专题4 一元二次不等式（讲义）-2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 一元二次不等式 【复习目标】 1.掌握一元二次不等式标准形式，理解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关联，会结合二次函数图像求解不等式。 2.熟练求解不含参数基础一元二次不等式，能用集合、区间两种形式书写解集，能借助数轴表示解集范围。 3.掌握一元二次不等式与集合运算综合题型，会先解不等式得到集合，再计算交集、并集。 4.掌握简单含参一元二次不等式基础解法，牢记二次项系数正负、判别式 Δ 三种分类讨论情形。 考点 1 一元二次不等式基础概念与标准形式 【考点知识回顾】 定义：含有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式不等式叫作一元二次不等式。 标准形式 、 、 、 解题前提：若二次项系数，不等式两边同时乘-1，不等号方向反转，化为的标准形式再求解。 【即时训练】 1．下列不等式是一元二次不等式的是（   ） A．（为常数） B． C． D． 2．下列属于一元二次不等式的是（   ） A． B． C． D． 考点 2 三个 “二次” 核心关系（解题核心理论） 【考点知识回顾】 设二次函数，一元二次方程，判别式 ：方程有两个不相等实根 解集： 解集： ：方程有两个相等实根 解集： 解集： ：方程无实数根 解集：全体实数 解集：空集规律记忆：开口向上，大于取两边，小于取中间。 基础一元二次不等式标准解题步骤 整理变形：移项使右侧为 0，二次项系数化为正数； 求判别式：计算，判断方程根的个数； 求解方程：有根则算出两根； 结合图像写解集：遵循 “大于取两边，小于取中间”； 规范表达：解集可写成集合形式或区间形式，数轴辅助验证范围。 【即时训练】 题型一 一元二次不等式求解 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 题型二一元二次不等式与一元二次方程之间的关系 1．关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．若一元二次不等式的解集是，则（    ） A． B．4 C． D．8 3．已知关于的不等式的解集是，则的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 4．若不等式的解集为，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 5．已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 考点 3 一元二次不等式与集合综合运算（真题高频） 【考点知识回顾】 题型特征：题干给出集合，集合由一元二次不等式解集构成，求A∩B、A∪B； 解题步骤： 1 分别解两个一元二次不等式，写出对应集合； 2 在数轴标出两个集合范围； ③ 根据交集、并集定义计算结果； 【即时训练】 1．设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合 ，，则 （   ） A． B． C． D． 考点4 解含参一元二次不等式 【考点知识回顾】 分类讨论第一重：讨论二次项系数 、 、 ； 分类讨论第二重：判别式 、 、 三种根的情况； 分类讨论第三重：若方程两根含参数，比较两根大小再确定解集区间。 【即时训练】 1．已知不等式解集为空集，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．若 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 4．已知，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 1.（2023·陕西·真题T05）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2．（陕西省千阳县职业中等专业学校2024-2025学年高三模拟题）不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2026届陕西省千阳县职业中等专业学校高三一模题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年陕西省（职教单招）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年陕西省职教单招 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题4 一元二次不等式 【复习目标】 1.掌握一元二次不等式标准形式，理解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关联，会结合二次函数图像求解不等式。 2.熟练求解不含参数基础一元二次不等式，能用集合、区间两种形式书写解集，能借助数轴表示解集范围。 3.掌握一元二次不等式与集合运算综合题型，会先解不等式得到集合，再计算交集、并集。 4.掌握简单含参一元二次不等式基础解法，牢记二次项系数正负、判别式 Δ 三种分类讨论情形。 考点 1 一元二次不等式基础概念与标准形式 【考点知识回顾】 定义：含有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式不等式叫作一元二次不等式。 标准形式 解题前提：若二次项系数，不等式两边同时乘-1，不等号方向反转，化为的标准形式再求解。 【即时训练】 1．下列不等式是一元二次不等式的是（   ） A．（为常数） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的定义判断. 【详解】选项A：不等式（为常数）中， 当时，不等式，即，未知数的最高次数是1，不满足一元二次不等式中未知数最高次数为的要求， 当时，未知数的最高次数是，不满足一元二次不等式中未知数最高次数为的要求， 故选项A错误； 选项B：不等式中，未知数的最高次数是，不满足一元二次不等式中未知数最高次数为的要求，故选项B错误； 选项C：不等式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2次，符合一元二次不等式的定义，故选项C正确； 选项D：不等式中含有两个未知数和，不满足一元二次不等式只含有一个未知数的条件，故选项D错误. 故选：C. 2．下列属于一元二次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的定义，即可求解． 【详解】为一元一次不等式，故错误； 为一元二次不等式，故正确， 为一元三次不等式，故错误； ，其中是分式，故不符合一元二次不等式的定义，故错误， 故选：B． 考点 2 三个 “二次” 核心关系（解题核心理论） 【考点知识回顾】 设二次函数，一元二次方程，判别式 ：方程有两个不相等实根 解集： 解集： ：方程有两个相等实根 解集： 解集：空集 ：方程无实数根 解集：全体实数 解集：空集规律记忆：开口向上，大于取两边，小于取中间。 基础一元二次不等式标准解题步骤 整理变形：移项使右侧为 0，二次项系数化为正数； 求判别式：计算，判断方程根的个数； 求解方程：有根则算出两根； 结合图像写解集：遵循 “大于取两边，小于取中间”； 规范表达：解集可写成集合形式或区间形式，数轴辅助验证范围。 【即时训练】 题型一 一元二次不等式求解 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由，二次项系数化为正可得：， 因式分解化为：，解得， 所以原不等式的解集为，故选项B正确. 故选：B. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解后利用二次函数的图象性质即可求解． 【详解】∵不等式因式分解为， ∴， ∴不等式的解集为， 故选：C． 3．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由不含参数的一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为不等式为，可知， 方程无实根，所以不等式解集为． 故选：B. 4．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式， 令，图像为开口向上的抛物线， 当时，，， 所以函数，图像为开口向上的抛物线且与轴没有交点， 所以不等式在上恒成立， 所以解集为， 故选：. 5．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】已知， 则，解得， 所以原不等式的解集为， 故选：C. 6．一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接解一元二次不等式即可得解. 【详解】原不等式可化为， 解得， 故解集为. 故选：B. 7．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式解法求解. 【详解】原不等式可化为. ∴方程的解为，， 对应的二次函数的图像如图所示， ∴不等式的解集是， 即不等式的解集是.    故选：B. 题型二一元二次不等式与一元二次方程之间的关系 1．关于 的一元二次方程有两个相等的实数根，则 （    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的个数与判别式的关系列方程求解即可. 【详解】已知有两个相等的实数根， 则，解得， 故选：B. 2．若一元二次不等式的解集是，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解集与方程的关系及韦达定理求参数，再代入代数式即可求. 【详解】一元二次不等式的解集是， 则等式的解为， 则，解得，， 则； 故选：B. 3．已知关于的不等式的解集是，则的值分别是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题意得，是方程的两根，且，列关于的方程求解即可. 【详解】关于的不等式的解集是， 则是方程的两根，且， 所以，且， 即，且，解得， 故选：D． 4．若不等式的解集为，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解转化为方程的根即可求解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以方程的两个根为和3， 即由韦达定理可知，，解得. 故选：A. 5．已知不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系求解. 【详解】已知不等式的解集为， 这说明，且和是方程的两个根， 所以，即，解得， 故选：D. 考点 3 一元二次不等式与集合综合运算（真题高频） 【考点知识回顾】 题型特征：题干给出集合，集合由一元二次不等式解集构成，求A∩B、A∪B； 解题步骤： 1 分别解两个一元二次不等式，写出对应集合； 2 在数轴标出两个集合范围； ③ 根据交集、并集定义计算结果； 【即时训练】 1．设集合， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，利用集合的交集运算性质计算. 【详解】， 又， 所以， 故选：B 2．已知集合 ，，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求解一元二次不等式，再根据并集求解即可. 【详解】解不等式 ：， 解得 ，因此，. 集合 . 所以 . 故选：B. 考点4 解含参一元二次不等式 【考点知识回顾】 分类讨论第一重：讨论二次项系数（退化为一元一次不等式）、、； 分类讨论第二重：判别式三种根的情况； 分类讨论第三重：若方程两根含参数，比较两根大小再确定解集区间。 【即时训练】 1．已知不等式解集为空集，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】大于零为空集，可判断抛物线的开口和交点个数,注意讨论能否为零. 【详解】若则当取任意值时，不等式变为不成立，为空集，故符合条件. 若，由题意可知， 则有 解得 综上所述 故选:C. 2．若 ，则不等式 的解集是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法以及的范围求解即可. 【详解】不等式 可化为 . 因为 ，所以 . 所以不等式 的解集为 . 故选：A. 3．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有实数根的条件为判别式大于等于零求解即可. 【详解】因为关于的方程有实数根， 所以判别式，即， 解得或. 故选：A. 4．已知，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】原不等式可化为，因为，所以. 故选：B. 1.（2023·陕西·真题T05）不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B. 2．（陕西省千阳县职业中等专业学校2024-2025学年高三模拟题）不等式 的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式求解即可. 【详解】因为， 即， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 3．（2026届陕西省千阳县职业中等专业学校高三一模题）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】集合， 又，故， 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $