第4练 交集《数学》基础模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《一课一练》第4练“交集”以三阶分层设计（基础巩固-能力提升-综合应用）构建知识巩固路径，通过概念理解→运算深化→实际应用的递进，培养抽象能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|具体集合交集运算|选择题1-3（列举法集合）、填空题7-8（不等式表示集合），强化交集概念直观理解| |能力提升|抽象集合与方程结合|选择题4-5（描述法集合）、填空题9（方程解集），提升符号运算与推理意识| |综合应用|参数讨论与实际问题|选择题6（参数集合）、填空题10（含参范围）、解答题12（选修课人数统计），发展数学建模与问题解决能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第一章 集合 第 4 练 交集 一、选择题 1.已知集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A∩B = （ ） A. {1, 2} B. {3, 4} C. {5, 6} D. {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. 已知集合M = {x | x > 2}，N = {x | x < 5}，则M∩N = （ ） A. {x | 2 < x < 5} B. {x | x > 2} C. {x | x < 5} D. {x | x > 2或x < 5} 3. 已知集合P = {x | -1 ≤ x ≤ 3, x∈Z}，Q = {x | 0 < x ≤ 4, x∈Z}，则P∩Q中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知集合A = {x | x = 2k, k∈Z}，B = {x | x = 3k, k∈Z}，则A∩B = （ ） A. {x | x = 2k, k∈Z} B. {x | x = 3k, k∈Z} C. {x | x = 6k, k∈Z} D. 5. 设集合A = {(x, y) | x + y = 5}，B = {(x, y) | x - y = 1}，则A∩B = （ ） A. {3, 2} B. {(3, 2)} C. {x = 3, y = 2} D. 6. 已知集合A = {1, 3, a}，B = {1, a² - a + 1}，且A∩B = {1, 3}，则实数a的值为（ ） A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 2或-1或1 二、填空题 7.已知集合A = {x | x ≥ -2}，B = {x | x < 3}，则A∩B = ________。 8. 已知集合A = {2, 4, 6, 8}，B = {x | x是8的正约数}，则A∩B = ________。 9. 已知集合A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，B = {x | x² - 4x + 3 = 0}，则A∩B = ________。 10. 已知集合A = {x | -3 ≤ x ≤ 2}，B = {x | a - 1 ≤ x ≤ a + 2}，若A∩B =，则实数a的取值范围是________。 三、解答题 11.已知集合A = {x | x² - 7x + 12 = 0}，B = {x | x² - (a + 1)x + a = 0}，且A∩B = {3}。 （1）用列举法表示集合A； （2）求实数a的值，并写出此时的集合B。 12. 某职业学校开设了数学、英语、计算机三门选修课。已知选修数学的有28人，选修英语的有25人，选修计算机的有20人。同时选修数学和英语的有10人，同时选修数学和计算机的有8人，同时选修英语和计算机的有6人，三门都选修的有3人。 （1）求只选修数学和英语两门课的人数； （2）求至少选修两门课的人数； （3）若该校共有50名学生，求三门课都没有选修的人数。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第一章 集合 第 4 练 交集 一、选择题 1.已知集合A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A∩B = （ ） A. {1, 2} B. {3, 4} C. {5, 6} D. {1, 2, 3, 4, 5, 6} 【答案】B 【分析】交集A∩B是由同时属于A和B的所有元素组成的集合，即找出A与B的公共元素。 【详解】集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {3, 4, 5, 6}。两个集合的公共元素是3和4，因此A∩B = {3, 4}。故选B。 2. 已知集合M = {x | x > 2}，N = {x | x < 5}，则M∩N = （ ） A. {x | 2 < x < 5} B. {x | x > 2} C. {x | x < 5} D. {x | x > 2或x < 5} 【答案】A 【分析】对于用不等式表示的集合，求交集即求同时满足两个不等式的x的取值范围，可借助数轴直观理解。 【详解】M = {x | x > 2}表示大于2的所有实数，N = {x | x < 5}表示小于5的所有实数。M∩N表示既大于2又小于5的实数，即2 < x < 5。因此M∩N = {x | 2 < x < 5}。故选A。 3. 已知集合P = {x | -1 ≤ x ≤ 3, x∈Z}，Q = {x | 0 < x ≤ 4, x∈Z}，则P∩Q中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】先将两个集合用列举法表示出来，再求交集，最后数出交集中元素的个数。 【详解】P = {x | -1 ≤ x ≤ 3, x∈Z} = {-1, 0, 1, 2, 3}； Q = {x | 0 < x ≤ 4, x∈Z} = {1, 2, 3, 4}。P∩Q = {1, 2, 3}，共有3个元素。故选B。 4. 已知集合A = {x | x = 2k, k∈Z}，B = {x | x = 3k, k∈Z}，则A∩B = （ ） A. {x | x = 2k, k∈Z} B. {x | x = 3k, k∈Z} C. {x | x = 6k, k∈Z} D. 【答案】C 【分析】A表示所有偶数，B表示所有能被3整除的整数。A∩B表示既能被2整除又能被3整除的整数，即能被6整除的整数。 【详解】A = {x | x = 2k, k∈Z}是所有偶数；B = {x | x = 3k, k∈Z}是所有3的倍数。A∩B中的元素既要能被2整除，又要能被3整除，即能被6整除。因此A∩B = {x | x = 6k, k∈Z}。故选C。 5. 设集合A = {(x, y) | x + y = 5}，B = {(x, y) | x - y = 1}，则A∩B = （ ） A. {3, 2} B. {(3, 2)} C. {x = 3, y = 2} D. 【答案】B 【分析】A和B都是点集（元素是有序数对），A∩B表示同时满足两个方程的点的集合，即方程组的解集。 【详解】求A∩B即解方程组： 两式相加得2x = 6，x = 3；代入第一式得y = 2。 所以方程组的解为(3, 2)。由于A和B的元素是有序数对，因此A∩B = {(3, 2)}。注意不能写成{3, 2}（这是数集而非点集）。故选B。 6. 已知集合A = {1, 3, a}，B = {1, a² - a + 1}，且A∩B = {1, 3}，则实数a的值为（ ） A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 2或-1或1 【答案】C 【分析】由A∩B = {1, 3}可知3∈B，因此a² - a + 1 = 3，解出a后需检验是否满足集合元素的互异性。 【详解】因为A∩B = {1, 3}，所以3∈B。又B = {1, a² - a + 1}，所以a² - a + 1 = 3， 即a² - a - 2 = 0，因式分解得(a - 2)(a + 1) = 0，解得a = 2或a = -1。 检验互异性： （1）当a = 2时，A = {1, 3, 2}，B = {1, 3}，A∩B = {1, 3}，符合题意； 当a = -1时，A = {1, 3, -1}，B = {1, 3}，A∩B = {1, 3}，符合题意。 （2）若a² - a + 1 = 1，则a(a - 1) = 0，a = 0或a = 1。 当a = 1时，A = {1, 3, 1}不满足互异性，舍去； 当a = 0时，A = {1, 3, 0}，B = {1, 1} = {1}，A∩B = {1}≠{1, 3}，不符合。 综上，a = 2或a = -1。故选C。 二、填空题 7.已知集合A = {x | x ≥ -2}，B = {x | x < 3}，则A∩B = ________。 【答案】{x | -2 ≤ x < 3} 【分析】求两个不等式集合的交集，即找出同时满足x ≥ -2和x < 3的x的取值范围。 【详解】A = {x | x ≥ -2}表示大于等于-2的所有实数，B = {x | x < 3}表示小于3的所有实数。同时满足这两个条件的x的范围是-2 ≤ x < 3。因此A∩B = {x | -2 ≤ x < 3}。 8. 已知集合A = {2, 4, 6, 8}，B = {x | x是8的正约数}，则A∩B = ________。 【答案】{2, 4, 8} 【分析】先求出8的所有正约数，再与集合A求交集。 【详解】8的正约数有1, 2, 4, 8，所以B = {1, 2, 4, 8}。 A = {2, 4, 6, 8}，A与B的公共元素是2, 4, 8。 因此A∩B = {2, 4, 8}。 9. 已知集合A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，B = {x | x² - 4x + 3 = 0}，则A∩B = ________。 【答案】{3} 【分析】先分别解两个一元二次方程，求出集合A和B的元素，再求它们的交集。 【详解】对于集合A：x² - 5x + 6 = 0，因式分解得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x = 2或x = 3，所以A = {2, 3}。 对于集合B：x² - 4x + 3 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3，所以B = {1, 3}。 A与B的公共元素是3，因此A∩B = {3}。 10. 已知集合A = {x | -3 ≤ x ≤ 2}，B = {x | a - 1 ≤ x ≤ a + 2}，若A∩B =，则实数a的取值范围是________。 【答案】a < -5或a > 3 【分析】两个区间集合的交集为空，意味着它们在数轴上没有重叠部分。借助数轴分析B在A的左侧或右侧两种情况。 【详解】A = {x | -3 ≤ x ≤ 2}，B = {x | a - 1 ≤ x ≤ a + 2}。 A∩B =有两种情况： B完全在A左边：a + 2 < -3，即a < -5； B完全在A右边：a - 1 > 2，即a > 3。 检验边界： 当a = -5时，B = [-6, -3]，A∩B = {-3}≠； 当a = 3时，B = [2, 5]，A∩B = {2}≠。 因此A∩B = 时，a < -5或a > 3。 三、解答题 11.已知集合A = {x | x² - 7x + 12 = 0}，B = {x | x² - (a + 1)x + a = 0}，且A∩B = {3}。 （1）用列举法表示集合A； （2）求实数a的值，并写出此时的集合B。 【答案】（1）A = {3, 4}；（2）a = 3，B = {1, 3}。 【分析】（1）解一元二次方程求集合A；（2）由A∩B = {3}可知3∈B且4∉B，将x = 3代入B的方程求a，再验证4∉B。 【详解】 （1）解方程x² - 7x + 12 = 0，因式分解得(x - 3)(x - 4) = 0， 解得x₁= 3，x₂= 4。所以A = {3, 4}。 （2）因为A∩B = {3}，所以3∈B且4∉B。 将x = 3代入方程x² - (a + 1)x + a = 0： 9 - 3(a + 1) + a = 0 9 - 3a - 3 + a = 0 6 - 2a = 0 a = 3 当a = 3时，B的方程为x² - 4x + 3 = 0， 因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。 所以B = {1, 3}。 验证：A∩B = {3, 4}∩{1, 3} = {3}，符合题意。 且4 ∉B，满足条件。 因此a = 3，B = {1, 3}。 12. 某职业学校开设了数学、英语、计算机三门选修课。已知选修数学的有28人，选修英语的有25人，选修计算机的有20人。同时选修数学和英语的有10人，同时选修数学和计算机的有8人，同时选修英语和计算机的有6人，三门都选修的有3人。 （1）求只选修数学和英语两门课的人数； （2）求至少选修两门课的人数； （3）若该校共有50名学生，求三门课都没有选修的人数。 【答案】（1）7人；（2）18人；（3）8人。 【分析】本题是交集概念在实际问题中的应用，可借助韦恩图（Venn图）分析各区域的人数。设只选数学、英语、计算机的分别为a、b、c；只选数学和英语、数学和计算机、英语和计算机的分别为d、e、f；三门都选的为g = 3。 【详解】设：只选数学的为a，只选英语的为b，只选计算机的为c； 只选数学和英语的为d，只选数学和计算机的为e，只选英语和计算机的为f； 三门都选的为g = 3。 根据题意： 数学总人数：a + d + e + g = 28 英语总人数：b + d + f + g = 25 计算机总人数：c + e + f + g = 20 数学∩英语 = d + g = 10，所以d = 7 数学∩计算机 = e + g = 8，所以e = 5 英语∩计算机 = f + g = 6，所以f = 3 （1）只选修数学和英语两门课的人数为d = 7人。 （2）至少选修两门课的人数 = 只选两门的人数 + 选三门的人数 = d + e + f + g = 7 + 5 + 3 + 3 = 18人。 （3）由数学：a + 7 + 5 + 3 = 28，得a = 13，由英语：b + 7 + 3 + 3 = 25，得b = 12，由计算机：c + 5 + 3 + 3 = 20，得c = 9，至少选修一门课的人数 = a + b + c + d + e + f + g = 13 + 12 + 9 + 7 + 5 + 3 + 3 = 42人，三门课都没有选修的人数 = 50 - 42 = 8人。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $