂所有运算公式； 2. 2.牢记指数函数定义、图像与两类单调性性质； 3. 3.会比较指数式大小、求区间最值、解简单指数不等式； 4. 4.掌握指数对数互化、分段指数函数基础题型解法； 5. 5.会用分类讨论、数形结合思想解题，规避常见计算易错点。 考点1 根式 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个 零的n次方根是 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为 ± 负数 偶次方根 (2)两个重要公式 ①＝ ②()n＝a(注意a必须使有意义)． 2．分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (2)正数的负分数指数幂是a -＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义． 3．实数指数幂的运算性质 (1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈R)； (2)(ar)s＝ars(a＞0，r、s∈R)； (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)． 【即时训练】 1．有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．的值等于（     ） A． B． C． D． 4．计算（    ） A． B． C． D． 5．计算____________. 6．______． 7．已知函数（且），且. (1)求的值，并写出函数的定义域； (2)若，求实数的值. 8．求值: (1) ； (2). 考点2 指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： (1)底数：大于零且不等于1的常数； (2)指数：仅有自变量x； (3)系数：ax的系数是1. 【即时训练】 9．若是的算术平方根，则（    ） A．或 B． C．或 D． 10．（），则b等于（ ） A． B．34 C．43 D．35 11．的值等于（   ） A． B． C． D． 12．下列根式无意义的是（   ） A． B． C． D． 故选：A． 13．已知函数，则______. 14．________ 15．已知指数函数，（且），若， (1)求函数的解析式； (2)求，的值． 16．已知，求 考点3 指数函数的图象与性质 图象 定义域 值域 奇偶性 对称性 函数y=a−x与y=ax的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，； 当时， 当时，； 当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中0<c<d<1<a<b. ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 ； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 . 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 【即时训练】 17．设为常数，则（    ） A． B． C． D． 18．的值是（   ） A．0 B．5 C． D．5和 19．16的4次方根为（    ） A．2 B．2和 C．4 D．4和 20．（    ）． A．8 B． C．16 D． 21．已知函数，则______. 22．________ 23．求已知函数的定义域. 24．求下列各式中x的值： (1)； (2) 1.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第4题）下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. （2022年福建省中等职业学校学业水平考试第12题）指数函数在上的最小值是（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 9 3.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第9题）9. 把对数式化成指数式是__________. 4.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第17题）17. 已知分段函数，其中. （1）求实数a的值； （2）求的值，求函数的定义域； （3）已知，求n的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $