2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系 讲义 -2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

本讲义聚焦匀变速直线运动规律这一核心知识点，系统梳理从位移时间关系、速度位移关系到平均速度推论、比例规律，再到刹车、追及相遇等实际应用的完整脉络，构建递进式学习支架，覆盖公式推导、规律应用及综合问题解决。 该资料以19个题型为框架，每个题型整合解题知识、典例及变式，通过逆向思维法（如匀减速逆转为匀加速）培养科学思维，结合汽车避免碰撞等情境深化物理观念。课中辅助教师系统授课，课后助力学生分层练习查漏补缺，提升问题解决能力。

第二章 第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系 内 容 导 航 题型1 匀变速直线运动位移与时间的关系 题型2 匀变速直线运动速度与位移的关系 题型3 相等时间间隔内位移之差与加速度的关系 题型4 匀变速直线运动中的平均速度的应用（平均速度的推论） 题型5 中间位置处的速度计算 题型6 中间时刻速度与中间位置速度的关系 题型7 连续相等时间内的运动比例规律 题型8 连续相等位移内的运动比例规律 题型9 计算停车的时间、速度或位移 题型10 逆向思维法求解匀减速直线运动 题型11 提前停止类问题 题型12 避免碰撞类问题 题型13 变速物体追匀速物体问题 题型14 变速物体追变速物体问题 题型15 匀速物体追变速物体问题 题型16 相遇次数问题 题型17 追及相遇的图像类问题 题型18 非匀变速直线运动的问题 题型19 匀变速直线运动规律的综合应用 考 点 演 练 题型1 匀变速直线运动位移与时间的关系 解｜题｜知｜识 （1）匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v0t+at2。 （2）公式的推导 ①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。 ②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即＝．结合公式x＝vt和v＝vt+at可导出位移公式：x＝v0t+at2 （3）匀变速直线运动中的平均速度 在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度vt/2＝v0+a×t＝，该段时间的末速度v＝vt+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0+at＝＝＝＝vt/2。 即有：＝＝vt/2。 所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。 （4）匀变速直线运动推论公式： 任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是常数，即△x＝x2﹣x1＝aT2．拓展：△xMN＝xM﹣xN＝（M﹣N）aT2。 推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。 【典例1】在某次比赛中，无人驾驶汽车在平直公路上行驶，突然发现前方有障碍，智能系统识别后紧急制动。从制动开始计时，该汽车的位移x与时间t的关系为x＝8t﹣t2，下列说法正确的是（　　） A．加速度大小是1m/s2 B．最后2s内的平均速度大小是4m/s C．任意1s内的速度变化量都是﹣2m/s D．前5s内的位移大小是15m 【变式1】一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t﹣2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是（　　） A．初速度v0＝10m/s，加速度a＝4m/s2 B．初速度v0＝4m/s，加速度a＝﹣10m/s2 C．汽车刹车到停止所用时间为5s D．汽车刹车后4s内的位移是12.5m 【变式2】将一物块置于光滑水平面上，现给物块施加一水平向右的力，以加速度a1匀加速直线运动，经过一段时间，立即改为水平向左的力，以加速度a2运动，经过两倍的时间物块回到了原位置，则两次加速度大小之比为（　　） A．a1：a2＝1：2 B．a1：a2＝3：5 C．a1：a2＝4：5 D．a1：a2＝1：3 【变式3】一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前观察：第一节车厢全部通过他需2s，全部车厢通过他需10s，这列火车的节数为（　　） A．3节 B．5节 C．16节 D．25节 题型2 匀变速直线运动速度与位移的关系 解｜题｜知｜识 匀变速直线运动位移与速度的关系． 由位移公式：x＝v0t+at2和速度公式v＝v0+at消去t得：v2﹣＝2ax． 匀变速直线运动的位移﹣速度关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系． ①此公式仅适用于匀变速直线运动； ②式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移； ③公式中四个矢量v、v0、a、x要规定统一的正方向． 【典例1】一个做匀加速直线运动的物体，当它的速度由v增至2v，发生的位移为x1；当它的速度由2v增至3v时，发生的位移为x2。则（　　） A．x1：x2＝3：5 B．x1：x2＝2：3 C．x1：x2＝1：4 D．x1：x2＝1：2 【变式1】汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站，先做加速度大小为a的匀加速运动，位移大小为x；接着在t时间内做匀速运动；最后做加速度大小也为a的匀减速运动，到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为6x，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图四幅图分别为甲、乙、丙、丁四辆汽车做直线运动的图像，下列说法正确的是（　　） A．甲车在0～t0时间内的平均速度小于 B．乙车做匀减速直线运动，其加速度大小为10m/s2 C．丙车在6s末的速度为18m/s D．丁车做匀加速直线运动，其加速度大小为4m/s2 【变式3】在铁道线路两旁，有排列整齐的接触网支柱，其中支柱A、B距离为200m（忽略支柱的宽度）。一列车以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，车头到达支柱A时速度为10m/s，当车头到达支柱B时速度为（　　） A．10m/s B．10m/s C．20m/s D．10m/s 题型3 相等时间间隔内位移之差与加速度的关系 解｜题｜知｜识 逐差法公式：Δx＝xⅡ﹣xⅠ＝xⅢ﹣xⅡ＝•••＝aT2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、•••、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。 （1）推导 ，，，••• 所以xⅠ＝，xⅡ＝x2﹣x1＝，xⅢ＝x3﹣x2＝，••• 故xⅡ﹣xⅠ＝aT2，xⅢ﹣xⅡ＝aT2，••• 所以Δx＝xⅡ﹣xⅠ＝xⅢ﹣xⅡ＝•••＝aT2 应用：（1）判断物体是否做匀变速直线运动。如果Δx＝xⅡ﹣xⅠ＝xⅢ﹣xⅡ＝•••＝xN﹣xN﹣1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 （2）应用 利用△x＝aT2，可求得a＝。 【典例1】有一个匀加速直线运动的物体从2s末至6s末的位移为24m，从6s末至10s末的位移为40m，则这个物体的加速度的大小和初速度大小分别是（　　） A．1m/s2，2m/s B．2m/s2，1m/s C．1m/s2，4m/s D．4m/s2，4m/s 【变式1】如图所示为某次跨栏跑步训练中等间距放置的三个栏，运动员跨过三个栏的过程可认为是匀加速直线运动，若跨过第2个栏的速度大小为5m/s，跨过第3个栏的速度大小为6m/s，则下列说法正确的是（　　） A．根据题目信息可计算运动员加速度大小 B．若相邻两个栏的间距为9m，则从第1个栏到第3个栏的时间为6s C．运动员通过第1个栏的速度为4m/s D．运动员从第1个栏到第3个栏的平均速度小于5m/s 【变式2】如图所示，某可视为质点的电动滑板车以某一速度开始做匀减速直线运动，连续经过P、Q、R三点，已知P、Q之间的距离为2L，Q、R之间的距离为L，且电动滑板车在PQ段的平均速度为QR段的2倍，则电动滑板车从P点开始到最终速度减为零的位移大小为（　　） A．L B．L C．L D．L 【变式3】一辆汽车行驶在平直的公路上，某时刻油管破裂，每隔相同时间有一滴油滴出，选取汽车运动的方向为正方向，我们可以根据油滴之间的距离判断汽车的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．沿运动方向，油滴之间的距离增大时，汽车加速度一定增大 B．沿运动方向，油滴之间的距离增大时，汽车的加速度一定不变 C．沿运动方向，油滴之间的距离减小时，汽车的加速度可能增大 D．沿运动方向，油滴之间的距离减小时，汽车的加速度一定减小 题型4 匀变速直线运动中的平均速度的应用（平均速度的推论） 解｜题｜知｜识 匀变速直线运动的导出公式是指由匀变速直线运动的3个基本公式推导出来的公式。包括： 1.平均速度公式：＝＝，即做直线运动的物体在任意一段时间t 内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。 推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v。 由得，平均速度，① 由v＝v0+at知，当t'＝时，有，② 由①②得。 又，③ 由②③解得， 综上所述有：＝＝ 2.结合平均速度的定义式有： ＝＝＝ 【典例1】我国自行研制的“枭龙”战机在某地试飞成功。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为（　　） A．vt B． C．2vt D．不能确定 【变式1】从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车。汽车从开出到停止总共历时20s，行进了60m。求汽车的最大速度（　　） A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s 【变式2】一小球在水平桌面上做匀减速直线运动，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片（如图）。如果拍摄时每隔2s曝光一次，小球的直径约为10cm，则（　　） A．小球的加速度约为﹣0.1m/s2，图中第二次曝光时小球的瞬时速度约是0.1m/s B．小球的加速度约为﹣0.1m/s2，图中第二次曝光时小球的瞬时速度约是0.2m/s C．小球的加速度约为﹣0.05m/s2，图中第二次曝光时小球的瞬时速度约是0.1m/s D．小球的加速度约为﹣0.05m/s2，图中第二次曝光时小球的瞬时速度约是0.2m/s 【变式3】物体从O点由静止开始做匀加速直线运动，经A、B、C三点，其中xAB＝4m，xBC＝8m。若物体经过AB、BC这两段位移的时间相等，则O、A两点之间的距离等于（　　） A．0.25m B．0.5m C．0.75m D．0.8m 题型5 中间位置处的速度计算 解｜题｜知｜识 1.中点位置的瞬时速度公式：，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方、均、根”值。 2.推导：示意图如下： 前一段位移：，后一段位移： 所以有v，即有。 【典例1】如图所示，小球沿足够长的斜面向上做匀变速运动，依次经a、b、c、d到达最高点e。已知ab＝bd＝6m，bc＝1m，小球从a到c和从c到d所用的时间都是2s，设小球经b、c时的速度分别为vb、vc，则（　　） A． B．vc＝5m/s C．de＝3m D．从d到e所用时间为4s 【变式1】如图，一栋高为h的三层楼房，每层楼高相等，且每层楼正中间有一个高为的窗户。现将一石块从楼顶边缘做初速度为0的竖直向下的匀加速直线运动，经过时间t，石块落地，以下说法正确的是（　　） A．石块从楼顶分别到达三个窗户顶部所用的时间之比为1：2：3 B．石块在时刻的位置是在第一个窗户的上边 C．石块下落的加速度为 D．石块在第二窗户中间位置时的速度为 【变式2】现在的物理学中加速度的定义式为a＝，而历史上有些科学家曾把相等位移内速度变化相等的单向直线运动称为“匀变速直线运动”（现称“另类匀变速直线运动”），“另类加速度”的定义式为A＝，其中v0、vs分别表示某段位移s内的初速度和末速度。A＞0表示物体在做加速运动，A＜0表示物体在做减速运动。则下列说法正确的（　　） A．若A不变，则a也不变 B．若A＞0且保持不变，则a逐渐变大 C．若A不变，则物体在位移中点处的速度比大 D．若A＞0且保持不变，则物体在中间时刻的速度比大 题型6 中间时刻速度与中间位置速度的关系 解｜题｜知｜识 1.对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即。 2.证明：见例题。 【典例1】一个做匀加速直线运动的物体，先后经过a、b两点时的速度分别为v和7v，通过ab段的时间是t，则下列说法错误的是（　　） A．经过ab中间时刻的速度是4v B．前时间通过的位移比后时间通过的位移之比为5：11 C．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt D．经过ab中间位置的速度是4.5v 【变式1】（多选）一辆汽车沿着一条平直的公路做匀变速直线运动，取汽车经过电线杆A的时刻为零时刻，10s内汽车依次经过公路旁边的一排电线杆A、B、C，已知相邻两电线杆间的距离为100m，则下列说法正确的是（　　） A．汽车全程的平均速度大小为10m/s B．汽车在5s时的速度大小为20m/s C．汽车经过电线杆B时的速度大小一定小于20m/s D．汽车经过电线杆B时的速度大小一定大于20m/s 题型7 连续相等时间内的运动比例规律 解｜题｜知｜识 1．连续相等时间末的速度之比 ts末、2ts末、3ts末…nts末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn＝1：2：3：…：n； 推导：由vt＝at知v1＝at，v2＝2at，v3＝3at，…，vn＝nat， 则可得：v1：v2：v3：…：vn＝1：2：3：…：n； 2.连续相等时间内的位移之比： ts内、2ts内、3ts内…nts内的位移之比为：x1：x2：x3：…：xn＝12：22：32：…：n2； 推导：由x＝at2知x1＝at2，x2＝a（2t）2，x3＝a（3t）2，…，xn＝a（nt）2； 则可得：x1：x2：x3：…：xn＝12：22：32：…：n2； 3．连续相等时间差内的位移之比为： 第ts内，第2ts内，第3ts内...第nts内的位移之比：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN＝1：3：5：…：（2n﹣1） 推导：由x＝at2知xⅠ＝at2，xⅡ＝a（22﹣12）t2，xⅢ＝a（32﹣22）t2，…，xN＝a[n2﹣（n﹣1）12]t2， 则可得：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN＝1：3：5：…：（2n﹣1） 【典例1】一个从足够高处下落的物体，做初速度为0的匀加速直线运动，在前1秒内，前2秒内和前3秒内的位移大小之比为（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．1：3：5 D．1：4：9 【变式1】木块A、B、C、D并排固定在水平地面上，可视为质点的子弹以速度v0射入木块A，恰好能从小块D中射出。子弹在木块A、B、C、D中运动的时间相等，在木块中运动时加速度恒定，下列说法正确的是（　　） A．木块A、B、C、D的长度之比为9：7：5：3 B．子弹刚射出木块B时的速度大小为 C．子弹射出木块A、B瞬间的速度大小之比为3：1 D．子弹在木块A中运动的平均速度是在木块D中运动的平均速度的7倍 【变式2】如图所示，物块在足够长光滑斜面上的O点（未标出）由静止释放，从经过P点开始计时，物块在连续相等时间内通过的位移分别为L、2L、3L、…、nL，则OP的距离为（　　） A． B． C． D．L 【变式3】（多选）某物体从O点开始做初速度为零的匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，OA、AB、BC过程经历的时间和发生的位移分别对应如图所示，经过A、B、C三点时的速度分别为vA、vB、vC，则以下说法正确的是（　　） A．若t1：t2：t3＝1：2：3，则vA：vB：vC＝1：3：6 B．若t1：t2：t3＝1：2：3，则s1：s2：s3＝1：8：27 C．若s1：s2：s3＝1：2：3，则vA：vB：vC＝1：： D．若s1：s2：s3＝1：2：3，则t1：t2：t3＝1：： 题型8 连续相等位移内的运动比例规律 解｜题｜知｜识 1.连续相等位移处的速度之比 xm末、2xm末、3xm末…nxm末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn＝1：：：…：； 推导：由v2＝2ax知v1＝，v2＝，v3＝，…，vn＝； 则可得：v1：v2：v3：…：vn＝1：：：…：； 2．连续相等位移处的时间之比 前一个x、前两个x、前三个x …前n个x所用的时间之比为：t1：t2：t3：…：tn＝1：：：：…： 推导：由x＝at2知t1＝，t2＝，t3＝，…，tn＝； 则可得：t1：t2：t3：…：tn＝1：：：：…：； 3．连续相等位移内所用的时间之比为： 第一个x，第二个x，第三个x...第n个x所用的时间之比为：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN＝1：（﹣1）：（﹣）：…：（﹣） 推导：由x＝at2知t1＝，t2＝﹣＝（﹣1），t3＝﹣＝（），…，tn＝﹣＝（）； 则可得：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN＝1：（﹣1）：（﹣）：…：（﹣）． 【典例1】如图所示，是某列高铁经过一座直线高架大桥时的情景图，相邻桥墩之间的距离均为L，若由于某种原因高铁过桥时做匀减速直线运动，高铁车头前端到达桥墩1时开始计时，到达桥墩2时所用时间为T，最终停下时，车头前端恰好到达桥墩5（图中未画出），则下列说法正确的是（　　） A．从计时开始，高铁通过相邻桥墩的时间之比为1： B．从计时开始，高铁通过相邻桥墩的平均速度之比为 C．从车头前端到达桥墩4到列车停止运动的过程，经历的时间为 D．从车头前端到达桥墩1到列车停下的过程，列车的平均速度为 【变式1】成渝高速铁路的动车采取8节车厢编组。动车从沙坪坝站开出时做匀加速直线运动，当车头经过路边灯箱时速度大小为4m/s，车尾经过该灯箱时速度大小为12m/s。每节车厢的长度相等，前后四节车厢分别经过灯箱的时间之比为（　　） A．+1 B．﹣1 C． D． 【变式2】在利用频闪相机研究自由下落物体的运动时，将一可视为质点的小球从O点由静止释放的同时频闪相机第一次曝光，再经连续三次曝光，得到了如图所示的频闪相片，已知曝光时间间隔为0.2s，不考虑一切阻力。如果将小球从照片中的A点由静止释放，则下列说法正确的是（　　） A．小球由A到B以及由B到C的时间小于0.2s B．小球通过B点和C点时的速度关系为vB：vC＝1：2 C．小球由A到B以及由B到C的过程中平均速度的关系为 D．小球通过B点时的速度vB和由A到C的平均速度vAC的关系为vB＞vAC 【变式3】几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》用实验证实：四个水球就足够！已知四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿接触点连线的运动可视为沿水平方向的匀减速直线运动，子弹恰好能穿出第四个水球，则（　　） A．子弹在每个水球中速度变化量相同 B．子弹依次进入四个水球的初速度之比为4：3：2：1 C．子弹穿过每个水球的平均速度相同 D．子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等 题型9 计算停车的时间、速度或位移 解｜题｜知｜识 1.刹车问题是生活中的常见问题。刹车模型类比于匀减速直线运动，刹车时间通过速度—时间关系t＝求解，刹车位移通过位移—时间公式x＝v0t﹣来求解。如果确定具体问题中的末速度为零，还以采用逆向思维将其看作初速度为零的匀加速直线运动求解。 2.刹车问题还常常设计刹车速度的计算。计算公式为v＝v0﹣at。 【典例1】交警在处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到某汽车在水平路面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为：x＝20t﹣2t2（x的单位是m，t的单位是s）。则分析该汽车刹车6s在路面上留下的刹车痕迹长度为（　　） A．48m B．50m C．100m D．200m 【变式1】一辆新能源汽车以72km/h的速度在平直公路上开启自适应巡航（ACC）行驶。ACC系统通过雷达检测到前方90m处有一辆因故障紧急停止的卡车，已知ACC系统会在检测到障碍物后0.5s启动自动刹车系统（无需人类反应），制动时的加速度大小为a。汽车最终未撞上卡车，则制动加速度a的最小值为（　　） A．1.5m/s2 B．2m/s2 C．2.5m/s2 D．3m/s2 【变式2】在高速公路行驶时，司机发现前方障碍物后立即刹车。已知汽车以20m/s的速度匀速行驶，司机的反应时间为0.5s，刹车后汽车做匀减速直线运动，加速度大小为4m/s2。下列说法正确的是（　　） A．汽车在反应时间内行驶的距离为15m B．刹车后汽车经过2.5s停止 C．若障碍物距离汽车45m，则会发生碰撞 D．汽车从发现障碍物到停止的总位移为50m 【变式3】（多选）刹车距离是汽车安全性能的重要参数。以某一速度行驶的汽车，刹车后经12m速度减到零。刹车过程可视为匀减速直线运动，汽车刹车过程中下列说法正确的是（　　） A．每经过1s其速度变化量相同 B．每经过1m其速度变化量不相同 C．前9m与后3m的时间之比为1：1 D．经过第1m和第12m时间之比为 题型10 逆向思维法求解匀减速直线运动 解｜题｜知｜识 1.汽车刹车过程中当把速度减为零时汽车即停止，正向来看就是匀减速直线运动，逆向来看就是初速度为零的匀加速直线运动。这将使问题简化，更方便解决。 2.本考点涉及的运动过程包含所有的末速度为零的匀减速直线运动， 【典例1】如图所示，运动员将冰壶（可视为质点）从a点（冰壶已离手）以一定的速度v沿水平冰面推出，冰壶离手后依次经过a、b、c三点后在d恰好减速停止。已知冰壶做匀减速直线运动，ab＝bc＝cd＝L，则下列说法正确的是（　　） A．冰壶离手后运动的加速度大小为 B．冰壶离手后运动的时间为 C．冰壶运动到c点的速度大小为 D．冰壶从b点运动到c点的时间和从c点运动到d点的时间之比为 【变式1】（多选）某人驾驶一辆汽车甲正在平直的公路上以某一速度匀速运动，突然发现前方50m处停着一辆乙车，甲车司机立即刹车，甲车刹车后做匀减速直线运动。已知甲车刹车后第1个2s内的位移大小是24m，第4个2s内的位移大小是1m。则下列说法正确的是（　　） A．汽车甲刹车后第2个2s内的位移大小为16m B．汽车甲刹车后做匀减速直线运动的加速度大小为 C．汽车甲刹车后第6s末的速度大小为2m/s D．汽车甲不可能与乙车相撞 题型11 提前停止类问题 解｜题｜知｜识 1.刹车类问题中有一类是求解某一时刻物体的速度，要注意判断该时刻物体是否已经停止运动。 2.原因：作为匀减速直线运动，速度与位移的求解通常根据公式v＝v0﹣at以及x＝v0t﹣，如果物体已经提前停止，那么将题目所给时间代入后就会得到错误的结果。 【典例1】目前，具有“智驾”功能的电动汽车越来越多，智驾中“主动刹车系统”是指当汽车与正前方障碍物之间的距离小于安全距离时，会立即开始主动刹车。若某次测试中某车设置的安全距离为20m，汽车以72km/h的速度在路面上行驶，主动刹车后做匀减速直线运动，加速度大小为8m/s2，下列说法正确的是（　　） A．汽车能在安全距离内停下 B．汽车开始“主动刹车”后第1s末的速度为10m/s C．汽车第3秒内的平均速度为1m/s D．汽车开始“主动刹车”后3s内的位移为24m 【变式1】汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s内与开始刹车后6s内汽车通过的位移之比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．1：1 D．3：1 题型12 避免碰撞类问题 解｜题｜知｜识 刹车类问题中有一种情况是为了避免和前方物体相撞，这在现实生活中也具有较强的实际意义。 司机在刹车时往往需要反应时间，所以注意实际生活中的刹车问题通常分成两段，准备刹车和正式刹车，一段是匀速直线运动，一段是匀减速直线运动。 【典例1】根据我国道路交通管理的相关规定，同一车道行驶的机动车，后车必须根据行驶速度、天气和路面情况，与前车保持必要的安全距离。如图所示的安全距离示意图，标出了一般情况下汽车在不同行驶速度下所对应的大致安全的刹车距离。在通常情况下，驾驶者的反应时间平均为0.4s～1.5s，下列说法正确的是（　　） A．反应时间是指刹车后的0.4s至1.5s一段时间 B．由图可以看出，只要前车与后车间距大于刹车距离，即可避免追尾事故发生 C．由图可以看出，当行驶速度为60km/h时，停车距离与反应距离的比值为9：4 D．由图可以看出，随着行驶速度的增大，反应距离与刹车距离的比值逐渐减小 【变式1】酒后驾驶会导致许多安全隐患。酒后驾驶员的反应时间变长，“反应时间”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间，表中“反应距离”是指“反应时间”内汽车行驶的距离；“制动距离”是指驾驶员从发现情况到汽车停止行驶的距离。假设汽车以不同速度行驶时制动的加速度大小都相同。分析表中数据可知，下列选项中错误的是（　　） 反应距离/m 制动距离/m 速度/（m•s﹣1） 正常 酒后 正常 酒后 15 7.5 15.0 22.5 30.0 A．若汽车的初速度增加一倍，制动距离也增大一倍 B．驾驶员酒后反应时间比正常情况下多0.5s C．驾驶员采取制动措施后汽车刹车的加速度大小为7.5m/s2 D．若汽车以25m/s的速度行驶时发现前方60m处有险情，酒后驾驶不能安全停车 题型13 变速物体追匀速物体问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的类型是匀变速直线运动的物体追及匀速运动的物体，其中又包括两种情况： ①初速度较小，且做匀加速直线运动的物体追及速度较大的匀速运动的物体的情况； ②初速度较大，且做匀减速直线运动的物体追及速度较小的匀速运动的物体的情况。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】一辆违规车在平直的公路上以10m/s的速度匀速行驶，经过警车时，警车立即由静止开始追赶。假设警车在追赶过程中做的是变速直线运动，其加速和减速的最大加速度均为5m/s2。若警车追上违规车时恰好与它共速，警车追上违规车的最短时间为（　　） A．（2+2）s B．2s C．2s D．（2﹣2）s 【变式1】平直公路上，甲车以速度v做匀速直线运动，同向行驶的乙车从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，乙车开始运动后，两车相遇两次，那么（　　） A．最初甲乙两者的距离为x0＜ B．最初甲乙两者的距离为x0＞ C．在第二次相遇时乙的速度范围0＜v乙＜v D．在第二次相遇时乙的速度范围v＜v乙＜2v 【变式2】（多选）2025年10月18日中国青少年公路自行车联赛（梁平站），在梁平区双桂湖畔顺利举行。在比赛的某一时刻，甲在乙前方12m处正以36km/h的速度匀速骑行，乙此时的速度为21.6km/h，加速度为2m/s2去追赶甲。记此时t＝0且甲乙一直在同一直线上运动。则从t＝0至乙追上甲前，下列说法正确的是（　　） A．乙追赶甲的过程中，两者的距离先增大后减小 B．乙追上甲时，两人的位移大小相等 C．乙追上甲时，乙的速度等于20m/s D．当乙的速度与甲相等时，两人相距最远 题型14 变速物体追变速物体问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的类型是匀变速直线运动的物体追及匀变速直线运动的物体，情况比较多样，比如：匀加速物体追匀加速物体，匀加速物体追匀减速物体，匀减速物体追匀加速物体以及匀减速物体追匀减速物体。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】甲、乙两质点在同一直线上运动，从t＝0时刻起同时出发，甲做匀加速直线运动，x﹣t图像如图甲所示。乙做匀减速直线运动，整个运动过程的x﹣v2图像如图乙所示。则下列说法正确的是（　　） A．t＝0时刻，甲的速度为2m/s，乙的速度为10m/s B．甲质点的加速度大小为2m/s2，乙的加速度大小为4m/s2 C．经过s，甲追上乙 D．经过2.5s，甲追上乙 【变式1】甲、乙两辆车在相邻的两条平行直轨道上同向匀速行驶，甲车的速度为v1＝16m/s，乙车的速度为v2＝12m/s，乙车在甲车的前面。当两车相距L＝6m时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a1＝2m/s2的加速度刹车，6s后立即改做匀速运动；乙车刹车的加速度为a2＝1m/s2，求： （1）两车经过多长时间速度相等。 （2）两车经过多长时间相遇。 【变式2】某同学用AI工具设计了无人机追逐游戏。游戏中无人机A、B最初处于静止状态，B在A右边距离s＝26m处。A从静止开始向右做匀加速直线运动，经过100m的距离达到最大速度40m/s，然后以40m/s运动6s，之后做加速度大小为1m/s2的匀减速直线运动直至停下。B在A开始运动1s后，也开始向右做匀加速直线运动，经过90m的距离达到最大速度30m/s，以后速度不变。求： （1）A、B加速时的加速度大小a1、a2？ （2）A开始运动多长的时间可以追上B？ （3）若其他条件不变，仅改变s的大小，为保证A追上B，s的最大值是多少？ 题型15 匀速物体追变速物体问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的类型是匀速直线运动的物体追及匀变速运动的物体，其中又包括两种情况：匀速直线运动追及匀加速直线运动及匀速直线运动追及匀减速直线运动。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】两位小朋友玩弹珠子游戏。固定直杆与水平面的夹角为37°，两颗有孔的珠子a、b穿在直杆上，初始时珠子之间的距离为l。一位小朋友将珠子a沿杆方向以速度v0弹出，另一个小朋友同时将珠子b无初速度释放，经时间t，在珠子a返回过程中两珠子相遇。珠子与杆之间的摩擦很小，可忽略，sin37°＝0.6，g＝10m/s2，则（　　） A． B． C． D． 题型16 相遇次数问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的是在追及相遇过程中发生多次相遇的情况。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】武汉长江大桥是1957年建成的一座公路、铁路两用大桥，全长1670m。某次由于交通管制，将汽车拦停在桥头处，汽车排成笔直的一列。假设汽车车长均为l1＝4m，前车尾部与后车头部之间距离均为d＝2m。一辆长l2＝128m的列车抵达武汉，以v0＝5m/s的速度匀速通过大桥，当列车车头恰与轿车头部平齐时（如图所示），汽车交通管制解除，所有汽车同时以a＝1m/s2的加速度启动过桥，汽车达到最大速度72km/h后匀速行驶。 （1）求第一辆汽车与列车完成错车的时间； （2）求在汽车达到最大速度前，与列车完成错车的汽车辆数； （3）事实上人存在一定的反应时间，现假设解除交通管制时，第一个司机滞后Δt＝1s启动汽车，后面司机都比以前一辆车滞后，Δt＝1s启动汽车。若此辆列车长度为l3＝150m，在该情况下列车驶离桥头时，求与列车完成错车的汽车辆数。（取） 题型17 追及相遇的图像类问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的是通过图像（一般是v﹣t图像）研究追及相遇问题。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】由于公路维修只允许单车道通行，在一平直车道上，有同向行驶的甲、乙两车，t＝0时，甲车在前，乙车在后，相距x0＝100m，速度均为v0＝30m/s，从此时开始两车按如图所示规律运动，则下述说法正确的是（　　） A．两车最近距离为10m B．两车最近距离为20m C．两车一定会相遇 D．3s时相距最近 【变式1】物体A、B的x﹣t图像如图所示，由图可知（　　） A．从第3s起，两物体运动方向相同，且vA＞vB B．两物体由同一位置同时开始运动 C．在5s内A、B两物体的位移相同，5s末A、B相遇 D．5s内A、B的平均速度相等 【变式2】（多选）在两条平行相邻直线车道上有a、b两汽车，当a汽车经过静止的b汽车时，开始计时，已知a汽车做匀变速直线运动的速度—位移图像、b汽车的加速度—时间图像分别如图所示，取a汽车运动方向为正方向，则下列说法正确的（　　） A．第4s内两车运动方向均为正方向 B．前2s内b汽车速度变化率大于a汽车 C．开始计时后，两车只可以相遇一次 D．0～6s内两车间最大距离为75m 题型18 非匀变速直线运动的问题 解｜题｜知｜识 对于非匀变速直线运动也主要利用匀变速直线运动的相关规律进行解题。 【典例1】一质点沿直线Ox方向做减速直线运动，它离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝6t﹣2t3（m），它的速度v随时间t变化的关系为v＝6﹣6t2（m/s），则该质点在t＝2s时的瞬时速度、从t＝0到t＝2s间的平均速度、平均速率分别为（　　） A．﹣18m/s、﹣2m/s、6m/s B．﹣18m/s、﹣2m/s、2m/s C．﹣2m/s、﹣2m/s、﹣18m/s D．﹣18m/s、6m/s、6m/s 【变式1】（多选）某一质点沿直线运动，运动速度与到出发点的距离成反比，当运动到离出发点为x的A处时质点速度为v1，后来运动到离出发点为x2的B处。设质点到达B处时速度v2，从A处到B处所用时间为t，则下列关系正确的是（　　） A．v2＝v1 B．v2＝v1 C．t＝ D．t＝ 题型19 匀变速直线运动规律的综合应用 解｜题｜知｜识 本考点下的题目，代表的是一类复杂的运动学题目，往往需要用到多个公式，需要细致的思考才能解答。 【典例1】一物块以一定的初速度从光滑斜面底端a点上滑，最高可滑至b点，后又滑回a点，c是ab的中点，如图所示，已知物块从a上滑至b所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．物块从a运动到c所用的时间与从c运动到b所用的时间为1：1 B．物块上滑过程的加速度与下滑过程的加速度大小不相等 C．物块下滑时从b运动至c所用时间为 D．物块上滑通过c点的速率等于整个上滑过程中的平均速度 【变式1】滑块在粗糙水平地面上做匀减速直线运动直到静止，已知滑块运动时间大于3s，在第1s内和第3s内的位移大小分别为x1＝6m、x3＝2m，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的初速度大小为7m/s B．滑块第2s末的速度大小为4m/s C．滑块运动的总位移大小为12m D．滑块停止运动前2s内的平均速度大小为3m/s 【变式2】如图所示为研究自动驾驶技术的一个实验示意图，在平直公路上，汽车A向超声测速仪B做直线运动，设t1＝0时汽车A与测速仪B相距d1＝347.5m，此时测速仪B发出一个超声波信号和红外线，汽车A接收到红外线时刹车做匀减速运动，当测速仪B接收到反射回来的超声波信号时，汽车A恰好停止，此时汽车A和测速仪B相距d2＝337.5m，已知超声波的速度v＝340m/s，红外线的速度远大于超声波的速度。下列说法正确的是（　　） A．汽车A接收到超声波的信号时，它与测速仪B的间距为342.5m B．汽车A从开始刹车至停下的时间为2.5s C．汽车A刹车过程中的加速度大小为5m/s2 D．汽车A刹车过程中的初速度大小为12m/s 【变式3】长为L的高速列车在平直轨道上正常行驶，速度为v0，要通过前方一长为2L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．第19届亚运会于2023年9月在浙江杭州举行。一质量为m的亚运会公路自行车运动员在某次训练中从斜坡顶端O点由静止开始匀加速向下运动，依次经过间距分别为3d和4d的A、B、C三棵树，经过相邻两棵树所用时间均为T，下列说法正确的是（　　） A．A树到O点的距离为2d B．运动员经过A树时的速度为 C．运动员的加速度为 D．运动员经过B树时的速度为 2．商场的电梯在维修测试时，从静止先以加速度a匀加速上升，随后以匀减速上升，直至速度为零时，电梯上升的总高度为h。则电梯从启动到停止全程所用时间为（　　） A． B．2 C． D．4 3．一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时（　　） A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1：：：…： B．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1：3：5：…：n C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1：2：3：… D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1：4：9：… 4.（多选）一辆汽车做匀加速直线运动，从某时刻开始计时，初速度为6m/s，经28m后速度增加到8m/s，则下列说法正确的是（　　） A．这段运动所用时间为4s B．这段运动的加速度是0.4m/s2 C．自计时开始，2s末的速度为7m/s D．从开始计时，到运动到14m位置时速度为7m/s 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 第3节 匀变速直线运动的位移与时间的关系 内 容 导 航 题型1 匀变速直线运动位移与时间的关系 题型2 匀变速直线运动速度与位移的关系 题型3 相等时间间隔内位移之差与加速度的关系 题型4 匀变速直线运动中的平均速度的应用（平均速度的推论） 题型5 中间位置处的速度计算 题型6 中间时刻速度与中间位置速度的关系 题型7 连续相等时间内的运动比例规律 题型8 连续相等位移内的运动比例规律 题型9 计算停车的时间、速度或位移 题型10 逆向思维法求解匀减速直线运动 题型11 提前停止类问题 题型12 避免碰撞类问题 题型13 变速物体追匀速物体问题 题型14 变速物体追变速物体问题 题型15 匀速物体追变速物体问题 题型16 相遇次数问题 题型17 追及相遇的图像类问题 题型18 非匀变速直线运动的问题 题型19 匀变速直线运动规律的综合应用 考 点 演 练 题型1 匀变速直线运动位移与时间的关系 解｜题｜知｜识 （1）匀变速直线运动的位移与时间的关系式：x＝v0t+at2。 （2）公式的推导 ①利用微积分思想进行推导：在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。 ②利用公式推导：匀变速直线运动中，速度是均匀改变的，它在时间t内的平均速度就等于时间t内的初速度v0和末速度v的平均值，即＝．结合公式x＝vt和v＝vt+at可导出位移公式：x＝v0t+at2 （3）匀变速直线运动中的平均速度 在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度vt/2＝v0+a×t＝，该段时间的末速度v＝vt+at，由平均速度的定义式和匀变速直线运动的位移公式整理加工可得＝＝＝v0+at＝＝＝＝vt/2。 即有：＝＝vt/2。 所以在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度，又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。 （4）匀变速直线运动推论公式： 任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是常数，即△x＝x2﹣x1＝aT2．拓展：△xMN＝xM﹣xN＝（M﹣N）aT2。 推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。 【典例1】在某次比赛中，无人驾驶汽车在平直公路上行驶，突然发现前方有障碍，智能系统识别后紧急制动。从制动开始计时，该汽车的位移x与时间t的关系为x＝8t﹣t2，下列说法正确的是（　　） A．加速度大小是1m/s2 B．最后2s内的平均速度大小是4m/s C．任意1s内的速度变化量都是﹣2m/s D．前5s内的位移大小是15m 【答案】C 【解答】解：A、由匀变速直线运动位移公式 对比题中x＝8t﹣t2 可得初速度 v0＝8m/s，a＝﹣2m/s2 加速度大小为2m/s2，故A错误； B、汽车刹车时间 最后2秒的位移为x4﹣x2＝（8×4﹣42）m﹣（8×2﹣22）m＝4m， 平均速度，故B错误； C、加速度a＝﹣2m/s2，任意1秒内速度变化量Δv＝a•Δt＝﹣2×1m/s＝﹣2m/s，故C正确； D、前5秒位移等于4秒内的总位移x4＝8×4m﹣42m＝16m，故D错误。 故选：C。 【变式1】一辆汽车开始刹车后运动的位移随时间变化的规律是x＝10t﹣2t2，x和t的单位分别是m和s，以下说法正确的是（　　） A．初速度v0＝10m/s，加速度a＝4m/s2 B．初速度v0＝4m/s，加速度a＝﹣10m/s2 C．汽车刹车到停止所用时间为5s D．汽车刹车后4s内的位移是12.5m 【答案】D 【解答】解：AB、根据题意分析可知，将匀变速直线运动位移公式与题目中的x＝10t﹣2t2对比，可得初速度v0＝10m/s，，即加速度a＝﹣4m/s2，故AB错误； C、根据题意分析可知，刹车停止时末速度v＝0，由v＝v0+at得，故C错误； D、根据题意分析可知，汽车在2.5s时已停止，刹车后4s内的位移等于2.5s内的位移。代入公式（t＝2.5s），得，故D正确。 故选：D。 【变式2】将一物块置于光滑水平面上，现给物块施加一水平向右的力，以加速度a1匀加速直线运动，经过一段时间，立即改为水平向左的力，以加速度a2运动，经过两倍的时间物块回到了原位置，则两次加速度大小之比为（　　） A．a1：a2＝1：2 B．a1：a2＝3：5 C．a1：a2＝4：5 D．a1：a2＝1：3 【答案】C 【解答】解：设物块以加速度a1匀加速直线运动所用时间为t， 根据匀变速直线运动位移—时间的公式， 该过程物块通过的位移为 此时物块的速度为v1＝a1t 之后物块以加速度a2运动，经过两倍的时间物块回到了原位置，则有 联立可得a1：a2＝4：5 故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式3】一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前观察：第一节车厢全部通过他需2s，全部车厢通过他需10s，这列火车的节数为（　　） A．3节 B．5节 C．16节 D．25节 【答案】D 【解答】解：火车从静止开始做匀加速直线运动，位移公式为 第一节车厢通过观察者用时t1＝2s，其长度 L＝ 全部车厢通过观察者用时t2＝10s，总位移为 nL＝（n为车厢数） 联立解得 n＝25 故ABC错误，D正确。 故选：D。 题型2 匀变速直线运动速度与位移的关系 解｜题｜知｜识 匀变速直线运动位移与速度的关系． 由位移公式：x＝v0t+at2和速度公式v＝v0+at消去t得：v2﹣＝2ax． 匀变速直线运动的位移﹣速度关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系． ①此公式仅适用于匀变速直线运动； ②式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移； ③公式中四个矢量v、v0、a、x要规定统一的正方向． 【典例1】一个做匀加速直线运动的物体，当它的速度由v增至2v，发生的位移为x1；当它的速度由2v增至3v时，发生的位移为x2。则（　　） A．x1：x2＝3：5 B．x1：x2＝2：3 C．x1：x2＝1：4 D．x1：x2＝1：2 【答案】A 【解答】解：根据匀变速直线运动位移与速度的关系可得第一段内：（2v）2﹣v2＝2ax1 第二段内：（3v）2﹣（2v）2＝2ax2 联立解得：x1：x2＝3：5，故A正确、BCD错误。 故选：A。 【变式1】汽车由静止开始沿直线从甲站开往乙站，先做加速度大小为a的匀加速运动，位移大小为x；接着在t时间内做匀速运动；最后做加速度大小也为a的匀减速运动，到达乙站时速度恰好为0。已知甲、乙两站之间的距离为6x，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：汽车运动分为三个阶段：匀加速、匀速、匀减速，总位移为6x，由对称性可知匀加速和匀减速阶段位移均为x，则匀速阶段位移为4x，则有 vt＝4x 匀加速阶段，根据速度—位移关系可得 v2＝2ax 联立解得 故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式2】如图四幅图分别为甲、乙、丙、丁四辆汽车做直线运动的图像，下列说法正确的是（　　） A．甲车在0～t0时间内的平均速度小于 B．乙车做匀减速直线运动，其加速度大小为10m/s2 C．丙车在6s末的速度为18m/s D．丁车做匀加速直线运动，其加速度大小为4m/s2 【答案】D 【解答】解：A.若汽车做匀变速直线运动，v﹣t图如图所示： 由匀变速运动规律可知，汽车在0～t0时间内做匀变速直线运动的平均速度为，图像与横轴所围图像面积代表位移，所以甲车的位移要更大一些，则平均速度大于，故A错误； B.由数学知识可知，图像直线表达式为：v2＝﹣10s，由匀变速直线运动规律可知，乙车做匀减速直线运动，其加速度大小为5m/s2，故B错误； C.a﹣t图中图像与横轴所围面积代表速度变化量，但不知道初速度，所以末速度无法确定，故C错误； D.由数学知识可知，图像直线表达式为：x＝2t2，由匀变速直线运动规律可知，丁车做匀加速直线运动，其加速度大小为4m/s2，故D正确。 故选：D。 【变式3】在铁道线路两旁，有排列整齐的接触网支柱，其中支柱A、B距离为200m（忽略支柱的宽度）。一列车以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，车头到达支柱A时速度为10m/s，当车头到达支柱B时速度为（　　） A．10m/s B．10m/s C．20m/s D．10m/s 【答案】B 【解答】解：根据匀变速直线运动的速度—位移关系，代入题中数据，解得车头到达支柱B时速度，故B正确，ACD错误。 故选：B。 题型3 相等时间间隔内位移之差与加速度的关系 解｜题｜知｜识 逐差法公式：Δx＝xⅡ﹣xⅠ＝xⅢ﹣xⅡ＝•••＝aT2，即做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、•••、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。 （1）推导 ，，，••• 所以xⅠ＝，xⅡ＝x2﹣x1＝，xⅢ＝x3﹣x2＝，••• 故xⅡ﹣xⅠ＝aT2，xⅢ﹣xⅡ＝aT2，••• 所以Δx＝xⅡ﹣xⅠ＝xⅢ﹣xⅡ＝•••＝aT2 应用：（1）判断物体是否做匀变速直线运动。如果Δx＝xⅡ﹣xⅠ＝xⅢ﹣xⅡ＝•••＝xN﹣xN﹣1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 （2）应用 利用△x＝aT2，可求得a＝。 【典例1】有一个匀加速直线运动的物体从2s末至6s末的位移为24m，从6s末至10s末的位移为40m，则这个物体的加速度的大小和初速度大小分别是（　　） A．1m/s2，2m/s B．2m/s2，1m/s C．1m/s2，4m/s D．4m/s2，4m/s 【答案】A 【解答】解：依题意，该物体在两个连续的4s时间内经过的位移分别为24m和40m，由Δx＝aT2 代入数据得a＝1m/s2 物体在4s末的速度大小为 代入数据得v4＝6m/s 设物体的初速度为v0，则有v4＝v0+at4 代入数据得v0＝2m/s，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式1】如图所示为某次跨栏跑步训练中等间距放置的三个栏，运动员跨过三个栏的过程可认为是匀加速直线运动，若跨过第2个栏的速度大小为5m/s，跨过第3个栏的速度大小为6m/s，则下列说法正确的是（　　） A．根据题目信息可计算运动员加速度大小 B．若相邻两个栏的间距为9m，则从第1个栏到第3个栏的时间为6s C．运动员通过第1个栏的速度为4m/s D．运动员从第1个栏到第3个栏的平均速度小于5m/s 【答案】D 【解答】解：A、由于相邻的两个栏之间的距离不知道、通过两个栏的时间不知道，根据题目信息不能计算运动员加速度大小，故A错误； BC、设运动员通过第1个栏的速度为v1，跨过第2个栏的速度大小为v2＝5m/s，跨过第3个栏的速度大小为v3＝6m/s，根据匀变速直线运动的规律可得： v2＝，解得：v1＝m/s 若相邻两个栏的间距为L＝9m，则从第1个栏到第3个栏运动过程中，有：2L＝ 解得：t＝s，故BC错误； D、运动员从第1个栏到第3个栏的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，小于中间位置的瞬时速度5m/s，故D正确。 故选：D。 【变式2】如图所示，某可视为质点的电动滑板车以某一速度开始做匀减速直线运动，连续经过P、Q、R三点，已知P、Q之间的距离为2L，Q、R之间的距离为L，且电动滑板车在PQ段的平均速度为QR段的2倍，则电动滑板车从P点开始到最终速度减为零的位移大小为（　　） A．L B．L C．L D．L 【答案】D 【解答】解：设滑板车经过PQ段的时间为t1，经过QR段的时间为t2，则在两段运动的平均速度分别为 ＝ 由于 可得t1＝t2，即PQ段和QR段所用时间相等，设每段的时间都为T， 根据逐差法有2L﹣L＝aT2 则Q点的速度为 滑板车从Q点到停止运动的过程有 联立解得从Q点到停止运动的位移 则从P点开始到最终速度减为零的位移大小为 故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式3】一辆汽车行驶在平直的公路上，某时刻油管破裂，每隔相同时间有一滴油滴出，选取汽车运动的方向为正方向，我们可以根据油滴之间的距离判断汽车的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．沿运动方向，油滴之间的距离增大时，汽车加速度一定增大 B．沿运动方向，油滴之间的距离增大时，汽车的加速度一定不变 C．沿运动方向，油滴之间的距离减小时，汽车的加速度可能增大 D．沿运动方向，油滴之间的距离减小时，汽车的加速度一定减小 【答案】C 【解答】解：AB．油滴之间的距离增大时，沿运动方向，说明汽车的速度增大，汽车的加速度方向与速度方向相同，但汽车的加速度大小可能不变、可能减小、也可能增加，故AB错误； CD．油滴之间的距离减小时，沿运动方向，说明汽车的速度减小，加速度方向与速度方向相反，汽车的加速度大小可能不变、可能减小、也可能增加，故C正确，D错误。 故选：C。 题型4 匀变速直线运动中的平均速度的应用（平均速度的推论） 解｜题｜知｜识 匀变速直线运动的导出公式是指由匀变速直线运动的3个基本公式推导出来的公式。包括： 1.平均速度公式：＝＝，即做直线运动的物体在任意一段时间t 内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。 推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v。 由得，平均速度，① 由v＝v0+at知，当t'＝时，有，② 由①②得。 又，③ 由②③解得， 综上所述有：＝＝ 2.结合平均速度的定义式有： ＝＝＝ 【典例1】我国自行研制的“枭龙”战机在某地试飞成功。假设该战机起飞前从静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需时间为t，则起飞前的运动距离为（　　） A．vt B． C．2vt D．不能确定 【答案】B 【解答】解：战机从静止开始做匀加速直线运动，初速度v0＝0，末速度v，时间t 在匀加速直线运动中平均速度为 代入得 位移，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式1】从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12s时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车。汽车从开出到停止总共历时20s，行进了60m。求汽车的最大速度（　　） A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s 【答案】B 【解答】解：设最大速度为vm，根据匀变速直线运动的特点可知，在匀加速和匀减速阶段的平均速度均为，则 解得 故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式2】一小球在水平桌面上做匀减速直线运动，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片（如图）。如果拍摄时每隔2s曝光一次，小球的直径约为10cm，则（　　） A．小球的加速度约为﹣0.1m/s2，图中第二次曝光时小球的瞬时速度约是0.1m/s B．小球的加速度约为﹣0.1m/s2，图中第二次曝光时小球的瞬时速度约是0.2m/s C．小球的加速度约为﹣0.05m/s2，图中第二次曝光时小球的瞬时速度约是0.1m/s D．小球的加速度约为﹣0.05m/s2，图中第二次曝光时小球的瞬时速度约是0.2m/s 【答案】D 【解答】解：小球的直径约为10cm，在图中占2格，所以一格代表5cm。 根据图像可知，第一段位移有10格，则位移为：x1＝5×10cm＝50cm＝0.5m 第二段位移有6格，则位移为：x2＝5×6cm＝30cm＝0.3m 由连续相等时间间隔内的位移之差为：x2﹣x1＝aT2，其中：T＝2s 代入数据解得：a＝﹣0.05m/s2。 图中第二次曝光时小球的瞬时速度约是：v＝＝m/s＝0.2m/s，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【变式3】物体从O点由静止开始做匀加速直线运动，经A、B、C三点，其中xAB＝4m，xBC＝8m。若物体经过AB、BC这两段位移的时间相等，则O、A两点之间的距离等于（　　） A．0.25m B．0.5m C．0.75m D．0.8m 【答案】B 【解答】解：设相等的时间为T 根据Δx＝aT2 得：＝ B点速度为：＝＝ 又： 联立解得： xOA＝0.5m 故选：B。 题型5 中间位置处的速度计算 解｜题｜知｜识 1.中点位置的瞬时速度公式：，即在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方、均、根”值。 2.推导：示意图如下： 前一段位移：，后一段位移： 所以有v，即有。 【典例1】如图所示，小球沿足够长的斜面向上做匀变速运动，依次经a、b、c、d到达最高点e。已知ab＝bd＝6m，bc＝1m，小球从a到c和从c到d所用的时间都是2s，设小球经b、c时的速度分别为vb、vc，则（　　） A． B．vc＝5m/s C．de＝3m D．从d到e所用时间为4s 【答案】D 【解答】解：AB．设物体在a点时的速度大小为v0，加速度为a，则从a到c有 物体从a到d有 解得 v0＝4m/s 根据速度公式vt＝v0+at 可得 根据中点位移—速度公式可得 ，故AB错误； C．根据位移与速度关系公式，从d到e有 解得xde＝4m，故C错误； D．根据 vt＝v0+at 可得从d到e的时间为tde＝4s，故D正确。 故选：D。 【变式1】如图，一栋高为h的三层楼房，每层楼高相等，且每层楼正中间有一个高为的窗户。现将一石块从楼顶边缘做初速度为0的竖直向下的匀加速直线运动，经过时间t，石块落地，以下说法正确的是（　　） A．石块从楼顶分别到达三个窗户顶部所用的时间之比为1：2：3 B．石块在时刻的位置是在第一个窗户的上边 C．石块下落的加速度为 D．石块在第二窗户中间位置时的速度为 【答案】C 【解答】解：A、石块从楼顶分别到达三个窗户顶部的位移之比为，根据可知，石块从楼顶分别到达三个窗户顶部所用的时间之比为t1：t2：t3＝＝，故A错误； B、根据可知，石块经过前时间和后时间的位移比为1：3，所以在前时间内的位移为，而第一个窗户顶部距楼顶的高度为，第一个窗户底部距楼顶的高度为 ，所以石块在时刻的位置是在第一个窗户的下边，故B错误； C、根据可得，故C正确； D．中间时刻的速度等于全程的平均速度，即，石块在第二窗户中间位置时的速度为中间位置的速度，匀加速直线运动的中间位置速度大于中间时刻的速度，故D错误。 故选：C。 【变式2】现在的物理学中加速度的定义式为a＝，而历史上有些科学家曾把相等位移内速度变化相等的单向直线运动称为“匀变速直线运动”（现称“另类匀变速直线运动”），“另类加速度”的定义式为A＝，其中v0、vs分别表示某段位移s内的初速度和末速度。A＞0表示物体在做加速运动，A＜0表示物体在做减速运动。则下列说法正确的（　　） A．若A不变，则a也不变 B．若A＞0且保持不变，则a逐渐变大 C．若A不变，则物体在位移中点处的速度比大 D．若A＞0且保持不变，则物体在中间时刻的速度比大 【答案】B 【解答】解：AB．若A不变，有两种情况：当A＞0时，相等位移内速度增加量相等，通过相等位移所用的时间越来越短，由a＝可知，a越来越大；当A＜0时，相等位移内速度减少量相等，通过相等位移所用的时间越来越多，由a＝可知，a越来越小，故A错误，B正确； C．当A不变时，相等位移内速度变化量相等，设位移中点处的速度为，则有﹣v0＝vs﹣，可得＝，故C错误； D．若A＞0且保持不变，则前一半时间内的平均速度小于后一半时间内的平均速度，后一半时间内物体将经过更多的位移，所以物体在中间时刻时，还没有到达中间位置，所以物体在中间时刻的速度比小，故D错误。 故选：B。 题型6 中间时刻速度与中间位置速度的关系 解｜题｜知｜识 1.对于任意一段匀变速直线运动，无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度大于中间时刻的瞬时速度，即。 2.证明：见例题。 【典例1】一个做匀加速直线运动的物体，先后经过a、b两点时的速度分别为v和7v，通过ab段的时间是t，则下列说法错误的是（　　） A．经过ab中间时刻的速度是4v B．前时间通过的位移比后时间通过的位移之比为5：11 C．前时间通过的位移比后时间通过的位移少1.5vt D．经过ab中间位置的速度是4.5v 【答案】D 【解答】解：AD、设经过ab中间时刻的瞬时速度为v1，根据匀变速直线运动的规律可得：v1＝＝4v 设经过ab中间位置的速度为v2，根据匀变速直线运动的规律可得：v2＝＝5v，故A正确、D错误； B、前时间内的平均速度为：＝＝v，后时间的平均速度为：＝＝v，所以前时间通过的位移比后时间通过的位移之比为：x1：x2＝＝5：11，故B错误； C、前时间通过的位移比后时间通过的位移少：Δx＝＝1.5vt，故C正确。 本题选错误的，故选：D。 【变式1】（多选）一辆汽车沿着一条平直的公路做匀变速直线运动，取汽车经过电线杆A的时刻为零时刻，10s内汽车依次经过公路旁边的一排电线杆A、B、C，已知相邻两电线杆间的距离为100m，则下列说法正确的是（　　） A．汽车全程的平均速度大小为10m/s B．汽车在5s时的速度大小为20m/s C．汽车经过电线杆B时的速度大小一定小于20m/s D．汽车经过电线杆B时的速度大小一定大于20m/s 【答案】BD 【解答】解：AB．由题意可知，相邻两电线杆间的距离为100m，所以汽车全程的平均速度大小为 ，所以汽车在5s时的速度大小为20m/s，故A错误，B正确； CD．根据匀变速直线运动规律可知匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度小于中间位移处的速度，所以汽车经过电线杆B时的速度大小一定大于20m/s，故C错误，D正确。 故选：BD。 题型7 连续相等时间内的运动比例规律 解｜题｜知｜识 1．连续相等时间末的速度之比 ts末、2ts末、3ts末…nts末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn＝1：2：3：…：n； 推导：由vt＝at知v1＝at，v2＝2at，v3＝3at，…，vn＝nat， 则可得：v1：v2：v3：…：vn＝1：2：3：…：n； 2.连续相等时间内的位移之比： ts内、2ts内、3ts内…nts内的位移之比为：x1：x2：x3：…：xn＝12：22：32：…：n2； 推导：由x＝at2知x1＝at2，x2＝a（2t）2，x3＝a（3t）2，…，xn＝a（nt）2； 则可得：x1：x2：x3：…：xn＝12：22：32：…：n2； 3．连续相等时间差内的位移之比为： 第ts内，第2ts内，第3ts内...第nts内的位移之比：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN＝1：3：5：…：（2n﹣1） 推导：由x＝at2知xⅠ＝at2，xⅡ＝a（22﹣12）t2，xⅢ＝a（32﹣22）t2，…，xN＝a[n2﹣（n﹣1）12]t2， 则可得：xⅠ：xⅡ：xⅢ：…：xN＝1：3：5：…：（2n﹣1） 【典例1】一个从足够高处下落的物体，做初速度为0的匀加速直线运动，在前1秒内，前2秒内和前3秒内的位移大小之比为（　　） A．1：1：1 B．1：2：3 C．1：3：5 D．1：4：9 【答案】D 【解答】解：物体做初速度为0的匀加速直线运动，位移公式 x＝，位移与时间的平方成正比，结合时间为前1秒内，前2秒内和前3秒内 代入数据得x1：x2：x3＝1：4：9，故D正确，ABC错误。 故选：D。 【变式1】木块A、B、C、D并排固定在水平地面上，可视为质点的子弹以速度v0射入木块A，恰好能从小块D中射出。子弹在木块A、B、C、D中运动的时间相等，在木块中运动时加速度恒定，下列说法正确的是（　　） A．木块A、B、C、D的长度之比为9：7：5：3 B．子弹刚射出木块B时的速度大小为 C．子弹射出木块A、B瞬间的速度大小之比为3：1 D．子弹在木块A中运动的平均速度是在木块D中运动的平均速度的7倍 【答案】D 【解答】解：A.子弹在木块A、B、C、D中运动的时间相等，子弹在木块中的运动可逆向看作初速度为零且从右向左的匀加速直线运动，由初速度等于零的匀加速直线运动存连续相等时间内运动位移的比例关系可知，木块A、B、C、D的长度之比为7：5：3：1，故A错误； B.由知，子弹刚射出木块B时的速度大小为，故B错误； C.由v＝at 知，子弹射出木块A、B瞬间的速度大小之比为vA：vB＝（3Δt）：（2Δt）＝3：2，故C错误； D.因为子弹在每个木块中运动的时间相等，由 子弹在木块A中运动的平均速度是在木块D中运动的平均速度的7倍，故D正确。 故选：D。 【变式2】如图所示，物块在足够长光滑斜面上的O点（未标出）由静止释放，从经过P点开始计时，物块在连续相等时间内通过的位移分别为L、2L、3L、…、nL，则OP的距离为（　　） A． B． C． D．L 【答案】A 【解答】解：设物块的加速度大小为a，连续相等的时间为t，根据逐差公式有L＝at2，距离P点为L的点的速度大小为v＝，则OP＝，联立解得OP＝，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【变式3】（多选）某物体从O点开始做初速度为零的匀加速直线运动，依次通过A、B、C三点，OA、AB、BC过程经历的时间和发生的位移分别对应如图所示，经过A、B、C三点时的速度分别为vA、vB、vC，则以下说法正确的是（　　） A．若t1：t2：t3＝1：2：3，则vA：vB：vC＝1：3：6 B．若t1：t2：t3＝1：2：3，则s1：s2：s3＝1：8：27 C．若s1：s2：s3＝1：2：3，则vA：vB：vC＝1：： D．若s1：s2：s3＝1：2：3，则t1：t2：t3＝1：： 【答案】ABC 【解答】解：A、根据速度公式v＝at，得vA＝at1，vB＝a（t1+t2），vC＝a（t1+t2+t3） 解得vA：vB：vC＝1：3：6，故A正确； B、根据位移公式s＝，得s1＝，s1+s2＝，s1+s2+s3＝ 令t1＝t，t2＝2t，t3＝3t 解得：s1：s2：s3＝1：8：27，故B正确； C、根据速度—位移公式v2＝2as得，vA＝，vB＝，vC＝ 解得vA：vB：vC＝1：：，故C正确； D、根据位移公式s＝，得t＝，t1＝，t1+t2＝，t1+t2+t3＝ 联立解得t1：t2：t3＝1：（﹣1）：（，故D错误； 故选：ABC。 题型8 连续相等位移内的运动比例规律 解｜题｜知｜识 1.连续相等位移处的速度之比 xm末、2xm末、3xm末…nxm末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn＝1：：：…：； 推导：由v2＝2ax知v1＝，v2＝，v3＝，…，vn＝； 则可得：v1：v2：v3：…：vn＝1：：：…：； 2．连续相等位移处的时间之比 前一个x、前两个x、前三个x …前n个x所用的时间之比为：t1：t2：t3：…：tn＝1：：：：…： 推导：由x＝at2知t1＝，t2＝，t3＝，…，tn＝； 则可得：t1：t2：t3：…：tn＝1：：：：…：； 3．连续相等位移内所用的时间之比为： 第一个x，第二个x，第三个x...第n个x所用的时间之比为：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN＝1：（﹣1）：（﹣）：…：（﹣） 推导：由x＝at2知t1＝，t2＝﹣＝（﹣1），t3＝﹣＝（），…，tn＝﹣＝（）； 则可得：tⅠ：tⅡ：tⅢ：…：tN＝1：（﹣1）：（﹣）：…：（﹣）． 【典例1】如图所示，是某列高铁经过一座直线高架大桥时的情景图，相邻桥墩之间的距离均为L，若由于某种原因高铁过桥时做匀减速直线运动，高铁车头前端到达桥墩1时开始计时，到达桥墩2时所用时间为T，最终停下时，车头前端恰好到达桥墩5（图中未画出），则下列说法正确的是（　　） A．从计时开始，高铁通过相邻桥墩的时间之比为1： B．从计时开始，高铁通过相邻桥墩的平均速度之比为 C．从车头前端到达桥墩4到列车停止运动的过程，经历的时间为 D．从车头前端到达桥墩1到列车停下的过程，列车的平均速度为 【答案】C 【解答】解：A．初速度为零的匀加速直线运动通过相邻且相等的位移所用时间之比为 则高铁过桥时做匀减速直线运动直至最终停下，通过相邻桥墩所用时间之比，故A错误； B．根据平均速度公式可知，从计时开始，高铁通过相邻桥墩的平均速度之比为，即，故B错误； C．高铁车头前端到达桥墩1时开始计时，到达桥墩2时所用时间为T，则高铁通过桥墩4、5间隔所用时间为，故C正确； D．高铁通过全程的位移为x＝4L，到达桥墩2时所用时间为T，结合比例关系可得全程所用的时间为 所以平均速度为，故D错误。 故选：C。 【变式1】成渝高速铁路的动车采取8节车厢编组。动车从沙坪坝站开出时做匀加速直线运动，当车头经过路边灯箱时速度大小为4m/s，车尾经过该灯箱时速度大小为12m/s。每节车厢的长度相等，前后四节车厢分别经过灯箱的时间之比为（　　） A．+1 B．﹣1 C． D． 【答案】D 【解答】解：设车厢总长为L，车厢中间位置的速度为，根据动力学公式有 前四节车厢经过灯箱的时间为 后四节车厢经过灯箱的时间为 前后四节车厢分别经过灯箱的时间之比为 故D正确，ABC错误。 故选：D。 【变式2】在利用频闪相机研究自由下落物体的运动时，将一可视为质点的小球从O点由静止释放的同时频闪相机第一次曝光，再经连续三次曝光，得到了如图所示的频闪相片，已知曝光时间间隔为0.2s，不考虑一切阻力。如果将小球从照片中的A点由静止释放，则下列说法正确的是（　　） A．小球由A到B以及由B到C的时间小于0.2s B．小球通过B点和C点时的速度关系为vB：vC＝1：2 C．小球由A到B以及由B到C的过程中平均速度的关系为 D．小球通过B点时的速度vB和由A到C的平均速度vAC的关系为vB＞vAC 【答案】D 【解答】解：A、从O点释放的位移规律频闪间隔T＝0.2s，自由落体中，连续相等时间内的位移比为1：3：5，设OA位移为h，则AB＝3h，BC＝5h，小球从A点静止释放，做初速度为零的匀加速直线运动。由x＝，AB位移3h、BC位移5h对应的时间tAB、tBC均大于频闪间隔0.2s，故A错误； B、从A释放，由3h＝，3h+5h＝，解得：tAB＝，tAC＝4 B点速度vB＝gtAB＝，C点速度vC＝gtAC＝，故vB：vC＝，故B错误； C、由平均速度计算公式＝可得：，＝，因tAB≠tBC，故AB和BC之间的平均速度之比不等于3：5，故C错误； D、小球在AC段的平均速度大小为：vAC＝＝2＜vB，故D正确。 故选：D。 【变式3】几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》用实验证实：四个水球就足够！已知四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿接触点连线的运动可视为沿水平方向的匀减速直线运动，子弹恰好能穿出第四个水球，则（　　） A．子弹在每个水球中速度变化量相同 B．子弹依次进入四个水球的初速度之比为4：3：2：1 C．子弹穿过每个水球的平均速度相同 D．子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等 【答案】D 【解答】解：A、子弹向右做匀减速直线运动，穿过每个水球的时间不同，根据Δv＝aΔt可知，子弹在每个水球中速度变化量不相同，故A错误； B、设每个水球的宽度为x，加速度大小为a，子弹恰好能穿出第四个水球，则穿出第四个水球时的速度为0。子弹运动的过程是初速度为0的匀加速运动，根据 v2＝2ax 可得 则反向匀加速中穿出水球的速度之比为，所以子弹正向依次进入四个水球的初速度之比为，故B错误； C、子弹穿过每个水球的位移相等，但时间不同，所以子弹穿过每个水球的平均速度不相同，故C错误； D、根据反向匀加速运动可知，子弹穿出第三个水球的瞬时速度即为反向匀加速穿过第一个水球的速度大小 射入水球的初速度满足 全程的平均速度为 ＝ 联立可得 ＝ 可知，子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等，故D正确。 故选：D。 题型9 计算停车的时间、速度或位移 解｜题｜知｜识 1.刹车问题是生活中的常见问题。刹车模型类比于匀减速直线运动，刹车时间通过速度—时间关系t＝求解，刹车位移通过位移—时间公式x＝v0t﹣来求解。如果确定具体问题中的末速度为零，还以采用逆向思维将其看作初速度为零的匀加速直线运动求解。 2.刹车问题还常常设计刹车速度的计算。计算公式为v＝v0﹣at。 【典例1】交警在处理某次交通事故时，通过监控仪器扫描，输入计算机后得到某汽车在水平路面上刹车过程中的位移随时间变化的规律为：x＝20t﹣2t2（x的单位是m，t的单位是s）。则分析该汽车刹车6s在路面上留下的刹车痕迹长度为（　　） A．48m B．50m C．100m D．200m 【答案】B 【解答】解：对比位移与时间的关系式x＝v0t 可知汽车的初速度v0＝20m/s，加速度a＝﹣4m/s2，故汽车实际运动时间为 t＝ 故汽车在刹车后6s在路面上留下的刹车痕迹长度等于汽车速度减小到零的过程中通过的位移大小，即x＝20t﹣2t2 代入数据得 t＝5s，故B正确，ACD错误。 故选：B。 【变式1】一辆新能源汽车以72km/h的速度在平直公路上开启自适应巡航（ACC）行驶。ACC系统通过雷达检测到前方90m处有一辆因故障紧急停止的卡车，已知ACC系统会在检测到障碍物后0.5s启动自动刹车系统（无需人类反应），制动时的加速度大小为a。汽车最终未撞上卡车，则制动加速度a的最小值为（　　） A．1.5m/s2 B．2m/s2 C．2.5m/s2 D．3m/s2 【答案】C 【解答】解：汽车初速度v0＝72km/h＝20m/s 反应阶段：系统延迟t1＝0.5s，汽车匀速行驶的距离为s1＝v0•t1＝20×0.5m＝10m 刹车阶段：剩余允许的最大刹车距离为s2＝90m﹣s1＝90m﹣10m＝80m 根据匀变速直线运动速度—位移关系可得匀减速运动满足，最终速度v＝0，代入得制动加速度的最小值a＝2.5m/s2，故C正确，ABD错误。 故选：C。 【变式2】在高速公路行驶时，司机发现前方障碍物后立即刹车。已知汽车以20m/s的速度匀速行驶，司机的反应时间为0.5s，刹车后汽车做匀减速直线运动，加速度大小为4m/s2。下列说法正确的是（　　） A．汽车在反应时间内行驶的距离为15m B．刹车后汽车经过2.5s停止 C．若障碍物距离汽车45m，则会发生碰撞 D．汽车从发现障碍物到停止的总位移为50m 【答案】C 【解答】解：A、根据题意分析可知，在反应时间内，汽车做匀速运动，行驶距离为x1＝v0t1 解得x1＝10m 故A错误； B、根据题意分析可知，停止时，末速度为0，则车停下来用时t2＝，解得t2＝5s 故B错误； CD、根据题意分析可知，刹车后行驶的距离x2＝，解得x2＝50m 停止的总位移为x总＝x1+x2 解得x总＝60m 若障碍物距离汽车45m，则会发生碰撞，故C正确，D错误。 故选：C。 【变式3】（多选）刹车距离是汽车安全性能的重要参数。以某一速度行驶的汽车，刹车后经12m速度减到零。刹车过程可视为匀减速直线运动，汽车刹车过程中下列说法正确的是（　　） A．每经过1s其速度变化量相同 B．每经过1m其速度变化量不相同 C．前9m与后3m的时间之比为1：1 D．经过第1m和第12m时间之比为 【答案】ABC 【解答】解：A、汽车的加速度a不变，结合Δv＝aΔt 可知，每经过1s其速度变化量相同，故A正确； B、汽车做减速运动，速度逐渐减小，每经过1m的时间越来越长，结合Δv＝aΔt，每经过1m的速度变化量越来越大，故B正确； C、将汽车的运动看成反向的初速度为零的匀加速运动，位移之比为9：3＝3：1，故前9m末是整个运动的中间时刻，前9m与后3m的时间之比是1：1，故C正确； D、结合逆向思维，得 代入数据可得经过第1m和第12m时间之比为，故D错误。 故选：ABC。 题型10 逆向思维法求解匀减速直线运动 解｜题｜知｜识 1.汽车刹车过程中当把速度减为零时汽车即停止，正向来看就是匀减速直线运动，逆向来看就是初速度为零的匀加速直线运动。这将使问题简化，更方便解决。 2.本考点涉及的运动过程包含所有的末速度为零的匀减速直线运动， 【典例1】如图所示，运动员将冰壶（可视为质点）从a点（冰壶已离手）以一定的速度v沿水平冰面推出，冰壶离手后依次经过a、b、c三点后在d恰好减速停止。已知冰壶做匀减速直线运动，ab＝bc＝cd＝L，则下列说法正确的是（　　） A．冰壶离手后运动的加速度大小为 B．冰壶离手后运动的时间为 C．冰壶运动到c点的速度大小为 D．冰壶从b点运动到c点的时间和从c点运动到d点的时间之比为 【答案】D 【解答】解：A、从a到d，根据速度—位移关系可得：0﹣v2＝0﹣2a×3L，解得加速度大小为：a＝，故A错误； B、冰壶离手后运动的时间为t，则有：＝3L，解得：t＝，故B错误； C、逆向分析，根据速度—位移关系可得：＝2aL，解得：vc＝，故C错误； D、根据初速度为零的匀加速直线运动中，连续相等的位移内时间之比为：1：（﹣1）：（）：……，逆向分析，则冰壶做初速度为零的匀加速直线运动，所以冰壶从b点运动到c点的时间和从c点运动到d点的时间之比为（﹣1）：1，故D正确。 故选：D。 【变式1】（多选）某人驾驶一辆汽车甲正在平直的公路上以某一速度匀速运动，突然发现前方50m处停着一辆乙车，甲车司机立即刹车，甲车刹车后做匀减速直线运动。已知甲车刹车后第1个2s内的位移大小是24m，第4个2s内的位移大小是1m。则下列说法正确的是（　　） A．汽车甲刹车后第2个2s内的位移大小为16m B．汽车甲刹车后做匀减速直线运动的加速度大小为 C．汽车甲刹车后第6s末的速度大小为2m/s D．汽车甲不可能与乙车相撞 【答案】ACD 【解答】解：B、根据题意分析可知，假设8s内一直做匀减速直线运动，根据相邻相等时间内位移差规律有 解得 根据位移公式有 解得 在假设状态下速度减为0的时间 可知，汽车在8s之前已经停止运动，即假设不成立。令汽车的加速度大小为a0，初速度为v1，根据位移公式有 汽车减为0的时间 第4个2s内的位移大小是1m，根据匀变速直线运动的公式，利用逆向思维有 解得v1＝14m/s，t0＝7s，，故B错误； A、根据题意分析可知，汽车甲刹车后第2个2s内的位移大小 结合上述解得x2＝16m，故A正确； C、根据题意分析可知，汽车甲刹车后第6s末的速度大小v2＝v1﹣a0•3T，解得v2＝2m/s，故C正确； D、根据题意分析可知，结合上述，利用逆向思维有 解得x甲＝49m＜50m 表明汽车甲不可能与乙车相撞，故D正确。 故选：ACD。 题型11 提前停止类问题 解｜题｜知｜识 1.刹车类问题中有一类是求解某一时刻物体的速度，要注意判断该时刻物体是否已经停止运动。 2.原因：作为匀减速直线运动，速度与位移的求解通常根据公式v＝v0﹣at以及x＝v0t﹣，如果物体已经提前停止，那么将题目所给时间代入后就会得到错误的结果。 【典例1】目前，具有“智驾”功能的电动汽车越来越多，智驾中“主动刹车系统”是指当汽车与正前方障碍物之间的距离小于安全距离时，会立即开始主动刹车。若某次测试中某车设置的安全距离为20m，汽车以72km/h的速度在路面上行驶，主动刹车后做匀减速直线运动，加速度大小为8m/s2，下列说法正确的是（　　） A．汽车能在安全距离内停下 B．汽车开始“主动刹车”后第1s末的速度为10m/s C．汽车第3秒内的平均速度为1m/s D．汽车开始“主动刹车”后3s内的位移为24m 【答案】C 【解答】解：A．已知汽车初速度v0＝72km/h＝20m/s，汽车减速到零的位移为，故汽车不能在安全距离内停下，故A错误； B．根据匀变速直线运动速度—时间公式，可得汽车开始“主动刹车”后第1s末的速度为v1＝v0﹣at1，解得v1＝12m/s，故B错误； C．根据速度—时间公式，可得汽车第2s末的速度为v2＝v0﹣at2，解得v2＝4m/s 设汽车减速到零所用的时间为t0，则有 即汽车在第3秒内只运动了0.5s，结合平均速度公式可得位移为 故汽车第3秒内的平均速度为，故C正确； D．由C分析，可知汽车经2.5s速度变为零，故汽车在3s内的位移等于汽车在2.5s内的位移，结合A选项分析有x0＝25m，故D错误。 故选：C。 【变式1】汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s内与开始刹车后6s内汽车通过的位移之比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．1：1 D．3：1 【答案】A 【解答】解：汽车初速度v0＝20m/s，刹车加速度a＝﹣5m/s2 刹车停止时间为 因此，刹车后6秒内的实际位移等于4秒内的位移。 刹车2秒内的位移 刹车6秒内的位移（实际为4秒位移） x2：x6＝3：4，故A正确，BCD错误。 故选：A。 题型12 避免碰撞类问题 解｜题｜知｜识 刹车类问题中有一种情况是为了避免和前方物体相撞，这在现实生活中也具有较强的实际意义。 司机在刹车时往往需要反应时间，所以注意实际生活中的刹车问题通常分成两段，准备刹车和正式刹车，一段是匀速直线运动，一段是匀减速直线运动。 【典例1】根据我国道路交通管理的相关规定，同一车道行驶的机动车，后车必须根据行驶速度、天气和路面情况，与前车保持必要的安全距离。如图所示的安全距离示意图，标出了一般情况下汽车在不同行驶速度下所对应的大致安全的刹车距离。在通常情况下，驾驶者的反应时间平均为0.4s～1.5s，下列说法正确的是（　　） A．反应时间是指刹车后的0.4s至1.5s一段时间 B．由图可以看出，只要前车与后车间距大于刹车距离，即可避免追尾事故发生 C．由图可以看出，当行驶速度为60km/h时，停车距离与反应距离的比值为9：4 D．由图可以看出，随着行驶速度的增大，反应距离与刹车距离的比值逐渐减小 【答案】D 【解答】解：A．反应时间指刹车前的0.4s～1.5s的一段时间，故A错误； B．由图可以看出，只要前车与后车之间的初始距离大于停车距离，即反应距离和刹车距离之和，即可避免追尾事故发生，故B错误； C．当行驶速度为60 km/h时，停车距离与反应距离的比值为（20+15 ）m：15 m＝7：3， 故C错误； D．行驶速度为40 km/h时反应距离与刹车距离的比值10 m：10 m＝1：1； 行驶速度为60 km/h时反应距离与刹车距离的比值15 m：20 m＝3：4； 行驶速度为80 km/h时反应距离与刹车距离的比值为20 m：40 m＝1：2； 可以看出，随着行驶速度的增大，反应距离与刹车距离的比值逐渐减小，故D正确。 故选：D。 【变式1】酒后驾驶会导致许多安全隐患。酒后驾驶员的反应时间变长，“反应时间”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间，表中“反应距离”是指“反应时间”内汽车行驶的距离；“制动距离”是指驾驶员从发现情况到汽车停止行驶的距离。假设汽车以不同速度行驶时制动的加速度大小都相同。分析表中数据可知，下列选项中错误的是（　　） 反应距离/m 制动距离/m 速度/（m•s﹣1） 正常 酒后 正常 酒后 15 7.5 15.0 22.5 30.0 A．若汽车的初速度增加一倍，制动距离也增大一倍 B．驾驶员酒后反应时间比正常情况下多0.5s C．驾驶员采取制动措施后汽车刹车的加速度大小为7.5m/s2 D．若汽车以25m/s的速度行驶时发现前方60m处有险情，酒后驾驶不能安全停车 【答案】A 【解答】解：A、由题意可知，制动距离 可知，若汽车的初速度增加一倍，制动距离增大不是一倍，故A错误； B、根据题意分析可知，驾驶员采取制动措施时，有一定的反应时间。若是正常情况下，由x＝vt可得 若是酒后则由x1＝vt1可得 所以驾驶员酒后反应时间比正常情况下多0.5s，故B正确； C、根据题意分析可知，制动距离减去思考距离才是汽车制动过程中的发生的位移 x＝（22.5﹣7.5）m＝15m 由v2＝2ax可得 故C正确； D、根据题意分析可知，当酒后25m/s的速度行驶时 反应距离 x1＝（25×1）m＝25m 根据匀变速直线运动的公式有，减速行驶的距离 制动距离为 x＝x1+x2＝25m+41.7m＞60m 不能安全停车．故D正确。 本题选择错误的，故选A。 题型13 变速物体追匀速物体问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的类型是匀变速直线运动的物体追及匀速运动的物体，其中又包括两种情况： ①初速度较小，且做匀加速直线运动的物体追及速度较大的匀速运动的物体的情况； ②初速度较大，且做匀减速直线运动的物体追及速度较小的匀速运动的物体的情况。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】一辆违规车在平直的公路上以10m/s的速度匀速行驶，经过警车时，警车立即由静止开始追赶。假设警车在追赶过程中做的是变速直线运动，其加速和减速的最大加速度均为5m/s2。若警车追上违规车时恰好与它共速，警车追上违规车的最短时间为（　　） A．（2+2）s B．2s C．2s D．（2﹣2）s 【答案】A 【解答】解：警车需先加速到最大速度再减速至10m/s，追上时位移相等且共速。加速时间t1，加速度a1＝5m/s2，根据匀变速直线运动的公式有，末速度v1＝5t1 加速位移为x1＝ 减速时间t2，加速度a2＝﹣5m/s2，末速度10＝v1﹣5t2＝5t1﹣5t2 得t2＝t1﹣2 减速位移为x2＝v1t2+﹣10 警车总位移x＝x1+x2＝5﹣10 超载车位移x′＝10（t1+t2）＝20t1﹣20 联立方程5﹣10＝20t1﹣20 解得或（舍去） 总时间t＝t1+t2，代入数据解得t＝，故A正确，BCD错误； 故选：A。 【变式1】平直公路上，甲车以速度v做匀速直线运动，同向行驶的乙车从静止开始以加速度a做匀加速直线运动，乙车开始运动后，两车相遇两次，那么（　　） A．最初甲乙两者的距离为x0＜ B．最初甲乙两者的距离为x0＞ C．在第二次相遇时乙的速度范围0＜v乙＜v D．在第二次相遇时乙的速度范围v＜v乙＜2v 【答案】D 【解答】解：AB.甲车的位移 x甲＝vt 乙车的位移 相遇时需满足 整理可得方程 判别式 Δ＝v2﹣2ax0 若两车相遇两次，需Δ＞0，即 故AB错误； CD.方程的两根为相遇时间t1和t2（t1＜t2）。第二次相遇时，乙的速度 v乙＝at2 当x0→0时 此时v乙＝2v，当时 此时 v乙＝v 因此，第二次相遇时乙的速度范围为v＜v乙＜2v，故D正确，C错误。 故选：D。 【变式2】（多选）2025年10月18日中国青少年公路自行车联赛（梁平站），在梁平区双桂湖畔顺利举行。在比赛的某一时刻，甲在乙前方12m处正以36km/h的速度匀速骑行，乙此时的速度为21.6km/h，加速度为2m/s2去追赶甲。记此时t＝0且甲乙一直在同一直线上运动。则从t＝0至乙追上甲前，下列说法正确的是（　　） A．乙追赶甲的过程中，两者的距离先增大后减小 B．乙追上甲时，两人的位移大小相等 C．乙追上甲时，乙的速度等于20m/s D．当乙的速度与甲相等时，两人相距最远 【答案】AD 【解答】解：A.甲做匀速直线运动，速度v甲＝36km/h＝10m/s；乙做匀加速直线运动，初速度v0＝21.6km/h＝6m/s，加速度a＝2m/s2，初始时刻，甲在乙前方12m，且甲的速度大于乙的速度，因此乙追赶甲的过程中，两者距离会先因甲速度大而增大，当乙的速度增大到等于甲的速度时，距离达到最大，之后乙的速度超过甲，距离开始减小。因此，两者距离先增大后减小，A正确； B.乙追上甲时，乙的位移等于甲的位移与初始距离之和，即x乙＝x甲+12m，因此两人的位移大小不相等，B错误； C.乙追上甲时，需满足位移关系x乙＝x甲+12m。甲的位移：x甲＝v甲t＝10t，乙的位移：x乙＝＝6×t+×2×t2＝6t+t2，联立方程：6t+t2＝10t+12，解得t＝6s（t＝﹣2s 舍去）。此时乙的速度：v乙＝at＝2×6＝12m/s≠20m/s，C错误； D.当乙的速度与甲相等时，即v乙＝v甲＝10m/s，此时乙的速度刚好等于甲的速度，之后乙的速度将超过甲，两者距离开始减小，因此此时两人相距最远，D正确。 故选：AD。 题型14 变速物体追变速物体问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的类型是匀变速直线运动的物体追及匀变速直线运动的物体，情况比较多样，比如：匀加速物体追匀加速物体，匀加速物体追匀减速物体，匀减速物体追匀加速物体以及匀减速物体追匀减速物体。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】甲、乙两质点在同一直线上运动，从t＝0时刻起同时出发，甲做匀加速直线运动，x﹣t图像如图甲所示。乙做匀减速直线运动，整个运动过程的x﹣v2图像如图乙所示。则下列说法正确的是（　　） A．t＝0时刻，甲的速度为2m/s，乙的速度为10m/s B．甲质点的加速度大小为2m/s2，乙的加速度大小为4m/s2 C．经过s，甲追上乙 D．经过2.5s，甲追上乙 【答案】C 【解答】解：AB、质点甲做匀加速直线运动，则 x＝x0+v0t+a甲t2 由图甲可知 t＝0时，x0＝﹣2m 第1s内的位移为 x1＝0m﹣（﹣2m）＝2m 前2s内的位移为 x2＝6m﹣（﹣2m）＝8m 代入数据解得 v0＝0 a甲＝4m/s2 质点乙做匀减速直线运动，根据图乙得 0﹣v2＝﹣2a乙x 整理解得 x＝v2 x﹣v2图像的斜率大小 k＝＝ 解得匀减速过程中加速度大小 a乙＝4m/s2 乙的初速度为v乙＝10m/s，故AB错误； C．乙质点停止所用时间为 乙质点2.5s的位移为 甲质点经过s的位移为 因为 x1﹣x2＝14.5m﹣12.5m＝2m＝x0＝2m 经过s，甲追上乙，故C正确； D．经过2.5s，甲质点的位移为 因为初始距离x0＝2m，甲没追上乙，故D错误。 故选：C。 【变式1】甲、乙两辆车在相邻的两条平行直轨道上同向匀速行驶，甲车的速度为v1＝16m/s，乙车的速度为v2＝12m/s，乙车在甲车的前面。当两车相距L＝6m时，两车同时开始刹车，从此时开始计时，甲车以a1＝2m/s2的加速度刹车，6s后立即改做匀速运动；乙车刹车的加速度为a2＝1m/s2，求： （1）两车经过多长时间速度相等。 （2）两车经过多长时间相遇。 【答案】（1）两车经过4s或8s速度相等。 （2）两车经过2s或6s或10s相遇。 【解答】解：（1）0﹣6s内v甲＝v1﹣a1t1，v乙＝v2﹣a2t1 两车速度相等时v甲＝v乙 代入数据可得t1＝4s 6s之后，v甲＝4m/s，v′乙＝v2﹣a2（t1+t2） 两车速度相等时v甲＝v′乙 代入数据可得t2＝4s 所以两车速度相等时经过的时间为4s 或8s。 （2）在甲减速时，设经时间t相遇，甲和乙的位移分别为s1、s2，则，，结合s1＝s2+L 代入数据可得t1＝2 s，t2＝6s 即在甲车减速时，相遇两次，第一次相遇的时间为t1＝2 s，第二次相遇的时间为t2＝6 s。 当t2＝6 s时，甲车的速度为v′1＝v1﹣a1t2 代入数据可得v′1＝4m/s 乙车的速度为v′2＝v2﹣a2t2 代入数据可得v′2＝6 m/s 甲车的速度小于乙车的速度，但乙车做减速运动，设再经Δt甲追上乙，有 代入数据可得Δt＝4s 此时乙仍在做减速运动，此解成立。 即甲乙第三次相遇的时间为t3＝10s。 答：（1）两车经过4s或8s速度相等。 （2）两车经过2s或6s或10s相遇。 【变式2】某同学用AI工具设计了无人机追逐游戏。游戏中无人机A、B最初处于静止状态，B在A右边距离s＝26m处。A从静止开始向右做匀加速直线运动，经过100m的距离达到最大速度40m/s，然后以40m/s运动6s，之后做加速度大小为1m/s2的匀减速直线运动直至停下。B在A开始运动1s后，也开始向右做匀加速直线运动，经过90m的距离达到最大速度30m/s，以后速度不变。求： （1）A、B加速时的加速度大小a1、a2？ （2）A开始运动多长的时间可以追上B？ （3）若其他条件不变，仅改变s的大小，为保证A追上B，s的最大值是多少？ 【答案】（1）A、B加速时的加速度大小a1、a2 分别为8m/s2，5m/s2。 （2）A开始运3s和38.6s可以追上B。 （3）若其他条件不变，仅改变s的大小，为保证A追上B，s的最大值为180m 【解答】解：（1）根据 可知 代入图中数据可得 （2）A加速运动的时间 假设在A加速阶段能够追上B，所用时间为t′，则有： a1t′2＝a2（t′﹣1）2+s 解得：t′＝3s（另一解为负值，舍去。） 因t′＜5s，故此结果合理。 A匀速运动6s的位移xa2＝40×6m＝240m B加速运动的时间 假设在A减速过程追上B，使用时间为t，则由位移关系 代入数据解得t＝38.6s（另一根舍掉） （3）当AB共速时A若能追上B，此时s最大，设A减速经过时间t′时AB共速，则va﹣a1't'＝vb 解得t′＝10s 减速过程中A的位移 此时B匀速的时间tb2＝（5s+6s+10s）﹣（6s+1s）＝14s 则AB最大距离s＝xa1+xa2+xa3﹣xb1﹣vbtb2＝100m+240m+350m﹣90m﹣30×14m＝180m 答：（1）A、B加速时的加速度大小a1、a2 分别为8m/s2，5m/s2。 （2）A开始运3s和38.6s可以追上B。 （3）若其他条件不变，仅改变s的大小，为保证A追上B，s的最大值为180m。 题型15 匀速物体追变速物体问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的类型是匀速直线运动的物体追及匀变速运动的物体，其中又包括两种情况：匀速直线运动追及匀加速直线运动及匀速直线运动追及匀减速直线运动。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】两位小朋友玩弹珠子游戏。固定直杆与水平面的夹角为37°，两颗有孔的珠子a、b穿在直杆上，初始时珠子之间的距离为l。一位小朋友将珠子a沿杆方向以速度v0弹出，另一个小朋友同时将珠子b无初速度释放，经时间t，在珠子a返回过程中两珠子相遇。珠子与杆之间的摩擦很小，可忽略，sin37°＝0.6，g＝10m/s2，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：AB．由于在运动过程中珠子a、b有共同的加速度，珠子a相对珠子b向上以速度v0匀速运动，初始时珠子之间的距离为l，故 l＝v0t 解得 故A正确，B错误； CD．若在珠子a刚要返回时相遇，则珠子a运动位移 则珠子b运动距离为 则根据匀变速直线运动位移—时间关系式有 解得 若在珠子a返回到出发点时相遇，则 则 若在珠子a返回过程中两珠子相遇，则 故CD错误。 故选：A。 题型16 相遇次数问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的是在追及相遇过程中发生多次相遇的情况。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】武汉长江大桥是1957年建成的一座公路、铁路两用大桥，全长1670m。某次由于交通管制，将汽车拦停在桥头处，汽车排成笔直的一列。假设汽车车长均为l1＝4m，前车尾部与后车头部之间距离均为d＝2m。一辆长l2＝128m的列车抵达武汉，以v0＝5m/s的速度匀速通过大桥，当列车车头恰与轿车头部平齐时（如图所示），汽车交通管制解除，所有汽车同时以a＝1m/s2的加速度启动过桥，汽车达到最大速度72km/h后匀速行驶。 （1）求第一辆汽车与列车完成错车的时间； （2）求在汽车达到最大速度前，与列车完成错车的汽车辆数； （3）事实上人存在一定的反应时间，现假设解除交通管制时，第一个司机滞后Δt＝1s启动汽车，后面司机都比以前一辆车滞后，Δt＝1s启动汽车。若此辆列车长度为l3＝150m，在该情况下列车驶离桥头时，求与列车完成错车的汽车辆数。（取） 【答案】（1）第一辆汽车与列车完成错车的时间12 s； （2）在汽车达到最大速度前，与列车完成错车的汽车辆数是29； （3）若此辆列车长度为l3＝150m，在该情况下列车驶离桥头时，与列车完成错车的汽车辆数为16。 【解答】解：（1）根据题意分析可知，经时间t1，第一辆汽车车尾与列车车尾相遇；根据位移计算公式，列车位移为 x1＝v0t1 根据匀变速直线运动的公式，汽车位移为 x2＝ 又 x1+x2＝l1+l2 联立解得 t1＝12s （2）根据题意分析可知，汽车经时间t2加速达到最大速度 vm＝72km/h＝20m/s 根据速度与加速度关系有 vm＝at2 解得 t2＝20s 在t2 ＝ 20 s的时间内，列车位移为 x′1＝v0t2， 代入数据解得x′1＝100m 汽车位移为 x′2＝，代入数据解得x′2＝200m 又 ΔL＝x′1+x′2﹣l2 代入数据解得ΔL＝172m 设总共有n辆车与列车完成错车，则 n（l1+d）＝ΔL 解得 n＝28余4 m 即当n ＝ 28时， ΔL﹣28（l1+d）＝4m＝l1 故总共能与29辆汽车完成错车。 （3）长为l3的列车驶过桥头历时 t3＝，代入数据解得t3＝30s 第一辆汽车运动时间 t4＝t3﹣Δt，代入数据解得t4＝29s 则 t4﹣t2＝9s＝9Δt 即列车驶过桥头时已有9辆汽车达到最大限速；设总共有k辆车与列车完成错车，则 （k﹣1）（l1+d）+l1＝ 即 k2﹣72k+904＝0 解得 k＝16.2＞9 故总共能与16辆汽车完成错车。 答：（1）第一辆汽车与列车完成错车的时间12 s； （2）在汽车达到最大速度前，与列车完成错车的汽车辆数是29； （3）若此辆列车长度为l3＝150m，在该情况下列车驶离桥头时，与列车完成错车的汽车辆数为16。 题型17 追及相遇的图像类问题 解｜题｜知｜识 1.定义：追及相遇问题主要涉及两个物体在同一直线上运动的情况，关键在于分析两物体能否同时达到某一空间位置。 2.本考点介绍的是通过图像（一般是v﹣t图像）研究追及相遇问题。 3.常规的解题步骤： ①分析两物体的运动：首先，需要分析两个物体的运动情况，包括它们的速度、加速度以及初始距离等。 ②画出运动过程示意图：通过画出两物体的运动过程示意图，可以更直观地理解它们的位置关系和运动轨迹。 ③列出位移方程：根据物体的运动规律，列出它们的位移方程，这有助于分析它们之间的距离变化。 ④找出时间关系和速度关系：通过比较两物体的速度和时间关系，可以判断它们是否能追上或相遇。 ⑤解出结果并进行讨论：根据上述分析，解出结果，并对结果进行讨论，确定是否需要考虑其他因素或特殊情况。 【典例1】由于公路维修只允许单车道通行，在一平直车道上，有同向行驶的甲、乙两车，t＝0时，甲车在前，乙车在后，相距x0＝100m，速度均为v0＝30m/s，从此时开始两车按如图所示规律运动，则下述说法正确的是（　　） A．两车最近距离为10m B．两车最近距离为20m C．两车一定会相遇 D．3s时相距最近 【答案】A 【解答】解：ABD．0～3s内甲车做匀减速直线运动，乙车做匀速直线运动，二者距离越来越近，3s以后，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，乙车做匀减速直线运动，速度相等时，二者间距最近，v﹣t图像的斜率表示加速度，根据甲的v﹣t图求解甲车匀加速直线运动的加速度 速度相等时a1t＝v﹣a2t 解得 故6s时两车相距最近；v﹣t图像下围成的面积为位移，根据甲的v﹣t图像可得6s时甲经过位移 乙的位移 二者最近距离为x0＝x1+100m﹣x2＝67.5m+100m﹣157.5m＝10m 故A正确，BD错误； C．两车速度相等时未相遇，此后甲的速度大于乙的速度，不可能相遇，故C错误。 故选：A。 【变式1】物体A、B的x﹣t图像如图所示，由图可知（　　） A．从第3s起，两物体运动方向相同，且vA＞vB B．两物体由同一位置同时开始运动 C．在5s内A、B两物体的位移相同，5s末A、B相遇 D．5s内A、B的平均速度相等 【答案】A 【解答】解：A、根据x﹣t图像的斜率表示速度，可知从第3s起，A、B两物体均做匀速直线运动，两物体运动方向相同，且vA＞vB，故A正确； B、根据题图分析可知，两物体由不同位置且不是同时开始运动，故B错误； CD、根据题图分析可知，在5s内A物体的位移为10m，B物体的位移为5m，根据平均速度与位移的关系可知，5s内A、B的平均速度不相等，故CD错误。 故选：A。 【变式2】（多选）在两条平行相邻直线车道上有a、b两汽车，当a汽车经过静止的b汽车时，开始计时，已知a汽车做匀变速直线运动的速度—位移图像、b汽车的加速度—时间图像分别如图所示，取a汽车运动方向为正方向，则下列说法正确的（　　） A．第4s内两车运动方向均为正方向 B．前2s内b汽车速度变化率大于a汽车 C．开始计时后，两车只可以相遇一次 D．0～6s内两车间最大距离为75m 【答案】BCD 【解答】解：A、汽车a的初速度为30m/s，经过45m位移时速度减为零，根据匀变速直线运动的公式可知加速度a＝ 速度减为零的时间为t0＝，代入数据解得t0＝3s 即第3s末a已经停止运动；b车在前2s内做匀加速运动，2s末的速度为v2＝a1t1 代入数据解得v2＝40m/s 2s后做匀减速运动，则4s末的速度为v4＝v2﹣a2t2＝（40﹣10×2）m/s＝20m/s 即b车在第4s内运动方向为正方向，故A错误； B、前2s内b汽车速度变化率为20m/s2，大于a汽车速度变化率10m/s2，故B正确； C、根据匀变速直线运动的公式，b车前2s内的位移x2＝m＝40m a车的位移x1＝v0t2﹣ 此时两车恰好相遇，此时a车的速度为10m/s，b车的速度为40m/s，然后两车均做减速运动，再经过1s，a车停止，此时b车的速度为40m/s﹣10×1m/s＝30m/s，即该过程中b车的速度一直大于a车，则两车不再相遇，即两车只可以相遇一次，故C正确； D、0～6s内当两车速度相等时a在b前面的距离最大，根据匀变速直线运动的公式即v＝v0﹣at＝a1t 解得t＝1s，v＝20m/s，此时a在b前面的最大距离为Δx＝t，代入数据解得Δx＝15m 6s末因a的位移为45m，而b的总位移为xb＝ 此时b在a车前面75m，可知0～6s内两车间最大距离为75m，故D正确。 故选：BCD。 题型18 非匀变速直线运动的问题 解｜题｜知｜识 对于非匀变速直线运动也主要利用匀变速直线运动的相关规律进行解题。 【典例1】一质点沿直线Ox方向做减速直线运动，它离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝6t﹣2t3（m），它的速度v随时间t变化的关系为v＝6﹣6t2（m/s），则该质点在t＝2s时的瞬时速度、从t＝0到t＝2s间的平均速度、平均速率分别为（　　） A．﹣18m/s、﹣2m/s、6m/s B．﹣18m/s、﹣2m/s、2m/s C．﹣2m/s、﹣2m/s、﹣18m/s D．﹣18m/s、6m/s、6m/s 【答案】A 【解答】解：该质点在t＝2s时的瞬时速度为 v＝6﹣6t2（m/s）＝6﹣6×22＝﹣18m/s； 据题意，质点离开O点的距离x随时间变化的关系为 x＝6t﹣2t3（m），可得： t＝0时，x＝0m； t＝2s时，x′＝﹣4m； 故2s内位移为：Δx＝x′﹣x＝﹣4m﹣0m＝﹣4m； 2s内的平均速度为：＝＝m/s＝﹣2m/s 当v＝0时，由v＝6﹣6t2（m/s）得，t＝1s，此时 x1＝6t﹣2t3（m）＝4m，在前1s内质点通过的路程为 S1＝x1＝4m； 在后1s内通过的路程是 S2＝|x1|+|x′|＝4+4＝8m； 则平均速率 ＝＝＝6m/s 故选：A。 【变式1】（多选）某一质点沿直线运动，运动速度与到出发点的距离成反比，当运动到离出发点为x的A处时质点速度为v1，后来运动到离出发点为x2的B处。设质点到达B处时速度v2，从A处到B处所用时间为t，则下列关系正确的是（　　） A．v2＝v1 B．v2＝v1 C．t＝ D．t＝ 【答案】BC 【解答】解：AB、质点运动的速度与到出发点的距离成反比，设比例常数为k，则有：，，联立解得：，故A错误，B正确； CD、作出图像如图所示： 第一小段的时间为：，则可知，v﹣x的乘积其数值等于图像最左边第一个矩形面积，依此类推，n→∞时，运动总时间等于图中梯形面积，则有：，解得：t＝，故C正确，D错误。 故选：BC。 题型19 匀变速直线运动规律的综合应用 解｜题｜知｜识 本考点下的题目，代表的是一类复杂的运动学题目，往往需要用到多个公式，需要细致的思考才能解答。 【典例1】一物块以一定的初速度从光滑斜面底端a点上滑，最高可滑至b点，后又滑回a点，c是ab的中点，如图所示，已知物块从a上滑至b所用的时间为t，则下列说法正确的是（　　） A．物块从a运动到c所用的时间与从c运动到b所用的时间为1：1 B．物块上滑过程的加速度与下滑过程的加速度大小不相等 C．物块下滑时从b运动至c所用时间为 D．物块上滑通过c点的速率等于整个上滑过程中的平均速度 【答案】C 【解答】解：B．斜面光滑，可知物块上滑过程的加速度与下滑过程的加速度大小相等，故B错误； C．根据对称性，结合上述可知，在相应过程，物块向上运动的时间与向下运动的时间相等，物块从a上滑至b所用的时间为t，利用逆向思维，根据位移公式有 物块从b下滑至c过程，利用逆向思维，根据位移公式有 解得，故C正确； A．结合上述，物块从a运动到c所用的时间 可知，物块从a运动到c所用的时间与从c运动到b所用的时间为，故A错误； D．结合上述可知，物块上滑通过c点的速率 物块整个上滑过程中的平均速度 即物块上滑通过c点的速率不等于整个上滑过程中的平均速度，故D错误。 故选：C。 【变式1】滑块在粗糙水平地面上做匀减速直线运动直到静止，已知滑块运动时间大于3s，在第1s内和第3s内的位移大小分别为x1＝6m、x3＝2m，则下列说法正确的是（　　） A．滑块的初速度大小为7m/s B．滑块第2s末的速度大小为4m/s C．滑块运动的总位移大小为12m D．滑块停止运动前2s内的平均速度大小为3m/s 【答案】A 【解答】解：A、由 其中 T＝1s 代入数据解得 a＝﹣2m/s2 又由 且第1s内位移为x1＝6m，代入数据解得 v0＝7m/s 故A正确； B、由公式 v＝v0+at 代入数据可得滑块第2s末的速度大小为 故B错误； C、当滑块在粗糙水平地面上做匀减速直线运动直到静止，由 v＝v0+at 可知运动时间为 t＝3.5s 由公式 代入数据解得 x＝12.25m 故C错误； D、由于滑块运动时间为 t＝3.5s 故滑块停止运动前2s是1.5s﹣3.5s时间段， 则t＝1.5s的瞬时速度为 v1.5＝7m/s﹣2×1.5m/s＝4m/s 则由平均速度公式有滑块停止运动前2s内的平均速度大小为 代入数据解得 ＝2m/s 故D错误。 故选：A。 【变式2】如图所示为研究自动驾驶技术的一个实验示意图，在平直公路上，汽车A向超声测速仪B做直线运动，设t1＝0时汽车A与测速仪B相距d1＝347.5m，此时测速仪B发出一个超声波信号和红外线，汽车A接收到红外线时刹车做匀减速运动，当测速仪B接收到反射回来的超声波信号时，汽车A恰好停止，此时汽车A和测速仪B相距d2＝337.5m，已知超声波的速度v＝340m/s，红外线的速度远大于超声波的速度。下列说法正确的是（　　） A．汽车A接收到超声波的信号时，它与测速仪B的间距为342.5m B．汽车A从开始刹车至停下的时间为2.5s C．汽车A刹车过程中的加速度大小为5m/s2 D．汽车A刹车过程中的初速度大小为12m/s 【答案】C 【解答】解：ABD、设超声波与汽车相遇的时间为t，红外线传播速度极快，可认为汽车在t＝0时刻接收到信号并立即开始减速。根据题意，汽车恰好在测速仪接收到反射信号时停止。由超声波传播的对称性可知，汽车刹车总时间t总＝2t。汽车的初速度v0＝at总＝2at，刹车总位移，解得at2＝5。超声波在t时间内的位移，代入数据解得t＝1s，则汽车从开始刹车至停下的时间t总＝2s，初速度v0＝10m/s，汽车接收到超声波信号时与测速仪的间距d＝vt，解得d＝340m，故ABD错误； C、由前述分析可知，汽车刹车过程中的加速度大小，解得a＝5m/s2，故C正确。 故选：C。 【变式3】长为L的高速列车在平直轨道上正常行驶，速度为v0，要通过前方一长为2L的隧道，当列车的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过。已知列车加速和减速时加速度的大小分别为a和2a，则列车从减速开始至回到正常行驶速率v0所用时间至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：当列车的任一部分处于隧道内时，列车的速度不允许超过，则有：＝v0﹣2at1，解得： 通过隧道时匀速运动，所用时间为： 列车尾部出隧道后立即加速到v0，则有：，解得： 则列车从减速开始至回到正常行驶速度v0，需要的最短时间为：，故B正确，ACD错误。 故选：B。 过 关 验 收 1．第19届亚运会于2023年9月在浙江杭州举行。一质量为m的亚运会公路自行车运动员在某次训练中从斜坡顶端O点由静止开始匀加速向下运动，依次经过间距分别为3d和4d的A、B、C三棵树，经过相邻两棵树所用时间均为T，下列说法正确的是（　　） A．A树到O点的距离为2d B．运动员经过A树时的速度为 C．运动员的加速度为 D．运动员经过B树时的速度为 【答案】B 【解答】解：C、运动员经过AB、BC所用时间相同，都为T，运用匀变速直线运动的推论可知：4d﹣3d＝aT2，解得：，故C错误； B、对AB段运用位移公式得：3d＝vAT+，解得： 将a值代入，解得经过A树的速度为：，故B正确； A、对OA段运用运动学公式得：＝2axOA，解得：xOA＝d，故A错误； D、运动员经过B树的速度等于AC段的平均速度，则有：，故D错误。 故选：B。 2．商场的电梯在维修测试时，从静止先以加速度a匀加速上升，随后以匀减速上升，直至速度为零时，电梯上升的总高度为h。则电梯从启动到停止全程所用时间为（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解答】解：设运动电梯最大速度为v，加速时间为t，则v＝at，由于加速的末速度和减速的初速度相等，加速的初速度和减速的末速度相等，由v＝v0+at可知，减速时间为2t， 电梯上升的总高度为h，即，联立解得，故电梯从启动到停止全程所用时间为t总＝，故A正确，BCD错误； 故选：A。 3．一观察者站在第一节车厢前端，当列车从静止开始做匀加速运动时（　　） A．每节车厢末端经过观察者的速度之比是1：：：…： B．每节车厢末端经过观察者的时间之比是1：3：5：…：n C．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1：2：3：… D．在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1：4：9：… 【答案】A 【解答】解：A、设每节车厢的长度为L，则第一节车厢经过的速度，同理可得第二节、第三节、…、第n节车厢经过的速度分别为、、…，故每节车厢末端经过观察者的速度之比是1：：：…：故A正确； B、由，得第一节车厢经过的时间，同理可得第二节、第三节、…第n节车厢经过的时间、、…、，故每节车厢末端经过观察者的时间之比是1：：：…：，故B错误； CD、由初速度为零的匀加速直线运动相同的时间内位移之比为1：3：5：…：（2n﹣1），得在相等时间里经过观察者的车厢数之比是1：3：5：…；故CD错误； 故选：A。 4.（多选）一辆汽车做匀加速直线运动，从某时刻开始计时，初速度为6m/s，经28m后速度增加到8m/s，则下列说法正确的是（　　） A．这段运动所用时间为4s B．这段运动的加速度是0.4m/s2 C．自计时开始，2s末的速度为7m/s D．从开始计时，到运动到14m位置时速度为7m/s 【答案】AC 【解答】解：A、根据匀变速直线运动的位移公式，解得：，代入数据得：t＝4s，这段运动所用时间为4s，故A正确； B、根据加速度定义式，代入数据得：a＝0.5m/s2，这段运动的加速度是0.5m/s2，故B错误； C、根据速度公式v＝v1+at，代入数据解得：v＝7m/s，自计时开始，2s末的速度为7m/s，故C正确； D、根据速度—位移公式，解得：，代入数据得：，故D错误。 故选：AC。 学科网（北京）股份有限公司 $