第3练 集合之间的关系《数学》基础模块上册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学《一课一练》集合关系同步练，依托“三阶支架”分层设计，通过选择、填空、解答题梯度递进，覆盖概念辨析到综合应用，强化符号意识与推理能力，适配课堂巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一概念（子集、空集）|以直接辨析题为主，如选择1-5判断集合关系，夯实抽象能力| |进阶层|概念综合（子集关系、符号应用）|增加符号填空与计算，如填空7-10符号运用、子集个数计算，发展数学语言表达| |提高层|问题解决（含参集合关系、集合相等证明）|通过解答题11-12实现综合应用，如含参数集合关系求解，培养推理能力与创新意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第一章 集合 第 3练 集合之间的关系 一、选择题 1．已知集合A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}，则下列关系正确的是（ ） A. A∈B B. A⊆B C. B⊆A D. A = B 【答案】B 【分析】判断两个集合的关系，需看A中的每一个元素是否都在B中。注意区分"∈"属于（元素与集合的关系）和"⊆"包含于（集合与集合的关系）。 【详解】集合A中的元素1, 2, 3都在集合B中，因此A是B的子集，即A⊆B。A选项用"∈"错误，因为A是集合不是元素；C选项方向反了；D选项两集合元素不同。故选B。 2. 下列四个集合中，是空集的是（ ） A. {x | x² + 1 = 0, x∈R} B. {0} C. {x | x² - 1 = 0, x∈R} D. {x | x > 0, x∈R} 【答案】A 【分析】空集是不含任何元素的集合。分别求出各集合的元素即可判断。 【详解】A. 方程x² + 1 = 0在实数范围内无解（x² = -1无实数解），因此该集合不含任何元素，是空集；B. {0}含有一个元素0，不是空集；C. x² - 1 = 0的解为x = ±1，集合为{-1, 1}，不是空集；D. 大于0的实数有无数个，不是空集。故选A。 3. 集合M = {x | x = 2k, k∈Z}与集合N = {x | x = 4k, k∈Z}的关系是（ ） A. M = N B. M⊂N C. N⊂M D. M⊆N 【答案】C 【分析】先分析两个集合分别表示什么数，再判断它们之间的包含关系。 【详解】M = {x | x = 2k, k∈Z}表示所有偶数，即{..., -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}；N = {x | x = 4k, k∈Z}表示所有能被4整除的整数，即{..., -8, -4, 0, 4, 8, ...}。因为能被4整除的数一定能被2整除，所以N中的每个元素都在M中，但M中有元素（如2, 6, -2等）不在N中。因此N是M的真子集，即N⊂M。故选C。 4. 已知集合A = {x | -1 < x < 3, x∈Z}，则集合A的子集个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 【答案】C 【分析】先求出集合A中的元素个数，再利用子集个数公式：若集合有n个元素，则其子集个数为2ⁿ。 【详解】由-1 < x < 3且x为整数，得x = 0, 1, 2，所以A = {0, 1, 2}，含有3个元素。根据子集个数公式，子集个数为2³ = 8个。它们分别是：, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}。故选C。 5. 设集合P = {a, b}，则下列关系不正确的是（ ） A. {a}⊆P B. a∈P C. {a}∈P D. ⊆P 【答案】C 【分析】区分元素与集合的关系（用∈或∉）和集合与集合的关系（用⊆、⊂、=等）。 【详解】A. {a}是集合，P是集合，{a}中的元素a在P中，所以{a}⊆P，正确；B. a是P中的元素，所以a∈P，正确；C. {a}是集合，不是P中的元素（P的元素是a和b），不能用"∈"，错误；D. 空集是任何集合的子集，所以⊆P，正确。故选C。 6. 若集合A = {1, 2}，B = {x | x⊆A}，则下列结论正确的是（ ） A. B = {1, 2} B. B = {{1}, {2}} C. B = {, {1}, {2}, {1, 2}} D. 1∈B 【答案】C 【分析】B = {x | x⊆A}表示A的所有子集组成的集合（即A的幂集）。先列出A的所有子集，再看哪个选项正确。 【详解】集合A = {1, 2}的子集有：, {1}, {2}, {1, 2}，共4个。因此B = {, {1}, {2}, {1, 2}}，B中的元素是集合而不是数。A选项把B当成了A本身；B选项漏了空集和{1, 2}；D选项中1是数不是集合，1∉B。故选C。 二、填空题 7．用适当的符号（∈, ∉, ⊆, ⊂, =）填空： （1）{1}____{1, 2, 3}； （2）____{0}； （3）0____； （4）{a, b}____{b, a}。 【答案】（1）；（2）；（3）∉；（4）= 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，以及空集的性质进行判断。 【详解】（1）{1}是集合，{1, 2, 3}是集合，{1}中的元素都在{1, 2, 3}中，所以{1}{1, 2, 3}； （2）空集是任何非空集合的真子集，所以{0}； （3）空集不含任何元素，所以0∉； （4）集合中的元素具有无序性，{a, b}与{b, a}元素完全相同，所以{a, b} = {b, a}。 8. 已知集合A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，B = {2, 3, 4}，则集合A与集合B的关系是A____B（用符号表示）。 【答案】 【分析】先求出集合A的元素，再与集合B比较，判断包含关系。 【详解】解方程x² - 5x + 6 = 0，因式分解得(x - 2)(x - 3) = 0，解得x₁= 2，x₂= 3。所以A = {2, 3}。集合B = {2, 3, 4}，A中的元素2和3都在B中，但B中有元素4不在A中，因此A是B的真子集，即AB。 9. 集合{1, 2}的所有真子集有________个。 【答案】3 【分析】真子集是指除集合本身以外的所有子集。若集合有n个元素，则子集个数为2ⁿ，真子集个数为2ⁿ- 1。 【详解】集合{1, 2}有2个元素，子集个数为2² = 4个，分别是：, {1}, {2}, {1, 2}。真子集需去掉集合本身{1, 2}，所以真子集有3个：, {1}, {2}。 10. 已知集合M = {x | -2 ≤ x ≤ 2, x∈Z}，N = {x | x = 2k, -1 ≤ k ≤ 1, k∈Z}，则M与N的关系是________（用符号表示）。 【答案】NM 【分析】分别用列举法表示集合M和N，再比较它们的关系。 【详解】对于集合M：由-2 ≤ x ≤ 2且x为整数，得M = {-2, -1, 0, 1, 2}。 对于集合N：由-1 ≤ k ≤ 1且k为整数，得k = -1, 0, 1。 当k = -1时，x = 2×(-1) = -2；当k = 0时，x = 0；当k = 1时，x = 2。所以N = {-2, 0, 2}。 N中的元素-2, 0, 2都在M中，但M中有元素-1, 1不在N中，因此N是M的真子集，即NM。 三、解答题 11．已知集合A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - ax + a - 1 = 0}，且B⊆A。 （1）用列举法表示集合A； （2）求满足B⊆A的所有实数a的值，并写出对应的集合B。 【答案】（1）A = {1, 2}；（2）a = 2时，B = {1}；a = 3时，B = {1, 2}。 【分析】（1）解一元二次方程求集合A的元素；（2）由B⊆A可知B可能是、{1}、{2}或{1, 2}，分别讨论求解。 【详解】 （1）解方程x² - 3x + 2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2) = 0，解得x₁ = 1，x₂ = 2。 所以A = {1, 2}。 （2）因为B⊆A，所以B可能是：, {1}, {2}, {1, 2}。 对于方程x² - ax + a - 1 = 0，因式分解得(x - 1)[x - (a - 1)] = 0， 解得x₁ = 1，x₂ = a - 1。所以B中至少含有元素1。 ① 若B = {1}，则a - 1 = 1，即a = 2，此时B = {1}，满足B⊆A； ② 若B = {1, 2}，则a - 1 = 2，即a = 3，此时B = {1, 2}，满足B⊆A； ③ B不可能为（因为方程总有根x = 1）； ④ B不可能为{2}（因为B中必有元素1）。 综上所述，a = 2时，B = {1}；a = 3时，B = {1, 2}。 12. 设集合A = {x | x = 3n + 1, n∈Z}，B = {x | x = 3n - 2, n∈Z}，C = {x | x = 6n + 1, n∈Z}。 （1）判断-5是否属于集合A； （2）判断集合A与集合B是否相等，并说明理由； （3）判断集合C与集合A的关系，并说明理由。 【答案】（1）-5∈A；（2）A = B；（3）C⊂A。 【分析】（1）判断-5能否表示为3n + 1（n∈Z）的形式；（2）分析两个集合表示的数的特征；（3）分析C中元素是否都在A中，以及A中是否有元素不在C中。 【详解】 （1）令3n + 1 = -5，解得n = -2。因为-2∈Z，所以-5 = 3×(-2) + 1，故-5∈A。 （2）A = B。理由如下： 集合A = {x | x = 3n + 1, n∈Z}表示所有被3除余1的整数； 集合B = {x | x = 3n - 2, n∈Z} = {x | x = 3(n - 1) + 1, n∈Z}。 令m = n - 1，当n取遍所有整数时，m也取遍所有整数，所以B = {x | x = 3m + 1, m∈Z} = A。 因此A = B。 （3）CA。理由如下： 集合C = {x | x = 6n + 1, n∈Z} = {x | x = 3×(2n) + 1, n∈Z}。 因为2n是偶数，令k = 2n，则k是偶数，所以C = {x | x = 3k + 1, k是偶数}。 而A = {x | x = 3k + 1, k∈Z}，k可以取任意整数（奇数或偶数）。 因此C中的元素都在A中，但A中有元素（如当k = 1时，x = 4；k = -1时，x = -2）不在C中。 所以C是A的真子集，即CA。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块上册（高教版第三版） 第一章 集合 第 3练 集合之间的关系 一、选择题 1．已知集合A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4, 5}，则下列关系正确的是（ ） A. A∈B B. A⊆B C. B⊆A D. A = B 2. 下列四个集合中，是空集的是（ ） A. {x | x² + 1 = 0, x∈R} B. {0} C. {x | x² - 1 = 0, x∈R} D. {x | x > 0, x∈R} 3. 集合M = {x | x = 2k, k∈Z}与集合N = {x | x = 4k, k∈Z}的关系是（ ） A. M = N B. M⊂N C. N⊂M D. M⊆N 4. 已知集合A = {x | -1 < x < 3, x∈Z}，则集合A的子集个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 16 5. 设集合P = {a, b}，则下列关系不正确的是（ ） A. {a}⊆P B. a∈P C. {a}∈P D. ⊆P 6. 若集合A = {1, 2}，B = {x | x⊆A}，则下列结论正确的是（ ） A. B = {1, 2} B. B = {{1}, {2}} C. B = {, {1}, {2}, {1, 2}} D. 1∈B 二、填空题 7．用适当的符号（∈, ∉, ⊆, ⊂, =）填空： （1）{1}____{1, 2, 3}； （2）____{0}； （3）0____； （4）{a, b}____{b, a}。 8. 已知集合A = {x | x² - 5x + 6 = 0}，B = {2, 3, 4}，则集合A与集合B的关系是A____B（用符号表示）。 9. 集合{1, 2}的所有真子集有________个。 10. 已知集合M = {x | -2 ≤ x ≤ 2, x∈Z}，N = {x | x = 2k, -1 ≤ k ≤ 1, k∈Z}，则M与N的关系是________（用符号表示）。 三、解答题 11．已知集合A = {x | x² - 3x + 2 = 0}，B = {x | x² - ax + a - 1 = 0}，且B⊆A。 （1）用列举法表示集合A； （2）求满足B⊆A的所有实数a的值，并写出对应的集合B。 12. 设集合A = {x | x = 3n + 1, n∈Z}，B = {x | x = 3n - 2, n∈Z}，C = {x | x = 6n + 1, n∈Z}。 （1）判断-5是否属于集合A； （2）判断集合A与集合B是否相等，并说明理由； （3）判断集合C与集合A的关系，并说明理由。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $