第13练 不等式应用举例《数学》基础模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第13练（不等式应用举例），以三阶情境任务构建“基础应用-关联建模-综合探究”分层路径，通过生活实例培养数学眼光、思维与语言，实现知识巩固与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一不等式直接应用|选择题1-5（利润、利润率等），聚焦概念理解与简单运算，培养抽象能力| |关联建模|多变量关系分析|填空题7-10（售价-销量、原料-工时等），需建立不等式模型，发展模型意识| |综合探究|复杂情境问题解决|解答题11-12（利润范围、运输方案），融合多条件推理与求解，提升推理能力与应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第二章 不等式 第 13 练 不等式应用举例 一、选择题 1.某工厂生产一种零件，每件的利润不低于8元且不高于15元。若生产x件的总利润不低于200元，则x的最小值为（ ） A. 14 B. 20 C. 25 D. 27 2. 某商品进价为每件60元，售价为每件x元。若要求利润率不低于20%且不高于50%，则x的取值范围是（ ） A. 72 ≤ x ≤ 90 B. 70 ≤ x ≤ 85 C. 66 ≤ x ≤ 90 D. 72 ≤ x ≤ 80 3. 用一根长为24 cm的铁丝围成一个长方形，若要求长方形的面积不小于32 cm²，则长方形的一边长x的取值范围是（ ） A. 2 ≤ x ≤ 10 B. 4 ≤ x ≤ 8 C. 2 < x < 10 D. 4 ≤ x ≤ 6 4. 某汽车租赁公司有甲、乙两种车型。甲型车每辆可载客40人，乙型车每辆可载客30人。现需运送不少于260名乘客，且甲型车最多租用4辆，乙型车最多租用5辆。若设租用甲型车x辆，乙型车y辆，则下列不等式组正确的是（ ） A. {40x + 30y ≥ 260, x ≤ 4, y ≤ 5, x,y∈N} B. {40x + 30y > 260, x ≤ 4, y ≤ 5} C. {40x + 30y ≥ 260, x < 4, y < 5} D. {40x + 30y = 260, x ≤ 4, y ≤ 5} 5. 某车间生产某种产品，每日固定成本为200元，每生产一件产品的变动成本为15元。若每件产品售价为30元，要使每日利润不低于400元，则每日至少应生产（ ）件。 A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 6. 某旅行社组织旅游，若每团人数不超过30人，每人收费800元；若每团人数超过30人，则每增加1人，每人收费降低10元（每人收费不低于500元）。某团共收费29250元，则该团人数为（ ） A. 35 B. 39 C. 45 D. 65 二、填空题 7.某商店购进一批T恤，进价为每件40元。若按每件60元销售，每天可售出80件。调查发现，售价每降低1元，日销量增加10件。若要求每日利润不低于1800元，则售价最多可降低________元。 8. 某校组织春游，若租用45座的客车，则有15人没有座位；若租用60座的客车，则恰好多出一辆（其余车均坐满）。若该校参加春游的学生不少于200人，则学生至少有________人。 9. 某工厂生产A、B两种产品，生产每件A产品需原料3 kg、工时2小时，利润80元；生产每件B产品需原料2 kg、工时4小时，利润120元。现有原料不超过60 kg，总工时不超过80小时。若要求总利润不低于1600元，则A产品最多可生产________件。 10. 某电信公司推出两种上网套餐：A套餐每月固定收费50元，含30小时上网时长，超出部分每小时收费2元；B套餐每月固定收费20元，上网时长不限，但每小时收费1.5元。若某用户每月上网时间不少于30小时，则当上网时间超过________小时时，选择B套餐更划算。 三、解答题 11.某商店销售一种商品，进价为每件10元。当售价为每件40元时，日销量为30件；售价每降低1元，日销量增加3件。商店要求每日利润不低于900元，且售价不低于进价。 （1）若售价定为每件25元，求每日利润； （2）求满足利润要求的售价范围。 12. 某物流公司需将一批货物从甲地运往乙地，距离为300 km。公司有两种车型可供选择：A型车每辆载重5吨，每百公里油耗15升；B型车每辆载重8吨，每百公里油耗25升。现需运送不少于40吨货物，且总油耗不超过400升。若使用A型车m辆、B型车n辆（m, n均为正整数）。 （1）列出满足条件的不等式组； （2）求满足条件的所有正整数解(m, n)。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第二章 不等式 第 13 练 不等式应用举例 一、选择题 1.某工厂生产一种零件，每件的利润不低于8元且不高于15元。若生产x件的总利润不低于200元，则x的最小值为（ ） A. 14 B. 20 C. 25 D. 27 【答案】C 【分析】要保证总利润"不低于"200元，应考虑每件利润的最小值（即最不利情况），这样才能确保无论利润多少都满足要求。 【详解】每件利润最低为8元。设生产x件，则总利润 ≥ 8x。 由8x ≥ 200，得x ≥ 25。因此x的最小值为25。故选C。 2. 某商品进价为每件60元，售价为每件x元。若要求利润率不低于20%且不高于50%，则x的取值范围是（ ） A. 72 ≤ x ≤ 90 B. 70 ≤ x ≤ 85 C. 66 ≤ x ≤ 90 D. 72 ≤ x ≤ 80 【答案】A 【分析】利润率 = (售价 - 进价)/进价 × 100%。根据利润率范围列不等式组求解。 【详解】由题意：20% ≤ (x - 60)/60 ≤ 50% 各边同乘60：12 ≤ x - 60 ≤ 30，各边加60：72 ≤ x ≤ 90，故选A。 3. 用一根长为24 cm的铁丝围成一个长方形，若要求长方形的面积不小于32 cm²，则长方形的一边长x的取值范围是（ ） A. 2 ≤ x ≤ 10 B. 4 ≤ x ≤ 8 C. 2 < x < 10 D. 4 ≤ x ≤ 6 【答案】B 【分析】设一边长为x cm，则另一边长为(12 - x) cm（周长24，半周长为12）。根据面积不小于32列不等式。 【详解】设一边长为x cm，则另一边长为(12 - x) cm，其中0 < x < 12。 面积S = x(12 - x) ≥ 32 12x - x² ≥ 32 x² - 12x + 32 ≤ 0 (x - 4)(x - 8) ≤ 0 解得4 ≤ x ≤ 8。故选B。 4. 某汽车租赁公司有甲、乙两种车型。甲型车每辆可载客40人，乙型车每辆可载客30人。现需运送不少于260名乘客，且甲型车最多租用4辆，乙型车最多租用5辆。若设租用甲型车x辆，乙型车y辆，则下列不等式组正确的是（ ） A. {40x + 30y ≥ 260, x ≤ 4, y ≤ 5, x,y∈N} B. {40x + 30y > 260, x ≤ 4, y ≤ 5} C. {40x + 30y ≥ 260, x < 4, y < 5} D. {40x + 30y = 260, x ≤ 4, y ≤ 5} 【答案】A 【分析】根据题意逐条转化为不等式："不少于"用≥；"最多"用≤；车辆数应为非负整数。 【详解】① 载客不少于260人：40x + 30y ≥ 260；② 甲型车最多4辆：x ≤ 4；③ 乙型车最多5辆：y ≤ 5；④ 车辆数为非负整数：x,y∈N。B选项用>260错误；C选项用<4和<5错误（"最多"包含等于）；D选项用=260错误。故选A。 5. 某车间生产某种产品，每日固定成本为200元，每生产一件产品的变动成本为15元。若每件产品售价为30元，要使每日利润不低于400元，则每日至少应生产（ ）件。 A. 30 B. 35 C. 40 D. 45 【答案】C 【分析】利润 = 总收入 - 总成本。总成本包括固定成本和变动成本，据此列不等式求解。 【详解】设每日生产x件。 总收入 = 30x元；总成本 = 200 + 15x元； 利润 = 30x - (200 + 15x) = 15x - 200。 由利润不低于400元：15x - 200 ≥ 400 15x ≥ 600 x ≥ 40 所以每日至少应生产40件。故选C。 6. 某旅行社组织旅游，若每团人数不超过30人，每人收费800元；若每团人数超过30人，则每增加1人，每人收费降低10元（每人收费不低于500元）。某团共收费29250元，则该团人数为（ ） A. 35 B. 39 C. 45 D. 65 【答案】C 【分析】先判断人数是否超过30人，再设未知数列方程求解，最后检验每人收费是否满足最低限制。 【详解】若人数不超过30人，最多收费30×800 = 24000元 < 29250元，所以人数x > 30。 每人收费 = 800 - 10(x - 30) = 1100 - 10x（元）。 总收费 = x(1100 - 10x) = 29250 整理得：x² - 110x + 2925 = 0 因式分解：(x - 45)(x - 65) = 0，解得x = 45或x = 65。 检验每人收费不低于500元： 当x = 45时，每人收费 = 1100 - 450 = 650 ≥ 500，满足； 当x = 65时，每人收费 = 1100 - 650 = 450 < 500，不满足，舍去。 因此该团人数为45人。故选C。 二、填空题 7.某商店购进一批T恤，进价为每件40元。若按每件60元销售，每天可售出80件。调查发现，售价每降低1元，日销量增加10件。若要求每日利润不低于1800元，则售价最多可降低________元。 【答案】10 【分析】设售价降低x元，则每件利润为(60 - 40 - x) = (20 - x)元，日销量为(80 + 10x)件。根据利润不低于1800元列不等式。 【详解】设售价降低x元（x ≥ 0）。 每件利润 = 20 - x（元）；日销量 = 80 + 10x（件）； 日利润 = (20 - x)(80 + 10x) ≥ 1800 展开：1600 + 200x - 80x - 10x² ≥ 1800 -10x² + 120x - 200 ≥ 0 两边除以-10（变号）：x² - 12x + 20 ≤ 0 (x - 2)(x - 10) ≤ 0 解得2 ≤ x ≤ 10。 所以售价最多可降低10元。 8. 某校组织春游，若租用45座的客车，则有15人没有座位；若租用60座的客车，则恰好多出一辆（其余车均坐满）。若该校参加春游的学生不少于200人，则学生至少有________人。 【答案】240 【分析】设租用45座客车x辆，根据两种租车方式人数相等列方程求总人数，再验证是否满足不少于200人的条件。 【详解】设租用45座客车x辆。 总人数 = 45x + 15。 租用60座客车时，恰好多出一辆，即用了(x - 1)辆，总人数 = 60(x - 1)。 所以45x + 15 = 60(x - 1) 45x + 15 = 60x - 60 75 = 15x x = 5 总人数 = 45×5 + 15 = 240（人）。 验证：60×(5 - 1) = 240，一致。 240 ≥ 200，满足条件。所以至少有240人。 9. 某工厂生产A、B两种产品，生产每件A产品需原料3 kg、工时2小时，利润80元；生产每件B产品需原料2 kg、工时4小时，利润120元。现有原料不超过60 kg，总工时不超过80小时。若要求总利润不低于1600元，则A产品最多可生产________件。 【答案】20 【分析】设生产A产品x件，B产品y件，根据原料、工时和利润限制列不等式组，通过分析求x的最大值。 【详解】设生产A产品x件，B产品y件（x, y为非负整数）。 原料限制：3x + 2y ≤ 60 ① 工时限制：2x + 4y ≤ 80，即x + 2y ≤ 40 ② 利润要求：80x + 120y ≥ 1600，即2x + 3y ≥ 40 ③ 要使x最大，考虑y = 0的情况（不生产B产品）： 由①：3x ≤ 60，x ≤ 20 由②：2x ≤ 80，x ≤ 40 由③：2x ≥ 40，x ≥ 20 所以x = 20。 验证：当x = 20，y = 0时， 原料：3×20 = 60 ≤ 60 工时：2×20 = 40 ≤ 80 利润：80×20 = 1600 ≥ 1600 若x = 21，则原料3×21 = 63 > 60，不满足。 因此A产品最多可生产20件。 10. 某电信公司推出两种上网套餐：A套餐每月固定收费50元，含30小时上网时长，超出部分每小时收费2元；B套餐每月固定收费20元，上网时长不限，但每小时收费1.5元。若某用户每月上网时间不少于30小时，则当上网时间超过________小时时，选择B套餐更划算。 【答案】60 【分析】设每月上网时间为t小时（t ≥ 30），分别写出两种套餐的费用表达式，令B套餐费用低于A套餐费用，解不等式。 【详解】设每月上网时间为t小时（t ≥ 30）。 A套餐费用 = 50 + 2(t - 30) = 2t - 10（元）。 B套餐费用 = 20 + 1.5t（元）。 要使B套餐更划算，需B费用 < A费用： 20 + 1.5t < 2t - 10 30 < 0.5t t > 60 验证：当t = 60时，A费用 = 110元，B费用 = 110元，两者相等； 当t = 70时，A费用 = 130元，B费用 = 125元，B更划算。 因此当上网时间超过60小时时，选择B套餐更划算。 三、解答题 11.某商店销售一种商品，进价为每件10元。当售价为每件40元时，日销量为30件；售价每降低1元，日销量增加3件。商店要求每日利润不低于900元，且售价不低于进价。 （1）若售价定为每件25元，求每日利润； （2）求满足利润要求的售价范围。 【答案】（1）1125元；（2）20 ≤ x ≤ 40。 【分析】（1）根据售价变化计算销量变化，再用"利润 = 每件利润 × 销量"计算；（2）设售价为x元，建立利润不等式求解，注意售价不低于进价的限制。 【详解】 （1）售价从40元降到25元，降低了15元。 日销量 = 30 + 3×15 = 75（件）。 每件利润 = 25 - 10 = 15（元）。 每日利润 = 15×75 = 1125（元）。 （2）设售价为x元（x ≥ 10）。 降低了(40 - x)元，销量增加3(40 - x)件。 日销量 = 30 + 3(40 - x) = 150 - 3x（件）。 每件利润 = (x - 10)（元）。 由利润不低于900元： (x - 10)(150 - 3x) ≥ 900 展开：150x - 3x² - 1500 + 30x ≥ 900 -3x² + 180x - 2400 ≥ 0 两边除以-3（变号）：x² - 60x + 800 ≤ 0 因式分解：(x - 20)(x - 40) ≤ 0 解得20 ≤ x ≤ 40。 结合售价不低于进价（x ≥ 10），最终售价范围为20 ≤ x ≤ 40。 12. 某物流公司需将一批货物从甲地运往乙地，距离为300 km。公司有两种车型可供选择：A型车每辆载重5吨，每百公里油耗15升；B型车每辆载重8吨，每百公里油耗25升。现需运送不少于40吨货物，且总油耗不超过400升。若使用A型车m辆、B型车n辆（m, n均为正整数）。 （1）列出满足条件的不等式组； （2）求满足条件的所有正整数解(m, n)。 【答案】（1）{5m + 8n ≥ 40, 45m + 75n ≤ 400, m,n∈N*}；（2）(7,1), (5,2), (2,4)。 【分析】（1）根据载重要求和油耗限制列不等式组，注意计算每辆车跑300km的实际油耗；（2）通过枚举n的可能取值，求出对应的m的范围，再取正整数解。 【详解】 （1）载重限制：5m + 8n ≥ 40（吨） 油耗计算：A型车跑300km油耗 = 15×3 = 45（升）；B型车跑300km油耗 = 25×3 = 75（升）。 油耗限制：45m + 75n ≤ 400（升） 且m, n为正整数。 （2）枚举n的值（n为正整数）： 当n = 1时： 载重：5m + 8 ≥ 40，5m ≥ 32，m ≥ 6.4，所以m ≥ 7 油耗：45m + 75 ≤ 400，45m ≤ 325，m ≤ 7.22，所以m ≤ 7 因此m = 7。解为(7,1)。 当n = 2时： 载重：5m + 16 ≥ 40，5m ≥ 24，m ≥ 4.8，所以m ≥ 5 油耗：45m + 150 ≤ 400，45m ≤ 250，m ≤ 5.56，所以m ≤ 5 因此m = 5。解为(5,2)。 当n = 3时： 载重：5m + 24 ≥ 40，5m ≥ 16，m ≥ 3.2，所以m ≥ 4 油耗：45m + 225 ≤ 400，45m ≤ 175，m ≤ 3.89，所以m ≤ 3 m ≥ 4与m ≤ 3矛盾，无解。 当n = 4时： 载重：5m + 32 ≥ 40，5m ≥ 8，m ≥ 1.6，所以m ≥ 2 油耗：45m + 300 ≤ 400，45m ≤ 100，m ≤ 2.22，所以m ≤ 2 因此m = 2。解为(2,4)。 当n = 5时： 载重：5m + 40 ≥ 40，m ≥ 0，所以m ≥ 1（正整数） 油耗：45m + 375 ≤ 400，45m ≤ 25，m ≤ 0.56，所以m ≤ 0 m ≥ 1与m ≤ 0矛盾，无解。 当n ≥ 5时，油耗限制更严格，均无解。 综上，满足条件的正整数解为：(7,1), (5,2), (2,4)。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $