1.3.1 空间直角坐标系 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间直角坐标系构建及点、向量的坐标表示，通过回顾平面直角坐标系与单位正交基的关系，类比迁移至空间，引导学生借助空间向量基本定理自主构建坐标系，搭建平面到空间的知识支架。 其亮点在于以问题驱动贯穿教学，通过类比平面到空间的推理过程培养数学思维，结合几何直观（如斜二测画法、长方体例题）和对称点坐标表格深化理解，体现数学眼光中的空间观念。学生能提升抽象与推理能力，教师可获得结构化的教学资源以提高效率。

学习目标 1.能够借助空间向量基本定理，梳理空间单位正交基底和空间直角坐标系原点、方向、单位长度三要素的对应联系，并完成空间直角坐标系的构建. 2.结合空间向量基本定理与空间直角坐标系中点的坐标定义，自主阐释空间直角坐标系内点、空间向量和有序实数组(x,y,z)的一一对应关系，清晰说出空间向量坐标的实际意义. 空间向量基本定理 空间基底 建立 表示 空间向量 空间向量的运算 基向量的运算 转化 类比 一对一对应 一对一对应 第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 《普通高中教科书数学选择性必修第一册（人教A版2019）》 1.3.1 空间直角坐标系 新知1：空间直角坐标系 问题1：回顾一下，我们是如何建立平面向量的坐标表示的？ 在平面内选取一点O和一个单位正交基底{, }，以O为原点，分别以, 的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系Oxy. 追问 ：你能利用单位正交基底的概念解释平面直角坐标系的三要素吗？ 1.原点：平面单位正交基底{e1，e2}的公共起点即为平面直角坐标系的原点O. 2.方向：基底向量e1，e2互相垂直，分别对应x轴、y轴的正方向. 3.单位长度：e1，e2均为单位向量，模长等于1，代表坐标轴统一的单位长度. 问题2：类比平面直角坐标系与平面向量单位正交基的关系，你能利用空间向量单位正交基底概念构建空间直角坐标系吗？ 新知1：空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{, , }，以点O为原点，分别以i, j, k的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立一个空间直角坐标系O-xyz. ||＝||＝||＝1. ·＝·＝·＝0 Oxy平面 Oyz平面 Oxz平面 ①点O叫做原点，向量,, 都叫做坐标向量. ②通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面， 分别称为Oxy平面，Oyz平面，Oxz平面. 它们把空间分成8个部分. 新知1：空间直角坐标系 追问：回忆斜二测画法，你认为如何画空间直角坐标系才能满足直观图的要求？ 画空间直角坐标系时，一般使或， 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. 新知1：空间直角坐标系 问题3：在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢? 空间任意一点A对应一个（如图），即点A的位置由唯一确定.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z. 空间点的坐标：在单位正交基底{, , }下，=x+y+z，则有序实数组(x,y,z)，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标. 3 4 2 A(4,3,2) 新知2：空间直角坐标系中点及向量的坐标表示 问题3：在平面直角坐标系中,每一个点和向量都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量,是否也有类似的表示呢? 空间向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一向量，作=(如图), 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使=x+y+z. 把有序实数组(x, y, z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，简记作＝(x, y, z). 总结：1.以坐标原点O为起点的向量的坐标和终点A的坐标相同. 2.符号(x，y，z）具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分. 向量终点的坐标A(x,y,z) 向量的坐OA=(x,y,z) 一一对应 一一对应 A(x,y,z) 新知2：空间直角坐标系中点及向量的坐标表示 新知2：空间直角坐标系中点及向量的坐标表示 问题4：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任意一点A，或任意一个向量OA，你能借助几何直观确定它们的坐标(x,y,z)吗？ 过点 分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面 依次交x轴、y轴和z轴于点B，C和D. 即点 或者向量 的坐标就(x,y,z) 可以证明 在 轴、 轴、 轴上的投影向量分别为 ， ， . E 巩固新知：填空（特殊点的坐标、对称点的坐标） 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 xOy平面 xOz平面 yOz平面 点的坐标 (x, 0, 0) (0, y, 0) (0, 0, z) (x, y, 0) (x, 0, z) (0, y, z) 已知点A(x , y , z) ，则： ①点A关于x轴对称的点为A1___________; ②点A关于y轴对称的点为A2___________; ③点A关于z轴对称的点为A3___________. ④点A关于原点对称的点为A4___________. ⑤点A关于Oxy平面对称的点为A5 __________; ⑥点A关于Oxz平面对称的点为A6 __________; ⑦点A关于Oyz平面对称的点为A7 __________. (x , y , -z) (-x , y , z) (x , -y , z) (x , -y , -z) (-x , -y , z) (-x , y , -z) (-x , -y , -z) 规律：关于谁对称，谁就不变！其余互为相反数。 课本P18-2 在空间直角坐标系Oxyz中, (1)坐标平面____与x轴垂直，坐标平面_____与y轴垂直，坐标平面____与z轴垂直； (2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标； 在Oyz平面内的射影坐标为___________ 在Oxz平面内的射影坐标为____________ 在Oxy平面内的射影坐标为___________ (3)点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标是___________. (4)点P(1,3,5)在x轴上的射影坐标为_________. Oyz Oxz Oxy (0,3,4) (2,0,4) (2,3,0) (-1,-3,-5) 点在平面内的射影：过点作平面的垂线所得的垂足. 点在坐标轴的射影：过点作坐标轴的垂线所得的垂足. (1,0,0) 规律：在坐标平面或坐标轴的射影坐标——缺谁谁就为0. 巩固新知：填空 巩固新知 例1 如图，在长方体中OABC-O'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2， 以{，，}为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O. (1)写出D'，C，A'，B'四点的坐标; (2)写出向量，，的坐标. 析：(1)D'(0, 0, 2) C(0, 4, 0) A'(3, 0, 2) B'(3, 4, 2) (2)==(0,4,0) =-=(0,0,-2) ===(0,4,0)－(3,0,0)=(-3,4,0) =+=(-3,0,0)+(0,4,0)+(0,0,2)=(-3,4,2) 总结：利用向量的加减及数乘运算，将所求向量尽量用坐标平面内易知坐标的向量表示出来，从而确定该向量的坐标。 课堂小结 空间直角坐标系 空间向量的坐标表示 空间直角坐标系中点的坐标表示 平面直角坐标系 类比 空间中点的坐标的定义 特殊点的坐标、对称点的坐标 空间直角坐标系 向量终点的坐标A(x,y,z) 向量的坐OA=(x,y,z) 一一 对应 A(x,y,z) 一一 对应 布置作业 01 02 03 基础：教科书第18-19页练习第1-4题. 提升：教科书第22页习题1.3第1-3题. 拓展：类比平面向量运算的坐标表示，请你选择一种空间向量运算，给出它的坐标表示. THANKS 好学数学，数学好学，学好数学 $