第11练 一元二次不等式《数学》基础模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》第11练一元二次不等式，以三阶分层设计（基础认知-技能应用-综合拓展）构建知识巩固路径，侧重基础实效，通过由浅入深的题型训练培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|单一不等式求解（如(x-2)(x+3)>0解集）|直接考查概念与基本解法，强化符号意识| |技能应用层|含参数/综合运算（如解集为R的参数范围、集合交集）|引入参数与集合综合，培养推理能力| |综合拓展层|参数讨论与应用（如含a的不等式解集分类）|通过参数分类讨论，发展数学思维与模型意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第二章 不等式 第 11 练 一元二次不等式 一、选择题 1.不等式 (x − 2)(x + 3) > 0 的解集是（ ） A. {x | −3 < x < 2} B. {x | x < −3 或 x > 2} C. {x | x < 2} D. {x | x > −3} 2. 不等式 x² − 4x + 4 ≤ 0 的解集是（ ） A. B. R C. {2} D. {x | x ≠ 2} 3. 若关于 x 的不等式 x² + ax + b < 0 的解集为 {x | 1 < x < 3}，则 a + b 的值为（ ） A. −5 B. −1 C. 1 D. 5 4. 不等式 −x² + 5x − 6 > 0 的解集是（ ） A. {x | 2 < x < 3} B. {x | x < 2 或 x > 3} C. R D. 5. 不等式 x² + 2x + 3 > 0 的解集是（ ） A. B. {x | x > −1} C. R D. {x | x < −1} 6. 已知集合 A = {x | x² − 5x + 6 ≤ 0}，B = {x | x² − x − 2 > 0}，则 A ∩ B = （ ） A. {x | 2 ≤ x ≤ 3} B. {x | 2 < x ≤ 3} C. {x | −1 < x < 2} D. 二、填空题 7.不等式 x² − 9 > 0 的解集为 ________。 8. 不等式 x² + 4x ≤ 0 的解集为 ________。 9. 若不等式 x² + mx + 4 > 0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是 ________。 10. 不等式 2x² − 5x − 3 ≥ 0 的解集为 ________。 三、解答题 11．解下列一元二次不等式： （1）x² − 3x − 10 > 0； （2）−3x² + 11x − 6 ≥ 0； （3）x² − 2x + 5 > 0。 12. 已知关于 x 的不等式 x² − (a + 1)x + a ≤ 0。 （1）当 a = 3 时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为 {x | 1 ≤ x ≤ a}，求实数 a 的取值范围。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第二章 不等式 第 11 练 一元二次不等式 一、选择题 1.不等式 (x − 2)(x + 3) > 0 的解集是（ ） A. {x | −3 < x < 2} B. {x | x < −3 或 x > 2} C. {x | x < 2} D. {x | x > −3} 【答案】B 【分析】一元二次不等式 (x − 2)(x + 3) > 0 对应方程的两根为 x₁ = −3，x₂ = 2。由于二次项系数为正，抛物线开口向上，不等式大于 0 取两根之外。 【详解】令 (x − 2)(x + 3) = 0，得 x₁ = −3，x₂ = 2。二次函数 y = (x − 2)(x + 3) 开口向上， 当 x < −3 或 x > 2 时，y > 0。故解集为 {x | x < −3 或 x > 2}。故选 B。 2. 不等式 x² − 4x + 4 ≤ 0 的解集是（ ） A. B. R C. {2} D. {x | x ≠ 2} 【答案】C 【分析】先将左边因式分解，发现是完全平方式，再结合二次函数图像判断。 【详解】x² − 4x + 4 = (x − 2)²。 不等式化为 (x − 2)² ≤ 0。 因为任何实数的平方都大于等于 0，即 (x − 2)² ≥ 0 恒成立， 所以要使 (x − 2)² ≤ 0，只能 (x − 2)² = 0，即 x = 2。 故解集为 {2}。故选 C。 3. 若关于 x 的不等式 x² + ax + b < 0 的解集为 {x | 1 < x < 3}，则 a + b 的值为（ ） A. −5 B. −1 C. 1 D. 5 【答案】B 【分析】由解集 {x | 1 < x < 3} 可知，对应方程 x² + ax + b = 0 的两根为 x₁ = 1，x₂ = 3。利用韦达定理求 a、b。 【详解】因为不等式 x² + ax + b < 0 的解集为 {x | 1 < x < 3}， 所以方程 x² + ax + b = 0 的两根为 x₁ = 1，x₂ = 3。 由韦达定理：x₁ + x₂ = −a，即 1 + 3 = −a，得 a = −4；x₁ · x₂ = b，即 1 × 3 = b，得 b = 3。 所以 a + b = −4 + 3 = −1。故选 B。 4. 不等式 −x² + 5x − 6 > 0 的解集是（ ） A. {x | 2 < x < 3} B. {x | x < 2 或 x > 3} C. R D. 【答案】A 【分析】二次项系数为负，先两边同乘 −1（注意不等号方向改变），转化为标准形式再求解。 【详解】−x² + 5x − 6 > 0 两边同乘 −1，得 x² − 5x + 6 < 0因式分解：(x − 2)(x − 3) < 0对应方程两根为 x₁ = 2，x₂ = 3。二次函数 y = x² − 5x + 6 开口向上， 不等式 < 0 取两根之间，即 2 < x < 3。故解集为 {x | 2 < x < 3}。故选 A。 5. 不等式 x² + 2x + 3 > 0 的解集是（ ） A. B. {x | x > −1} C. R D. {x | x < −1} 【答案】C 【分析】通过判别式 Δ 判断对应方程根的情况，进而确定二次函数值恒正还是恒负。 【详解】对于 x² + 2x + 3，判别式 Δ = b² − 4ac = 4 − 12 = −8 < 0。 又二次项系数 a = 1 > 0，抛物线开口向上且与 x 轴无交点，所以 x² + 2x + 3 > 0 对任意实数 x 恒成立。故解集为 R。故选 C。 6. 已知集合 A = {x | x² − 5x + 6 ≤ 0}，B = {x | x² − x − 2 > 0}，则 A ∩ B = （ ） A. {x | 2 ≤ x ≤ 3} B. {x | 2 < x ≤ 3} C. {x | −1 < x < 2} D. 【答案】B 【分析】分别解两个一元二次不等式，求出集合 A 和 B，再求它们的交集。 【详解】解不等式 x² − 5x + 6 ≤ 0：因式分解得 (x − 2)(x − 3) ≤ 0， 对应方程两根为 2 和 3，开口向上，取两根之间（含端点）， 所以 A = {x | 2 ≤ x ≤ 3}。解不等式 x² − x − 2 > 0：因式分解得 (x − 2)(x + 1) > 0， 对应方程两根为 −1 和 2，开口向上，取两根之外， 所以 B = {x | x < −1 或 x > 2}。 A ∩ B = {x | 2 ≤ x ≤ 3} ∩ {x | x < −1 或 x > 2} = {x | 2 < x ≤ 3}（注意 x = 2 时，2 ∈ A 但 2 ∉ B）。 故选 B。 二、填空题 7.不等式 x² − 9 > 0 的解集为 ________。 【答案】{x | x < −3 或 x > 3} 【分析】利用平方差公式因式分解，结合二次函数图像求解。 【详解】x² − 9 > 0 因式分解得 (x − 3)(x + 3) > 0对应方程两根为 x₁ = −3，x₂ = 3。二次函数 y = x² − 9 开口向上，不等式 > 0 取两根之外，即 x < −3 或 x > 3。 故解集为 {x | x < −3 或 x > 3}。 8. 不等式 x² + 4x ≤ 0 的解集为 ________。 【答案】{x | −4 ≤ x ≤ 0} 【分析】提取公因式后因式分解，注意不等式含等号，解集包含端点。 【详解】x² + 4x ≤ 0，提取公因式得 x(x + 4) ≤ 0，对应方程两根为 x₁ = −4，x₂ = 0。 二次函数 y = x² + 4x 开口向上，不等式 ≤ 0 取两根之间（含端点），即 −4 ≤ x ≤ 0。 故解集为 {x | −4 ≤ x ≤ 0}。 9. 若不等式 x² + mx + 4 > 0 的解集为 R，则实数 m 的取值范围是 ________。 【答案】−4 < m < 4 【分析】解集为 R 意味着二次函数值恒大于 0，需满足开口向上且判别式 Δ < 0（与 x 轴无交点）。 【详解】x² + mx + 4 > 0 的解集为 R， 说明二次函数 y = x² + mx + 4 的图像恒在 x 轴上方。 因为二次项系数 1 > 0（开口向上）， 所以只需判别式 Δ < 0：Δ = m² − 16 < 0即 m² < 16解得 −4 < m < 4。 故 m 的取值范围是 −4 < m < 4。 10. 不等式 2x² − 5x − 3 ≥ 0 的解集为 ________。 【答案】{x | x ≤ −1/2 或 x ≥ 3} 【分析】二次项系数不为 1，先因式分解（或用求根公式），再根据开口方向确定解集。 【详解】2x² − 5x − 3 ≥ 0 因式分解：寻找两个数，乘积为 2×(−3) = −6，和为 −5，即 −6 和 1。 2x² − 6x + x − 3 = 2x(x − 3) + 1(x − 3) = (2x + 1)(x − 3) ≥ 0 对应方程两根为 x₁ = −1/2，x₂ = 3。二次函数 y = 2x² − 5x − 3 开口向上（2 > 0）， 不等式 ≥ 0 取两根之外（含端点），即 x ≤ −1/2 或 x ≥ 3。 故解集为 {x | x ≤ −1/2 或 x ≥ 3}。 三、解答题 11．解下列一元二次不等式： （1）x² − 3x − 10 > 0； （2）−3x² + 11x − 6 ≥ 0； （3）x² − 2x + 5 > 0。 【答案】（1）{x | x < −2 或 x > 5}；（2）{x | 2/3 ≤ x ≤ 3}；（3）R。 【分析】解一元二次不等式的基本步骤：① 将不等式化为标准形式（右边为 0，二次项系数为正）；② 求对应方程的根；③ 根据二次函数图像和开口方向确定解集。 【详解】 （1）x² − 3x − 10 > 0因式分解：(x − 5)(x + 2) > 0对应方程两根为 x₁ = −2，x₂ = 5。 开口向上，> 0 取两根之外。故解集为 {x | x < −2 或 x > 5}。 （2）−3x² + 11x − 6 ≥ 0 两边同乘 −1（不等号方向改变）：3x² − 11x + 6 ≤ 0因式分解：(3x − 2)(x − 3) ≤ 0 对应方程两根为 x₁ = 2/3，x₂ = 3。开口向上，≤ 0 取两根之间（含端点）。 故解集为 {x | 2/3 ≤ x ≤ 3}。 （3）x² − 2x + 5 > 0 判别式 Δ = (−2)² − 4×1×5 = 4 − 20 = −16 < 0。开口向上且与 x 轴无交点，函数值恒大于 0。 故解集为 R。 12. 已知关于 x 的不等式 x² − (a + 1)x + a ≤ 0。 （1）当 a = 3 时，求该不等式的解集； （2）若该不等式的解集为 {x | 1 ≤ x ≤ a}，求实数 a 的取值范围。 【答案】（1）{x | 1 ≤ x ≤ 3}；（2）a ≥ 1。 【分析】（1）代入 a = 3，因式分解求解；（2）先将左边因式分解，分析解集形式，再确定参数范围。 【详解】 （1）当 a = 3 时，不等式为 x² − 4x + 3 ≤ 0。 因式分解：(x − 1)(x − 3) ≤ 0 对应方程两根为 1 和 3，开口向上，≤ 0 取两根之间（含端点）。故解集为 {x | 1 ≤ x ≤ 3}。 （2）x² − (a + 1)x + a ≤ 0因式分解：(x − 1)(x − a) ≤ 0对应方程两根为 x₁ = 1，x₂ = a。 当 a > 1 时，解集为 {x | 1 ≤ x ≤ a}，符合题意； 当 a = 1 时，不等式化为 (x − 1)² ≤ 0，解集为 {1} = {x | 1 ≤ x ≤ 1}，符合题意； 当 a < 1 时，解集为 {x | a ≤ x ≤ 1}，不符合题意（区间端点顺序不对）。 综上，实数 a 的取值范围是 a ≥ 1。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $