第4章 4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦两角和与差的正弦、余弦、正切公式及辅助角公式核心考点，按公式推导逻辑（以两角差余弦公式为基础）、公式体系（和差公式、辅助角公式）、常用变形（如tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)）梳理知识，通过考点梳理、方法指导（角的变换技巧）、真题训练（例题及分层练习）环节，帮助学生构建公式应用框架。 讲义以公式推导与逆用为特色，结合角的变换（如β=α+(β-α)）培养数学思维，通过辅助角公式应用强化数学语言表达。教学中引导学生用已知角表示所求角（如例3），设置基础判断、中档例题、综合练习分层训练，配合即时反馈，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ★[考试要求] 1．会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用． 1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式C(α－β)： cos(α－β)＝　cos_αcos_β＋sin_αsin_β　； (2)公式C(α＋β)： cos(α＋β)＝　cos_αcos_β－sin_αsin_β　； (3)公式S(α－β)： sin(α－β)＝　sin_αcos_β－cos_αsin_β　； (4)公式S(α＋β)： sin(α＋β)＝　sin_αcos_β＋cos_αsin_β　； (5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝； (6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 2．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝. 两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． tan αtan β＝1－＝－1. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin (α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (2)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(√) (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(√) (4)sin α＋cos α＝sin.(×) 2．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　) A．－　　　　　　 B. C．－ D. 解析：C　[∵α是第三象限角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.] 3．sin－cos的值为(　　) A．0 B．－ C．2 D. 解析：B　[sin－cos＝2＝2sin＝2sin＝－.] 4．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝________. 解析：tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝ ＝＝. 答案： 两角和与差的三角函数公式 [例1]　(1)已知tan α＝，tan β＝，则tan(2α＋β)的值为(　　) A.　　 B. C．－　　 D．－ [解析]　由tan α＝，tan β＝，得 tan(α＋β)＝＝＝1， tan(2α＋β)＝tan[α＋(α＋β)]＝＝＝. [答案]　A (2)若sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝，则sin 2αcos β等于(　　) A. B. C. D. [解析]　由sin(2α－β)＝，sin(2α＋β)＝， 可得sin 2αcos β－cos 2αsin β＝，① sin 2αcos β＋cos 2αsin β＝，② 由①＋②得，2sin 2αcos β＝， 所以sin 2αcos β＝. [答案]　B 三角函数公式的应用策略 (1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．” (2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． 1．sin 20°＋sin 40°＝(　　) A．sin 50° B．sin 60° C．sin 70° D．sin 80° 解析：D　[sin 20°＋sin 40°＝sin(30°－10°)＋sin(30°＋10°)＝sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°＋sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°＝2sin 30°cos 10°＝2×cos 10°＝sin 80°.] 2．已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝________. 解析：因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，所以tan(α＋β)＝＝＝＝－. 答案：－ 　　　　两角和与差的三角函数公式的 逆用与辅助角公式 [例2]　(1)[多选]已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　) A．cos(β－α)＝ B．cos(β－α)＝ C．β－α＝－ D．β－α＝ [解析]　由题意知，sin γ＝sin β－sin α， cos γ＝cos α－cos β， 将两式分别平方后相加， 得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2 ＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)， ∴cos(β－α)＝，即选项A正确，B错误； ∵γ∈， ∴sin γ＝sin β－sin α>0， ∴β>α，而α，β∈， ∴0<β－α<， ∴β－α＝， 即选项D正确，C错误． [答案]　AD (2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　) A. B. C. D. [解析]　∵C＝120°，∴tan C＝－. ∵A＋B＝π－C， ∴tan(A＋B)＝－tan C. ∴tan(A＋B)＝， tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)， 又∵tan A＋tan B＝， ∴tan Atan B＝. [答案]　B 三角函数公式活用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan (α＋β)(或tan (α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． 1．已知tan αtan β＝2，cos(α＋β)＝－，则cos(α－β)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：A　[由题意可得 即 所以 故cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝.] 2．(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝________. 解析：(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4. 答案：4 　　　　角的变换问题 [例3]　(1)已知sin α＝，sin(β－α)＝－，α，β均为锐角，则β等于(　　) A. B. C. D. [解析]　因为sin α＝，sin(β－α)＝－，且α，β均为锐角， 所以cos α＝，cos(β－α)＝， 所以sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin α·cos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝×＋×＝＝，所以β＝. [答案]　C (2)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________. [解析]　由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，因为β－∈， 所以cos＝－， cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－. [答案]　－ 利用角的变换求三角函数值的策略 (1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式． (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”(如本例)． (3)常见的角变换技巧： α＝2·；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； α＝[(α＋β)＋(α－β)]；β＝[(α＋β)－(α－β)]； ＋α＝－. (4)特殊角的拆分：＝＋；＝＋；＝－. 1．已知tan＝－2，则tan＝(　　) A．－ B. C．－3 D．3 解析：A　[∵tan＝－2，∴tan＝tan＝＝＝－.] 2．已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin α＝(　　) A. B. C. D. 解析：A　[∵α，β都是锐角， ∴0＜α＋β＜π，－ ＜α－β＜. 又∵cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝， ∴sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝， 则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝×－×＝－. ∵cos 2α＝1－2sin2α＝－， ∴sin2α＝， ∵sin α＞0，∴sin α＝.] 学科网（北京）股份有限公司 $