第5练 并集《数学》基础模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学同步练《一课一练》（高教版第三版）针对“并集”知识点，采用三层递进设计，通过概念理解→运算深化→综合应用的路径巩固知识，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|并集基本运算（列举法、简单描述法）|直接考查定义，如选择1-3直接计算具体集合并集| |提升层|并集运算深化（抽象集合、方程求解）|引入方程与抽象集合，如选择4-5涉及奇数集与方程解集并集| |综合层|并集综合应用（参数问题、实际情境）|结合参数讨论与实际问题，如解答12用容斥原理解决竞赛参与人数问题|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第一章 集合 第 5 练 并集 一、选择题 1.已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4, 5}，则A∪B = （ ） A. {2, 3} B. {1, 4, 5} C. {1, 2, 3, 4, 5} D. {1, 2, 3, 2, 3, 4, 5} 【答案】C 【分析】并集A∪B是由属于A或属于B的所有元素组成的集合，注意集合元素的互异性，重复元素只写一次。 【详解】A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4, 5}。属于A或属于B的元素有1, 2, 3, 4, 5。根据集合元素的互异性，2和3虽然同时在A和B中，但在并集中只出现一次。因此A∪B = {1, 2, 3, 4, 5}。A是交集，B漏了2和3，D违反了互异性。故选C。 2. 已知集合M = {x | x > 1}，N = {x | x ≥ 3}，则M∪N = （ ） A. {x | x > 1} B. {x | x ≥ 3} C. {x | 1 < x < 3} D. {x | x > 1且x ≥ 3} 【答案】A 【分析】对于用不等式表示的集合，求并集即求满足其中一个不等式的所有x的取值范围。可借助数轴理解：取"覆盖范围更大"的那个。 【详解】M = {x | x > 1}表示大于1的所有实数，N = {x | x ≥ 3}表示大于等于3的所有实数。由于N⊆M（所有大于等于3的数都大于1），所以M∪N = M = {x | x > 1}。也可以理解为：大于1或大于等于3，实际上就是大于1。故选A。 3. 已知集合A = {x | -2 < x ≤ 1, x∈Z}，B = {x | 0 ≤ x < 4, x∈Z}，则A∪B中元素的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】先将两个集合用列举法表示出来，再求并集，注意重复元素只算一次，最后数出并集中元素的个数。 【详解】A = {x | -2 < x ≤ 1, x∈Z} = {-1, 0, 1}； B = {x | 0 ≤ x < 4, x∈Z} = {0, 1, 2, 3}。 A∪B = {-1, 0, 1, 2, 3}，其中0和1是两个集合的公共元素，在并集中只出现一次。 所以A∪B共有6个元素：-1, 0, 1, 2, 3。故选B。 4. 已知集合P = {x | x = 2k + 1, k∈Z}，Q = {x | x = 2k - 1, k∈Z}，则P∪Q = （ ） A. {x | x = 2k + 1, k∈Z} B. {x | x = 2k, k∈Z} C. Z D. {x | x = 4k + 1, k∈Z} 【答案】A 【分析】先分析两个集合分别表示什么，再判断它们的关系，从而确定并集。 【详解】P = {x | x = 2k + 1, k∈Z}表示所有奇数。 对于Q = {x | x = 2k - 1, k∈Z}，令m = k - 1，则当k取遍所有整数时，m也取遍所有整数，所以Q = {x | x = 2(m + 1) - 1, m∈Z} = {x | x = 2m + 1, m∈Z} = P。 因此P = Q，所以P∪Q = P = Q = {x | x = 2k + 1, k∈Z}。故选A。 5. 设集合A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，B = {x | x² - x - 2 = 0}，则A∪B = （ ） A. {2} B. {2, 3} C. {-1, 2, 3} D. {1, 2, 3} 【答案】C 【分析】先分别解两个方程求出集合A和B的元素，再求并集。 【详解】对于A：x² - 5x + 6 = 0，因式分解得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3，所以A = {2, 3}。 对于B：x² - x - 2 = 0，因式分解得(x - 2)(x + 1) = 0，解得x = 2或x = -1，所以B = {-1, 2}。 A∪B = {-1, 2, 3}，其中2是两个集合的公共元素，在并集中只出现一次。故选C。 6. 已知集合A = {x | -1 ≤ x ≤ 2}，B = {x | a ≤ x ≤ a + 2}，若A∪B = {x | -1 ≤ x ≤ 4}，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】A∪B的右端点是4，而A的右端点是2，所以B必须提供从2到4的覆盖，由此确定a的值。 【详解】A = {x | -1 ≤ x ≤ 2} = [-1, 2]，B = {x | a ≤ x ≤ a + 2} = [a, a + 2]。 A∪B = {x | -1 ≤ x ≤ 4} = [-1, 4]。 由于A已经覆盖了[-1, 2]，要使并集达到4，需要B的右端点a + 2 = 4，即a = 2。 此时B = [2, 4]，A∪B = [-1, 2]∪[2, 4] = [-1, 4]，符合题意。 验证左端：a = 2时B = [2, 4]，A∪B左端点为-1，符合。故选B。 二、填空题 7.已知集合A = {x | x ≤ 0}，B = {x | x > -2}，则A∪B = ________。 【答案】R（或{x | x∈R}） 【分析】求两个不等式集合的并集，可借助数轴观察它们合起来是否覆盖整个实数轴。 【详解】A = {x | x ≤ 0} = (-∞, 0]，B = {x | x > -2} = (-2, +∞)。 在数轴上，A覆盖了从负无穷到0的所有数，B覆盖了从-2到正无穷的所有数。 两个集合合起来，A覆盖了(-∞, 0]，B覆盖了(-2, +∞)，它们的并集是(-∞, +∞) = R。 也可以这样理解：对于任意实数x，若x ≤ 0则x∈A；若x > 0则x > -2，所以x∈B。因此任意实数都在A或B中，A∪B = R。 8. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，C = {5, 6, 7}，则(A∪B)∪C = ________。 【答案】{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 【分析】并集运算满足结合律，(A∪B)∪C = A∪B∪C，即找出属于A或B或C的所有元素。 【详解】先求A∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，再求(A∪B)∪C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}∪{5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。 也可以直接找出所有出现过的元素：1, 2, 3, 4来自A，5, 6来自B（也在C中），7来自C。合并去重后得{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。 9. 已知集合A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - 4x + 3 = 0}，则A∪B = ________。 【答案】{1, 2, 3} 【分析】先分别解两个一元二次方程求出集合A和B的元素，再求并集，注意重复元素只写一次。 【详解】对于集合A：x² - 3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2) = 0，解得x = 1或x = 2，所以A = {1, 2}。 对于集合B：x² - 4x + 3 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3，所以B = {1, 3}。 A∪B = {1, 2, 3}，其中1是两个集合的公共元素，在并集中只出现一次。 10. 已知集合A = {x | -1 ≤ x ≤ 3}，B = {x | m ≤ x ≤ m + 2}，若A∪B = A，则实数m的取值范围是________。 【答案】-1 ≤ m ≤ 1 【分析】A∪B = A等价于B⊆A。B = [m, m + 2]是一个长度为2的闭区间，要使其包含于A = [-1, 3]中，需满足B的左端点不小于A的左端点，且B的右端点不大于A的右端点。 【详解】A∪B = A ⟺ B⊆A。 B = {x | m ≤ x ≤ m + 2} = [m, m + 2]，区间长度为2。 A = [-1, 3]，区间长度为4。 要使B⊆A，需要： {m ≥ -1 （B的左端点不在A的左边） {m + 2 ≤ 3 （B的右端点不在A的右边） 由m + 2 ≤ 3得m ≤ 1。 所以-1 ≤ m ≤ 1。 验证边界： 当m = -1时，B = [-1, 1]⊆[-1, 3]，满足； 当m = 1时，B = [1, 3]⊆[-1, 3]，满足。 因此m的取值范围是[-1, 1]，即-1 ≤ m ≤ 1。 三、解答题 11.已知集合A = {x | x² - 5x + 6 ≤ 0}，B = {x | |x - 2| < 2}。 （1）用区间表示集合A和集合B； （2）求A∪B，并用区间表示结果。 【答案】（1）A = [2, 3]，B = (0, 4)；（2）A∪B = (0, 4)。 【分析】（1）解一元二次不等式和绝对值不等式，将集合用区间表示；（2）在数轴上观察两个区间的覆盖范围，取并集。 【详解】 （1）对于集合A：x² - 5x + 6 ≤ 0 因式分解得(x - 2)(x - 3) ≤ 0 该不等式的解为2 ≤ x ≤ 3（二次函数开口向上，小于等于0取两根之间）。 所以A = [2, 3]。 对于集合B：|x - 2| < 2 即-2 < x - 2 < 2 各边加2得0 < x < 4 所以B = (0, 4) （2）在数轴上，A = [2, 3]完全包含在B = (0, 4)内部。 因为A⊆B，所以A∪B = B = (0, 4)。 也可以理解为：A覆盖了[2, 3]，B覆盖了(0, 4)，两者合起来就是(0, 4)。 12. 某班有40名学生，其中参加数学竞赛的有18人，参加物理竞赛的有15人，两项竞赛都参加的有6人。 （1）求只参加数学竞赛的人数； （2）求至少参加一项竞赛的人数； （3）求两项竞赛都没有参加的人数。 【答案】（1）12人；（2）27人；（3）13人。 【分析】本题是并集概念在实际问题中的应用。设只参加数学竞赛的为a人，只参加物理竞赛的为b人，两项都参加的为c人。利用韦恩图分析各部分人数关系。 【详解】设：只参加数学竞赛的人数为a；只参加物理竞赛的人数为b；两项都参加的人数为c = 6。 根据题意：参加数学竞赛的总人数：a + c = 18，所以a = 18 - 6 = 12人。参加物理竞赛的总人数：b + c = 15，所以b = 15 - 6 = 9人。 （1）只参加数学竞赛的人数为a = 12人。 （2）至少参加一项竞赛的人数 = 只参加数学的 + 只参加物理的 + 两项都参加的 = a + b + c = 12 + 9 + 6 = 27人。 也可以直接用公式：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| = 18 + 15 - 6 = 27人。 （3）两项竞赛都没有参加的人数 = 全班总人数 - 至少参加一项的人数 = 40 - 27 = 13人。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第一章 集合 第 5 练 并集 一、选择题 1.已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4, 5}，则A∪B = （ ） A. {2, 3} B. {1, 4, 5} C. {1, 2, 3, 4, 5} D. {1, 2, 3, 2, 3, 4, 5} 2. 已知集合M = {x | x > 1}，N = {x | x ≥ 3}，则M∪N = （ ） A. {x | x > 1} B. {x | x ≥ 3} C. {x | 1 < x < 3} D. {x | x > 1且x ≥ 3} 3. 已知集合A = {x | -2 < x ≤ 1, x∈Z}，B = {x | 0 ≤ x < 4, x∈Z}，则A∪B中元素的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 已知集合P = {x | x = 2k + 1, k∈Z}，Q = {x | x = 2k - 1, k∈Z}，则P∪Q = （ ） A. {x | x = 2k + 1, k∈Z} B. {x | x = 2k, k∈Z} C. Z D. {x | x = 4k + 1, k∈Z} 5. 设集合A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，B = {x | x² - x - 2 = 0}，则A∪B = （ ） A. {2} B. {2, 3} C. {-1, 2, 3} D. {1, 2, 3} 6. 已知集合A = {x | -1 ≤ x ≤ 2}，B = {x | a ≤ x ≤ a + 2}，若A∪B = {x | -1 ≤ x ≤ 4}，则实数a的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 7.已知集合A = {x | x ≤ 0}，B = {x | x > -2}，则A∪B = ________。 8. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，C = {5, 6, 7}，则(A∪B)∪C = ________。 9. 已知集合A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - 4x + 3 = 0}，则A∪B = ________。 10. 已知集合A = {x | -1 ≤ x ≤ 3}，B = {x | m ≤ x ≤ m + 2}，若A∪B = A，则实数m的取值范围是________。 三、解答题 11.已知集合A = {x | x² - 5x + 6 ≤ 0}，B = {x | |x - 2| < 2}。 （1）用区间表示集合A和集合B； （2）求A∪B，并用区间表示结果。 12. 某班有40名学生，其中参加数学竞赛的有18人，参加物理竞赛的有15人，两项竞赛都参加的有6人。 （1）求只参加数学竞赛的人数； （2）求至少参加一项竞赛的人数； （3）求两项竞赛都没有参加的人数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $